Ziemia jako układ odniesienia

W prostych zagadnieniach dynamiki z reguły traktujemy Ziemię jako układ inercjalny. A przecież nasza planeta wykonuje złożone ruchy obrotowe: pod wpływem siły ciążenia biegnie z prędkością 29 km/s po elipsie dookoła Słońca i wiruje wokół własnej osi z prędkością kątową ω = 2π/T = 7,25·10^-5 s^-1. W układzie związanym z Ziemią równanie ruchu cząstki pod działaniem siły F zapisujemy w postaci

(15.1)

obowiązującej w układzie inercjalnym, podczas gdy uwzględnienie oczywistej nieinercjalności prowadzi do równania

(15.2)

gdzie a₀ jest wywołanym przez siłę ciążenia przyspieszeniem Ziemi w układzie heliocentrycznym, który od czasów Kopernika uważamy z inercjalny, r’ jest promieniem wodzącym cząstki w układzie geocentrycznym, a v’ – prędkością cząstki względem tego układu. Siła F₀ jest sumą sił działających na cząstkę i obejmuje oprócz rozpatrywanej uprzednio wypadkowej F, w którą wchodziła także ziemska siła ciężkości, siłę przyciągania przez Słońce

(15.3)

(15.4)

(Rys. 15.1)

Zaniedbaliśmy tutaj siły przyciągania od innych ciał niebieskich. Jeżeli cząstka porusza się w pobliżu Ziemi, to jej odległość od Słońca r_s jest bliska promieniowi wodzącemu Ziemi r_z. Siła przyciągania cząstki przez Słońce znosi się z siłą bezwładności związaną z przyspieszeniem Ziemi względem Słońca

(15.5)

czyli

(15.6)

i pozostają tylko trzy składniki

(15.7)

Aby ocenić błąd, jaki popełniamy uważając Ziemię za układ inercjalny, czyli pomijając siłę odśrodkową i siłę Coriolisa, porównamy ich maksymalne wartości z siłą ciężkości. Wartość siły odśrodkowej na powierzchni Ziemi r = R znajdziemy z wzoru

(15.8)

gdzie φ jest szerokością geograficzną. Siła odśrodkowa rośnie od zera na biegunach do maksymalnej wartości

(15.9)

na równiku. Dzieląc tę maksymalną wartość przez ciężar ciała otrzymujemy

(15.10)

Aby siła odśrodkowa była porównywalna z siłą ciężkości, czyli żeby na równiku wystąpił stan nieważkości, prędkość wirowania Ziemi musiałaby wzrosnąć przeszło 18 razy. Doba trwałaby wówczas 1 godzinę i 19 minut!

Siła Coriolisa

(15.11)

jest największa, gdy sin(ω, v’) = 1, czyli gdy ciało porusza się prostopadle do kierunku ziemskiej osi (np. ciało swobodnie spadające na równiku lub sanie w okolicach biegunów). Wówczas

(15.12)

Po podzieleniu przez mg otrzymujemy

(15.13)

Aby siła Coriolisa była porównywalna z siłą ciężkości, ciało musiałoby się poruszać z prędkością v’ rzędu 6,6·10⁴ m/s, czyli 66 km/s, tzn. przeszło 2,2 razy większą niż prędkość Ziemi w ruchu wokół Słońca!

Porównajmy jeszcze maksymalne wartości siły Coriolisa i i siły odśrodkowej:

(15.14)

Aby siła Coriolisa była porównywalna z odśrodkową, ciało musiałoby mieć prędkość v’ rzędu 230 m/s, czyli 830 km/h. Współczesne lotnictwo musi uwzględniać siłę coriolisa w nawigacji.

15.2 Kierunek pionu

Na wiszący nad powierzchnią Ziemi ciężarek działa siła ciężkości mg i siła odśrodkowa mω²Rcosφ. Ich wypadkowa, a wraz z nią kierunek pionu, tzn sznurka, na którym wisi ciężarek, jest odchylona od kierunku siły ciężkości o kąt ϑ.

(Rys. 15.2)

Wypadkową siły ciężkości i odśrodkowej nazywamy ciężarem ciała, bo ją właśnie, a nie siłę ciężkości, wskazuje waga sprężynowa. Zatem ciężar

(15.15)

gdzie przez F_g oznaczyliśmy siłę ciężkości. Oczywiście

(15.16)

gdzie g jest obserwowanym przyspieszeniem swobodnego spadku różnym od przyspieszenia grawitacyjnego

(15.17)

skierowanego do środka Ziemi. Zależność między obu przyspieszeniami jest taka sama jak między siłami

(15.18)

przy czym ρ⁰ oznacza wektor jednostkowy w kierunku promienia obrotu ρ = Rcosφ.

Występowanie siły odśrodkowej zmusza nas także do ściślejszego określenia szerokości geograficznej. Jeżeli przez szerokość geograficzną rozumiemy kąt ψ między kierunkiem lokalnego pionu a płaszczyzną równika, to na skutek odchylenia pionu istnieje różnica między nią a kątem φ, między promieniem wodzącym danego punktu na kuli ziemskiej a płaszczyzną równika, który dotychczas uważaliśmy za szerokość geograficzną. Kąt φ nazywamy szerokością geocentryczną. Oczywiście

(15.19)

Różnica między ciężarem a siłą cieżkości jest największa na równiku, a na biegunach znika. Natomiast odchylenie od pionu ϑ jest równe zeru na równiku (siła odśrodkowa przeciwnie skierowana do ciężkości) i na biegunach (F_od = 0), a maksymalne w średnich szerokościach geograficznych. Wszystkie te subtelne rozróżnienia mają znaczenie w geodezji czy nawigacji kosmicznej. W większości dziedzin techniki i praktycznego życia możemy tak, jak to czyniliśmy dotychczas, utożsamiać ciężar z siłą ciężkości i szerokość geograficzną z geocentryczną.

15.3 Kształt Ziemi

Byłoby błędem sądzić, że pion jest odchylony od normalnej do płaszczyzny lokalnego horyzontu. Jeżeli położymy ciężarek na powierzchni Ziemi i rozłożymy siłę nacisku, czyli ciężar, na dwie składowe: wzdłuż promienia wodzącego i prostopadle do niego, czyli stycznie do powierzchni kuli, to różnica między ciężkością a składową radialną ciężaru będzie równa

(15.20)

(Rys. 15.3)

Wobec bardzo małej wartości kąta ϑ między składową radialną a ciężarem można ją uważać za równą ciężarowi i wobec tego

(15.21)

Styczna składowa ciężaru

(15.22)

spycha ciężarek w kierunku równika. Ale ten sam rachunek można zastosować do cząstek powierzchni i wnętrza Ziemi. Ponieważ Ziemia nie jest sztywna, siły styczne doprowadziły do jej spłaszczenia. Materia przemieszczała się w kierunku równika dopóki Ziemia nie przybrała kształtu, przy którym siły styczne przestały istnieć, tzn. powierzchnia stała się wszędzie prostopadła do ciężaru. Teraz w każdym miejscu pion jest prostopadły do lokalnej płaszczyzny horyzontu. Spłaszczenie Ziemi nie jest duże – promień równikowy jest zaledwie 1/297 (21 km) większy od promienia biegunowego. Zgodnie z niniejszym wywodem bryłę Ziemi nazywamy geoidą. Na skutek niejednorodności mas i oddziaływań innych ciał niebieskich kształt Ziemi odbiega nieco od geoidy wykazując wybrzuszenia. Z wielką przesadą można ją przyrównać do gruszki. Wybrzuszenia Ziemi wpływają na orbity sztucznych satelitów – dzięki temu zostały odkryte.

15.4 Spadek na wirującej Ziemi

Przyspieszenie spadku wynosi

(15.23)

gdzie r jest promieniem wodzącym cząstki, a v – prędkością względem Ziemi. Początek kartezjańskiego układu współrzędnych umieścimy w punkcie, z którego ciało zaczyna spadać. Oś z będzie skierowana pionowo w górę, oś x – poziomo na południe, a oś y – na wschód. Na szerokości geograficznej φ wektor prędkości kątowej ω, równoległy do osi Ziemi, czyli wskazujący gwiazdę polarną, będzie miał składowe

(15.24)

(Rys. 15.4)

Przy wypisywaniu składowych iloczynów wektorowych skorzystamy z wzorów

(15.25)

Stąd

(15.26)

Podobnie

(15.27)

Rozpisane na współrzędne równania ruchu przybiorą postać

(15.28)

Ścisłe rozwiązanie tego układu jest trudne. Jednak dzięki temu, że prędkość kątowa obrotu Ziemi jest mała, można łatwo otrzymać rozwiązanie przybliżone. W pierwszym przybliżeniu pomijamy wyraz z ω i ω². Z układu równań pozostaje tylko

(15.29)

czyli równanie swobodnego spadku wzdłuż osi z na nieruchomej (inercjalnej) Ziemi. Całkowanie z uwzględnieniem warunków brzegowych (dla t = 0, x = y = z = 0, v₀ = 0) prowadzi do znanych wzorów:

(15.30)

W drugim przybliżeniu uwzględniamy w równaniach ruchu także wyrazy związane z siłą Coriolisa, tzn. zawierające ω w pierwszej potędze, a za x, y i z podstawiamy wartości uzyskane w pierwszym przybliżeniu. Układ otrzymuje postać

(15.31)

nietrudne całkowanie prowadzi do rozwiązania w postaci

(15.32)

Jak widać pod wpływem siły Coriolisa ciało nie spada pionowo, tylko odchyla się w stronę współrzędnej y, tzn. na wschód (na półkuli północnej). Odchylenie y_h przy spadku z wysokości h obliczymy podstawiając czas spadku

(15.33)

Ostatecznie

(15.34)

gdzie

(15.35)

jest kątem o jaki obróci się Ziemia w czasie spadku ciała. Na przykład w czasie spadku z wysokości iglicy warszawskiego Pałacu Kultury i Nauki odchylenie ku wschodowi wyniesie 4,8 cm.

Zwróćmy uwagę, że y_h nie zależy od masy ciała. Odchylenie będzie największe na równiku (φ = 0, cosφ = 1), najmniejsze – zerowe – na biegunach (φ = 90°, cosφ = 0). Gdybyśmy chcieli otrzymać jeszcze dokładniejsze rozwiązanie, musielibyśmy wstawić otrzymane wyniki do pełnych równań ruchu i całkować (trzecie przybliżenie). Będzie to równoznaczne z uwzględnieniem także siły odśrodkowej (wyrazy zawierające ω²).

Na półkuli południowej prostopadła do płaszczyzny lokalnego horyzontu składowa ω_z zmienia znak i wskazuje dół, tzn. w głąb Ziemi. Odchylenie y_h będzie takie samo, tylko skierowane ku zachodowi. W podobny sposób można znaleźć odchylenie w rzucie ukośnym.

15.5 Siły Coriolisa w meteorologii

Oprócz odchylenia ku wschodowi (półkula północna) lub zachodowi (półkula południowa) jest jeszcze wiele innych efektów związanych z nieinercjalnością Ziemi. Siła Coriolisa jest prostopadła do wektorów prędkości kątowej ω i względnej v’. Jeżeli ciało porusza się po powierzchni Ziemi, to do znalezienia kierunku interesującej nas poziomej składowej siły Coriolisa wystarczy znać kierunek prędkości v’ i pionowej składowej ω_z prędkości kątowej obrotu Ziemi, skierowanej na półkuli północnej pionowo w górę, a na południowej w dół. Z reguły śruby prawoskrętnej wynika, że na półkuli północnej dla patrzącego w kierunku ruchu siła Coriolisa działa na prawo, a na południowej na lewo.

(Rys. 15.5)

Masy powietrza płynące nad Ziemią od wyżu do niżu są przez nią odchylane, co prowadzi do cyklonów, czyli wirów opływających ośrodki niżowe na półkuli północnej przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (na południowej zgodnie) i antycyklonów opływających ośrodki wyżowe zgodnie z ruchem wskazówek zegara (na półkuli południowej – przeciwnie). Wiąże się z tym tzw. reguła Buys-Ballota: Na półkuli północnej obserwator zwrócony plecami do wiatru ma niż po lewej stronie, a na półkuli południowej po prawej. Siła Coriolisa jest również przyczyną odchylenia ku zachodowi regularnych wiatrów podzwrotnikowych – passatów.

(Rys. 15.6)

15.6 Wahadło Foucaulta

Pod działaniem siły Coriolisa płaszczyzna wahań wahadła matematycznego – niezmienna w układzie inercjalnym – na nieinercjalnej Ziemi obraca się z prędkością kątową ω’ równą lokalnej pionowej składowej prędkości kątowej obrotu Ziemi

(15.36)

(obserwator inercjalny powie oczywiście, że to płaszczyzna horyzontu obraca się pod nieruchomą płaszczyzną wahadła). Traktując ruch wahadła przy małych wychyleniach jako harmoniczny i obierając początek układu współrzędnych w położeniu równowagi wahadła (centrum siły), a oś z pionowo w górę możemy napisać równanie ruchu w postaci

(15.37)

Ciężar (z uwzględnieniem siły odśrodkowej) i pionową składową siły Coriolisa równoważy siła sprężystości nici. Stąd

(15.38)

i równania rozpisane na składowe mają postać

(15.39)

(Rys. 15.6)

Całkowanie wygląda podobnie jak w przypadku drgań tłumionych i daje w wyniku równanie rozety, jaką zakreśla ciężarek wahadła. Można ją traktować jako elipsę obracającą się wokół osi z z prędkością kątową ω_z na półkuli północnej, zgodnie z ruchem wskazówek zegara, na południowej przeciwnie. Okres obrotu wynika z wartości prędkości kątowej

(15.40)

gdzie T_Z = 24h jest okresem obrotu Ziemi.

Obrót płaszczyzny drgań wahadła Foucaulta jest najszybszy na biegunach (T = 24h), na równiku znika (T = ∞). W Polsce wynosi od 30 do 32 godzin.