Zderzenia cząstek

Zagadnienie dwu ciał obejmuje także zderzenia. Rozróżniamy zderzenia sprężyste, czyli takie, podczas których nie zmienia się stan wewnętrzny ciał i niesprężyste, w czasie których następuje zmiana energii wewnętrznej. W rzeczywistości nie ma ani zderzeń doskonale sprężystych, ani niesprężystych – stanowią one przypadki graniczne. Pojęcie zderzenia odnosi się także do rozproszenia cząstek, czyli zmiany ruchu na skutek oddziaływania na odległość – bez zetknięcia – z tym, że rozgraniczenie takie wolno stosować tylko do obiektów makroskopowych. Gdy zderzają się mikrocząstki, pojęcie zetknięcia traci sens, bo promień takiej cząstki jest wynikiem umowy.

Do opisu zderzeń można stosować układ labolatoryjny, w którym poruszają się obie cząstki, albo jedna cząstka (np. B) przed zderzeniem spoczywa (v_B = 0), a druga (A) porusza się z prędkością v_A . Najprościej jednak opisuje się zderzenie w układzie środka masy. Prędkość w tym układzie określają związki transformacyjne

(11.1)

gdzie

(11.2)

jest prędkością środka masy w układzie labolatoryjnym. Masa zredukowana

(11.3)

W układzie środka masy prędkości cząstek v’_A i v’_B mają przeciwne zwroty, a suma pędów jest równa zeru. Aby przejść do prędkości w układzie labolatoryjnym v_A, v_B, trzeba dodać (wektorowo!) prędkość środka masy.

(Rys. 11.1)

Wielkości charakteryzujące ruch przed zderzeniem będziemy dalej oznaczać indeksem (–), a po zderzeniu indeksem (+). W układzie środka masy spełniona jest zasada zachowania pędu: suma pędów cząstek jest stale równa zeru. Stąd

(11.4)

czyli i przed, i po zderzeniu pędy obu cząstek są równe i przeciwnie skierowane:

(11.5)

Jeżeli zderzenie jest doskonale sprężyste, to zasada zachowania energii w układzie środka masy ma postać

(11.6)

Suma energii kinetycznych przed zderzeniem jest taka sama jak po zderzeniu. Podstawiając z prawa pędów

(11.7)

otrzymamy

(11.8)

czyli

(11.9)

W podobny sposób można stwierdzić, że także

(11.10)

Zatem bezwzględne wartości prędkości cząstek nie zmieniają się w akcie zderzenia. Wobec tego mogą się zmienić tylko kierunki prędkości.

(Rys. 11.2)

Istotnie z prawa zachowania pędów mamy

(11.11)

co wobec (11.9) i (11.10) oznacza, że prędkości względne cząstek zmieniły kierunki.

Wprowadzimy teraz wektor jednostkowy v⁰ w kierunku prędkości cząstki A po zderzeniu. Teraz

(11.12)

i możemy wrócić do układu labolatoryjnego przez dodanie prędkości środka masy. Szukane prędkości po zderzeniu są równe

(11.13)

Prędkości przed i po zderzeniu w układzie labolatoryjnym otrzymujemy dodając do prędkości względem środka masy prędkość v_s środka masy.

(Rys. 11.3)

Aby móc określić kierunki prędkości po zderzeniu, trzeba znać kierunek wektora v⁰ określony przez kąt odchylenia χ cząstki A w wyniku zderzenia. Niech oś x kartezjańskiego układu współrzędnych wskazuje zgodnie z kierunkiem prędkości v_A cząstki padającej, a oś y leży w płaszczyźnie ruchu. Prędkość cząstki A względem cząstki B, czyli różnica prędkości przed zderzeniem, wynosi

(11.14)

bo v_B- = 0. Po zderzeniu prędkość względna jest równa

(11.15)

czyli zmienia kierunek bez zmiany wartości.

(Rys. 11.4)

Wzory na prędkości po zderzeniu przybierają teraz formę

(11.16)

w układzie środka masy oraz

(11.17)

w układzie labolatoryjnym. Wyrazimy te związki przez ich składowe. Rzuty prędkości względnej na osie współrzędnych wynoszą

(11.18)

wobec tego

(11.19)

Stąd

(11.20)

Za pomocą tych równań możemy wyrazić kąty odchylenia ϑ_A, ϑ_B obu cząstek w laboratoryjnym układzie odniesienia w zależności od kąta χ odchylenia cząstki A w układzie środka masy

(11.21)

Minus przed ułamkiem po prawej stronie dolnej równości wynika z przeciwnych znaków rzutów v_B+ na obie osie. Jak widać,

(11.22)

11.2 Przykład: Zderzenie cząstek o równych masach

Jeżeli zderzają się dwie jednakowo ciężkie cząstki – np. kule bilardowe, albo neutron i proton – to tangens kąta odchylenia nadbiegającej cząstki

(11.23)

czyli

(11.24)

a suma odchyleń, zwana kątem rozrzutu,

(11.25)

Poniżej znajduje się wykres zależności tangensa kąta odchylenia cząstki A w układzie labolatoryjnym od kąta odchylenia w układzie środka masy dla m_A < m_B.

(Rys. 11.5)

W miarę wzrostu kąta χ kąt ϑ_A rośnie. Dla χ = arccos (–m_A/m_B) ϑ_A = π/2 (tgϑ_A = ∞). Ujemna gałąź krzywej odpowiada ϑ_A > π/2. Dla χ = π ϑ_A = π.

Gdy m_A > m_B mianownik wzoru na tg ϑ_A nigdy nie jest równy zeru i ϑ_A < π/2 (tg ϑ_A < ∞)

(Rys. 11.6)

Kąt odchylenia cząstki B i połowa kąta χ dopełniają się (zakreskowany trójkąt jest prostokątny). v- oznacza różnicę prędkości cząstek przed zderzeniem, v+ – po zderzeniu.

(Rys. 11.7)

A więc cząstki o jednakowych masach po zderzeniu rozbiegają się w układzie laborartoryjnym pod kątem prostym.

(Rys. 11.8)

Naturalnie, dla m_A < m_B ϑ_A + ϑ_B > π/2, a dla m_A > m_B ϑ_A + ϑ_B < π/2.

11.3 Przykład: Zderzenie czołowe (centralne)

W tym przypadku obie cząstki poruszają się po jednej prostej. Kąt odchylenia w układzie środka masy χ = π. Rzuty prędkości po zderzeniu wynoszą

(11.26)

Poniższy rysunek przedstawia zderzenie centralne przy m_A < m_B w układzie środka masy i laboratoryjnym.

(Rys. 11.9)

Gdy cząstka nadbiegająca jest cięższa niż spoczywająca, obie prędkości po zderzeniu centralnym mają w układzie labolatoryjnym ten sam zwrot.

(Rys. 11.10)

Obie prędkości (v_A+ i v_B+) są skierowane zgodnie lub przeciwnie. Zwrot v_A+ zależy od relacji między masami:

(11.27)

W szczególnym przypadku jednakowych cząstek m_A = m_B = m

(11.28)

Cząstka nadbiegająca przekazuje prędkość spoczywającej.

(Rys. 11.11)

W trakcie zderzenia cząstka A przekazała cząstce B część swojej energii. Cała energia cząstki B po zderzeniu

(11.29)

pochodzi od cząstki A. Energia cząstki A wynosiła przed zderzeniem

(11.30)

Stosunek

(11.31)

określa ułamek energii jaki oddała cząstka A. W jakich warunkach ilość przekazanej energii będzie największa. Aby to rozstrzygnąć, podzielmy licznik i mianownik prawej strony przez m_B²:

(11.32)

gdzie stosunek mas oznaczono przez γ.

Jeżeli założymy, że kąt χ = const, to pozostaje do rozpatrzenia funkcja

(11.33)

Poszukajmy jej maximum

(11.34)

rozwiązanie tego równania daje γ = m_A/m_B = 1, czyli

Cząstka traci najwięcej energii, gdy masy obu cząstek są równe. Strata energii wynosi wówczas

(11.35)

Przy zderzeniu czołowym χ = π i strata energii

(11.36)

skąd dla równych mas

(11.37)

W tych warunkach cząstka A traci całą swoją energię.

(Rys. 11.12)

11.4 Przykład: Spowalnianie neutronów

W większości reaktorów jądrowych reakcja rozszczepienia zachodzi najlepiej z neutronami powolnymi, czyli termicznymi. W wyniku rozszczepienia powstają neutrony szybkie. Aby móc je wykorzystać trzeba je spowolnić. Do tego celu służą substancje zwane moderatorami. Neutrony tracą szybkość w zderzeniach z jądrami moderatora. Skuteczność spowalniania zależy od masy jądra moderatora. Najwięcej energii straci neutron w zderzeniu z jądrami o zbliżonej masie, czyli z protonami. Najlepszymi moderatorami są materiały bogate w wodór – przede wszystkim woda i substancje organiczne. Używa się też związków ciężkiego wodoru oraz węgla w postaci grafitu. Skuteczność spowalniania jest przy tym mniejsza, ale węgiel jest tani i łatwo go formować. Konieczna dla termalizacji, czyli zmniejszenia energii do termicznej (E_k = 0,025 eV – średnia energia molekuł ośrodka w temperaturze pokojowej) liczba zderzeń neutronu z jądrami węgla (γ = m_c/m_h ≈ 12) wynosi przeciętnie 114, z jądrami berylu (γ ≈ 8) – 98, deuteru (γ ≈ 2) – 25, wodoru (γ ≈ 1) – tylko 18.

11.5 Zderzenia niesprężyste

Rozpatrzmy teraz przypadek zderzenia niesprężystego. W trakcie zderzenia zmienia się energia wewnętrzna ciał. Jeżeli energia wewnętrzna wzrasta, powiadamy, że nastąpiło wzbudzenie – cząstka przeszła w stan wzbudzony. Energia wzbudzenia Q w ostatecznym efekcie przechodzi do otoczenia. Prawo zachowania energii przyjmuje postać

(11.38)

albo w układzie środka masy

(11.39)

gdzie E_k- i E_k+ oraz E’_k- i E’_k+ oznaczają sumę energii kinetycznych cząstek przed i po zderzeniu. Całkowicie albo doskonale niesprężystym nazywamy takie zderzenie, w wyniku którego cała energia kinetyczna w układzie środka mas zamienia się w inne postacie energii i przechodzi z układu do otoczenia. Wówczas E’_k+ = 0 i

(11.40)

przy czym μ oznacza masę zredukowaną, a v_– = v_A różnicę prędkości cząstek przed zderzeniem. Po zderzeniu

(11.41)

Ze względu na μ ≠ 0 oznacza to, że

(11.42)

Zatem po zderzeniu obie cząstki poruszają się ze wspólną prędkością w równą prędkości środka masy:

(11.43)

Kierunek wspólnej prędkości znajdziemy z prawa zachowania pędu przed i po zderzeniu:

(11.44)

czyli

(11.45)

(Rys. 11.13)

W zderzeniu doskonale niesprężystym cząstki łączą się i poruszają dalej z prędkością, jaką miał przed zderzeniem środek masy.

Zderzenia rzeczywiste nie są doskonale niesprężystesprężyste. Nieznane parametry ruchu wyznaczamy stosując prawa zachowania pędu i energii.

11.6 Przykład: Energia reakcji

Protony (jądra wodoru) przyspieszone w akceleratorze do prędkości v_p padają prostopadle na cienką folię zawierającą fluor. W wyniku reakcji powstają jądra tlenu i cząstki α (jądra helu). Jądra tlenu wylatują z folii z prędkością v_O pod kątem ϑ do pierwotnej wiązki protonów, a prędkość cząstek α v_α jest skierowana prostopadle do niej.

(Rys. 11.14)

Masy wszystkich cząstek znamy. Obierając oś x w kierunku lotu protonów, a oś y w kierunku ruchu cząstek α napiszemy prawo zachowania pędu w układzie laboratoryjnym

(11.46)

oraz zasadę zachowania energii

(11.47)

Założyliśmy przy tym, że jądra fluoru spoczywają. Wielkość Q czyli różnica między sumą początkowych i końcowych energii cząstek, nosi nazwę energii reakcji. Z wypisanych równań można obliczyć trzy niewiadome. W rozpatrywanym przypadku będą to kąt ϑ, prędkość v_O i energia reakcji. Weliminujemy najpierw ϑ podnosząc stronami do kwadratu dwa pierwsze równania.

(11.48)

Uzyskany stąd iloczyn

(11.49)

wstawiamy do równania (11.47):

(11.50)

stąd

(11.51)

Podstawmy dane jednego z takich doświadczeń. Otrzymamy wynik

(11.52)

Znak minus oznacza, że w wyniku reakcji suma energii kinetycznych wzrosła. Dokładne pomiary mas atomowych wykazują, że suma mas produktów rozpatrywanej reakcji jest mniejsza niż suma mas jąder wyjściowych. Niedobór masy (dla naszych przykładowych danych) wynosi

(11.53)

Stosunek energii reakcji do niedoboru masy

(11.54)

jest równy kwadratowi prędkości światła w próżni. W ten sposób stosując do reakcji jądrowej prawa zachowania pędu i energii otrzymaliśmy leżący u podstaw teorii względności słynny związek Einsteina między masą a energią.

11.7 Rozpraszanie cząstek

Dotychczas rozpatrywaliśmy zderzenia ciał biorąc pod uwagę tylko prędkości i energie początkowe i końcowe, tzn. w chwilach na tyle odległych w czasie od zderzenia, że można było pominąć rozciągliwość zderzenia w czasie i traktować tory cząstek przed i po zderzeniu jako prostoliniowe. Rzeczywiste tory wynikają z praw ruchu w polu odpychających sił centralnych typu

(11.55)

gdzie α < 0. Wiemy już, że tego typu ruch zachodzi po dalszej gałęzi hiperboli. Ograniczymy się do n = 2, czyli do sił o energii

(11.56)

równanie toru ma postać

(11.57)

Wprowadźmy parametr zderzenia b, czyli odległość centrum siły od asymptoty hiperboli, tzn. linii po której biegła cząstka z początkową prędkością v₀, kiedy była jeszcze bardzo daleko. Możemy teraz określić moment pędu względem centrum

(11.58)

i przekształcić równanie toru

(11.59)

Położenie pericentrum określają wzory:

(11.60)

bowiem kąt φ odmierzamy od prostej łączącej centrum z pericentrum. Kąty między tą prostą a asymptotami można znaleźć przez całkowanie:

(11.61)

Nawet nie obliczając całki można stwierdzić przez zamianę granic, że tor cząstki jest symetryczny względem prostej φ = 0, bowiem φ_-∞ = –φ_∞. Prostszy sposób obliczenia kąta φ_∞ opiera się na znanych z geometrii analitycznej właściwościach hiperboli.

(Rys. 11.15)

Punkt przecięcia asymptot nazywamy środkiem hiperboli. Odcinek łączący pericentrum, czyli wierzchołek hiperboli z jej środkiem zwany jest półosią rzeczywistą a, a prostopadły do niej odcinek o długości

(11.62)

półosią urojoną. Przez c oznaczono tutaj odległość środka od ogniska hiperboli, czyli od centrum siły. Łatwo stwierdzić, że

(11.63)

oraz

(11.64)

i ostatecznie

(11.65)

Odkładając od środka hiperboli na asymptocie półoś rzeczywistą a i łącząc otrzymany punkt z ogniskiem stwierdzimy, że parametr zderzenia (odległość ogniska od asymptoty) jest równy półosi urojonej. Wobec tego b w powyższym wzorze oznacza parametr zderzenia, a sam wzór przedstawia związek między odległością od pericentrum, parametrem zderzenia i kątem odchylenia asymptoty od prostej łączącej centrum z pericentrum. Kąt rozproszenia, czyli odchylenia cząstki w wyniku oddziaływania centrum, wynosi

(11.66)

Jeżeli parametr b = 0, zderzenie nazywamy czołowym albo centralnym. Wówczas φ_∞ = 0 i kąt rozproszenia ϑ = π. Prędkość cząstki zmienia zwrot na przeciwny.

11.8 Przykład: Rozpraszanie cząstek α

Rozmiary jąder ciężkich atomów można wyznaczyć mierząc kąt rozproszenia cząstek α przechodzących przez cienką folię z badanego pierwiastka. Doświadczenie takie przeprowadził po raz pierwszy E. Rutherford. Cząstka α ma ładunek +2e, jądro +Ze, gdzie

(11.67)

jest ładunkiem elementarnym, a Z – liczbą atomową pierwiastka. Siła odpychania między jednoimiennymi ładunkami cząstki i jądra wyraża się wzorem

(11.68)

(ε₀ – przenikalność dielektryczna próżni). Naturalnie jest to siła centralna o energii potencjalnej

(11.69)

przy czym stała

(11.70)

Tor cząstki będzie więc hiperbolą. Wypiszemy prawa zachowania energii i momentu pędu dla chwili początkowej, gdy r = ∞ i

(11.71)

i dla pericentrum, gdzie

(11.72)

a prędkość cząstki wynosi v:

(11.73)

Trzeba stąd wyrugować v. Z pierwszego równania, po podzieleniu przez mv₀²/2 i przekształceniu

(11.74)

gdzie dla skrócenia zapisu wprowadzono oznaczenie

(11.75)

Z równania momentów i wzoru na r_min

(11.76)

więc

(11.77)

Stąd

(11.78)

Mnożąc obie strony przez b(1+cosφ_∞), otrzymujemy

(11.79)

i po wymnożeniu i redukcji możemy znaleźć parametr zderzenia

(11.80)

Powrót do pierwotnych oznaczeń daje ostatecznie zależność

(11.81)

zwaną wzorem Rutherforda. Jeżeli użyjemy innych cząstek o ładunku +ze, to

(11.82)

Najmniejszą wartość r_min (dla zderzenia czołowego) określoną równaniem

(11.83)

czyli

(11.84)

nazywamy klasycznym promieniem jądra. Na przykład dla cząstek α (z = 2) o energii kinetycznej równej 5 MeV rozproszonych przez złoto (Z = 79) otrzymujemy R₀ = 4,6·10^-14 m. W świetle współczesnych poglądów jest to wartość około 5 razy za duża.

(Rys. 11.16)

W powyższych wzorach m oznaczało masę cząstki rozpraszanej. W przypadku jąder lekkich nie wolno pomijać ruchu jądra. Zamiast m trzeba podstawić masę zredukowaną

(11.85)

gdzie M oznacza masę jądra.

Dla jąder lekkich i małych parametrów zderzenia, tzn. gdy cząstka rozpraszana wnika do jądra, doświadczenia wykazują odstępstwa od prawa Coulomba. Na tak małych odległościach staje się widoczny wpływ jądrowych sił przyciągania między nukleonami, z których składa się i bombardowane jądro i cząstka α. Z tego względu najdogodniejsze do wyznaczania rozmiarów i struktury jąder atomów są nie podlegające oddziaływaniom jądrowym elektrony.