Środek masy

Równanie ruchu układu dwu cząstek

(9.1)

albo przy stałych masach

(9.2)

uzyska bardziej przejrzystą postać, jeżeli przedstawimy sumę sił zewnętrznych jako iloczyn masy układu i przyspieszenia odpowiednio dobranego punktu S reprezentującego układ

(9.3)

czyli

(9.4)

Stąd przez kolejne całkowanie otrzymamy prędkość

(9.5)

i położenie punktu S

(9.6)

(Rys. 9.1)

Tak zdefiniowany punkt nosi nazwę środka masy układu. Środek masy leży na odcinku prostej łączącej obie cząstki i dzieli go w stosunku odwrotnym do mas. Istotnie

(9.7)

czyli

(9.8)

Wektory r_s – r_A i r_B – r_s są więc do siebie proporcjonalne, co w rachunku wektorowym jest równoznaczne z równoległością. Oba te wektory mają wspólny punkt – środek masy – więc ich równoległość oznacza, że leżą one wraz ze środkiem masy na linii prostej łączącej cząstki A i B. Jednocześnie

(9.9)

Środek masy jest bliżej cząstki o większej masie.

Przykład: Środek masy układu Ziemia-Księżyc. Odległość między środkami Ziemi i Księżyca wynosi r_ZK = 384 000 km, a masa Ziemi jest 81 razy większa niż masa Księżyca m_K. Oznaczmy odległość środka masy układu od środka Ziemi przez r_sZ, a od środka Księżyca przez r_sK. Teraz

(9.10)

czyli

(9.11)

Jak widać, środek masy układu Ziemia-Księżyc leży pod powierzchnią Ziemi (promień Ziemi R = 6370 km).

(Rys. 9.2)

9.2 Ruch środka masy

Wzór na promień wodzący środka masy pozwala znaleźć jego położenie, jeżeli znamy położenia i masy cząstek tworzących układ. Ruch środka masy opisany jest równaniem

(9.12)

gdzie

(9.13)

jest pędem środka masy układu. Zauważmy, że

(9.14)

czyli pęd środka masy jest równy pędowi układu.

Z równania ruchu widać, że środek masy porusza się tak, jak gdyby skupiała się w nim masa układu. Oczywiście

(9.15)

i po scałkowaniu mamy

(9.16)

przyrost pędu środka masy równa się popędowi wypadkowej sił zewnętrznych. Gdy siły zewnętrzne znoszą się, tzn. dla F_z = 0, pęd środka masy nie zmienia się

(9.17)

a jego ruch jest jednostajny i prostoliniowy:

(9.18)

Obliczmy teraz moment pędu środka masy względem początku układu współrzędnych

(9.19)

i jego pochodną

(9.20)

Ale

(9.21)

a

(9.22)

i stąd

(9.23)

(Rys. 9.3)

Pochodna momentu pędu środka masy równa się momentowi wypadkowej sił zewnętrznych zaczepionej w środku masy.

Zdefiniujemy jeszcze energię kinetyczną środka masy. Będziemy tak nazywać połowę iloczynu masy układu przez kwadrat prędkości środka masy.

(9.24)

Potencjalnej energii środka masy nie da się tak prosto zdefiniować. Niekiedy energia układu zależy od położenia środka masy, tzn. od rozkładu mas.

Przykład: Energia potencjalna środka masy. W jednorodnym polu grawitacyjnym (g = const) energia potencjalna układu dwu cząstek

(9.25)

czyli równa się energii ciała o masie układu położonego w środku masy. Przez h oznaczono wysokość nad wybranym poziomem odniesienia.

9.3 Układ środka masy

W wielu zagadnieniach wygodnie jest umieścić początek układu współrzędnych w środku masy układu. Położenie cząstek układu opisane jest wówczas przez wektor r’ łączący środek masy z daną cząstką. Wynikają stąd oczywiste związki między dotychczasowymi wektorami położenia cząstek, a wektorami położenia w układzie środka masy:

(9.26)

(Rys. 9.4)

Tego rodzaju związki, pozwalające wyrazić wielkości jednego układu za pomocą wielkości drugiego, noszą nazwę transformacji. Różniczkując transformację wektora położenia – czyli po prostu transformację współrzędnych – otrzymujemy transformację prędkości

(9.27)

i transformację przyspieszenia

(9.28)

Gdy nie działają siły zewnętrzne, a_s = 0 i wtedy

(9.29)

Pomiar przyspieszeń cząstek da w obu układach ten sam wynik. Przy braku sił zewnętrznych układ środka masy jest układem inercjalnym (tzn. nie przyspieszonym).

Zobaczmy teraz, jak się transformują niektóre wielkości charakteryzujące ruch. Wyżej stwierdziliśmy już, że pęd układu cząstek równa się pędowi środka masy

(9.30)

Z drugiej strony, pędy cząstek transformują się podobnie jak prędkości

(9.31)

Zatem suma pędów cząsteczek względem środka masy

(9.32)

W układzie środka masy pęd układu jest równy zeru. Wynika to stąd, że środek masy w tym układzie nie porusza się.

(Rys. 9.5)

Obliczmy z kolei moment pędu układu względem środka masy

(9.33)

Podstawiając (9.27), otrzymujemy

(9.34)

Ale w układzie środka masy wektor położenia środka masy

(9.35)

stąd

(9.36)

Iloczyn masy cząstki i wektora położenia nazywamy momentem statycznym, albo momentem masy cząstki względem początku układu. Suma momentów mas cząstek względem środka masy jest równa zeru. Wobec tego we wzorze na moment pędu znika czynnik przy v_s i pozostaje

(9.37)

(Rys. 9.6)

Transformacja momentu pędu ma postać

(9.38)

Wziąwszy pod uwagę, że

(9.39)

jest całkowitym pędem układu, otrzymujemy ostatecznie

(9.40)

Moment pędu układu względem dowolnego punktu jest równy sumie momentu pędu środka masy względem tego punktu i momentu pędu układu względem środka masy.

(Rys. 9.7)

Podobnie transformuje się całkowity moment sił działających na układ. Znajdźmy najpierw moment sił względem środka masy

(9.41)

Siły działające na cząstkę składają się z sił zewnętrznych i wewnętrznych. Środek masy leży na linii prostej łączącej obie cząstki, wobec czego moment sił wewnętrznych znika i pozostaje tylko

(9.42)

Moment sił względem dowolnego punktu, w którym umieścimy początek układu współrzędnych, wyniesie

(9.43)

czyli

(9.44)

Określony względem dowolnego punktu moment sił działających na układ cząstek jest równy sumie momentu względem tego punktu wypadkowej sił zewnętrznych zaczepionej w środku masy i wypadkowego momentu sił względem środka masy.

(Rys. 9.8)

Przykład: Środek ciężkości. W jednorodnym polu grawitacyjnym (g = const) F_A = m_Ag i F_B = m_Bg i moment sił ciężkości

(9.45)

(Rys. 9.9)

Ciężar układu ma tutaj taki moment, jak gdyby był skupiony w środku masy. Nazywamy go w tym przypadku środkiem ciężkości. W jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.

Jedną z wielkości związanych z ruchem obrotowym układu jest moment bezwładności równy sumie momentów bezwładności obu cząstek. W odniesieniu do środka masy

(9.46)

Moment bezwładności układu względem dowolnego punktu wybranego jako początek układu odniesienia jest równy

(9.47)

Bo jak wyżej wykazaliśmy

(9.48)

Pierwszy wyraz po prawej stronie nazwiemy momentem bezwładności środka masy I_s, a suma pozostałych wyrazów jest momentem bezwładności względem środka masy. Zatem

(9.49)

Moment bezwładności układu względem dowolnego punktu jest równy sumie momentu bezwładności środka masy względem tego punktu i momentu bezwładności układu względem środka masy.

A oto jak transformuje się energia. W układzie środka masy energia kinetyczna wynosi

(9.50)

W dotychczasowym układzie współrzędnych mamy

(9.51)

W układzie środka masy suma pędów obu cząstek jest równa zeru:

(9.52)

i czynnik przy v_s znika. Poza tym

(9.53)

jest energią kinetyczną środka masy, a suma obu ostatnich wyrazów jest równa E’_k.

Stąd

(9.54)

Energia kinetyczna układu jest sumą energii ruchu środka masy i energii ruchu względem środka masy. Ten związek nosi nazwę twierdzenia Königa.

Prawa zachowania w układzie środka masy. Możemy teraz sprawdzić, czy w układzie środka masy pozostają w mocy prawa zachowania. Najłatwiej sprawdzić prawo zachowania pędu. Jak stwierdziliśmy, suma pędów obu cząstek względem środka masy jest stale równa zeru:

(9.55)

czyli prawo zachowania pędu jest zawsze spełnione – nawet gdy układ środka masy nie jest inercjalny (v_s ≠ const). Pod wpływem różnej od zera wypadkowej sił zewnętrznych środek masy porusza się ruchem przyspieszonym, ale o ruchu cząstek względem środka masy decydują tylko siły wewnętrzne, których suma jest równa zeru. Równanie ruchu postępowego w układzie środka masy przedstawia się następująco:

(9.56)

Aby otrzymać równanie ruchu obrotowego w układzie środka masy, trzeba wstawić do ogólnego równania

(9.57)

związki transformacyjne

(9.58)

otrzymując

(9.59)

ale

(9.60)

iloczyn

(9.61)

natomiast

(9.62)

Wracając do równania wyjściowego otrzymamy

(9.63)

czyli prawo ruchu obrotowego w układzie środka masy o postaci takiej samej jak w dowolnym innym układzie

(9.64)

i zachodzi

(9.65)

W podobny sposób sprawdzimy prawo zachowania energii. Zmiana energii kinetycznej układu jest równa pracy sił działających na cząstki

(9.66)

Ale

(9.67)

Ze względu na to, że siły wewnętrzne znoszą się wzajemnie (F_AB + F_BA = 0) suma sił działających na układ równa się wypadkowej sił zewnętrznych

(9.68)

stąd

(9.69)

czyli

(9.70)

Jednocześnie z twierdzenia Königa wynika

(9.71)

Porównując prawe strony widzimy, że

(9.72)

W przypadku gdy siły F_A = F_zA + F_BA i F_B = F_zB + F_AB są zachowawcze mamy

(9.73)

Oznaczając sumę energii potencjalnych obu cząstek przez E’_p (energia potencjalna w układzie środka masy) dochodzimy do związku

(9.74)

czyli

(9.75)

W układzie środka masy prawo zachowania energii jest spełnione.