Równowaga bryły

Ruch toczącego się koła jest złożony: środek masy porusza się ruchem postępowym, a koło obraca się wokół przechodzącej przez nie osi. Jeżeli promień koła wynosi r, prędkość środka masy v, a prędkość kątowa obrotu ω, to

(24.49)

gdzie s jest współrzędną w kierunku ruchu. Maksymalna siła tarcia T₀ działająca na obwodzie koła w kierunku ruchu, jest równa iloczynowi współczynnika tarcia i siły dociskającej koło do podłoża, równej reakcji podłoża F_n:

(24.50)

Jeżeli nie ma poślizgu, to tarcie jest statyczne, bo chwilowy punkt styczności nie przesuwa się względem podłoża. Napiszmy równanie ruchu postępowego

(24.51)

przy czym F’ oznacza pozostałe opory ruchu, np. opór powietrza, tarcie w łożyskach itp. Przez m rozumiemy nie masę koła, tylko masę obciążenia koła, tzn.

(24.52)

Równanie ruchu obrotowego ma postać

(24.53)

gdzie I jest momentem bezwładności względem osi, φ kątem obrotu, a M momentem napędzającym koło, np. przekazanym przez silnik. Wygodnie jest zastąpić go fikcyjną siła F₀ przyłożoną stycznie na obwodzie koła

(24.54)

a moment bezwładności przypisać fikcyjnej masie zredukowanej m₀ również rozmieszczonej na obwodzie koła

(24.55)

Możemy teraz napisać

(24.56)

bowiem przyspieszenie kątowe jest związane ze stycznym relacją

(24.57)

po podzieleniu przez r

(24.58)

i dodaniu stronami do równania ruchu postępowego, otrzymamy

(24.59)

Jak widać warunkiem toczenia się koła jest, by siła obwodowa F₀ była nie mniejsza niż opory ruchu i nie większa niż siła tarcia statycznego (brak poślizgu).

(Rys. 24.12)

Jeżeli z jakiegoś powodu siła obwodowa stanie się większa niż siła tarcia, nastąpi poślizg. Związek między przyspieszeniem kątowym a przyspieszeniem w ruchu postępowym traci ważność i musimy wrócić do równania ruchu obrotowego w postaci

(24.60)

Siła tarcia jest teraz mniejsza (tarcie kinetyczne) i przy stałej sile obwodowej F₀ moment różnicy obu sił rośnie, powodując wzrost przyspieszenia kątowego. Jednocześnie z prawa ruchu postępowego wynika, że zmniejsza się jego przyspieszenie (bo zmalała różnica sił T–F’). Jak widać, przy toczeniu ważną rolę musimy przypisać stycznej sile tarcia. Aby ją zwiększyć, staramy się powiększyć współczynnik tarcia i obciążenie koła.

(Rys. 24.13)

Przykład: Poprzeczna siła usuwa tarcie! Oto często stosowany sposób zmniejszania oporu tarcia. Chcąc przesunąć ciało po szorstkim podłożu trzeba podziałać odpowiednio skierowaną siłą przynajmniej równą maksymalnej sile tarcia statycznego T₀. Jeżeli siłą jest za mała, to wywoła równy sobie opór tarcia i ciało się nie poruszy:

(24.61)

Działająca równocześnie prostopadła do niej dodatkowa siła F’ nieco mniejsza niż tarcie statyczne również wywoła równy sobie opór tarcia prostopadły do poprzedniego:

(24.62)

Gdy wypadkowa obu sił jest większa niż opór tarcia, ciało zacznie się poruszać. Kierunek tego ruchu będzie zgodny z więzami. Jeżeli więzy dopuszczają tylko ruch w kierunku działania pierwszej siły, ciało będzie się poruszać w tę stronę, mimo że siła F była zbyt mała, by ruszyć ciało z miejsca. Dzieje się tak, bo wypadkowa obu sił tarcia nie może być większa niż siła tarcia statycznego

(24.63)

Powiększenie składowej prostopadłej do kierunku zamierzonego ruchu prowadzi do zmniejszenia składowej siły tarcia w kierunku ruchu i siła F może wprawić ciało w ruch. W życiu codziennym często korzystamy z tej metody – np. przy okazji wyciągania gwoździ. Istnieją i niekorzystne strony opisanego zjawiska – dzięki niemu przy wstrząsach rozluźniają się gwinty, a hamujący samochód łatwo wpada w boczny poślizg.

Przykład: Jak znaleźć środek masy laski?

Kładziemy laskę na wyprostowanych palcach wskazujących obu rąk, tak aby była w równowadze, a następnie zsuwamy ręce aż palce znajdą się obok siebie. Laska jest nadal w równowadze, środek masy jest nad linią zetknięcia palców.

Jeżeli w czasie przesuwania palców dobrze się przyjrzymy temu, co się dzieje, to okaże się, że ruch laski i palców jest dość złożony. Laska ślizga się po jednym i po drugim palcu na przemian, ale zawsze tylko po jednym. Siłami dociskającymi palce do laski są reakcje podpór. Jeżeli oznaczymy je przez R_A i R_B, a ich odległości od środka masy przez a i b, to z równania momentów sił względem punktów podparcia znajdujemy

(Rys. 24.14)

(24.64)

czyli

(24.65)

gdzie F jest zaczepionym w środku masy ciężarem laski. Jeżeli na początku R_A > R_B, to laska ślizga się po palcu B, bo proporcjonalna do nacisku siła tarcia jest tam mniejsza. Przy tym maleje odległość b i wraz z nią reakcja R_A; w tym samym czasie reakcja R_B rośnie. Gdy b zrówna się z a (R_B = R_A), ruch trwa dalej, bo tarcie kinetyczne w B jest mniejsze niż statyczne w A. W chwili, w której obie siły tarcia się zrównają, reakcja R_A jest mniejsza niż R_B i laska zaczyna się ślizgać po palcu A, który teraz zbliża się do środka masy, podczas gdy odległość b pozostaje stała. Przy tym reakcja R_B maleje, a R_A rośnie i ruch zachodzi do chwili, gdy malejące tarcie statyczne w B zrówna się z kinetycznym w A. Proces powtarza się – oba palce na przemian dążą do środka masy.