Wzajemność oddziaływań

Dotąd rozpatrywaliśmy ruch pojedynczej cząstki pod wpływem działających na nią sił. Znając zależność wypadkowej tych sił od czasu, położenia i prędkości cząstki mogliśmy ułożyć i rozwiązać równanie ruchu, tzn. znaleźć położenie i prędkość w funkcji czasu. Często udawało się skrócić rachunki stosując prawa zachowania pędu, momentu pędu i energii.

W przypadku dwóch cząstek o masach m_A, m_B musimy ułożyć i rozwiązać dwa równania ruchu. Jak zwykle trzeba zacząć od ustalenia położenia cząstek w obranym układzie odniesienia opisanego wektorami r_A i r_B. Na każdą cząstkę działają siły zewnętrzne o wypadkowych F_zA i F_zB i siły wewnętrzne, czyli siły oddziaływania F_AB i F_BA. Na cząstkę A działa więc siła

(8.1)

a na cząstkę B:

(8.2)

(Rys. 8.1)

W ogólnym przypadku siły te zależą od położeń i prędkości cząstek, a także od czasu:

(8.3)

Równania ruchu mają postać:

(8.4)

Ze względu na to, że każde równanie wektorowe jest równoznaczne trzem równaniom skalarnym, równania ruchu dwóch cząstek stanowią układ sześciu równań różniczkowych drugiego rzędu. Całkując je z uwzględnieniem warunków początkowych

(8.5)

otrzymamy równania

(8.6)

Podobnie jak w przypadku pojedynczej cząstki równania ruchu możemy przedstawić w formie

(8.7)

gdzie

(8.8)

oznaczają pędy cząstek. Oczywiście jeżeli wypadkowa sił działających na cząstkę równa się zeru, to jej pęd pozostaje stały. Dodajmy teraz stronami równania ruchu obu cząstek (8.1) i (8.2)

(8.9)

czyli

(8.10)

sumę pędów

(8.11)

określimy jako pęd układu.

Natomiast

(8.12)

jest wypadkową (sumą) sił zewnętrznych działających na układ, a

(8.13)

sumą sił wewnętrznych. Dla układu jako całości prawo ruchu przedstawia się więc następująco:

(8.14)

Zobaczmy teraz, co się dzieje, gdy siły zewnętrzne nie działają lub równoważą się. Gdy F_z = 0, to po prawej stronie równania pozostaje tylko wypadkowa sił wewnętrznych

(8.15)

Czemu równa się suma sił wewnętrznych? Doświadczenie uczy, że wszystkie oddziaływania są wzajemne. Jeżeli mierzę za pomocą dynamometru siłe, jaką moja ręka ciągnie klocek, to dynamometr mierzy równocześnie siłę, jaką klocek wywiera na rękę. Obie te siły są równe i przeciwnie skierowane. Jeżeli jakaś cząstka podlega oddziaływaniu – przyciąganiu czy odpychaniu – ze strony innej cząstki, to ze swej strony działa na nią siłą taką samą, tylko przeciwnie skierowaną. Jest to prawo akcji i reakcji, albo trzecia zasada dynamiki Newtona. Zatem:

(8.16)

Aby uniknąć nieporozumienia, trzeba pamiętać, że każda z tych równych sobie sił działa na inne ciało.

Jeżeli natomiast dwie cząstki stanowią układ, to siły zewnętrzne możemy zastąpić wypadkową (sumą) F_z. Sumę pędów cząstek uważamy za pęd układu. Siły wewnętrzne znoszą się.

(Rys. 8.2)

Przykład: Zagadka ruchu. Jeżeli działanie i przeciwdziałanie znoszą się wzajemnie, to w jaki sposób siła może spowodować ruch ciała? Przede wszystkim przypomnijmy, że ciało może się poruszać nawet wtedy, gdy nie działają siły zewnętrzne. Będzie to oczywiście ruch jednostajny i prostoliniowy. W naszym przypadku chodzi jednak o spowodowanie ruchu, czyli o nadanie ciału przyspieszenia, a do tego konieczne jest, aby wypadkowa sił zewnętrznych była różna od zera. I tak rzeczywiście jest, mimo równości akcji i reakcji. Na przyspieszane ciało – np. sanki ciągnięte przez dziecko – działa z jednej strony siła jaką się je ciągnie, a z drugiej opory ruchu, mianowicie siła tarcia między ciałem a podłożem i opór ośrodka. Jedynym warunkiem ruchu przyspieszonego jest aby wypadkowa tych sił była większa od zera, czyli żeby siła ciągnąca była większa niż opory ruchu. Trzecia zasada dynamiki jest przy tym spełniona, bo ciało ciągnięte oddziałuje na obiekt który je ciągnie – np. sanki na dziecko – siłą taką samą, tylko przeciwnie skierowaną, a także wywiera na podłoże i ośrodek, w którym się porusza, siły przeciwne do oporów ruchu. Wszystkie te siły przeciwdziałania mogą wpływać na ruch tylko tych obiektów, na które działają, a więc nie mają wpływu na ruch rozpatrywanego ciała. W każdym punkcie, gdzie dochodzi do kontaktu ciała z otoczeniem, mamy do czynienia z dwójkami równych sobie i przeciwnie skierowanych sił, ale przy ruchu przyspieszonym siły z różnych dwójek nie są sobie równe i wypadkowa sił działających na ciało jest różna od zera.

(Rys. 8.3)

Równość (8.16) można zapisać inaczej:

(8.17)

Suma sił oddziaływania między cząstkami tworzącymi układ jest równa zeru. Wobec tego przy braku sił zewnętrznych równanie ruchu układu przejdzie w

(8.18)

co oznacza, że pęd układu nie zmienia się:

(8.19)

Jest to zasada zachowania pędu układu dwóch cząstek. Można ją napisać w formie

(8.20)

W układzie odosobnionym (F_z = 0) przyrost pędu jednej cząstki jest równy ubytkowi pędu drugiej.

Przykład: Napęd odrzutowy. W czasie dt z dyszy silnika rakiety wylatują gazy spalinowe o masie

(8.21)

Prędkość gazów względem rakiety wynosi u, aktualna prędkośc rakiety v, a jej masa wraz z paliwem jest równa m. Przy braku oddziaływań zewnętrznych, jak opory ruchu, czy siła ciężkości, pęd układu złożonego z rakiety i wyrzuconych gazów musi być zachowany. Przyrost pędu rakiety równa się więc ubytkowi pędu wyrzuconych gazów, czyli po prostu iloczynowi ich masy i prędkości względem rakiety:

(8.22)

W nawiasie po lewej stronie decydującym składnikiem jest masa rakiety i masę gazów wyrzuconych w czasie dt można pominąć. Stąd

(8.23)

Masa wyrzuconych gazów jest równa ubytkowi masy rakiety

(8.24)

Wobec tego

(8.25)

(Rys. 8.4)

czyli

(8.26)

Otrzymaliśmy różniczkowe równanie ruchu rakiety. Całkowanie z uwzględnieniem warunków początkowych (dla t = 0, m = m₀ i v = v₀) daje

(8.27)

czyli

(8.28)

Otrzymaliśmy tzw. wzór Ciołkowskiego. Prędkość końcowa rakiety jest tym większa, im większa jest prędkość wylotu spalin. Przez m rozumie się masę końcową. Prędkość wylotu gazów spalinowych nie przekracza 4 km/s (produkty spalania wodoru w tlenie). Uzyskanie prędkości kosmicznych wymaga ogromnego stosunku mas. I tak, aby uzyskać v = 8km/s przy u = 3 km/s, stosunek mas musi wynosić m₀/m = exp(v/u) = 14,3. Żeby wynieść na orbitę sztucznego satelitę o masie 1t, trzeba postawić na starcie rakietę o masie 14,3 t. Masa użyteczna będzie oczywiście znacznie mniejsza niż 1 t, bo trzeba odliczyć masę zbiorników po wypalonym paliwie. Aby uzyskać v = 11 km/s masa startowa musi być 39,2 razy większa niż końcowa. Wynikające stąd trudności konstrukcyjne udało się pokonać dzięki użyciu rakiet wielostopniowych o znacznie korzystniejszym stosunku mas.

Jeżeli nie można pominąć siły ciężkości, to przyspieszenie swobodnego spadku dodaje się wektorowo do przyspieszenia odrzutu. Przy starcie pionowym

(8.29)

Warunkiem wznoszenia się rakiety jest dv/dt > 0 czyli μu > mg. Iloczyn

(8.30)

nazywamy siłą ciągu. Start pionowy może nastąpić, gdy siła ciągu jest większa od ciężaru rakiety. Siła ciągu rakiety Saturn 5 była 1,5 razy większa niż jej ciężar startowy.

(Rys. 8.5)

Suma sił wewnętrznych zeruje się niezależnie od tego, czy na układ działają siły z zewnątrz czy nie. Jeżeli F_z ≠ 0, to równanie ruchu układu przyjmuje postać

(8.31)

czyli

(8.32)

albo po scałkowaniu

(8.33)

Przyrost pędu układu równa się popędowi wypadkowej sił zewnętrznych.

(Rys. 8.6)

Suma zmian pędów cząstek, czyli zmiana pędu układu ma kierunek wypadkowej sił zewnętrznych. Równanie ruchu układu ma taką samą postać jak dla pojedynczej cząstki.

8.2 Moment pędu układu

Wróćmy teraz do równań ruchu poszczególnych cząstek i pomnóżmy je obustronnie przez wektory położenia

(8.34)

Dodanie do lewej strony każdego równania wektora

(8.35)

nie zmienia ich słuszności. Ale

(8.36)

jest pochodną momentu pędu L cząstki względem początku układu współrzędnych. Iloczyny wektorowe po prawej stronie oznaczają momenty sił działających na cząstki. Stąd

(8.37)

gdzie przez M_z oznaczono moment działających na cząstkę sił zewnętrznych, a przez M_w moment sił wzajemnego oddziaływania. Dodając stronami oba równania otrzymujemy

(8.38)

Moment znoszących się wzajemnie sił wewnętrznych musi być równy zeru. Istotnie

(8.39)

(Rys. 8.7)

bo wektor r_A – r_B ma kierunek łączącej B z A, wzdłuż której działają siły F_AB i F_BA. Wprowadzając całkowity moment pędu układu

(8.40)

otrzymujemy ostatecznie

(8.41)

(Rys. 8.8)

Suma zmian momentów pędu cząstek, czyli zmiana momentu pędu układu ma kierunek wypadkowego momentu sił zewnętrznych. Równanie obrotowego ruchu układu ma taką samą postać jak dla pojedynczej cząstki.

Pochodna momentu pędu układu równa się momentowi wypadkowej sił zewnętrznych. Stąd

(8.42)

i po scałkowaniu

(8.43)

przyrost momentu pędu równa się popędowi momentu siły. Jeżeli momenty sił zewnętrznych znoszą się (M_z = 0), to

(8.44)

Moment pędu układu, na który nie działają momenty sił zewnętrznych, pozostaje stały. Jest to prawo zachowania momentu pędu dla układu dwu cząstek.

8.3 Energia układu

Mechaniczna energia układu jest sumą kinetycznych i potencjalnych energii obu cząstek. Energia kinetyczna jest równa

(8.45)

Z uwagi na równość

(8.46)

mamy też

(8.47)

Stąd zmiana energii kinetycznej układu

(8.48)

i po scałkowaniu

(8.49)

Zmiana energii kinetycznej układu jest równa całkowitej pracy sił działających na układ.

Jeżeli siły F_A i F_B są zachowawcze, to ich praca nie zależy od kształtu drogi s_A i s_B obu cząstek. Istnieje wówczas energia potencjalna zdefiniowana wzorem

(8.50)

czyli

(8.51)

gdzie

(8.52)

stąd

(8.53)

albo

(8.54)

Otrzymaliśmy zasadę zachowania energii dla układu dwu cząstek. Zasada ta jest spełniona, gdy siły działające na cząstki nie zależą jawnie od czasu ani od prędkości.

Jeżeli na układ działają także siły niezachowawcze F’, to

(8.55)

Stąd

(8.56)

albo

(8.57)

Zmiana całkowitej energii mechanicznej układu równa się pracy sił niezachowawczych.