Siły centralne

Znakomitą okazją do pomysłowego stosowania praw zachowania jest ruch cząstki pod wpływem siły centralnej, czyli siły, której linia działania przechodzi zawsze – niezależnie od kierunku – przez stały punkt zwany centrum, i której wartość zależy od odległości od centrum. Umieszczając w centrum początek układu współrzędnych możemy napisać

(7.1)

Większość podstawowych sił, spotykanych w przyrodzie, zaliczamy do sił centralnych. I tak siłami centralnymi są siły grawitacyjne

(7.2)

elektrostatyczne

(7.3)

siły sprężystości

(7.4)

i siły jądrowe, przybliżeniu proporcjonalne do

(7.5)

Aby móc korzystać z praw zachowania, musimy najpierw sprawdzić, czy można je stosować. Ponieważ siły centralne zależą od położenia, prawo zachowania pędu nie będzie tutaj przydatne. Symetria centralna wskazuje, że wygodnie będzie posłużyć się prawem zachowania momentu pędu. I rzeczywiście, moment siły centralnej względem centrum jest zawsze równy zeru:

(7.6)

Zatem

(7.7)

moment pędu jest zachowany. Stałość momentu pędu

(7.8)

oznacza stałość prostopadłej do niego płaszczyzny, w której leżą wektory położenia i pędu, czyli płaszczyzny ruchu.

(Rys. 7.1)

Tor ruchu pod wpływem siły centralnej będzie więc krzywą płaską. Sprawdzimy jeszcze prawo zachowania energii. Najłatwiej będzie to uczynić w najdogodniejszym dla opisu takiego ruchu układzie współrzędnych biegunowych. Elementarna praca siły potencjalnej będzie równa

(7.9)

Siła centralna

(7.10)

skierowana wzdłuż promienia, nie ma składowej transwersalnej, czyli

(7.11)

i praca przesunięcia skończonego wynosi

(7.12)

jest więc funkcją wyłącznie promieni r_A i r_B, czyli początkowego i końcowego położenia cząstki, niezależnie od toru, po jakim była przesuwana. Na torze zamkniętym

(7.13)

co jest wystarczającym dowodem na to, że siła jest zachowawcza.

(Rys. 7.2)

W ruchu pod wpływem siły centralnej prawo zachowania energii pozostaje w mocy. Oczywiście istnieje energia potencjalna zależna od położenia cząstki

(7.14)

Wynikający stąd związek

(7.15)

nie zależy od wyboru punktów A i B.

(Rys. 7.3)

Niech punkt A będzie punktem odniesienia O o współrzędnej r₀, w którym E_p = 0, a B dowolnym punktem P o współrzędnej r. Teraz

(7.16)

Znając postać funkcji f(r) możemy stąd obliczyć energię potencjalną w zależności od położenia. I tak w przypadku sił grawitacyjnych (E_p = 0 dla r = ∞)

(7.17)

elektrostatycznych

(7.18)

i sprężystych

(7.19)

ogólnie gdy

(7.20)

to

(7.21)

Stała α jest dodatnia dla przyciągania, a ujemna dla odpychania.

7.2 Ruch pod wpływem siły centralnej

Do opisu ruchu wybierzemy płaski układ współrzędnych biegunowych o początku w centrum siły. Równanie ruchu w tym układzie miałoby postać

(7.22)

(Skorzystaliśmy tutaj z wzorów wyprowadzonych w podrozdziale 1.7 Przyspieszenie)

albo po rozpisaniu na składowe:

(7.23)

Równania te nie będą nam w ogóle potrzebne. Ominiemy je stosując prawo zachowania momentu pędu

(7.24)

i energii

(7.25)

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest kwadratem prędkości, a jego składniki – podniesionymi do kwadratu składowymi prędkości radialną i transwersalną

(7.26)

Indeks zero odnosi się do chwili początkowej t₀.

(Rys. 7.4)

Z prawa zachowania momentu pędu obliczymy prędkość kątową

(7.27)

i wstawimy do prawa zachowania energii

(7.28)

Stąd

(7.29)

Pierwszy wyraz oznacza energię kinetyczną w ruchu radialnym, drugi – zwany energią odśrodkową – jest energią kinetyczną w ruchu azymutalnym, a trzeci – energią potencjalną, czyli potencjałem siły centralnej. Z równania energii otrzymujemy prędkość radialną w funkcji odległości od centrum:

(7.30)

przy czym suma wyrazów zależnych od położenia

(7.31)

tworzy tzw. efektywną energię potencjalną. Porównując otrzymany wzór na prędkość z analogicznym wyrażeniem dla ruchu jednowymiarowego stwierdzimy, że radialną część ruchu pod działaniem siły centralnej można traktować jak ruch jednowymiarowy z energią potencjalną równą E_pef.

Już z wzoru na prędkość radialną można się dużo dowiedzieć o ruchu cząstki. Prędkość ta musi być rzeczywista, czyli

(7.32)

Ruch zachodzi w obszarze, w którym

(7.33)

Dla dr/dt = 0, czyli

(7.34)

promień wodzący przyjmuje wartości ekstremalne r_max i r_min. Przy jednym punkcie zwrotu (r ≥ r_min) tor cząstki jest krzywą otwartą, zaczynającą się i kończącą w nieskończoności. Przy dwóch punktach zwrotu ruch przebiega w obszarze ograniczonym okręgami o promieniach r_max i r_min. Oba typy torów można zaobserwować w ruchu ciał niebieskich.

Aby znaleźć równanie toru, czyli zależność r(φ), trzeba z wzoru na prędkość radialną obliczyć

(7.35)

podstawić do całki momentu pędu

(7.36)

i scałkować z uwzględnieniem warunków brzegowych (dla t = t₀, r = r₀ , φ = φ₀):

(7.37)

Jeżeli potrzebne jest nam równanie toru w postaci parametrycznej, to zależność współrzędnej r od czasu możemy znaleźć z całki

(7.38)

Podstawiając ją do równania momentu pędu i całkując,

(7.39)

otrzymujemy drugą współrzędną w funkcji czasu.

W ogólnym przypadku tor nie jest krzywą zamknięta, nawet gdy jest ograniczony.

(Rys. 7.5)

Znajdźmy zmianę azymutu odpowiadającą podwojonemu czasowi przejścia między granicami obszaru ruchu, np. od r_min do r_max i z powrotem. Tor będzie krzywą zamkniętą tylko wtedy, gdy ta zmiana będzie wymierną częścią kąta pełnego, tzn. gdy

(7.40)

gdzie n₁ i n₂ są liczbami całkowitymi. Po n₂ pełnych zmianach od r_min do r_max

(7.41)

promień wodzący wróci do pierwotnego położenia i długości, czyli tor się zamknie. Czas takiego przejścia, czyli okres obiegu można znaleźć z wzoru

(7.42)

Jeżeli tor się zamyka przy każdym przejściu, to n₂ = 1 i wzór się upraszcza:

(7.43)

W takim przypadku punkty zwrotu leżą po obu stronach na przechodzącej przez centrum prostej, zwanej linią apsyd. Linia apsyd jest osią symetrii toru.

Istnieją tylko dwa typy zależności energii potencjalnej od położenia, przy których tory skończone są zamknięte. Są to:

(7.44)

W szczególności ruch po krzywych zamkniętych jest możliwy pod działaniem sił grawitacyjnych i elektrostatycznych

(7.45)

oraz sił sprężystości

(7.46)

Odpowiednie zależności sił mają postać

(7.47)

Ilekroć obserwujemy ruchy po torach zamkniętych, możemy być pewni, że działają siły centralne jednego z wymienionych typów.

7.3 Mechanika nieba

Prawa rządzące ruchem planet pierwszy sformułował Kepler w latach 1609 – 1619, wykorzystując materiał obserwacyjny swojego nauczyciela Tychona de Brahe. Głoszą one: I. Każda planeta porusza się po elipsie, w której ognisku znajduje się Słońce. II. Promień wodzący planety zakreśla w równych czasach równe pola. III. Kwadraty okresów obiegu planet są wprost proporcjonalne do sześcianów wielkich półosi orbit. Prawa Keplera wyjaśnił Newton, posługując się odkrytym przez siebie prawem powszechnego ciążenia. „Motorem” ruchu planet są siły grawitacji

(7.48)

Znak minus wskazuje, że są to siły przyciągania. M oznacza masę Słońca, m – masę planety, G – stałą grawitacyjną, a wektor r wskazuje od Słońca do planety. Siły grawitacyjne są centralne, typu

(7.49)

czyli

(7.50)

przy czym

(7.51)

Za centrum możemy uważać środek Słońca. Tor planety otrzymamy z wzoru

(7.52)

(dla r = r₀ przyjęliśmy φ = 0). Energia efektywna wynosi

(7.53)

Dla r = 0 ta energia dąży do nieskończoności, a dla r dążącego do nieskończoności zmierza do zera przez wartości ujemne.

(Rys. 7.6)

W punkcie dla którego

(7.54)

czyli dla

(7.55)

Energia ma minimum równe

(7.56)

Prowadząc na wykresie E_pef(r) linię E = E₀, można od razu stwierdzić, że przy E₀ > 0 ruch cząstki będzie nieskończony (jeden punkt zwrotny E₀ = E_pef), a przy E₀ < 0 skończony (dwa punkty zwrotne).

Podstawmy E_pef do równania toru

(7.57)

Wprowadzenie nowej zmiennej

(7.58)

nadaje całce postać elementarną

(7.59)

Z całkowania otrzymujemy

(7.60)

Wartość początkowa u₀ = 1/r₀ wiąże się z początkiem rachuby czasu. Najlepiej wybrać go w chwili, gdy odległość od centrum przybiera wartość ekstremalną, tzn. gdy

(7.61)

Stąd po elementarnych przekształceniach

(7.62)

Po podstawieniu powyższego do wzoru na φ drugi wyraz po prawej stronie znika

(7.63)

i zostaje

(7.64)

czyli

(7.65)

ostatecznie

(7.66)

Tego rodzaju równanie o ogólnej postaci

(7.67)

przedstawia krzywe stożkowe, czyli krzywe będące przekrojami stożka. Wielkość p nosi nazwę parametru, a e – mimośrodu. Dla mimośrodu e > 1 krzywa jest hiperbolą, dla e = 1 – parabolą, dla e < 1 – elipsą, która dla e = 0 przechodzi w okrąg przy czym p = r. W naszym przypadku parametr

(7.68)

i mimośród

(7.69)

zależą od stałych wartości momentu pędu i energii.

Orbity cząstki w centralnym polu grawitacyjnym zależą od energii całkowitej E₀. Dla E₀ > 0 cząstka porusza się po hiperboli, E₀ = 0 – po paraboli E_min < E₀ < 0 – po elipsie, E₀ = E_min – po okręgu. Szczególnym przypadkiem elipsy o jednej z półosi równej zeru jest prosta. O jest centrum siły, S – środkiem elipsy.

(Rys. 7.7)

Ognisko orbity leży w centrum siły. Ze względu na to, że promień wodzący z założenia nie może być ujemny, energia całkowita

(7.70)

przybiera wartość dodatnią dla

(7.71)

równą zeru gdy

(7.72)

i ujemną, gdy

(7.73)

Kiedy E₀ > 0, to e > 1 i tor jest hiperbolą, przy E₀ = 0, e = 1 obserwujemy parabolę, a E₀ < 0 (e < 1) – elipsę. W szczególnym przypadku gdy

(7.74)

mimośród e = 0 i elipsa przechodzi w okręg koła. Ruch po hiperboli zachodzi po gałęzi bliższej centrum.

Przykład: Prędkości kosmiczne. Na energię całkowitą sztucznego satelity, a za jej pośrednictwem na kształt orbity, możemy wpływać tylko poprzez nadanie mu odpowiedniej prędkości przy starcie. Aby pojazd kosmiczny poruszał się po orbicie eliptycznej musi mieć energię

(7.75)

gdzie przez M oznaczyliśmy masę ciała centralnego – w tym przypadku Ziemi.

Energię potencjalną wygodniej jest wyrazić w inny sposób. Mianowicie z przyrównania ciężaru pojazdu w odległości r od środka Ziemi do siły grawitacji

(7.76)

wynika, że

(7.77)

Stąd

(7.78)

przy czym g oznacza przyspieszenie swobodnego spadku w odległości r od środka Ziemi. Warunek wejścia pojazdu na orbitę eliptyczną przybiera teraz postać

(7.79)

czyli

(7.80)

Szczególnym przypadkiem będzie okrąg. Wówczas

(7.81)

bo

(7.82)

natomiast

(7.83)

czyli

(7.84)

Wobec tego

(7.85)

Stąd już łatwo obliczymy prędkość konieczną do wejścia na orbitę kołową

(7.86)

Nazywamy ją prędkością kołową lub pierwszą prędkością kosmiczną.

Wzór na prędkość kołową można uzyskać znacznie prościej przez przyrównanie siły grawitacji w polu Ziemi do siły dośrodkowej

(7.87)

wtedy jednak nie widać, że wynika ona z ogólnych praw ruchu pod działaniem siły centralnej.

Warunkiem wejścia na orbitę paraboliczną będzie

(7.88)

czyli

(7.89)

prędkość tę nazywamy prędkością paraboliczną albo drugą prędkością kosmiczną. Pojazd o takiej prędkości nie wróci już w pobliże Ziemi, dlatego używa się też nazwy prędkość ucieczki. Jak widać, druga prędkość kosmiczna jest w danej odległości pierwiastek z dwóch razy większa niż pierwsza.

Poniższy wykres przedstawia zależność prędkości ucieczki z Układu Słonecznego w zależności od odległości od Słońca. Głębokość „studni” planetarnych oznaczają prędkości ucieczki od poszczególnych planet. Studnia Słońca jest 10,4 razy głębsza niż studnia Jowisza.

(Rys. 7.8)

Przy prędkości jeszcze większej

(7.90)

ciało niebieskie porusza się po hiperboli.

Dla powierzchni Ziemi

(7.91)

i otrzymujemy następujące wartości:

(7.92)

Prędkość ucieczki względem Słońca

(7.93)

Ze względu na możliwość wykorzystania prędkości Ziemi w obiegu dookoła Słońca u = 29 km/s (prędkość unoszenia) osiągnięcie trzeciej prędkości kosmicznej nie jest dużo trudniejsze niż drugiej.

7.4 Wyjaśnienie praw Keplera.

Pierwsze prawo Keplera wynika w sposób oczywisty z praw ruchu ciała w polu siły centralnej i odpowiada przypadkowi ujemnej energii całkowitej. Promienie wodzące perihelium i aphelium, czyli najbliższego i najdalszego od Słońca punktu orbity, wynoszą

(7.94)

Wielką i małą półoś określają znane wzory

(7.95)

Podstawiając wyrażenia na p i e otrzymamy

(7.96)

Jak widać, wielka półoś orbity zależy tylko od całkowitej energii planety.

W szczególnym przypadku orbity kołowej

(7.97)

radialna składowa prędkości zeruje się:

(7.98)

a promień orbity pozostaje stały

(7.99)

podobnie jak prędkość

(7.100)

Przykład: Moment pędu Księżyca. Księżyc obiega Ziemię po orbicie zbliżonej do kołowej o promieniu R = 384 tys. km. Okres obiegu T = 27,4 doby. Masa Księżyca m = 7,34 ⋅ 10²² kg. Wobec tego moment pędu

(7.101)

Z zależności

(7.102)

można dalej wyznaczyć iloczyn GM i masę Ziemi, nie jest to jednak najprostsza droga.

Drugie prawo Keplera jest po prostu prawem stałej prędkości polowej w ruchu o stałym momencie pędu. Wynika z niego między innymi, że prędkość planety jest największa w punkcie przysłonecznym orbity, a najmniejsza w punkcie odsłonecznym. Stałość prędkości polowej

(7.103)

oznacza bowiem, że prędkość v_φ jest odwrotnie proporcjonalna do promienia wodzącego

(7.104)

przy czym

(7.105)

Iloczyn vsinβ jest oczywiście składową azymutalną prędkości v_φ. Zatem

(7.106)

(Rys. 7.9)

Trzecie prawo Keplera wiąże się również ze stałą prędkościa polową, lecz związek ten jest nieco bardziej złożony. Okres obiegu można wyliczyć z wzoru

(7.107)

Ale znajdziemy go w prostszy sposób. Okres obiegu możemy interpretować jako czas potrzebny do tego, aby promień wodzący zakreślił pole elipsy

(7.108)

Pole elipsy S można wyrazić w funkcji parametru p i połowy wielkiej osi, czyli wielkiej półosi a jako

(7.109)

Stąd

(7.110)

Współczynnik proporcjonalności między kwadratem okresu a sześcianem wielkiej półosi zależy od masy M ciała centralnego. Możemy go znaleźć podstawiając wartości parametru orbity

(7.111)

i prędkości polowej

(7.112)

Zatem

(7.113)

Znając stosunek T²/a³ możemy wyznaczyć masę M ciała centralnego. Zauważmy jeszcze, że okres obiegu

(7.114)

zależy tylko od energii całkowitej E₀.

Obserwowane nieznaczne odchylenia od praw Keplera wynikają z dwóch przyczyn. Po pierwsze: planety nie są cząstkami tylko ciałami rozciągłymi i po drugie: oprócz oddziaływania między planetą a Słońcem powinno się także uwzględnić oddziaływanie planet między sobą. Mimo to prawa Keplera dają stosunkowo dokładny opis ruchu planet.

7.5 Ruch pod wpływem sił odpychania.

Pozostają jeszcze do omówienia siły odpychające, np. siły oddziaływania między jednoimiennymi ładunkami elektrycznymi. Teraz

(7.115)

i efektywna energia potencjalna

(7.116)

nigdy nie jest ujemna. Wobec tego ruch może być tylko nieskończony. Przeprowadzając odpowiedni rachunek, stwierdzimy, że dla E_ef > 0 ciało porusza się po dalszej od centrum gałęzi hiperboli

(7.117)

przy czym parametr p i mimośród zależą od energii i momentu pędu tak samo jak poprzednio:

(7.118)

Odległość pericentrum od ogniska – oczywiście dalszego – otrzymamy z równania toru podstawiając φ = 0:

(7.119)

Jak widać, trajektorię cząstki w polu sił centralnych można przedstawić za pomocą ogólnego wzoru

(7.120)

obejmującego zarówno przyciąganie (w mianowniku +1), jak i odpychanie (-1).

(7.120)