14.1 Wiadomości wstępne
14.2 Siły bezwładności w ruchu postępowym
14.3 Siły bezwładności w ruchu obrotowym
14.1 Wiadomości wstępne
W ogólnym przypadku ruch układu odniesienia jest przyspieszony. Spoczywająca w nim cząstka ma przyspieszenie unoszenia złożone z przyspieszenia translacyjnego a0 i przyspieszenia związanego z obrotem, które z kolei jest sumą przyspieszenia stycznego i dośrodkowego. W odróżnieniu od układów inercjalnych – nie przyspieszonych – układ przyspieszony nazywamy nieinercjalnym. Przyspieszenie względne określone przez obserwatora w układzie nieinercjalnym
![]() | (14.1) |
różni się od przyspieszenia w układzie nieruchomym o sumę przyspieszenia unoszenia i Coriolisa.
Na poniższych rysunkach przedstawiono przyspieszenie cząstki z punktu widzenia obserwatora inercjalnego (N) i nieinercjalnego (R). Obserwator inercjalny dodaje, nieinercjalny – odejmuje przyspieszenie unoszenia i Coriolisa.
![]() | (Rys. 14.1) |
Mnożąc przyspieszenie przez masę ciała otrzymujemy siłę. Dla obserwatora z układu nieruchomego druga zasada dynamiki ma postać
![]() | (14.2) |
Obserwator w układzie nieinercjalnym napisze
![]() | (14.3) |
gdzie
![]() | (14.4) |
W układzie nieinercjalnym pojawiają się dodatkowe siły pozorne zwane siłami bezwładności: siła unoszenia
![]() | (14.5) |
i siła Coriolisa
![]() | (14.6) |
Wektor
![]() | (14.7) |
nosi nazwę siły stycznej, a
![]() | (14.8) |
siły odśrodkowej. Siły bezwładności są skierowane przeciwnie do przyspieszeń.
Nazwa sił pozornych pochodzi stąd, że obserwator nieruchomy (inercjalny) ich nie dostrzega. Widzi je – i mierzy – tylko obserwator nieinercjalny, ale i on nie jest w stanie znaleźć ciał, od których pochodzi oddziaływanie.
Wystąpienie sił bezwładności jest oznaką, że układ jest nieinercjalny.
W dalszym ciągu ograniczymy się do najprostszych przypadków ruchu układu nieinercjalnego – czystej translacji (ruch postępowy) i (ruch obrotowy).
14.2 Siły bezwładności w ruchu postępowym
Gdy prędkość kątowa układu ω = 0, znikają siły styczne, dośrodkowa i Coriolisa i pozostaje tylko siła bezwładności związana z przyspieszeniem translacyjnym.
![]() | (14.9) |
a równanie ruchu przybiera postać
![]() | (14.10) |
Obserwator nieinercjalny odczuje działanie siły bezwładności równej iloczynowi masy ciała i przyspieszenia układu. Niezależnie od tego, w którą stronę porusza się układ, siła bezwładności będzie zawsze skierowana przeciwnie niż przyspieszenie układu.
![]() | (Rys. 14.2) |
Przykład: Winda. Pasażerowie windy jadącej z przyspieszeniem a odczuwają działanie siły bezwładności, która zmniejsza ich ciężar, gdy przyspieszenie skierowane jest do dołu (przy ruszaniu widy w dół lub hamowaniu jadącej w górę) albo przyciska ich do podłogi, gdy przyspieszenie skierowane jest do góry (przy ruszaniu w górę lub hamowaniu przy jeździe w dół). Pozorny ciężar ciała wynosi
![]() | (Rys. 14.3) |
Jeżeli winda się urwie, to a0 = g i pozorny ciężar ciała F’ = 0. W windzie mamy wówczas pozorny stan nieważkości. Inercjalny obserwator z zewnątrz wyjaśni go bardzo prosto: „Nie widzę żadnej siły bezwładności, jedyną działającą siłą jest siła ciężkości, która i pasażerowi i windzie nadaje to samo przyspieszenie g„.
Przykład: Samochód. Pasażer przyspieszającego samochodu odczuwa siłę bezwładności, która przyciska go do oparcia. W hamującym samochodzie (przyspieszenie skierowane do tyłu) siła bezwładności działa w kierunku jazdy. Aby uniknąć kontuzji przy gwałtownym hamowaniu, przypinamy się do oparcia pasami bezpieczeństwa. Obserwator inercjalny i tu nie widzi sił bezwładności: „samochód zwalnia – pasażer porusza się dalej dopóki pasy (lub coś twardszego) nie zahamują go również”.
14.3 Siły bezwładności w ruchu obrotowym
Układ wiruje z prędkością kątową ω, przy czym jego początek jest nieruchomy lub porusza się jednostajnie i prostoliniowo. Mamy więc siły bezwładności: styczną, odśrodkową i Coriolisa. Równanie ruchu przybiera postać
![]() | (14.11) |
Ograniczymy się do obrotu jednostajnego, czyli ω = const. Wobec zerowania się przyspieszenia kątowego znika siła styczna Fs = 0 i pozostaje
![]() | (14.12) |
Obserwator nieinercjalny odczuwa działanie siły odśrodkowej i Coriolisa.
![]() | (Rys. 14.4) |
Siła odśrodkowa
![]() | (14.13) |
jest skierowana wzdłuż promienia obrotu od osi na zewnątrz. Jej wartość wynosi
![]() | (14.14) |
przy czym iloczyn r’sin∠(ω, r’ ) = rob jest promieniem obrotu cząstki waraz z układem.
![]() | (Rys. 14.5) |
Gdy promień wodzący jest r’ prostopadły do osi , wzór się upraszcza
![]() | (14.15) |
Siła odśrodkowa występuje tylko w układzie obracającym się. Obserwator inercjalny jej nie dostrzega.
Przykład: Autobus na zakręcie. Pasażerowie czują i mogą zmierzyć siłę, która przewraca ich na zewnątrz łuku. Jest ona siłą bezwładności związaną z przyspieszeniem dośrodkowym. Im większa prędkość v i mniejszy promień krzywizny toru R, tym większa siła odśrodkowa
![]() | (14.16) |
(r0 jest wersorem promienia wodzącego).
Dla obserwatora inercjalnego siła odśrodkowa nie istnieje: „Pasażerowie przewracają się, bo siła tarcia, która gra rolę siły dośrodkowej, zmusza ich nogi do skręcania wraz z autobusem, podczas gdy tułów porusza się dalej po linii prostej. Jeżeli tarcie jest zbyt małe, ciało ślizga się w kierunku stycznej do łuku toru.” Zauważmy, że dla obserwatora ruchomego ciało ucieka nie w kierunku stycznej tylko wzdłuż promienia, który obraca się wraz z układem. Traktuje on ten ruch (przyspieszony!) jako wynik działania siły odśrodkowej.
![]() | (Rys. 14.6) |
Przykład: Karuzela. Stwierdziliśmy w poprzednich przykładach, jak bardzo różnią się punkty widzenia obserwatora inercjalnego i nieinercjalnego. Co dla jednego jest ruchem jednostajnym po stycznej, dla drugiego jest ruchem przyspieszonym po promieniu. Który z nich ma rację? Dla sprawdzenia niech każdy z obserwatorów obliczy kąt wychylenia krzesełka karuzeli wirującej z prędkością kątową ω. Oto rozwiązania:
Obserwator nieinercjalny (pasażer krzesełka): „Odchylam się wraz z krzesełkiem od pionu, bo działa siła odśrodkowa. W położeniu równowagi wypadkowa siły odśrodkowej Fod = mω2r i ciężaru mojego ciała mg biegnie w przedłużeniu łańcucha, na którym wisi krzesełko”. Kąt odchylenia obliczam z wzoru
![]() | (14.17) |
![]() | (Rys. 14.7) |
Obserwator inercjalny: „Istnieje tylko siła dośrodkowa. Mój uczony kolega porusza się wraz z krzesełkiem po stycznej tak długo, aż na skutek wychylenia łańcucha wytworzy się siła dośrodkowa Fn = –mω2r, jako niezrównoważona składowa ciężaru mg, i zmusi go do ruchu po okręgu. Rozciągającą łańcuch drugą składową równoważy siła sprężystości. Kąt wychylenia będzie równy”
![]() | (14.18) |
Mimo zasadniczo różnego opisu zjawisk obydwaj obserwatorzy doszli do identycznego wzoru końcowego. Oba punkty widzenia są praktycznie równoważne. Wybór układu i związanego z nim opisu jest kwestią wygody.
Zwróćmy jeszcze uwagę, że wartości obu sił są takie same, a kierunki przeciwne. Siły: dośrodkowa i odśrodkowa są ilustracją trzeciej zasady dynamiki, czyli prawa wzajemności oddziaływań.
Przykład: Statek kosmiczny. Astronauci odczuwają dwojakiego rodzaju sił bezwładności. Podczas startu i hamowania działają siły zwane przeciążeniami, równe iloczynowi masy ciała i przyspieszenia pojazdu i skierowane przeciwnie do przyspieszenia. Gdy siła bezwładności działa prostopadle do ciała w kierunku od piersi do pleców, można wytrzymać krótkotrwałe przeciążenie nawet 7 razy większe niż ciężar ciała. Odpowiednie przyspieszenie startu (skierowane zgodnie z prędkością statku) lub hamowania (skierowane do tyłu) wynosi 7gR = 7·9,8 m/s2 = 69m/s2, a wysiłek jest porównywalny z dźwiganiem wielkiego koncertowego fortepianu. Po wyłączeniu silnika przeciążenie znika i pojawia się drugiego rodzaju siła bezwładności równa iloczynowi masy ciała i przyspieszenia statku. W swobodnym ruchu po orbicie jedyne przyspieszenie (dośrodkowe) pochodzi od siły ciężkości. Ruch taki jest po prostu swobodnym spadkiem. Siła bezwładności jest równa sile ciężkości i przeciwnie do niej skierowana. Podobnie jak w spadającej windzie mamy tu do czynienia z pozornym stanem nieważkości.
![]() | (Rys. 14.8) |
Siła Coriolisa
![]() | (14.19) |
o wartości
![]() | (14.20) |
jest skierowana prostopadle do wektora prędkości v’ i prędkości kątowej ω obracającego się układu. Znika gdy cząstka w układzie spoczywa (dla v’ = 0 FC = 0) lub gdy porusza się równolegle do osi obrotu (dla v’|| ω to v’×ω = 0). Im szybciej układ się obraca i im szybciej porusza się cząstka względem układu, tym większa jest siła Coriolisa.
![]() | (Rys. 14.9) |
Skąd się bierze siła Coriolisa? Ponieważ jest ona siłą bezwładności związaną z przyspieszeniem Coriolisa, więc pytanie trzeba sformułwać inaczej: jaki jest istotny sens przyspieszenia Coriolisa? W transformacji przyspieszeń pojawiło się ono jako suma dwóch iloczynów wektorowych ω×v’, w wyniku konieczności uwzględnienia zmiany wektora prędkości v’ na skutek jego obrotu wraz z układem i wektora położenia r’ na skutek ruchu cząstki względem układu. Obrócenie wektora prędkości o kąt dφ oznacza jego zmianę o dv’ = dφ×v’ (bo v’ jest promieniem obrotu). Podstawiając dφ = ωdt, otrzymujemy
![]() | (14.21) |
czyli
![]() | (14.22) |
Zmiana położenia cząstki r’ pociąga za sobą zmianę iloczynu ω×r’, czyli związanej z obrotem układu prędkości unoszenia (bo cząstka przeszła do miejsca o innej prędkości unoszenia), a do tego konieczne jest przyspieszenie. Siły przyspieszające cząstkę przenoszone są za pośrednictwem więzi łączących ją z układem – mogą to być np. siły tarcia lub sprężystości. Siła Coriolisa – taka sama i przeciwnie skierowana – jest w stosunku do nich reakcją – oddziaływaniem ciała przyspieszanego na więzi, które je przyspieszają.
Na poniższym rysunku cząstka przemieszcza się z prędkością v’ między punktami A i B wirującej tarczy. Na skutek obrotu o Δφ = ωΔt prędkość cząstki zmienia się o v’ωΔt. W punkcie B prędkość unoszenia jest większa niż w A o ωΔr = ωv’Δt. Całkowita zmiana prędkości Δv = 2v’ωΔt podzielona przez czas Δt daje przyspieszenie Coriolisa. Siła Coriolisa jest skierowana przeciwnie.
![]() | (Rys. 14.10) |
Przykład: Ruletka. Oto prosty i pouczający wywód wzoru na siłę Coriolisa. Prędkość v’ kulki względem wirującej tarczy rozłożymy na dwie składowe: normalną v’n i styczną v’s. Każdą z nich zajmiemy się osobno. Jeżeli ciało nie związane z tarczą posuwa się wzdłuż promienia z odśrodkowo skierowaną prędkością v’ = v’n, to po upływie czasu t zwiększy swoją odległość od środka o AB = v’t. W tym czasie tarcza obróci się o kąt φ = ωt i punkt, w którym znalazłoby się ciało gdyby się nie obracała, oddali się do B’.
![]() | (Rys. 14.11) |
Mierzona po łuku odległość BB’ tego punktu od ciała składa się z dwóch odcinków. Pierwszy z nich BC jest równy drodze AA’, jaką przebyłby punkt A uciekający spod ciała wraz z wirującą tarczą, gdyby ciało tkwiło nad tarczą nieruchomo.
![]() | (Rys. 14.12) |
Dodatkowa droga s = CB’ ma widocznie związek z prędkością ciała. Łatwo znaleźć ten związek. Z trójkąta A’CB’ wynika, że
![]() | (14.23) |
Proporcjonaność drogi do kwadratu czasu jest charakterystyczna dla ruchu jednostajnie przyspieszonego. Punkty wirującej tarczy uciekają spod ruchomego ciała z przyspieszeniem
![]() | (14.24) |
Jest to właśnie przyspieszenie Coriolisa dla ω⊥v’. Punkt widzenia obserwatora wirującego wraz z tarczą będzie inny. Według niego to nie tarcza ucieka spod ciała tylko ciało ucieka w przeciwną stronę pod działaniem siły Coriolisa FC = –maC o wartości
![]() | (14.25) |
Dla obserwatora inercjalnego ciało porusza się po linii prostej, dla wirującego wraz z tarczą po krzywej.
Rozpatrzmy teraz przypadek, gdy ciało ma tylko prędkość styczną v’ = v’s, z którą porusza się na wirującej tarczy po okręgu o promieniu r. Według obserwatora nieruchomego prędkość bezwzględna v jest równa sumie prędkości względnej i prędkości unoszenia
![]() | (14.26) |
przy czym ze względu na jednakowe kierunki wszystkich prędkości i prostopadłość ω⊥r rachunek możemy przeprowadzić na skalarach. Aby utrzymać ciało na okręgu, trzeba mu nadać przyspieszenie dośrodkowe
![]() | (14.27) |
Pierwszy wyraz po prawej stronie oznacza przyspieszenie dośrodkowe mierzone przez obserwatora ruchomego. Jak widać dochodzi do niego przyspieszenie Coriolisa 2v’ω’ i przyspieszenie unoszenia ω2r, czyli przyspieszenie dośrodkowe punktów wirującej tarczy. Obserwator ruchomy określi przyspieszenie inaczej:
![]() | (14.28) |
skąd po pomnożeniu przez masę m ciała, otrzyma siły
![]() | (14.29) |
gdzie F’ = mv’2/r jest siłą działającą według niego na ciało (siłą dośrodkową w ruchu po okręgu względem tarczy). Oprócz podanej przez obserwatora nieruchomego siły F = mv2/r widzi jeszcze dwie siły bezwładności – Coriolisa FC = –2mv’ω i odśrodkową Fod = –mω2r. Uwzględnienie kierunków dałoby otrzymane uprzednio wzory wektorowe.
![]() | (Rys. 14.13) |