Zagadnienie dwu ciał

(10.1)

wskazujący od cząstki A do B o wartości bezwzględnej równej odległości między cząstkami. Zgodnie z naszymi założeniami na cząstkę A działa siła

(10.2)

a na cząstkę B siła

(10.3)

przy czym f(r) oznacza funkcję odległości między cząstkami zależną od charakteru oddziaływań, a r⁰ jest wektorem jednostkowym o kierunku r. Oczywiście

(10.4)

Jak widać, siły działające na cząstki są centralne.

(Rys. 10.1)

Aby rozwiązać zagadnienie ruchu, tzn. znaleźć współrzędne i prędkość cząstek w funkcji czasu, trzeba scałkować równania ruchu:

(10.5)

Wygodniejszym dla opisu ruchu będzie inercjalny układ środka masy. Aby przejść do niego, trzeba skorzystać z transformacji przyspieszeń i uwzględnić inercjalność układu (a_s = 0);

(10.6)

Stąd

(10.7)

W układzie środka masy równania ruchu mają niezmienioną postać. Ale położenia cząstek r’_A i r’_B nie są niezależne:

(10.8)

i możemy je łatwo przedstawić w funkcji wektora

(10.9)

(10.10)

Stąd

(10.11)

czyli

(10.12)

(Rys. 10.2)

Z równania pędów

(10.13)

możemy otrzymać podobne zależności między prędkościami

(10.14)

gdzie

(10.15)

oznacza różnicę wektorów prędkości obu cząstek.

Podstawmy teraz uzyskane wyrażenia na r’_A i r’_B do równań ruchu

(10.16)

(Rys. 10.3)

W ten sposób wyrugowaliśmy współrzędne cząstek, zastępując je wektorem r. Wyrażenie

(10.17)

nosi nazwę masy zredukowanej układu cząstek. Zauważmy przy okazji, że

(10.18)

Ostatecznie równanie ruchu przybiera postać

(10.19)

Dla ustalenia związku między znakiem funkcji f(r) a kierunkiem siły, trzeba pamiętać, że prawa strona powyższego równania przedstawia siłę działającą na cząstkę B, a wektor r⁰ wskazuje od cząstki A do B. Jeżeli f(r) jest dodatnie, siła F_B ma zwrot przeciwny do r⁰, to znaczy wskazuje w stronę cząstki A – cząstki się przyciągają. Przy f(r) < 0 siła F_B wskazuje zgodnie z r⁰ – cząstki się odpychają.

W układzie środka masy równania ruchu cząstek A i B możemy zastąpić równaniem ruchu cząstki μ o masie równej masie zredukowanej układu pod działaniem siły centralnej F_B(r). Promień wodzący cząstki μ równy r = r_B – r_A odkładamy od środka masy w stronę cząstki B. Do opisania ruchu cząstki μ stosuje się układ biegunowy.

(Rys. 10.4)

Jak widać udało się nam zredukować zagadnienie dwu ciał do równania ruchu jednej cząstki o masie równej μ położonej w odległości r od środka masy układu. Oczywiście położenie to jest funkcją czasu. Zależność r(t), czyli tor takiej fikcyjnej cząstki znajdziemy przez całkowanie równania ruchu. Rachunek będzie taki sam jak przy ruchu pojedynczej cząstki pod działaniem siły centralnej. Wykorzystuje się przy tym całki ruchu, tzn. zasady zachowania momentu pędu i energii (zasady zachowania w układzie środka masy pozostają w mocy). Najdogodniejszy dla opisu ruchu będzie układ współrzędnych biegunowych z początkiem w środku masy. Prawo zachowania momentu pędu otrzymuje postać

(10.20)

a prawo zachowania energii

(10.21)

Indeks 0 oznacza wartości w chwili t₀.

Tutaj może nasunąć się pytanie czy w prawach zachowania wolno utożsamiać cząstkę o masie μ i położeniu r z układem cząstek A i B. Wprawdzie wynika to wyraźnie z równania ruchu, ale bez większego trudu można wykazać słuszność takiego postępowania i w przypadku praw zachowania. I tak moment pędu

(10.22)

(Rys. 10.5)

co w układzie biegunowym ze względu na zerowanie się iloczymu wektora położenia i radialnej składowej pędu daje

(10.23)

Podobnie energia kinetyczna

(10.24)

Przypomnijmy, że w układzie biegunowym

(10.25)

co prowadzi do zapisanej wyżej postaci całki energii.

Aby otrzymać rozwiązanie, skorzystamy z gotowych wzorów dla pojedynczej cząstki podstawiając μ, L’₀, E’₀ zamiast m, L₀, E₀. Oczywiście trzeba też pamiętać, że wektor r oznacza w ruchu dwu ciał co innego niż w ruchu jednej cząstki. Prędkość radialna cząstki μ wynosi zatem

(10.26)

przy czym podobnie jak poprzednio wprowadzamy efektywną energie potencjalną

(10.27)

Równanie toru cząstki μ ma postać

(10.28)

Założyliśmy tu, że dla t = 0 r = r₀ i φ = 0. Podobnie

(10.29)

Te dwie całki opisują ruch cząstki μ na płaszczyźnie prostopadłej do wektora momentu pędu. Po tej samej płaszczyźnie, przechodzącej przez środek masy, poruszają się obie cząstki układu. Ich tory można łatwo wyznaczyć z wzorów

(10.30)

przy czym r = r(t) jest wektorowym równaniem toru cząstki równoważnym dwom równaniom skalarnym r = r(t) i φ = φ(t). Podobnie znajdujemy prędkości cząstek

(10.31)

gdzie

(10.32)

uzyskamy przez różniczkowanie. Jak widać, w układzie środka masy tory obu cząstek są podobne, różnią się tylko rozmiarami. Zależność między prędkościami jest taka sama jak między promieniami wodzącymi. Jednocześnie względem dowolnego inercjalnego układu odniesienia środek masy porusza się jednostajnie po linii prostej, a przechodząca przez niego płaszczyzna względnych ruchów cząstek nie zmienia swojej orientacji. W tym układzie tory cząstek są opisane wzorami

(10.33)

a prędkości wzorami

(10.34)

10.2 Ruch w polu grawitacyjnym i elektrostatycznym

Jeżeli cząstki układu związane są ze sobą siłami przyciągania grawitacyjnego lub elektrostatycznego, to zależność energii potencjalnej od odległości jest hiperboliczna:

(10.35)

W przypadku sił grawitacyjnych

(10.36)

(G – stała grawitacji), a w przypadku sił elektrostatycznych

(10.37)

(ε₀ – przenikalność elektryczna próżni). Cząstka μ porusza się po krzywej opisanej równaniem

(10.38)

której parametr

(10.39)

a mimośród

(10.40)

Gdy energia całkowita E’₀ < 0, tzn. gdy mimośród e < 1, torem będzie elipsa z jednym z ognisk w środku masy. Najmniejsza i największa odległość cząstki μ od centrum wynosi

(10.41)

(Rys. 10.6)

Okres obiegu równy

(10.42)

zależy tylko od energii cząstki μ. W układzie środka masy rzeczywiste cząstki A i B poruszają się po elipsach, których rozmiary są związane z rozmiarami orbity cząstki μ tak samo jak współrzędne:

(10.43)

czyli

(10.44)

Okres i kierunek obiegu jest jednakowy dla wszystkich cząstek. Cząstka cięższa zakreśla mniejszą orbitę, cząstka lżejsza większą – obie w tym samym czasie. Cząstka cięższa porusza się wolniej, cząstka lżejsza szybciej, zgodnie z wzorami

(10.45)

Jeżeli różnica mas jest znaczna, np. m_B << m_A, to można w mianowniku powyższych wyrażeń pominąć masę mniejszej cząstki i wzory przybierają postać

(10.46)

Na przykład w układzie Ziemia – Księżyc m_Z = 81 m_K i użycie wzoru przybliżonego daje

(10.47)

podczas gdy z wzoru dokładnego mielibyśmy

(10.48)

Oczywiście r = r’_K – r’_Z jest różnicą odległości środków obu ciał od środka masy układu.

Cząstki o jednakowych masach biegną po orbitach o jednakowych rozmiarach. Cząstka μ zakreśla orbitę podobną, ale większą.

(Rys. 10.7)

Jeżeli obie cząstki maja równe masy (m_A = m_B), to

(10.49)

orbity i prędkości są jednakowe.

10.3 Przykład: Stała Rydberga

Atom wodoru składa się z jądra (protonu) i elektronu. Masa jądra m_p jest 1836,5 razy większa od masy elektronu m_e = 9,109·10^-31 kg. Dodatni ładunek protonu i ujemny elektronu mają jednakową wartość e = 1,602·10^-19 C. Wychodząc z założeń Bohra można ująć długość fal obserwowanych prążków wszystkich serii widma wodoru we wzorze

(10.50)

gdzie h = 6,626·10^-34 J·s jest stałą Plancka, ε₀ = 8,854·10^-12 A²· s⁴·m^-3·kg^-1 – przenikalnością dielektryczną próżni, n₁ i n₂ są (całkowitymi) wartościami tzw. głównej liczby kwantowej. Współczynnik

(10.51)

nosi nazwę stałej Rydberga. Jeżeli wstawimy za m_e, e, h i ε₀ najdokładniejsze zmierzone wartości to otrzymamy w wyniku obliczenia

(10.52)

Obserwowana wartość doświadczalna dla widma wodoru wynosi

(10.53)

Rozbieżność ta może się wydawać nieistotna, ale przy wielkiej dokładności współczesnych metod spektroskopowych ma zasadnicze znaczenie. Jej przyczyną jest przyjęcie centrum ruchu w środku protonu. Tymczasem masa protonu nie jest nieskończenie wielka w porównaniu z masą elektronu i atom wodoru trzeba traktować jak układ dwu ciał. Oznacza to, że do wzoru na stałą Rydberga zamiast masy elektronu należy wstawić masę zredukowaną.

(10.54)

Wówczas stała Rydberga zmieni się:

(10.55)

Podstawiając m_e/m_p = 1/1836,5 otrzymujemy wartość stałej zgodną z doświadczeniem.