Ruch

Cząstką albo punktem materialnym nazywamy ciało o znikomo małych rozmiarach, charakteryzujące się ważkością i położeniem.

Ciała rzeczywiste nie są punktami. Wolno je traktować jako cząstki punktowe tylko wtedy, gdy ich rozmiary w danym zagadnieniu nie grają roli. Rozmiary ciała można pominąć tylko wtedy, gdy są małe w porównaniu z wartościami współrzędnych określających jego położenie i gdy własny ruch obrotowy ciała nie ma znaczenia. Często możliwe jest zastąpienie ciała rozciągłego cząstką o takiej samej masie, umieszczoną w odpowiednim punkcie zwanym środkiem masy.

Przykład: Samochód jako cząstka. Położenie samochodu na szosie możemy określić podając odległość od miejsca, z którego wyruszył. W porównaniu z nią rozmiary samochodu nie mają znaczenia i możemy go traktować jako cząstkę. Przedstawia to poniższy rysunek:

(Rys. 1.1)

Położenie tego samego samochodu w garażu określamy mierząc odległości poszczególnych jego punktów od ścian garażu. Rozmiary samochodu są z nimi porównywalne i nie możemy ich pominąć. Samochodu w garażu nie możemy uważać za cząstkę.

(Rys. 1.2)

Pojęcie cząstki ma granice. Obiekty bardzo małe przejawiają właściwości falowe. Im dokładniej znamy ich pęd, tym gorzej oznaczone jest ich położemie. Przy częstych w świecie mikroobiektów wielkich prędkościach komplikuje się też zależność pędu od energii. Zatem za cząstki (punkty materialne) będziemy uważali obiekty na tyle małe, żeby ich rozmiary nie grały roli, ale na tyle duże, żeby było można pominąć efekty nieoznaczoność położenia i pędu.

Góra strony

1.2 Położenie

Położenie ciała jest pojęciem względnym; można je określić tylko względem wybranych innych ciał, zwanych ciałami odniesienia. Z ciałami odniesienia wiąże się układ wspłrzędnych.Najczęściej stosowany jest prostokątny układ współrzędnych prostoliniowych Kartezjusza . Współrzędne kartezjańskie są po prostu odleglościami punktu od trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn poprowadzonych przez ciała odniesienia.

(Rys. 1.3)

Krawędzie ich przecięcia tworzą osie współrzędnych, a wspólny punkt stanowi początek układu.

Najoszczędniejszą formą zapisu położenia jest zapis wektorowy. Wektorem położenia albo promieniem wodzącym nazywamy odcinek skierowany, łączący początek układu z punktem, w którym znajduje się cząstka. Podanie wektora położenia jest równoznaczne z podaniem trzech współrzędnych skalarnych, np. kartezjańskich.

Aby związać wektor położenia r ze współrzędnymi kartezjańskimi x,y,z, wprowadzimy trzy wersory:

(1.1)

Czasami wersory te oznacza się inaczej, na przykład:

(1.2)

Będą to wektory o długości równej 1, skierowane zgodnie ze zwrotem osi współrzędnych. Pomnożenie współrzędnej przez odpowiadający jej wersor daje w wyniku składową wektora położenia w kierunku danej osi. Wektor położenia jest sumą składowych:

(1.3)

Jego bezwzględna wartość (długość) wynosi:

(1.4)

(Rys. 1.4)

Za pomocą wersorów można łatwo opisać wzajemną orientację osi. Kosinus kąta między osiami jest równy skalarnemu iloczynowi odpowiednich wersorów. Na przykład:

(1.5)

Stąd dla osi prostopadłych (α = 90)

(1.6)

Sinus kąta między osiami równa się bezwzględnej wartości wektorowego iloczynu ich wersorów na przykład:

(1.7)

Dla osi prostopadłych zachodzi:

(1.8)

Zwrot iloczynu wektorowego wynika z reguły śruby prawoskrętnej to znaczy jest taki jak kierunek posuwania się śruby prawoskrętnej, obracanej wraz z pierwszym wektorem – czynnikiem iloczynu, tak aby się pokrył z drugim.

(Rys. 1.5)

Iloczyn wektorowy dwóch wersorów jest więc prostopadłym do nich wektorem jednostkowym, skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Stąd:

(1.9)

Odwrócenie kolejności czynników obraca iloczyn wektorowy o 180°, czyli zamienia wektor iloczynu na przeciwny:

(1.10)

Przeprowadźmy przez dany punkt 3 płaszczyzny równoległe do płaszczyzn układu. Nazywamy je płaszczyznami współrzędnych, a krawędzie ich przecięcia liniami współrzędnych. Jeżeli zaczepimy w danym punkcie trójkę wersorów x⁰, y⁰, z⁰, to stwierdzimy, że linie współrzędnych wyznaczają ich kierunek.

(Rys. 1.6)

Współrzędne krzywoliniowe. Uogólnieniem układu kartezjańskiego są prostokątne układy współrzędnych krzywoliniowych. Najczęściej spotyka się: biegunowy, cylindryczny (walcowy) i sferyczny (kulisty). Zamiast płaszczyzn współrzędnych występują w nich powierzchnie zakrzywione, linie współrzędnych są krzywe, a zaczepione w punkcie ich przecięcia wersory są do nich styczne.

W układzie cylindrycznym współrzędnymi punktu są: rzut ρ wektora położenia na płaszczyznę (tzw. płaszczyznę biegunową), kąt φ między tym rzutem a przechodzącą przez początek (biegun) układu umowną prostą zwaną osią biegunową i wysokość z punktu nad płaszczyzną biegunową. Powierzchniami współrzędnych są: powierzchnia walcowa ρ = const, półpłaszczyzna φ = const, której krawędź stanowi oś z i płaszczyzna z = const prostopadła do osi z. Liniami współrzędnych są: półprosta (φ = const, z = const) prostopadła do osi z, okrąg (ρ = const, z = const) i tworząca walca (ρ = const, φ = const). Wersory ρ⁰, φ⁰, z⁰ mają kierunki stycznych do lini współrzędnych. ρ⁰ jest prostopadły do osi z, φ⁰ ma kierunek stycznej do okręgu, a z⁰ kierunek tworzącej walca. Wektor położenia wyraża się wzorem:

(1.11)

oczywiście:

(1.12)

Widać to szczególnie wyraźnie na poniższym rysunku:

(Rys. 1.7)

Od współrzędnych walcowych do kartezjańskich przechodzi się następująco:

(1.13)

a z powrotem przez związki:

(1.14)

Współrzędne sferyczne (Rys. 1.8) stanowią: wartość ρ promienia wodzącego punktu, kąt ϑ między promieniem wodzącym a osią z i kąt φ między rzutem ρsinϑ promienia wodzącego na płaszczyznę xy a osią x.

(Rys 1.8)

Powierzchnie współrzędnych otrzymujemy kładąc kolejno ρ = const (kula), ϑ = const (stożek), i φ = const (półpłaszczyzna), a ich krawędzie przecięcia ϑ = const, φ = const (półprosta), ρ = const, φ = const (półokrąg) i ρ = const, ϑ = const (okrąg) tworzą linie współrzędnych. Styczne do linii współrzędnych określają kierunki wersorów ρ⁰, ϑ⁰, φ⁰. Wektor położenia jest równy:

(1.15)

Oczywiście (jak wynika między innymi z rysunku):

(1.16)

Do współrzędnych kartezjańskich przechodzimy przez związki:

(1.17)

a z powrotem przez:

(1.18)

Przez przyrównanie do zera jednej ze współrzędnych układ przestrzenny redukujemy do powierzchniowego, w szczególnym przypadku płaskiego. I tak kładąc z = 0 zmieniamy przestrzenny układ Kartezjusza w płaski, a układ cylindryczny redukujemy do często stosowanego układu biegunowego (Rys. 1.9).

(Rys 1.9)

o współrzędnych ρ = r i φ.

Układ biegunowy możemy też otrzymać ze sferycznego, kładąc ϑ = 90°

Naturalnie:

(1.19)

oraz:

(1.20)

a także:

(1.21)

Współrzędne x, y, z, ρ nazywamy liniowymi, φ, ϑ – kątowymi

W ogólnym przypadku wektor położenia:

(1.22)

jest sumą iloczynów współrzędnych liniowych q_l i ich wersorów.

Przykład: nawigacja kosmiczna. Aby określić pozycję statku kosmicznego lecącego w płaszczyźnie ekliptyki, trzeba wybrać ciała odniesienia i związać z nimi układ współrzędnych. Najdogodniejszymi ciałami odniesienia są: Słońce, Ziemia, i jasna, bliska płaszczyzny ekliptyki gwiazda Regulus, a najdogodniejszym układem współrzędnych jest heliocentryczny układ biegunowy, którego początkiem jest Słońce, a osią biegunową prosta Słońce – Regulus.

(Rys. 1.10)

Nawigator statku mierzy kąt φ’_z między prostą statek – Regulus a Ziemią i kąt φ’_s między tą prostą a Słońcem. Z tablic można odczytać aktualne heliocentryczne współrzędne Ziemi: kąt φ_z między prostą Słońce – Regulusa a promieniem wodzącym Ziemi i wartość R promienia wodzącego, czyli odległości Ziemi od Słońca. Heliocentryczne współrzędne statku znajdziemy z twierdzenia sinusów odniesionego do trójkąta statek – Ziemia – Słońce:

(1.23)

i zależność między kątami:

(1.24)

Współrzędne naturalne. (Rys. 1.11) Położenie punktu na krzywej można określić podając długość s odcinka krzywej dzielącego punkt od wybranego punktu początkowego. Orientacja na płaszczyźnie wymaga wprowadzenia kierunku normalnej, a orientacja w przestrzeni binormalnej.

(Rys. 1.11)

Układ osi charakteryzuje trójka wersorów s⁰, n⁰, b⁰. Zwrot s⁰ wynika z położenia punktu początkowego, wersor n⁰ jest skierowany do środka krzywizny, a zwrot b⁰ wynika z wzoru:

(1.25)

Są to wersory tzw. współrzędnych naturalnych.

Transformacja wektora położenia. (Rys. 1.12) Jeżeli opisaliśmy położenie cząstki w danym układzie współrzędnych za pomocą wektora r’ i chcemy znaleźć jego położenie w innym układzie, w którym wektor położenia początku O naszego układu jest równy r₀, to nowy wektor położenia cząstki znajdziemy z oczywistego związku:

(1.26)

(Rys. 1.12)

zwanego transformacją wektora położenia. Wyraża ona względnośc położenia.

Góra strony

1.3 Przemieszczenie

Podobnie jak położenie, ruch ciała ma też charakter względny. W czasie ruchu ciała zmienia się jego położenie w określonym układzie odniesienia. Jeżeli położenie początkowe oznaczymy przez :

(1.27)

a końcowe przez:

(1.28)

to przemieszczenie określimy jako wektor:

(1.29)

Jego wartość:

(1.30)

nosi nazwę interwału przestrzennego punktów 1 i 2.

(Rys. 1.13)

Aby znaleźć przemieszczenie elementarne albo infinitezymalne (Rys. 1.14), tzn. nieskończenie małe, trzeba poprowadzić przez dany punkt linie (dla układu kartezjańskiego – proste) współrzędnych. Przemieszczenie takie jest równe elementarnej zmianie wektora położenia będącej geometryczną sumą jej rzutów na linie współrzędnych pomnożonych przez odpowiednie wersory. W układzie kartezjańskim:

(1.31)

(Rys. 1.14)

Uogólniony wzór ma postać:

(1.32)

gdzie q⁰ oznacza wersory współrzędnych krzywoliniowych, a ds_q rzuty zmiany dr wektora położenia na linie współrzędnych, czyli na kierunki wersorów.

W przypadku współrzędnych cylindrycznych rzuty te wynoszą (Rys. 1.15) ds_ρ = dρ, ds_φ = ρdφ, ds_z = dz i przemieszczenie:

(1.33)

(Rys. 1.15)

We współrzędnych sferycznych (Rys. 1.16) ds_ρ = dρ, ds_ϑ = ρdϑ, ds_φ = ρsinϑdφ i stąd:

(1.34)

(Rys. 1.16)

We współrzędnych naturalnych (Rys. 1.17):

(1.35)

(Rys. 1.17)

Bezwzględna wartość wektora przemieszczenia jest równa pierwiastkowi z sumy kwadratów przemieszczeń składowych. Zarazem wolno nam utożsamiać moduł przemieszczenia elementarnego z różniczką łuku krzywej, po której porusza się cząstka. W układzie kartezjańskim:

(1.36)

Ogólnie w dowolnych współrzędnych krzywoliniowych:

(1.37)

na przykład we współrzędnych cylindrycznych:

(1.38)

a w sferycznych:

(1.39)

Zwróćmy, jeszcze uwagę, że przyrost wartości wektora położenia nie jest równy bezwzględnej wartości wektora przemieszczenia (Rys. 1.18):

(1.40)

(Rys. 1.18)

z wyjątkiem przypadku, gdy przemieszczenie następuje wzdłuż wektora położenia.

Zależności między wersorami. Porównując ze sobą różne postacie wzoru na przemieszczenie możemy otrzymać zależność między wersorami, np. dla współrzędnych biegunowych i kartezjańskich:

(1.41)

Po podzieleniu przez dρ

(1.42)

Symbol pochodnej cząstkowej ∂/∂ oznacza różniczkowanie względem danej zmiennej przy ustalonych pozostałych zmiennych. Współrzędne jednego układu nie zależą od siebie, więc:

(1.43)

Poza tym zachodzą zależności:

(1.44)

Stąd (biorąc pod uwagę (1.42), (1.43) oraz (1.44)) otrzymujemy :

(1.45)

Podobnie dzieląc równanie wyjściowe (1.41) przez dφ otrzymujemy

(1.46)

i biorąc pod uwagę, że

(1.47)

a także:

(1.48)

Różniczkując teraz (1.48) po φ otrzymujemy:

(1.49)

Postępując podobnie z y otrzymujemy zależność:

(1.50)

Biorąc teraz pod uwagę (1.46), (1.47), (1.49) oraz (1.50) otrzymujemy:

(1.51)

Otrzymane wzory można uogólnić, wprowadzając tzw. współczynnik Lamégo zdefiniowany dla poszczególnych współrzędnych q jako pochodna łuku linii współrzędnej względem współrzędnej:

(1.52)

I tak:

(1.53)

(1.54)

Ponadto:

(1.55)

Biorąc teraz pod uwagę (1.45), (1.55) oraz (1.53), otrzymujemy:

(1.56)

Podobnie:

(1.57)

Ogólnie:

(1.58)

Otrzymane wzory pozwalają łatwo znaleźć zależności między wersorami dla pozostałych układów. Dla współrzędnych cylindrycznych:

(1.59)

Stąd:

(1.60)

Dla współrzędnych sferycznych mamy:

(1.61)

Wykorzystując teraz relacje: (1.58), (1.61), (1.31) oraz (1.17) otrzymujemy:

(1.62)

Przyrosty wersorów. Wersor jest wektorem o stałej długości. Zmiana wersora może polegać tylko na zmianie kierunku. Infinitezymalny przyrost wersora osi zachowującej stały kierunek jest równy zeru. Na przykład w nie obracającym się układzie kartezjańskim:

(1.63)

We współrzędnych cylindrycznych:

(1.64)

Wyłączając czynnik dφ przed nawias oraz korzystając z zależności na φ⁰ z (1.60) otrzymujemy:

(1.65)

Obliczmy teraz przyrost dφ⁰ (również dla współrzędnych cylindrycznych):

(1.66)

Wyłączając czynnik –dφ przed nawias oraz korzystając z zależności na ρ⁰ z (1.60) otrzymujemy:

(1.67)

(1.68)

Jak widać z powyższych wzorów: przyrost wersora ρ⁰ ma kierunek i zwrot wersora φ⁰. Przyrost wersora φ⁰ ma zwrot przeciwny do wersora ρ⁰.

Przyrosty wersorów współrzędnych sferycznych wyrażają się zależnościami bardziej skomplikowanymi:

(1.69)

Uwzględniając teraz zależności na ϑ⁰ oraz na φ⁰ z (1.62) otrzymujemy:

(1.70)

Obliczmy teraz przyrost dϑ⁰ (również dla współrzędnych sferycznych):

(1.71)

Uwzględniając teraz zależności na ρ⁰ oraz na φ⁰ z (1.62) otrzymujemy:

(1.72)

Obliczmy teraz przyrost dφ⁰ (również dla współrzędnych sferycznych):

(1.73)

Przypomnijmy sobie teraz zależności na ρ⁰ oraz na ϑ⁰ z (1.62):

(1.74)

Pomnóżmy pierwszą z powyższych zależności przez sinϑ a drugą przez cosϑ, otrzymując:

(1.75)

Zsumujmy teraz powyższe dwa równania, otrzymując jedno (zastosujmy jednocześnie wzór na jedynkę trygonometryczną):

(1.76)

Biorąc teraz po uwagę (1.73) oraz (1.76) otrzymujemy:

(1.77)

Przyrost obracającego się wersora jest zawsze do niego prostopadły. Jest to ogólna właściwość wszystkich wektorów obracających się bez zmiany długości. Aby tego dowieść, wystarczy podnieść dowolny wersor w⁰ do kwadratu i zróżniczkować. Ze względu na stałą długość kwadratu wersora zachodzi:

(1.78)

Pochodna stałej jest równa zeru. Zatem:

(1.79)

co prowadzi do wniosku, że wektory w⁰ i dw⁰ są do siebie prostopadłe (zerowanie się iloczynu skalarnego świadczy o prostopadłości wektorów – czynników).

Znajdziemy teraz przyrosty wersorów współrzędnych naturalnych. Przyrost ds⁰ wersora s⁰ jest do niego prostopadły.

(Rys. 1.19)

Jeżeli przez R oznaczymy promień krzywizny krzywej, po której porusza się cząstka, to z podobieństwa trójkątów wynika:

(1.80)

Wektorowi ds⁰ możemy przypisać zwrot n⁰:

(1.81)

Powyższy związek wykorzystamy później do znalezienia przyspieszenia w ruchu krzywoliniowym.

Poszukajmy jeszcze kierunku wersora binormalnej b⁰. Ze względu na prostopadłość wersora binormalnej i wersora stycznej:

(1.82)

Zróżniczkowanie tego związku daje:

(1.83)

Ale ds⁰ ma kierunek n⁰ więc jest prostopadłe do b⁰. Stąd:

(1.84)

i pozostaje:

(1.85)

Zatem wektor db⁰ jest prostopadły do s⁰. Zarazem db⁰ jako przyrost wersora b⁰ jest prostopadły do samego wersora b⁰. Przyrost db⁰może więc mieć tylko kierunek normalnej n⁰. Umownie obieramy zwrot przeciwny do n⁰ i zapisujemy wynik naszego rozumowania w postaci:

(1.86)

Współczynnik proporcjonalności κ nosi nazwę torsji albo skręcenia krzywej.

Przemieszczenie przy obrocie. Obrót wektora położenia opiszemy w układzie cylindrycznym tak wybranym, żeby oś z była osią obrotu.

(Rys. 1.20)

Obrotowi o kąt dφ przypiszemy wektor dφ skierowany wzdłuż osi obrotu o zwrocie zgodnym z regułą śruby prawoskrętnej, czyli wzdłuż osi z. Wektor jednostkowy ω⁰ takiego obrotu będzie równoległy do osi z. Zatem:

(1.87)

Związane z obrotem przemieszczenie cząstki, czyli przyrost wektora położenia jest do niego prostopadły i wyraża się wzorem:

(1.88)

Ale w układzie cylindrycznym:

(1.89)

Stąd biorąc pod uwagę (1.88) i (1.89) otrzymujemy:

(1.90)

Wektory osiowe i biegunowe. Wektor obrotu dφ należy do tzw. wektorów osiowych albo pseudowektorów. Pseudowektory różnia się dod zwyczajnych wektorów zwanych biegunowymi tym, że nie mają punktu zaczepienia. Można więc je swobodnie przesuwać – wektory biegunowe tylko wzdłuż lini działania – a przy ich dodawaniu nie spełnia się zasada przemienności.

Przykład: Dodawanie obrotów. Wynik dodawania dwóch kolejnych obrotów książki czy kartki zależy od kolejności obrotów. Na ogół:

(1.91)

(Rys. 1.21)

mimo, że:

(1.92)

Im mniejsze kąty φ₁ i φ₂, tym mniej różnią się sumy wektorów obrotu. Łatwo dojść do wniosku, że przy wektorowym dodawaniu obrotów elementarnych zasada przemienności:

(1.93)

będzie spełniona.

Inna ciekawa właściwość pseudowektorów to zmiana zwrotu przy odbiciu w zwierciadle. Zmiana ta jest konsekwencją umowy wiążącej zwrot wektora z kierunkiem posuwania się śruby prawoskrętnej. Przy odbiciu w lustrze strona prawa staje się lewą, a skrętność śruby i układu współrzędnych zmienia się na przeciwną. Zwrot pseudowektora zależy od skrętności układu. Pseudowektorami są m. in. iloczyny wektorowe.

Wektor pola. Pole powierzchni zakreślonej przez obracający się wektor położenia wyraża się wzorem:

(1.94)

czyli jest równe połowie bezwzględnej wartości iloczynu wektorowego r x dr

(Rys. 1.22)

Temu polu przypiszemy wektor o kierunku i zwrocie wektora obrotu:

(1.95)

przy czym, podobnie jak poprzednio, oś obrotu pokrywa się z osią z układu współrzędnych. Tak określony wektor pola jest również wektorem osiowym.

Góra strony

1.4 Tor

Linię, którą zakreśla cząstka, nazywamy torem albo trajektorią. Tor jest miejscem geometrycznym końców wektora położenia. Jego matematycznym opisem jest równanie toru czyli zależność wektora położenia od czsu.

(Rys. 1.23)

Wektorowe równanie toru jest równoważne trzem równaniom skalarnym, opisującym zależność współrzędnych od czasu. W układzie kartezjańskim wektorowe równanie toru ma postać:

(1.96)

równoważną trzem równaniom skalarnym:

(1.97)

Jest to tzw. parametryczna postać równania toru.

W ogólnym przypadku współrzędnych krzywoliniowych równanie toru ma postać:

(1.98)

gdzie q_l oznacza współrzędne liniowe. Na przykład we współrzędnych cylindrycznych:

(1.99)

Współrzędna kątowa φ(t) w równaniu toru nie występuje, mimo że zależy od czasu.

We współrzędnych naturalnych równaniem toru jest zależność s = s(t). Oczywiście r = r(s) = r[s(t)]

Geometryczna klasyfikacja ruchów. W zależności od kształtu toru ruchy dzielimy na prostoliniowe i krzywoliniowe oraz na przestrzenne i płaskie. Tor cząstki jest krzywą płaską, gdy nie zmienia się któraś ze współrzędnych kartezjańskich, współrzędna z lub φ układu cylindrycznego oraz współrzędna ϑ lub φ układu sferycznego. Na przykład warunkiem ruchu w płaszczyźnie równoległej do xy (układ kartezjański), czy ρφ (układ cylindryczny) będzie z = const, czyli dz = 0. W ogólnym przypadku ruch będzie krzywoliniowy. Szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu krzywoliniowego jest ruch po okręgu. Warunkiem ruchu po linii prostej jest s⁰ = const, czyli stałość kierunku stycznej do toru. Inaczej ds⁰ = 0. Na przykład jeżeli tor s(t) cząstki jest linią prostą, to można go opisać równaniem:

(1.100)

gdzie r⁰ jest wektorem położenia punktu, od którego mierzymy współrzędną s. Różniczkując to równanie otrzymujemy:

(1.101)

Wektor r⁰ jest stały, więc dr⁰ = 0. Ponadto biorąc pod uwagę (1.35) otrzymujemy:

(1.102)

Stąd:

(1.103)

Przykład: Ruch prostoliniowy. Ruch przebiega po linii prostej, gdy współrzędne kartezjańskie są proporcjonalne do czasu lub się nie zmieniają. Niech x = at. y = bt , z = c.

(Rys. 1.24)

Stałość współrzędnej z oznacza, że cząstka porusza się w płaszczyźnie z = c. Bezwzględna wartość wektora położenia wynosi:

(1.104)

Zagadnienie bardzo się uprości, jeżeli przesuniemy płaszczyznę xy układu o c w kierunku rosnących z. Nowe współrzędne będą miały postać:

(1.105)

Stąd:

(1.106)

Ruch jest więc taki, że promień wodzący rośnie proporcjonalnie do czasu. Kąt jego nachylenia do osi x wynosi:

(1.107)

Przyjmując współrzędną s = r mamy ds⁰ = dr⁰ = 0 i s⁰ = r⁰ = const. Tor cząstki jest linią prostą, leżącą na płaszczyźnie z = c i przecinającą oś z.

Przykład: Ruch po okręgu. Równanie okręgu, którego środkiem jest początek układu, możemy zapisać w postaci:

(1.108)

wobec czego także:

(1.109)

Obustronne zróżniczkowanie prowadzi do związku:

(1.110)

z którego wynika, że dr⊥r. Przyrost wektora położenia jest do niego prostopadły. W ruchu po okręgu wartość wektora położenia jest stała, zmienia się tylko jego kierunek. Do opisu takiego ruchu szczególnie dobrze nadają się współrzędne biegunowe.

Góra strony

1.5 Droga

Długość przebytego przez cząstkę odcinka toru AB nazywamy drogą. Można ją znaleźć całkując w odpowiednich granicach wzór na różniczkę łuku:

(1.111)

Aby móc wykonać całkowanie, wykorzystujemy zależność współrzędnych od czasu. Na przykład w układzie kartezjańskim:

(1.112)

Stąd, po pomnożeniu przez dt/dt otrzymujemy:

(1.113)

przy czym t_A i t_B określają chwile, w których cząstka znajduje się w A i B.

(Rys. 1.25)

Ogólnie droga w dowolnych współrzędnych krzywoliniowych jest równa:

(1.114)

przy czym ds_q oznacza rzuty wektora przemieszczenia elementarnego na kierunki wersorów odpowiednich współrzędnych. Pochodne ds_q/dt są rzutami wektora prędkości.

Góra strony

1.6 Prędkość

We wzorze na drogę we współrzędnych kartezjańskich pojawiły się pochodne współrzędnych względem czasu. Mnożąć zależność (1.111) przez dt/dt, otrzymujemy:

(1.115)

Pochodną υ wektora położenia względem czasu nazywamy prędkością. Prędkość jest wektorem:

(1.116)

Pochodne współrzędnych względem czasu są rzutami wektora prędkości na osie układu.

(1.117)

oraz:

(1.118)

oczywiście:

(1.119)

We współrzędnych krzywoliniowych składowymi wektora prędkości są pochodne rzutów przemieszczenia na kierunki wersorów, czyli:

(1.120)

Stąd:

(1.121)

Powyższy wzór ma charakter ogólny. W przypadku współrzędnych Kartezjusza i w ogóle wszystkich współrzędnych liniowych q_l składowe elementarnego przemieszczenia są po prostu różniczkami samych współrzędnych i stąd:

(1.122)

Bezwzględna wartość wektora prędkości – podobnie jak każdego innego wektora – jest równa pierwiastkowi z sumy kwadratów składowych:

(1.123)

Kąt między wektorem prędkości a wersorem współrzędnej q można znaleźć z wzoru:

(1.124)

czyli:

(1.125)

Przykład: Prędkość radialna i transwersalna. Z równania toru we współrzędnych biegunowych:

(1.126)

znajdziemy wektor prędkości:

(1.127)

Ale

(1.128)

więc:

(1.129)

Z drugiej strony zaś:

(1.130)

Czynniki przy wersorach są więc wartościami składowych wektora prędkości.

(1.131)

Powyższą składową prędkości nazywamy składową radialną, a :

(1.132)

składową transwersalną lub azymutalną. Kosinus kąta między wektorem prędkości a promieniem wodzącym, czyli tzw. kosinus kierunkowy wektora v jest równy:

(1.133)

Podobnie znajdziemy drugi kosinus kierunkowy:

(1.134)

(Rys. 1.26)

Składowe wektora prędkości. W ogólnym przypadku do znalezienia składowych prędkości można się posłużyć współczynnikami Lamégo. Mianowicie:

(1.135)

oraz:

(1.136)

Stąd:

(1.137)

albo:

(1.138)

Na przykład we współrzędnych biegunowych:

(1.139)

co zgadza się z tym co otrzymaliśmy wcześniej.

We współrzędnych cylindrycznych:

(1.140)

oraz:

(1.141)

oczywiście:

(1.142)

We współrzędnych sferycznych:

(1.143)

oraz:

(1.144)

a także:

(1.145)

Prędkość kątowa. Występująca w wyrażeniu na prędkość transwersalną pochodna dφ/dt określa szybkość zmian kąta biegunowego przy obrocie wektora położenia. Nazywamy ją prędkością kątową. Prędkość kątowa ω jest wektorem skierowanym wzdłuż osi prostopadłej do płaszczyzny biegunowej o zwrocie zgodnym z regułą śruby prawoskrętnej, czyli takim samym jak wektora obrotu infinitezymalnego dφ:

(1.146)

Podobnie jak wektor obrotu prędkość kątowa jest wektorem osiowym. Przez dodanie współrzędnej z możemy przekształcić układ biegunowy w cylindryczny. Wówczas:

(1.147)

oraz, na mocy znanych właściwości ioloczynu wektorowego:

(1.148)

Jeżeli potraktujemy prędkość azymutalną jako wektor, a następnie uwzględnimy powyższy związek oraz :

(1.149)

to:

(1.150)

czyli:

(1.151)

To samo otrzymamy przy dowolnym kierunku ω.

(Rys. 1.27)

Przykład: Prędkość w ruchu po okręgu. W ruchu po okręgu promień wodzący ρ = const = r i jego pochodna:

(1.152)

Zerowanie się prędkości radialnej oznacza, że:

(1.153)

Wektor prędkości jest równy swojej składowej azymutalnej. Stąd:

(1.154)

Ze względu na prostopadłość ω do r :

(1.155)

Prędkość polowa. Poprzednio przypisaliśmy polu powierzchni zakreślonej przy infinitezymalnym obrocie wektora położenia wektor określony zależnością (1.95). Dzieląc go przez dt, otrzymujemy tzw. prędkość polową albo wycinkową.

(1.156)

Na przykład we współrzędnych biegunowych:

(1.157)

przy czym skorzystaliśmy z tego, że:

(1.158)

tak więc:

(1.159)

Wektor prędkości polowej jest proporcjonalny do prędkości polowej i ma jej kierunek.

(Rys. 1.28)

Ruch jednostajny. Sczególnie prosto przedstawia się opis ruchu, gdy prędkość jest stała. Rozróżniamy przy tym dwa przypadki: a) prędkość może być stała jako wektor, tzn. stała co do wartości i kierunku:

(Rys. 1.29)

i b) tylko wartość pozostaje stała. W pierwszym przypadku ruch jest jednostajny i prostoliniowy. Z równania v = dr/dt = const wynika bowiem dr = vdt, co oznacza, że przemieszczenie elementarne zachowuje stały kierunek wektora v. Stąd:

(1.160)

Także wektor skończonego przemieszczenia

(1.161)

nie zmienia swego kierunku. t₀ oznacza czas początkowy (oczywiście może być t₀ = 0). W chwili t = t₀ r = r₀.

W przypadku gdy tylko wartość prędkości jest stała, a jej kierunek się zmienia, ruch jest jednostajny i krzywoliniowy. Do ogólnego opisu takiego ruchu szczególnie dogodny jest układ współrzędnych naturalnych.

(Rys. 1.30)

Do tego celu trzeba przekształcić wzór na prędkość:

(1.162)

Pochodna dr/ds jest po prostu wektorem jednostkowym w kierunku stycznej s⁰ (bo dr = dss⁰). Stąd:

(1.163)

Wzór ten wyraża znany fakt, że prędkość jest styczna do toru. Bezwzględna wartość prędkości v = ds/dt. Stąd ds = vdt i po scałkowaniu otrzymujemy znany wzór na drogę ważny także dla ruchu prostoliniowego:

(1.164)

zapisywany niekiedy w formie s = vt, gdy t₀ = 0 i s₀ = 0.

(Rys. 1.31)

Szczególnym przypadkiem jednostajnego ruchu krzywoliniowego jest jednostajny ruch po okręgu. Z zależności

(1.165)

wynika, że:

(1.166)

oraz:

(1.167)

Przemieszczenie kątowe φ – φ₀ zwie się niekiedy drogą katową. Gdy t₀ = 0 i φ₀ = 0 to droga kątowa:

(1.168)

Dodawanie prędkości. Wektor prędkości jest – podobnie jak każdy wektor – sumą swoich składowych. Za tym matematycznym stwierdzeniem kryje się fizyczny sens. Składowe wektora prędkości, czyli pochodne współrzędnych względem czasu są same prędkościami. Prędkości są addytywne – jeżeli cząstka jest obdarzona kilkoma prędkościami, to jej ruch jest taki, jakgdyby miała tylko jedną prędkość równą sumie wszystkich wektorów prędkości. Wniosek ten nazywamy prawem dodawania (składania) prędkości albo zasadą niezależności ruchów.

W szczególności, jeżeli cząstka porusza się z prędkością v’ względem układu odniesienia, który sam porusza się z prędkością u względem jakiegoś innego układu, to prędkość cząstki względem tego drugiego układu, zwana czasem prędkością bezwzględną będzie równa:

(1.169)

Prędkość cząstki v’ względem układu ruchomego nosi nazwę prędkości względnej, a prędkośc układu u – prędkości unoszenia. Prędkość bezwzględna jest wektorową sumą prędkości względnej i prędkości unoszenia. Prawo dodawania (transformację) prędkości można otrzymać różniczkując transformację wektora położenia:

(1.170)

(Rys. 1.32)

przy czym r’ jest wektorem położenia w układzie ruchomym, r – w układzie nieruchomym, a r₀ określa położenie początku układu ruchomego.

Prawo dodawania prędkości nie powstało w drodze matematycznych spekulacji. Sformułowano je w oparciu o wyniki licznych doświadczeń potwierdzających wyrażoną przez nie względność ruchu.

Przykład: Jak wystrzelić sputnika? Na skutek wirowania Ziemi każdy punkt jej powierzchni porusza się z zachodu na wschód z prędkością:

(1.171)

(Rys. 1.33)

gdzie R jest promieniem Ziemi, a φ szerokością geograficzną rozpatrywanego punktu. Łatwo obliczyć, że na równiku:

(1.172)

tak więc (na równiku):

(1.173)

a na biegunach (φ = π/2):

(1.174)

Prędkość u jest prędkością unoszenia ciał związanych z Ziemią. Aby wystrzelony obiekt mógł obiegać Ziemię jako sztuczny satelita, trzeba mu nadać prędkość:

(1.175)

zwaną pierwszą prędkością kosmiczną. Podana wartość jest określona w układzie nieruchomym, np. związanym z osią Ziemi. Prędkość względna v, jaką obiekt musi uzyskać względem powierzchni Ziemi, wymika z wzoru:

(1.176)

Jeżeli będzie startował na wschód, to wektor v będzie równoległy do wektora u. Stąd:

(1.177)

i konieczna prędkość startowa będzie mniejsza, a wraz z nią i koszty paliwa.

(Rys. 1.34)

Góra strony

1.7 Przyspieszenie

Jeżeli prędkość cząstki zależy od czasu, co zapisujemy w postaci :

(1.178)

to obliczamy ją z całki:

(1.179)

Pochodną prędkości względem czasu nazywamy przyspieszeniem i oznaczamy symbolem a. Z definicji prędkości v = dr/dt wynika:

(1.180)

Przyrost prędkości jest sumą swoich składowych. Na przykład w układzie Kartezjusza:

(1.181)

Stąd:

(1.182)

gdzie:

(1.183)

oczywiście:

(1.184)

oraz:

(1.185)

We współrzędnych krzywoliniowych:

(1.186)

Aby znaleźć składowe a_q wektora przyspieszenia, trzeba zróżniczkować prędkość korzystamy tu z zależności (1.121)

(1.187)

i porównać współczynniki przy wersorach po lewej i prawej stronie równania. Kierunek wektora przyspieszenia określają wzory:

(1.188)

Przykład: Przyspieszenie radialne i transwersalne. W układzie współrzędnych biegunowych pochodne rzutów przemieszczeń na kierunki wersorów wynoszą:

(1.189)

Drugie pochodne są równe:

(1.190)

Pochodne wersorów:

(1.191)

Po zastosowaniu wzoru (1.187) do naszego przypadku otrzymujemy:

(1.192)

Podstawiając teraz (1.189), (1.190) oraz (1.191) do (1.192) otrzymujemy:

(1.193)

czyli:

(1.194)

Porównując współczynniki przy wersorach ρ⁰ i φ⁰, otrzymujemy:

(1.195)

a_ρ ρ⁰ nosi nazwę składowej radialnej przyspieszenia, a a_φ φ⁰ składowej transwersalnej. Wektor przyspieszenia ma wartość bezwzględną:

(1.196)

i kierunek określony wzorami:

(1.197)

Te same wzory można otrzymać przez dwukrotne zróżniczkowanie zależności r = ρρ⁰.

(Rys. 1.35)

Przyspieszenie kątowe. Występująca w powyższych wyrażeniach pierwsza pochodna współrzędnej kątowej względem czasu jest prędkością kątową. Druga pochodna współrzędnej kątowej względem czasu, określająca szybkość zmian prędkości kątowej, nosi nazwę przyspieszenia kątowego. Wektor przyspieszenia kątowego:

(1.198)

ma kierunek zmiany prędkości kątowej dω (ε⁰ – wektor jednostkowy w kierunku ε). Jeżeli prędkość kątowa nie zmienia swego kierunku, to wektor przyspieszenia kątowego ma kierunek wektora prędkości kątowej ε⁰ = ω⁰, a jego zwrot zależy od tego czy prędkość kątowa rośnie, czy maleje. I tak dla dω > 0:

(1.199)

a dla dω < 0:

(1.200)

W przypadku ogólnym:

(1.201)

przy czym dω⁰⊥ω⁰.

Przyspieszenie w układach współrzędnych krzywoliniowych. We współrzędnych cylindrycznych dochodzi składowa:

(1.202)

i

(1.203)

oraz:

(1.204)

oczywiście:

(1.205)

Obliczenia składowych wektora przyspieszenia we współrzędnych krzywoliniowych można uprościć, stosując współczynniki Lamégo. Do tego celu wyrazimy składowe przyspieszenia jako iloczyny skalarne wektora przyspieszenia i odnośnych wersorów:

(1.206)

i podstawmy poznane wcześniej związki między wersorami a pochodnymi wektora położenia względem współrzędnych: (1.58), otrzymując:

(1.207)

Zauważmy, że:

(1.208)

oraz:

(1.209)

i

(1.210)

Stąd, biorąc pod uwagę (1.207), (1.208), (1.209), (1.210) :

(1.211)

Ponadto:

(1.212)

i

(1.213)

Ostatecznie biorąc pod uwagę (1.211), (1.212) oraz (1.213):

(1.214)

Przykład: Przyspieszenie we współrzędnych sferycznych. We współrzędnych sferycznych mamy:

(1.215)

Ponadto korzystając z (1.143) otrzymujemy:

(1.216)

więc:

(1.217)

(1.218)

(1.219)

oraz

(1.220)

(1.221)

i

(1.222)

Stąd:

(1.223)

(1.224)

i

(1.225)

przy czym:

(1.226)

Po podstawieniu do wzoru (1.214) mamy:

(1.227)

(1.228)

(1.229)

Otrzymanie powyższych wzorów przez dwukrotne różniczkowanie wzoru r = ρρ⁰ byłoby znacznie trudniejsze. Oczywiście:

(1.230)

(1.231)

oraz:

(1.232)

Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym. Prosty opis ruchu krzywoliniowego uzyskujemy, stosując współrzędne naturalne. Przyspieszenie znajdziemy różniczkując prędkość:

(1.233)

Jak to wykazaliśmy w (1.81):

(1.234)

gdzie n⁰ jest wektorem jednostkowym w kierunku normalnej, a R promieniem krzywizny toru w danym punkcie. Wobec tego:

(1.235)

Przy czym skorzystaliśmy z zależności:

(1.236)

Podstawiając (1.235) do (1.233) i uwzględniając (1.236) otrzymujemy:

(1.237)

gdzie a_s = a_ss⁰ jest styczną, a a_n = a_nn⁰ normalną składową przyspieszenia. Wektor przyspieszenia jest więc sumą przyspieszenia stycznego i normalnego. Przyspieszenie styczne jest skierowane jak wersor s⁰, a jego zwrot zależy od znaku pochodnej d²s/dt². Dla d²s/dt² > 0 (ruch przyspieszony) a_s = a_ss⁰, a dla d²s/dt² < 0 (ruch opóźniony) a_s = – a_ss⁰. Przyspieszenie normalne ma zawsze zwrot n⁰, czyli jest skierowane do środka krzywizny toru i stąd jego druga nazwa: Przyspieszenie dośrodkowe. Jeżeli wektor położenia zaczepimy w środku krzywizny, to r = Rr⁰ i ze związku (1.155) wynika, że:

(1.238)

Ze względu na to, że wersor n⁰ ma zwrot przeciwny niż r⁰:

(1.239)

przyspieszenie dośrodkowe można także wyraźić jako:

(1.240)

(Rys. 1.36)

Zależność(1.240) może też służyć do obliczenia promienia krzywizny R. Jak zwykle:

(1.241)

oraz:

(1.242)

Przykład: Przyspieszenie w ruchu po okręgu. Jeżeli ruch odbywa się po okręgu, w którego środku zaczepimy promień wodzący, to r = R = const. Różniczkując związek (1.154) otrzymamy:

(1.243)

ale:

(1.244)

Stąd:

(1.245)

Iloczyn:

(1.246)

ma kierunek prostopadły do promienia i osi obrotu, czyli kierunek stycznej, może więc być tylko przyspieszeniem stycznym:

(1.247)

(Rys. 1.37)

Iloczyn:

(1.248)

jest prostopadły do osi i do prędkości, tzn. ma kierunek promienia, a zwrot do środka okręgu, może więc być tylko przyspieszeniem dośrodkowym. Można to ściślej wykazać opierając się na znanej właściwości potrójnego iloczynu wektorowego:

(1.249)

Skorzystaliśmy tu z faktu, że:

(1.250)

Góra strony

1.8 Kinematyczne równania ruchu

Na podstawie poznanych wzorów potrafimy już rozwiązać jedno z typowych zagadnień kinematycznych, jakie często spotykamy w praktyce: znamy zależność położenia od czasu, czyli równanie toru, trzeba wyznaczyć prędkość i przyspieszenie. Prędkość znajdujemy różniczkując równanie toru:

(1.251)

Powtórne różniczkowanie daje przyspieszenie:

(1.252)

W ogólnym przypadku prędkość i przyspieszenie zależą od czasu. Wartości chwilowe znajdujemy podstawiając odpowiednie t.

W praktyce z reguły różniczkujemy zależności skalarne.

Przykład: Rzut poziomy. Współrzędne ciała rzuconego poziomo z prędkością v₀ równoległą do osi x zależą od czasu w następujący sposób:

(1.253)

(Rys. 1.38)

przy czym oś z skierowana jest pionowo w dół od miejsca wyrzucenia ciała zgodnie z kierunkiem przyspieszenia swobodnego spadku g. Łatwo sprawdzić, że powyższe zależności są parametrycznymi równaniami paraboli. Wystarczy wyrugować parametr t, wyznaczając go z pierwszego równania i wstawiając do drugiego, aby otrzymać jawne równanie toru:

(1.254)

a to jest równanie paraboli.

Aby znaleźć składowe prędkości, różniczkujemy współrzędne:

(1.255)

oczywiście:

(1.256)

oraz:

(1.257)

Powtórne różniczkowanie daje składowe przyspieszenia:

(1.258)

oczywiście:

(1.259)

oraz:

(1.260)

Znajdźmy jeszcze przyspieszenie styczne:

(1.261)

Ale z zależności (1.256) mamy:

(1.262)

Podstawiając to do wzoru na przyspieszenie styczne (1.261) otrzymamy:

(1.263)

Jak widać przyspieszenie styczne rośnie w czasie ruchu od początkowej wartości a_s = 0 dla v = v₀ do końcowej wartości a_s = g dla v → ∞ (gdy t → ∞), mimo że przyspieszenie całkowite jest stałe: a = g.

Możemy jeszcze znaleźć przyspieszenie normalne (korzystając z (1.241)):

(1.264)

które ze wzrostem v maleje, oraz promień krzywizny (korzystając z (1.238)):

(1.265)

który stale rośnie.

Kierunki przyspieszenia stycznego i normalnego wyznaczamy z wzorów:

(1.266)

W tym przypadku są to zarazem kosinusy kierunkowe względem osi z (przyspieszenie a = g jest równoległe do z⁰).

Całkowanie równań. Bardzo często warunki zadania zmuszają do postępowania odwrotnego niż pokazane przed chwilą: wychodząc ze znanej zależności przyspieszenia od czasu:

(1.267)

czyli tzw. kinematycznych równań ruchu, musimy znaleźć prędkość, położenie i drogę oraz postać toru. Zagadnienie takie rozwiązuje się przez całkowanie. Elementarny przyrost prędkości dv = a(t)dt i stąd:

(1.268)

Podobnie dr = v(t)dt i:

(1.269)

Każde z powyższych równań wektorowych jest równoważne trzem równaniom skalarnym dla poszczególnych składowych wektorów przyspieszenia, prędkości i położenia. W praktyce całkuje się zwykle właśnie równania skalarne. Stałe całkowania C i C’ wyznacza się z tzw. warunków brzegowych, czyli związków podających prędkość i położenie w jakiejś chwili, np. prędkość v₀ w chwili t₀. Można również posłużyć się całkami oznaczonymi – warunki brzegowe określają wówczas granice całkowania.

Ruch ze stałym przyspieszeniem. Całkowanie równań ruchu bardzo się upraszcza, kiedy przyspieszenie nie zależy od czasu. Rozróżnimy przy tym dwa przypadki: a) przyspieszenie jest stałe jako wektor, tzn. ma stałą wartość i stały kierunek: a = const i b) wartość przyspieszenia pozostaje stała, a zmienia się kierunek: a = const. W pierwszym przypadku stały wektor przyspieszenia można wyłączyć przed znak całki. Przyjmując, że w chwili t = t₀ i r = r₀, otrzymujemy:

(1.270)

czyli:

(1.271)

Stąd:

(1.272)

czyli:

(1.273)

Po scałkowaniu:

(1.274)

albo

(1.275)

Możemy tak mierzyć czas, że t₀ = 0. Wówczas:

(1.276)

Ze związku v – v₀ = at oraz a = const wynika, że zmiana prędkości ma stały kierunek – taki jak przyspieszenie a. Wektor prędkości leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory v₀ i a. Na tej samej płaszczyźnie leży wektor przemieszczenia r – r₀ i po niej porusza się koniec wektora położenia r zakreślając tor cząstki. Wynika stąd, że przy stałym wektorze przyspieszenia cząstka porusza się po torze płaskim. W ogólnym przypadku tor ten będzie parabolą drugiego stopnia. W szczególnym przypadku gdy prędkość początkowa ma ten sam kierunek co przyspieszenie również prędkość chwilowa v ma ten sam stały kierunek i ruch odbywa się po linii prostej. Można to zapisać w postaci v = vs⁰ i s⁰ = const. Ruch jest wtedy jednostajnie przyspieszony.

Przykład: Rzut ukośny. Przykładem ruchu o stałym przyspieszeniu a = g i dowolnej prędkości początkowej v₀ jest rzut ukośny. Układ współrzędnych kartezjańskich obieramy tak, żeby wektor g był skierowany przeciwnie do osi z, a prędkość v₀ leżała w płaszczyźnie x⁰, z⁰, przy czym kąt między v₀ a x⁰ wynosi α.

(Rys. 1.39)

Wówczas :

(1.277)

oraz:

(1.278)

i równanie ruchu przyjmie postać:

(1.279)

Pierwsze całkowanie w granicach od t₀ = 0 do t daje:

(1.280)

Zatem ruch wzdłuż osi x jest jednostajny ze stałą prędkością

(1.281)

Równolegle do osi y ciało się nie porusza. W kierunku osi z prędkość zależy od czasu:

(1.282)

(ruch jednostajnie opóźniony). Stąd:

(1.283)

Powtórne całkowanie w tych samych granicach daje:

(1.284)

Otrzymaliśmy parametryczne równania toru, który jest parabolą leżącą w płaszczyżnie x, z. Najłatwiej się o tym przekonać rugując z równań parametr t (to znaczy czas). Z pierwszego równania:

(1.285)

Co po podstawieniu do drugiego z równań (1.284) daje równanie paraboli:

(1.286)

Ruch jednostajnie przyspieszony. Gdy a = const, ale a ≠ const, czyli gdy zmienia się kierunek przyspieszenia o stałej wartości, ruch odbywa się po linii krzywej.

(Rys. 1.40)

Pole pod wykresem przyspieszenia jest miarą przyrostu prędkości, pole pod wykresem prędkości miarą drogi. Jednocześnie nachylenie krzywej (w tym przypadku prostej) prędkości do osi czasu jest miarą przyspieszenia, a nachylenie krzywej drogi miarą prędkości chwilowej.

Sczególnym przypadkiem omawianego tutaj ruchu jest ruch ze stałym przyspieszeniem stycznym, czyli ruch jednostajnie przespieszony. Do opisu tego ruchu stosujemy współrzędne naturalne. Równaniem ruchu będzie:

(1.287)

Po scałkowaniu:

(1.288)

czyli:

(1.289)

Stąd:

(1.290)

Drugie całkowanie daje:

(1.291)

albo:

(1.292)

Oprócz przyspieszenia stycznego cząstka ma jeszcze zmienne przyspieszenie normalne:

(1.293)

R(t) jest aktualnym promieniem krzywizny toru w punkcie, w którym znajduje się cząstka w chwili t.

Przykład: Ruch jednostajnie przyspieszony po okręgu. Przy stałym przyspieszeniu stycznym także przyspieszenie kątowe jest stałe:

(1.294)

Taki ruch nazywamy jednostajnie przyspieszonym po okręgu.

(Rys. 1.41)

Całkując związek:

(1.295)

otrzymujemy prędkość kątową w funkcji czasu:

(1.296)

czyli:

(1.297)

Powtórne całkowanie daje przemieszczenie kątowe (kąt obrotu):

(1.298)

czyli:

(1.299)

Prędkość liniową znajdziemy z wzoru:

(1.300)

gdzie:

(1.301)

jest prędkością początkową, a:

(1.302)

przyspieszeniem stycznym. Zatem:

(1.303)

Przyspieszenie normalne jest równe:

(1.304)

gdzie R jest promieniem okręgu, rośnie szybko z czasem.

Kinematyczna klasyfikacja ruchów. Charakter zależności przyspieszenia normalnego i stycznego od czasu może być podstawą klasyfikacji ruchów. I tak warunkiem, żeby ruch był prostoliniowy jest a_n = 0. Przy a_s = 0 będzie to ruch jednostajny, a_s = const ≠ 0 jednostajnie przyspieszony. Jeżeli a_n = const ≠ 0, ruch odbywa się po okręgu i znowu dla a_s = 0 otrzymamy ruch jednostajny, a dla a_s = const ≠ 0 jednostajnie przyspieszony. Wreszcie przy a_n = a_n(t) ruch jest krzywoliniowy, dla a_s = 0 jednostajny, a dla a_s = const ≠ 0 jednostajnie przyspieszony. Ogólny przypadek ruchu dowolnego, tj. niejednostajnie przyspieszonego po linii krzywej, określają warunki: a_s = a_s(t) i a_n = a_n(t).

(Rys. 1.42)

Góra strony

1.9 Całkowanie funkcji prędkości i położenia.

Do tej pory rozpatrywaliśmy przypadki, w których dane było przyspieszenie, prędkość lub położenie w funkcji czasu. Przez różniczkowanie lub całkowanie mogliśmy znaleźć nieznane wielkości, pod warunkiem, że znane były warunki brzegowe. Nieco trudniej przedstawia się zadanie, gdy któraś z tych wielkości jest dana jako funkcja nie czasu tylko jednej z pozostałych wielkości. Rozpatrzmy trzy najprostsze przypadki, stosując naturalny układ współrzędnych.

1. Dana prędkość jako funkcja położenia. Przekształcając równanie wyjściowe:

(1.305)

i całkując:

(1.306)

znajdziemy czas jako funkcję położenia. Równanie to pozwala znaleźć położenie jako funkcję czasu s = s(t), a następnie przez kolejne różniczkowanie prędkość v(t) i przyspieszenie a(t). Naturalnie do pełnego rozwiązania musimy znać warunki brzegowe.

Przykład: Swobodny spadek. W swobodnym spadku z wysokości h₀ prędkość ciała jako funkcja położenia (wzniesienia) h wyraża się wzorem:

(1.307)

Warunki brzegowe (początkowe) są określone przez podanie wzniesienia początkowego h₀ (tzn. dla t = t₀ = 0 h = h₀) i prędkości początkowej v₀ = 0.

(Rys. 1.43)

Zgodnie z ustalonym wyżej tokiem postępowania zaczniemy od całkowania równania:

(1.308)

(1.309)

Stąd po podniesieniu do kwadratu i uporządkowaniu otrzymujemy wzniesienie jako funkcję czasu:

(1.310)

Różniczkując to wyrażenie znajdujemy prędkość i przyspieszenie:

(1.311)

Znak minus oznacza, że prędkość i przyspieszenie mają kierunek spadku wzniesienia.

2. Dane przyspieszenie jako funkcja prędkości. W przypadku kiedy dane jest przyspieszenie w funkcji prędkości, tok postępowania jest podobny. Najpierw przez całkowanie równania:

(1.312)

znajdujemy związek między czasem a prędkością:

(1.313)

który po rozwikłaniu daje prędkość jako funkcję czasu v = v(t). Stąd przez różniczkowanie uzyskujemy przyspieszenie a(t), a przez całkowanie położenie s (t). Oczywiście pod warunkiem, że znamy warunki brzegowe.

Przykład: Ruch w lepkim ośrodku. Kiedy ciało porusza się w lepkim ośrodku, jego przyspieszenie wiąże się z prędkością zależnością:

(1.314)

Warunki brzegowe ustalamy następująco:

(1.315)

Stąd:

(1.316)

i po scałkowaniu w granicach od 0 do t :

(1.317)

Co po przekształceniu daje prędkość w funkcji czasu:

(1.318)

Aby znaleźć tor, musimy tę zależność scałkować i uwzględnić warunki brzegowe:

(1.319)

Łatwo stwierdzić, że dla t → ∞:

(1.320)

co określa maksymalną drogę jaką ciało może przebyć w ośrodku.

(Rys. 1.44)

3. Dane przyspieszenie w funkcji położenia. Najtrudniejszy rachunkowo jest ostatni przypadek, kiedy znamy przyspieszenie jako funkcję położenia: a = a(s), czyli:

(1.321)

Mnożąc powyższą zależność przez ds:

(1.322)

oraz wykorzystjąc fakt, że:

(1.323)

a następnie całkując:

(1.324)

przy czym wzięto pod uwagę, że dla s = s₀ v = v₀. Oznaczając całkę z przyspieszenia, która jest funkcją położenia, przez f możemy napisać:

(1.325)

Stąd można wyznaczyć prędkość jako funkcję położenia:

(1.326)

W ten sposób sprowadziliśmy nasze zagadnienie do typu omówionego na początku. Dalszy tok postępowania już znamy.

Przykład: Ruch harmoniczny. W ruchu harmonicznym (np. ruchu ciężarka drgającego na sprężynie) a = –ks. Równanie wyjściowe ma więc postać:

(1.327)

1.328)

albo po pomnożeniu przez v :

(1.329)

Oczywiście:

(1.330)

Różniczkując teraz względem czasu (1.330) otrzymujemy:

(1.331)

Zauważmy teraz, że:

(1.332)

Biorąc pod uwagę (1.329), (1.331) oraz (1.332) otrzymujemy:

(1.333)

Całkowanie równania (wynikającego z (1.329)):

(1.334)

w gramicach od v₀ do v i od s₀ do s daje:

(1.335)

Zauważmy, że jeżeli s oznacza odległość od położenia równowagi i jeżeli od niego liczymy czas, to s₀ = 0. Stąd:

(1.336)

Możemy teraz znanym sposobem znaleźć równanie toru, czyli zależność położenia od czasu. Mianowicie:

(1.337)

i po scałkowaniu otrzymujemy:

(1.338)

gdzie skorzystaliśmy ze znanego z matematyki wzoru:

(1.339)

Przekształcając (1.138) otrzymujemy:

(1.340)

gdzie:

(1.341)

jest amplitudą, czyli największym wychyleniem ruchu. Argument sinusa, czyli iloczyn:

(1.342)

nosi nazwę fazy, a:

(1.343)

częstości kołowej.

Ruch jest periodyczny – po czasie T równym:

(1.344)

zwanym okresem, jego przebieg się powtarza. Prędkość:

(1.345)

jest również periodyczną funkcją czasu, v₀ jest amplitudą prędkości. Możemy jeszcze sprawdzić, że przyspieszenie jest rzeczywiście proporcjonalne do wychylenia i ma znak minus:

(1.346)

Łatwo się przekonać, że zależność:

(1.347)

także spełnia wyjściowe równanie różniczkowe.

(Rys. 1.46)