Ruch w układach nieinercjalnych

W ogólnym przypadku ruch układu odniesienia jest przyspieszony. Spoczywająca w nim cząstka ma przyspieszenie unoszenia złożone z przyspieszenia translacyjnego a₀ i przyspieszenia związanego z obrotem, które z kolei jest sumą przyspieszenia stycznego i dośrodkowego. W odróżnieniu od układów inercjalnych – nie przyspieszonych – układ przyspieszony nazywamy nieinercjalnym. Przyspieszenie względne określone przez obserwatora w układzie nieinercjalnym

(14.1)

różni się od przyspieszenia w układzie nieruchomym o sumę przyspieszenia unoszenia i Coriolisa.

Na poniższych rysunkach przedstawiono przyspieszenie cząstki z punktu widzenia obserwatora inercjalnego (N) i nieinercjalnego (R). Obserwator inercjalny dodaje, nieinercjalny – odejmuje przyspieszenie unoszenia i Coriolisa.

(Rys. 14.1)

Mnożąc przyspieszenie przez masę ciała otrzymujemy siłę. Dla obserwatora z układu nieruchomego druga zasada dynamiki ma postać

(14.2)

Obserwator w układzie nieinercjalnym napisze

(14.3)

gdzie

(14.4)

W układzie nieinercjalnym pojawiają się dodatkowe siły pozorne zwane siłami bezwładności: siła unoszenia

(14.5)

i siła Coriolisa

(14.6)

Wektor

(14.7)

nosi nazwę siły stycznej, a

(14.8)

siły odśrodkowej. Siły bezwładności są skierowane przeciwnie do przyspieszeń.

Nazwa sił pozornych pochodzi stąd, że obserwator nieruchomy (inercjalny) ich nie dostrzega. Widzi je – i mierzy – tylko obserwator nieinercjalny, ale i on nie jest w stanie znaleźć ciał, od których pochodzi oddziaływanie.

Wystąpienie sił bezwładności jest oznaką, że układ jest nieinercjalny.

W dalszym ciągu ograniczymy się do najprostszych przypadków ruchu układu nieinercjalnego – czystej translacji (ruch postępowy) i (ruch obrotowy).

14.2 Siły bezwładności w ruchu postępowym

Gdy prędkość kątowa układu ω = 0, znikają siły styczne, dośrodkowa i Coriolisa i pozostaje tylko siła bezwładności związana z przyspieszeniem translacyjnym.

(14.9)

a równanie ruchu przybiera postać

(14.10)

Obserwator nieinercjalny odczuje działanie siły bezwładności równej iloczynowi masy ciała i przyspieszenia układu. Niezależnie od tego, w którą stronę porusza się układ, siła bezwładności będzie zawsze skierowana przeciwnie niż przyspieszenie układu.

(Rys. 14.2)

Przykład: Winda. Pasażerowie windy jadącej z przyspieszeniem a odczuwają działanie siły bezwładności, która zmniejsza ich ciężar, gdy przyspieszenie skierowane jest do dołu (przy ruszaniu widy w dół lub hamowaniu jadącej w górę) albo przyciska ich do podłogi, gdy przyspieszenie skierowane jest do góry (przy ruszaniu w górę lub hamowaniu przy jeździe w dół). Pozorny ciężar ciała wynosi

(Rys. 14.3)

Jeżeli winda się urwie, to a₀ = g i pozorny ciężar ciała F’ = 0. W windzie mamy wówczas pozorny stan nieważkości. Inercjalny obserwator z zewnątrz wyjaśni go bardzo prosto: „Nie widzę żadnej siły bezwładności, jedyną działającą siłą jest siła ciężkości, która i pasażerowi i windzie nadaje to samo przyspieszenie g„.

Przykład: Samochód. Pasażer przyspieszającego samochodu odczuwa siłę bezwładności, która przyciska go do oparcia. W hamującym samochodzie (przyspieszenie skierowane do tyłu) siła bezwładności działa w kierunku jazdy. Aby uniknąć kontuzji przy gwałtownym hamowaniu, przypinamy się do oparcia pasami bezpieczeństwa. Obserwator inercjalny i tu nie widzi sił bezwładności: „samochód zwalnia – pasażer porusza się dalej dopóki pasy (lub coś twardszego) nie zahamują go również”.

14.3 Siły bezwładności w ruchu obrotowym

Układ wiruje z prędkością kątową ω, przy czym jego początek jest nieruchomy lub porusza się jednostajnie i prostoliniowo. Mamy więc siły bezwładności: styczną, odśrodkową i Coriolisa. Równanie ruchu przybiera postać

(14.11)

Ograniczymy się do obrotu jednostajnego, czyli ω = const. Wobec zerowania się przyspieszenia kątowego znika siła styczna F_s = 0 i pozostaje

(14.12)

Obserwator nieinercjalny odczuwa działanie siły odśrodkowej i Coriolisa.

(Rys. 14.4)

Siła odśrodkowa

(14.13)

jest skierowana wzdłuż promienia obrotu od osi na zewnątrz. Jej wartość wynosi

(14.14)

przy czym iloczyn r’sin∠(ω, r’ ) = r_ob jest promieniem obrotu cząstki waraz z układem.

(Rys. 14.5)

Gdy promień wodzący jest r’ prostopadły do osi , wzór się upraszcza

(14.15)

Siła odśrodkowa występuje tylko w układzie obracającym się. Obserwator inercjalny jej nie dostrzega.

Przykład: Autobus na zakręcie. Pasażerowie czują i mogą zmierzyć siłę, która przewraca ich na zewnątrz łuku. Jest ona siłą bezwładności związaną z przyspieszeniem dośrodkowym. Im większa prędkość v i mniejszy promień krzywizny toru R, tym większa siła odśrodkowa

(14.16)

(r⁰ jest wersorem promienia wodzącego).

Dla obserwatora inercjalnego siła odśrodkowa nie istnieje: „Pasażerowie przewracają się, bo siła tarcia, która gra rolę siły dośrodkowej, zmusza ich nogi do skręcania wraz z autobusem, podczas gdy tułów porusza się dalej po linii prostej. Jeżeli tarcie jest zbyt małe, ciało ślizga się w kierunku stycznej do łuku toru.” Zauważmy, że dla obserwatora ruchomego ciało ucieka nie w kierunku stycznej tylko wzdłuż promienia, który obraca się wraz z układem. Traktuje on ten ruch (przyspieszony!) jako wynik działania siły odśrodkowej.

(Rys. 14.6)

Przykład: Karuzela. Stwierdziliśmy w poprzednich przykładach, jak bardzo różnią się punkty widzenia obserwatora inercjalnego i nieinercjalnego. Co dla jednego jest ruchem jednostajnym po stycznej, dla drugiego jest ruchem przyspieszonym po promieniu. Który z nich ma rację? Dla sprawdzenia niech każdy z obserwatorów obliczy kąt wychylenia krzesełka karuzeli wirującej z prędkością kątową ω. Oto rozwiązania:

Obserwator nieinercjalny (pasażer krzesełka): „Odchylam się wraz z krzesełkiem od pionu, bo działa siła odśrodkowa. W położeniu równowagi wypadkowa siły odśrodkowej F_od = mω²r i ciężaru mojego ciała mg biegnie w przedłużeniu łańcucha, na którym wisi krzesełko”. Kąt odchylenia obliczam z wzoru

(14.17)

(Rys. 14.7)

Obserwator inercjalny: „Istnieje tylko siła dośrodkowa. Mój uczony kolega porusza się wraz z krzesełkiem po stycznej tak długo, aż na skutek wychylenia łańcucha wytworzy się siła dośrodkowa F_n = –mω²r, jako niezrównoważona składowa ciężaru mg, i zmusi go do ruchu po okręgu. Rozciągającą łańcuch drugą składową równoważy siła sprężystości. Kąt wychylenia będzie równy”

(14.18)

Mimo zasadniczo różnego opisu zjawisk obydwaj obserwatorzy doszli do identycznego wzoru końcowego. Oba punkty widzenia są praktycznie równoważne. Wybór układu i związanego z nim opisu jest kwestią wygody.

Zwróćmy jeszcze uwagę, że wartości obu sił są takie same, a kierunki przeciwne. Siły: dośrodkowa i odśrodkowa są ilustracją trzeciej zasady dynamiki, czyli prawa wzajemności oddziaływań.

Przykład: Statek kosmiczny. Astronauci odczuwają dwojakiego rodzaju sił bezwładności. Podczas startu i hamowania działają siły zwane przeciążeniami, równe iloczynowi masy ciała i przyspieszenia pojazdu i skierowane przeciwnie do przyspieszenia. Gdy siła bezwładności działa prostopadle do ciała w kierunku od piersi do pleców, można wytrzymać krótkotrwałe przeciążenie nawet 7 razy większe niż ciężar ciała. Odpowiednie przyspieszenie startu (skierowane zgodnie z prędkością statku) lub hamowania (skierowane do tyłu) wynosi 7g_R = 7·9,8 m/s² = 69m/s², a wysiłek jest porównywalny z dźwiganiem wielkiego koncertowego fortepianu. Po wyłączeniu silnika przeciążenie znika i pojawia się drugiego rodzaju siła bezwładności równa iloczynowi masy ciała i przyspieszenia statku. W swobodnym ruchu po orbicie jedyne przyspieszenie (dośrodkowe) pochodzi od siły ciężkości. Ruch taki jest po prostu swobodnym spadkiem. Siła bezwładności jest równa sile ciężkości i przeciwnie do niej skierowana. Podobnie jak w spadającej windzie mamy tu do czynienia z pozornym stanem nieważkości.

(Rys. 14.8)

Siła Coriolisa

(14.19)

o wartości

(14.20)

jest skierowana prostopadle do wektora prędkości v’ i prędkości kątowej ω obracającego się układu. Znika gdy cząstka w układzie spoczywa (dla v’ = 0 F_C = 0) lub gdy porusza się równolegle do osi obrotu (dla v’|| ω to v’×ω = 0). Im szybciej układ się obraca i im szybciej porusza się cząstka względem układu, tym większa jest siła Coriolisa.

(Rys. 14.9)

Skąd się bierze siła Coriolisa? Ponieważ jest ona siłą bezwładności związaną z przyspieszeniem Coriolisa, więc pytanie trzeba sformułwać inaczej: jaki jest istotny sens przyspieszenia Coriolisa? W transformacji przyspieszeń pojawiło się ono jako suma dwóch iloczynów wektorowych ω×v’, w wyniku konieczności uwzględnienia zmiany wektora prędkości v’ na skutek jego obrotu wraz z układem i wektora położenia r’ na skutek ruchu cząstki względem układu. Obrócenie wektora prędkości o kąt dφ oznacza jego zmianę o dv’ = dφ×v’ (bo v’ jest promieniem obrotu). Podstawiając dφ = ωdt, otrzymujemy

(14.21)

czyli

(14.22)

Zmiana położenia cząstki r’ pociąga za sobą zmianę iloczynu ω×r’, czyli związanej z obrotem układu prędkości unoszenia (bo cząstka przeszła do miejsca o innej prędkości unoszenia), a do tego konieczne jest przyspieszenie. Siły przyspieszające cząstkę przenoszone są za pośrednictwem więzi łączących ją z układem – mogą to być np. siły tarcia lub sprężystości. Siła Coriolisa – taka sama i przeciwnie skierowana – jest w stosunku do nich reakcją – oddziaływaniem ciała przyspieszanego na więzi, które je przyspieszają.

Na poniższym rysunku cząstka przemieszcza się z prędkością v’ między punktami A i B wirującej tarczy. Na skutek obrotu o Δφ = ωΔt prędkość cząstki zmienia się o v’ωΔt. W punkcie B prędkość unoszenia jest większa niż w A o ωΔr = ωv’Δt. Całkowita zmiana prędkości Δv = 2v’ωΔt podzielona przez czas Δt daje przyspieszenie Coriolisa. Siła Coriolisa jest skierowana przeciwnie.

(Rys. 14.10)

Przykład: Ruletka. Oto prosty i pouczający wywód wzoru na siłę Coriolisa. Prędkość v’ kulki względem wirującej tarczy rozłożymy na dwie składowe: normalną v’_n i styczną v’_s. Każdą z nich zajmiemy się osobno. Jeżeli ciało nie związane z tarczą posuwa się wzdłuż promienia z odśrodkowo skierowaną prędkością v’ = v’_n, to po upływie czasu t zwiększy swoją odległość od środka o AB = v’t. W tym czasie tarcza obróci się o kąt φ = ωt i punkt, w którym znalazłoby się ciało gdyby się nie obracała, oddali się do B’.

(Rys. 14.11)

Mierzona po łuku odległość BB’ tego punktu od ciała składa się z dwóch odcinków. Pierwszy z nich BC jest równy drodze AA’, jaką przebyłby punkt A uciekający spod ciała wraz z wirującą tarczą, gdyby ciało tkwiło nad tarczą nieruchomo.

(Rys. 14.12)

Dodatkowa droga s = CB’ ma widocznie związek z prędkością ciała. Łatwo znaleźć ten związek. Z trójkąta A’CB’ wynika, że

(14.23)

Proporcjonaność drogi do kwadratu czasu jest charakterystyczna dla ruchu jednostajnie przyspieszonego. Punkty wirującej tarczy uciekają spod ruchomego ciała z przyspieszeniem

(14.24)

Jest to właśnie przyspieszenie Coriolisa dla ω⊥v’. Punkt widzenia obserwatora wirującego wraz z tarczą będzie inny. Według niego to nie tarcza ucieka spod ciała tylko ciało ucieka w przeciwną stronę pod działaniem siły Coriolisa F_C = –ma_C o wartości

(14.25)

Dla obserwatora inercjalnego ciało porusza się po linii prostej, dla wirującego wraz z tarczą po krzywej.

Rozpatrzmy teraz przypadek, gdy ciało ma tylko prędkość styczną v’ = v’_s, z którą porusza się na wirującej tarczy po okręgu o promieniu r. Według obserwatora nieruchomego prędkość bezwzględna v jest równa sumie prędkości względnej i prędkości unoszenia

(14.26)

przy czym ze względu na jednakowe kierunki wszystkich prędkości i prostopadłość ω⊥r rachunek możemy przeprowadzić na skalarach. Aby utrzymać ciało na okręgu, trzeba mu nadać przyspieszenie dośrodkowe

(14.27)

Pierwszy wyraz po prawej stronie oznacza przyspieszenie dośrodkowe mierzone przez obserwatora ruchomego. Jak widać dochodzi do niego przyspieszenie Coriolisa 2v’ω’ i przyspieszenie unoszenia ω²r, czyli przyspieszenie dośrodkowe punktów wirującej tarczy. Obserwator ruchomy określi przyspieszenie inaczej:

(14.28)

skąd po pomnożeniu przez masę m ciała, otrzyma siły

(14.29)

gdzie F’ = mv’²/r jest siłą działającą według niego na ciało (siłą dośrodkową w ruchu po okręgu względem tarczy). Oprócz podanej przez obserwatora nieruchomego siły F = mv²/r widzi jeszcze dwie siły bezwładności – Coriolisa F_C = –2mv’ω i odśrodkową F_od = –mω²r. Uwzględnienie kierunków dałoby otrzymane uprzednio wzory wektorowe.

(Rys. 14.13)