Względność ruchu

Nie istnieje ruch absolutny. Opis ruchu jest możliwy tylko względem wybranego układu odniesienia, który traktujemy jako nieruchomy. Układ odniesienia jest związany z obserwatorem. Każdy obserwator wybiera sobie najdogodniejszy układ odniesienia. Poszczególni obserwatorzy mogą się względem siebie poruszać i wobec tego mamy do czynienia z ruchomymi układami odniesienia. Ruch jest względny – każdy z obserwatorów traktuje swój układ jako nieruchomy, pozostałe zaś jako ruchome.

13.2 Przykład: Wagon jako układ odniesienia:

Jadąc pociągiem opisujemy ruch ciał względem układu odniesienia związanego z poruszającym się wraz z nami wagonem. Przedmioty za oknem – słupy telegraficzne, domy, drzewa – poruszają się względem nas w stronę przeciwną do kierunku jazdy. Traktowanie ich jako nieruchomych i rozpatrywanie ruchu ciała – powiedzmy piłki, którą odbijamy o podłogę przedziału – w związanym z nimi układem odniesienia byłoby bardzo niewygodne; np. prostoliniowy tor piłki zamieniłby się na szereg odcinków paraboli.

(Rys. 13.1)

13.3 Transformacje parametrów ruchu

Ograniczmy się do dwóch obserwatorów i dwóch układów, z których jeden – tzw. laboratoryjny – będzie związany z nami, czyli nieruchomy. Położenie jakiejś cząstki w układzie nieruchomym określa wektor r, w układzie ruchomym r’. Ponieważ obserwator ruchomy odkłada wektor położenia od początku swojego układu, to oczywiste jest, że

(13.1)

(Rys. 13.2)

gdzie r₀ oznacza wektor położenia początku układu ruchomego w układzie nieruchomym, czyli wektor łączący początki obu układów. Przemieszczenie dr cząstki względem układu nieruchomego będzie składało się z przesunięcia dr’ względem układu ruchomego i przemieszczenia dr_u wraz z układem, czyli przemieszczenia, jakiego doznałaby cząstka gdyby w nim spoczywała.

(Rys. 13.3)

(13.2)

Przemieszczenie dr_u można rozłożyć na przesunięcie równoległe, czyli translację i obrót wokół jakiejś osi, czyli rotację. Translacja jest przemieszczeniem bez obrotu – wszystkie proste w układzie pozostają cały czas jednakowo skierowane, natomiast przy obrocie tylko jedna prosta zachowuje swój kierunek – właśnie oś obrotu. Przemieszczenie cząstki wraz z układem jest sumą przemieszczeń związanych z translacją (t) i rotacją (r):

(13.3)

Przesunięcie równoległe dr_t jest dla wszystkich punktów układu takie samo. Wobec tego jest ono równe przesunięciu początku układu dr₀. Przemieszczenie związane z obrotem jest iloczynem wektora obrotu dφ i promienia wodzącego. Zatem

(13.4)

(Rys. 13.4)

przy czym wyróżniliśmy przemieszczenie

(13.5)

związane z przesunięciem i obrotem końca wektora r’. Dzieląc stronami przez dt otrzymujemy transformację prędkości

(13.6)

lub

(13.7)

gdzie v oznacza prędkość cząstki względem układu nieruchomego, v’ – względem ruchomego, a v_u = v₀ + ω×r’ prędkością unoszenia złożoną z prędkości translacji (v₀) i prędkości rotacji ω×r’, ω jest prędkością kątową obrotu układu. Ze względu na to, że prędkość kątowa jest wektorem osiowym jednakowym dla całego układu, powyższe wzory pozostają w mocy przy dowolnie obranym początku układu, nawet gdy oś obrotu przez niego nie przechodzi.

(Rys. 13.5)

Zróżniczkujmy teraz obustronnie transformację prędkości

(13.8)

Rozpatrzymy poszczególne wyrazy. Wektor a = dv/dt jest przyspieszeniem cząstki względem układu nieruchomego. Gdyby układ się nie obracał wyrażenie dv’/dt przedstawiałoby po prostu przyspieszenie a’ względem układu ruchomego.

Obrót układu pociąga za sobą obrót wektora prędkości względnej v’. Podobnie jak to było z wektorem położenia, przemieszczenie końca wektora składa się z translacji i rotacji

(13.9)

Stąd

(13.10)

przy czym tylko translacyjna część przyspieszenia dv’_t/dt = a’ jest przyspieszeniem cząstki względem układu ruchomego. Składnik rotacyjny jest przyspieszeniem koniecznym do tego, żeby wektor v’ obracał się wraz z układem.

Kolejna pochodna dv₀/dt = a₀ oznacza przyspieszenie początku układu ruchomego. Następujący po niej iloczyn

(13.11)

jest przyspieszeniem stycznym związanym z obrotem układu. Wreszcie w ostatnim iloczynie trzeba uwzględnić związek (13.5), z którego wynika

(13.12)

Stąd

(13.13)

Podwójny iloczyn wektorowy prędkości kątowej i prędkości rotacyjnej ω×(ω×r’) jest wektorem o wartości ω²r’ prostopadłym zarówno do wektora ω (kierunek osi), jak do ω×r’ (kierunek prostopadły do promienia r’), wobec tego jest skierowany wzdłuż promienia obrotu i może być tylko przyspieszeniem dośrodkowym, wynikającym z obrotu cząstki wraz z układem. Zatem

(13.14)

(Rys. 13.6)

Ostatni wektor związany z ruchem cząstki względem obracającego się układu

(13.15)

nosi nazwę przyspieszenia Coriolisa.

Przyspieszenie Coriolisa jest prostopadłe do prędkości względnej i kątowej, co przedstawia poniższy rysunek

(Rys. 13.7)

Jeżeli cząstka w układzie ruchomym spoczywa, to przyspieszenie Coriolisa jest równe zeru i oprócz przyspieszenia względnego pozostaje po prawej stronie suma

(13.16)

którą, podobnie jak to było z prędkością, nazwiemy przyspieszeniem unoszenia. Przyspieszenie w układzie nieruchomym

(13.17)

jest więc wektorową sumą przyspieszeń: względnego, unoszenia i Coriolisa.

(Rys. 13.8)