17.1 Wiadomości wstępne
17.2 Skrócenie Lorentza–Fitzgeralda
17.3 Dylatacja czasu
17.4 Transformacje Lorentza
17.5 Relatywistyczne prawo dodawania prędkości
17.6 Aberracja światła
17.7 Zjawisko Dopplera dla światła
17.8 Prędkość graniczna
17.1 Wiadomości wstępne
Z tego, że oparte na transformacjach Galileusza prawo dodawania prędkości zawodzi w przypadku wielkich szybkości, nie wynika wcale że transformacje są błędne. Transformacje Galileusza można dalej stosować przy prędkościach niewielkich w porównaniu z prędkością światła. Warto się jednak pokusić o takie ich zmodyfikowanie, żeby zachowały swą postać przy małych prędkościach a jednocześnie były zgodne z wynikami doświadczeń w zakresie wielkich prędkości. Zakres ten nazywamy relatywistycznym; nazwa wiąże się z zasadą względności (relatywizmem) Einsteina. Naszym zadaniem będzie więc znalezienie transformacji relatywistycznych na podstawie zjawisk obserwowanych w doświadczeniach.
17.2 Skrócenie Lorentza–Fitzgeralda
Opisując doświadczenie Michelsona–Morleya obliczyliśmy czas przejścia przez światło równoległego do kierunku ruchu Ziemi ramienia interferometru
![]() | (17.1) |
i ramienia prostopadłego
![]() | (17.2) |
Przesuwając zwierciadła możemy tak zmienić długość jednego z ramion – powiedzmy ramienia równoległego do kierunku ruchu L|| – żeby oba czasy przejścia były sobie równe
![]() | (17.3) |
przy czym L⊥ = L oznacza długość ramienia prostopadłego. Stąd
![]() | (17.4) |
Ramię równoległe do ruchu jest krótsze od prostopadłego.
Obrócenie interferometru o 90° nie powoduje przesunięcia prążków. Oznacza to, że oba czasy przejścia pozostały sobie równe, mimo że ramiona interferometru zamieniły się miejscami. Ramię które było równoległe do kierunku ruchu jest teraz prostopadłe, a ramię poprzednio prostopadłe stało się równoległym. Wobec tego zależność między długościami ramion pozostaje nadal w mocy. L|| oznacza długość tego z ramion, które w danej chwili jest równoległe, a L⊥ tego, które aktualnie jest prostopadłe do kierunku ruchu Ziemi. A przecież przy obrocie interferometru nie zmienialiśmy długości ramion! Doświadczenie wykazuje, że równoległe do ruchu wymiary ramion skracają się. Wniosek ten można rozszerzyć na wszystkie ciała ruchome. Równoległe do ruchu wymiary ciał poruszających się ulegają skróceniu w stosunku
![]() | (17.5) |
przy czym l(vu) oznacza wymiar ciała ruchomego, a l – spoczywającego. Efekt ten nosi nazwę skrócenia Lorentza-Fitzgeralda.
![]() | (Rys. 17.1) |
Przykład: Wielkość skrócenia. Prędkość Ziemi vu = 30 km/s stanowi 10-4 prędkości światła. Dzięki wykorzystaniu wielokrotnego odbicia droga światła w interferometrze wynosiła L = 22 m. W ramieniu równoległym do prędkości Ziemi światło przebiega drogę
![]() | (17.6) |
![]() | (Rys. 17.2) |
(skorzystaliśmy z przybliżenia dopuszczalnego dla małych v/c). Zatem skrócenie wynosi
![]() | (17.7) |
Mimo stosunkowo dużej prędkości Ziemi skrócenie Lorentza–Fitzgeralda jest znikomo małe. Powyższy rachunek pozwala docenić ogromną dokładność metod interferometrycznych. Przy prędkościach podświetlnych, czyli porównywalnych z prędkością światła wielkość skrócenia szybko rośnie. Na przykład dla vu = 0,8c (z taką prędkością oddalają się od nas najdalsze zaobserwowane obiekty kosmiczne) skrócenie relatywistyczne wynosi
![]() | (17.8) |
Tu oczywiście nie wolno stosować wzoru przybliżonego. W razie potrzeby można uprościć rachunek przez podstawienie
![]() | (17.9) |
wówczas
![]() | (17.10) |
Wartość u i cos u znajdujemy za pomocą dokładnych tablic funkcji trygonometrycznych.
17.3 Dylatacja czasu
Wróćmy do doświadczenia Michelsona–Morleya i porównajmy punkty widzenia obserwatora ruchomego na Ziemi i nieruchomego obserwatora spoza Ziemi. Przy odpowiednio ustawionych zwierciadłach obserwator ziemski uważa czasy przejścia przez promień prostopadłych do siebie ramion interferometru za równe; niezależnie od tego jak obrócony jest interferometr
![]() | (17.11) |
Obserwator pozaziemski widzi, że ramię równoległe do kierunku ruchu jest skrócone;
![]() | (17.12) |
Wobec tego czasy przejścia obu ramion ze stałą prędkością c muszą się różnić:
![]() | (17.13) |
Jak widać, w obu układach przebieg czasu jest inny. Co dla obserwatora ziemskiego było równoczesne (dojście promieni do lunetki), dla obserwatora z zewnątrz zachodzi w różnych czasach. Zjawisko to nazywamy względnością równoczesności.
Ponieważ długość L⊥ ramienia prostopadłego do kierunku ruchu nie uległa zmianie, więc czas t⊥ przejścia jej przez światło w układzie ruchomym:
![]() | (17.14) |
jest taki sam jak czas przejścia takiej samej drogi w układzie nieruchomym. Nie oznacza to wcale, że obaj obserwatorzy określą czas t⊥ jednakowo. Dla obserwatora z zewnątrz rzeczywista droga światła ct⊥ będzie geometryczną sumą prostopadłej do kierunku ruchu drogi L⊥ wzdłuż ramienia i przemieszczenia vut⊥ układu:
![]() | (17.15) |
Podniesiemy to równanie do kwadratu
![]() | (17.16) |
i łatwo znajdziemy
![]() | (17.17) |
Zauważmy, że iloraz
![]() | (17.18) |
przedstawia czas przebycia przez promień drogi L⊥ w układzie ruchomym. Stąd
![]() | (17.19) |
albo
![]() | (17.20) |
![]() | (Rys. 17.3) |
Ze względu na obserwowaną w układzie ruchomym równość t|| = t⊥ wniosek ten będzie słuszny także dla ramienia równoległego i w ogóle dla dowolnej orientacji ramion interferometru
![]() | (17.21) |
Określony przez obserwatora ruchomego odstęp czasu między dwoma zdarzeniami – w tym przypadku między wysłaniem a powrotem promienia świetlnego – będzie krótszy niż podany przez obserwatora nieruchomego. W układzie ruchomym czas płynie wolniej. Efekt ten nosi nazwę dylatacji czasu.
![]() | (Rys. 17.4) |
Przykład: Czas życia mionów. W reakcjach jądrowych wywołanych przez promieniowanie kosmiczne w atmosferze na wysokości powyżej 10 km nad poziomem morza powstają między innymi nietrwałe cząstki – leptony μ, czyli miony o prędkości v bliskiej prędkości światła. Można je także wytworzyć w akceleratorze i zmierzyć przeciętny czas życia τ = 2,2·10-6 s.
Zakładając vu = 0,999c możemy obliczyć drogę jaką może przebyć mion w czasie swego istnienia
![]() | (17.22) |
Tymczasem miony wytworzone na wysokości dziesiątków kilometrów w atmosferze rejestrujemy w znacznej liczbie na poziomie morza! Wyjaśnimy tę pozorną sprzeczność z pozycji obserwatora ruchomego – np. mikrokrasnoludka lecącego wraz z mionem – i obserwatora nieruchomego, związanego z Ziemią.
Obserwator ruchomy: „W moim układzie mion spoczywa, a Ziemia pędzi nam na spotkanie z prędkością vu = 0,999c. Do chwili rozpadu mion przebiegnie drogę l = 659 m. Gdyby warstwa atmosfery – która nas rozdziela – spoczywała miałaby grubość L = 10 km = 104m i na pewno nie doszłoby do zderzenia. Ponieważ jednak porusza się, przeto jej równoległy do kierunku ruchu wymiar doznaje skrócenia i odległość do przebycia wynosi tylko
![]() | (17.23) |
Ziemia zderzy się z mionem przed jego rozpadem”
Obserwator nieruchomy: „Mion zbliżający się do Ziemi z prędkością vu = 0,999c potrzebuje na dotarcie do niej czasu
![]() | (17.24) |
W ruchomym układzie mionu odstęp czasu między zderzeniami (pojawieniem się cząstki i zderzeniem z Ziemią) skraca się i wynosi
![]() | (17.25) |
a więc jest krótszy niż czas życia. Zderzenie nastąpi przed rozpadem”.
![]() | (Rys. 17.5) |
17.4 Transformacje Lorentza
Jakie warunki muszą spełniać transformacje relatywistyczne? Po pierwsze, powinny być zgodne z doświadczalnie stwierdzonymi efektami relatywistycznymi – skróceniem wymiarów ciał w kierunku ruchu i zwolnieniem upływu czasu. Po drugie, powinno z nich wynikać takie prawo dodawania prędkości żeby prędkość światła była – zgodnie z doświadczeniem – niezmiennikiem transformacji. Po trzecie, przy małych prędkościach nowe transformacje powinny przechodzić w sprawdzone transformacje Galileusza.
Opierając się na tych warunkach spróbujemy znaleźć postać transformacji relatywistycznych w najprostszym przypadku, gdy osie obu układów są równoległe, a początek układu ruchomego porusza się wzdłuż osi x układu nieruchomego. Skróceniu Lorentza–Fitzgeralda ulegają wyłącznie wymiary równoległe do kierunku ruchu. Jeżeli obserwator ruchomy określa odległość między dwoma punktami, np. między końcami spoczywającego w jego układzie pręta, jako l’, to obserwator nieruchomy uzna ten poruszający się względem niego pręt za skrócony i przypisze mu długość
![]() | (17.26) |
Ale długość pręta można w obu układach wyrazić jako różnicę współrzędnych końca i początku pręta
![]() | (17.27) |
Stąd
![]() | (17.28) |
albo
![]() | (17.29) |
co prowadzi do transformacji
![]() | (17.30) |
Dla małych prędkości
![]() | (17.31) |
i w rezultacie otrzymujemy
![]() | (17.32) |
Proponowana postać transformacji nie spełnia więc jednego z warunków – nie przechodzi w transformację Galileusza
![]() | (17.33) |
Oba warunki można pogodzić wprowadzając do licznika prawej strony (17.30) poprawkę –vu t. Poprawiona postać
![]() | (17.34) |
spełnia obydwa warunki: prowadzi do skrócenia Lorentza–Fitzgeralda (przy odejmowaniu x’B–x’A poprawka znika), a dla małych prędkości przechodzi w transformacje Galileusza.
Wymiary prostopadłe do kierunku ruchu nie ulegają skróceniu, więc pozostałe współrzędne nie zmieniają się przy transformacji
![]() | (17.35) |
Pozostaje jeszcze do znalezienia transformacja czasu. Podany przez obserwatora ruchomego odstęp czasu Δt’ między jakimiś zdarzeniami jest krótszy niż stwierdzony przez obserwatora nieruchomego Δt
![]() | (17.36) |
Zastępując odstępy czasu w obu układach przez różnicę czasów zajścia obu zdarzeń otrzymamy
![]() | (17.37) |
Pomnóżmy i podzielmy prawą stronę powyższej równości przez
![]() | (17.38) |
![]() | (17.39) |
Iloczyn
![]() | (17.40) |
jest drogą, jaką przebyło wraz z układem ruchomym spoczywające w nim miejsce zajścia obu zdarzeń. Zatem według obserwatora ruchomego x’A = x’B, natomiast według nieruchomego
![]() | (17.41) |
wobec tego
![]() | (17.42) |
Wynikająca stąd postać transformacji
![]() | (17.43) |
spełnia warunek zgodności z efektem dylatacji czasu, a dla małych prędkości przechodzi w transformację Galileusza
![]() | (17.43) |
Otrzymane transformacje
![]() | (17.44) |
noszą nazwę transformacji Lorentza. Transformacje Galileusza
![]() | (17.45) |
są ich szczególnym przypadkiem przy małych prędkościach.
Niekiedy przydają się transformacje odwrotne, tzn. opisujące współrzędne i czasy podane przez obserwatora nieruchomego z punktu widzenia obserwatora ruchomego. Jeżeli układ ruchomy porusza się z prędkością vu, np. w dodatnim kierunku osi x, to dla obserwatora ruchomego prędkość v’u układu nieruchomego jest skierowana przeciwnie. We wzorach transformacyjnych trzeba więc zastąpić vu przez –vu, a wielkości primowane – nieprimowanymi (każdy obserwator traktuje swój układ jako nieruchomy). Zatem
![]() | (17.46) |
W przypadku dowolnego kierunku ruchu układu transformacje bardzo się komplikują. Nie ma to jednak praktycznego znaczenia, bo zawsze można tak dobrać układy, żeby ich osie były równoległe, a początek układu ruchomego poruszał się po jednej z osi ukladu nieruchomego.
17.5 Relatywistyczne prawo dodawania prędkości
Różniczkując transformacje Lorentza, otrzymujemy
![]() | (17.47) |
a stąd transformacje składowych prędkości
![]() | (17.48) |
Jak widać, wszystkie składowe prędkości zależą od składowej v’x w kierunku ruchu układu. Jeżeli ciało porusza się równolegle do ruchu układu, to v’y = v’z = 0 wobec czego także vy = vz = 0 i zostaje tylko składowa v’x = v’ oraz vx = v. Stąd otrzymujemy relatywistyczne prawo dodawania prędkości równoległych do kierunku ruchu
![]() | (17.49) |
![]() | (Rys. 17.6) |
Dla v << c powyższa równość przechodzi w prawo dodawania małych prędkości
![]() | (17.50) |
Sprawdzimy jeszcze, czy otrzymane prawo prowadzi do niezmiennej wartości prędkości światła w obu układach. Światło wysłane przez źródło – np. reflektor w układzie ruchomym – będzie miało prędkość v’ = c. Obserwator nieruchomy zmierzy
![]() | (17.51) |
Taki sam wynik uzyskujemy, gdy nie prędkość względna tylko prędkość unoszenia równa się prędkości światła vu = c:
![]() | (17.52) |
a nawet, gdy obie prędkości są równe c:
![]() | (17.53) |
Na poniższym wykresie przedstawione jest porównanie klasycznego i relatywistycznego prawa dodawania prędkości dla prędkości unoszenia vu = 0,5c. Wszystkie prędkości mają ten sam kierunek. Prędkość bezwzględna nie może przekroczyć c.
![]() | (Rys. 17.7) |
17.6 Aberracja światła
Jeżeli jadący samochodem myśliwy chce trafić w nieruchomy cel znajdujący się na lini prostopadłej do kierunku jazdy, musi wziąć poprawkę na ruch samochodu i celować ukośnie do tyłu. Astronom, który chce obejrzeć przez teleskop gwiazdę znajdująca się np. na linii prostopadłej do kierunku ruchu Ziemi – powiedzmy Gwiazdę Polarną – musi uwzględnić ruch Ziemi i skierować teleskop pod kątem α do przodu. W czasie, którym światło przelatuje długość teleskopu cτ, Ziemia przebiegnie drogę vuτ. W przypadku nierelatywistycznym kąt aberracji α znajdziemy z wzoru
![]() | (17.54) |
Ze względu na stosunkowo małą prędkość Ziemi (vu/c = 10-4) rachunek nierelatywistyczny daje zupełnie dobre wyniki.
![]() | (Rys. 17.8) |
W przypadku relatywistycznym rozpatrujemy składowe prędkości. Obierając oś x w kierunku ruchu Ziemi, a oś z astronom napisze
![]() | (17.55) |
Obserwator z układu związanego z gwiazdą uzna, że Ziemia porusza się równolegle do osi x’ jego układu z prędkością –vu. Składowe prędkości w jego układzie wynoszą
![]() | (17.56) |
![]() | (Rys. 17.9) |
Stąd
![]() | (17.57) |
Przy małej wartości stosunku vu/c możemy użyć przybliżenia
![]() | (17.58) |
czyli
![]() | (17.59) |
17.7 Zjawisko Dopplera dla światła
Ruch płaskiej fali świetlnej opisuje równanie
![]() | (17.60) |
w którym ψ oznacza wielkość falową (w fali mechanicznej wychylenie, w elektromagnetycznej – natężenie pola), ψ0 – jej amplitudę, ω = 2πν – częstośc kołową, ν – częstość drgań, c – prędkość fali, a x – odległość od źródła.
Wielkość
![]() | (17.61) |
jest tzw. liczbą falową, czyli odwrotnością długości fali. Dla obserwatora poruszającego się z prędkością vu naprzeciw fali, czyli w kierunku przeciwnym do osi x, zmieni się nie tylko współrzędna x i czas t, ale także częstość ν i liczba falowa k.
![]() | (Rys. 17.10) |
![]() | (Rys. 17.11) |
Do wyrażenia w nawiasie zastosujemy transformacje Lorentza, pamiętając o kierunku vu
![]() | (17.62) |
Wyrażenie przy t’ powinno być równoznaczne z częstością drgań w układzie ruchomym, a wyrażenie przy x’ – z liczbą falową. Transformacje częstości i liczby falowej mają więc postać
![]() | (17.63) |
Przekształcimy pierwszą z nich podstawiając
![]() | (17.64) |
![]() | (17.65) |
Jeżeli obserwator będzie się oddalał od źródła, to w liczniku zamiast plusa trzeba wstawić minus. Wzór obejmujący oba przypadki ma postać
![]() | (17.66) |
(Minusowi w liczniku odpowiada plus w mianowniku i odwrotnie).
Otrzymana zależność nosi nazwę prawa Dopplera. Częstość drgań, a więc także i barwa światła, będzie różna dla obserwatora ruchomego i nieruchomego. Ze zmiany barwy można znaleźć względną prędkość źródła i obserwatora. W ten właśnie sposób wykryto rozszerzanie się Wszechświata.
Zauważmy, że gdy vu << c, możemy pominąć wyraz drugiego stopnia i stąd
![]() | (17.67) |
Powyższy wzór przedstawia prawo Dopplera dla małych prędkości. Relatywistyczną postać prawa Dopplera potwierdzono doświadczalnie obserwując przesunięcie linii widma atomów wodoru o szybkości vu = 0,005 c.
Łatwo sprawdzić, że liczby falowe transformują się tak jak częstości
![]() | (17.68) |
a długości fali odwrotnie
![]() | (17.69) |
17.8 Prędkość graniczna
Z transformacji prędkości wynika, że przy dodawaniu prędkości bliskich lub równych c prędkość wypadkowa nie przekracza c. Nasuwa się wniosek, że prędkość światła w próżni stanowi największą możliwą prędkość ruchu ciał i sygnałów. Można go potwierdzić doświadczalnie rozpędzając elektrony w akceleratorze, a następnie mierząc czas przejścia drogi l między elektrodami podłączonymi do oscyloskopu.
![]() | (Rys. 17.12) |
Końcowa elektroda jest odizolowana termicznie od otoczenia. Dzieląc drogę przez odczytany z ekranu oscyloskopu czas między impulsami powstającymi, gdy elektrony mijają elektrody, obliczymy prędkość, a zmierzony za pomocą czułego termometru wzrost temperatury elektrody końcowej pozwala wyznaczyć energię pochłoniętych przez nią elektronów (można ją także znaleźć jako iloczyn ładunku elektronu i napięcia przyspieszającego w akceleratorze). Ponieważ energia kinetyczna Ek = mv2/2, to wykres zależności v2 od Ek powinien być linią prostą. Począwszy od energii 105 eV punkty doświadczalne zaczynają się odchylać od prostej, a powyżej 4,0 MeV praktycznie nie obserwuje się wzrostu prędkości mimo zwiększania energii. Z wykresu można odczytać kwadrat prędkości granicznej, a stąd samą prędkość równą 3·108 m/s, czyli równą c.
![]() | (Rys. 17.13) |