Relatywistyczne prawa ruchu

19.2 Przykład: Naruszenie trzeciej zasady dynamiki

Siły wzajemnego oddziaływania między dwoma ciałami mogą być sobie równe tylko w stanie ustalonym, tzn. przy dostatecznie długim czasie utrzymywania się stałej wartości siły. Zmiana siły wywoła zmianę przeciwdziałania, ale z opóźnieniem koniecznym, by rozchodzące się nie prędzej niż światło oddziaływanie mogło dotrzeć od jednego ciała do drugiego. Istnieje więc czas – choćby bardzo krótki – w ciągu którego działanie nie równa się przeciwdziałaniu i trzecia zasada dynamiki nie jest spełniona.

Prawa dynamiki wielkich prędkości powinny mieć taką, zgodną z doświadczeniem, postać, żeby przy małych prędkościach przechodziły w prawa Newtona i żeby były spełnione wynikające z jednorodności przestrzeni i czasu prawa zachowania pędu, momentu pędu i energii, oraz niezmienniczości masy.

19.3 Pęd relatywistyczny

Sprawdźmy prawa zachowania pędu i masy w relatywistycznym zderzeniu sprężystym jednakowych cząstek A i B. Jedna z cząstek wylatuje z układu ruchomego z prędkością v’_A skierowaną prostopadle do prędkości v_u układu, przy czym tak jak dotychczas v_u jest równoległa do osi x obu układów. Druga cząstka wybiega z układu nieruchomego również prostopadle do osi x z prędkością v_B równą v’_A tylko przeciwnie skierowaną. Z symetrii zderzenia wynika, że obie cząstki wymienią się prędkościami, każdy obserwator stwierdzi po zderzeniu prostopadły do swojej osi x powrót cząstki z prędkością taką samą jaką wyleciała. Za to każdy z nich inaczej oceni lot drugiej cząstki. Zasada zachowania pędu powinna być spełniona w obu układach zarówno dla składowych równoległych, jak i prostopadłych do ruchu układu. W przypadku składowych równoległych sytuacja jest prosta.

(Rys. 19.1)

(Rys. 19.2)

Własna cząstka dla każdego obserwatora leci i wraca wzdłuż osi y, więc i przed, i po zderzeniu v’_Ax = v_Bx = 0, a cudza cząstka ma składową równą prędkości układu v_Ax = v_u, v’_Bx = –v_u. Istotne dla przekazywania pędu są tylko składowe prostopadłe do ruchu:

(19.1)

Z transformacji Lorentza wiemy, że przemieszczenia w kierunku siły będą takie same: dy = dy’. Jednak ze względu na niejednakowy przebieg czasu

(19.2)

(oczywiście dx = 0) prostopadłe składowe prędkości różnią się. To samo można stwierdzić z transformacji prostopadłych do ruchu składowych prędkości. Odpowiednie składowe pędu nie spełniają prawa zachowania

(19.3)

Jeżeli zależy nam na tym, żeby zasada zachowania pędu była spełniona w dynamice relatywistycznej, musimy zmienić jego definicję. W tym celu przyczynę rozbieżności – czas – trzeba zastąpić takim czasem, który dla każdego obserwatora jest jednakowy, tzn. czasem własnym

(19.4)

Teraz pochodne współrzędnych będą w obu układach równe

(19.5)

co prowadzi do zachowania składowych pędów

(19.6)

przy czym v_y zachowało swoje znaczenie „laboratoryjnej” pochodnej dy/dt. W podobny sposób definiujemy pozostałe składowe pędu:

(19.7)

i sam wektor pędu

(19.8)

Dla małych prędkości różnica między czasem własnym a laboratoryjnym znika i wzór na pęd wraca do tradycyjnej postaci

(19.9)

(Rys. 19.3)

Pęd relatywistyczny interpretuje się często jako iloczyn relatywistycznej masy

(19.10)

i prędkości. Ta tradycyjna interpretacja zmusza do rezygnacji z jednego z podstawowych praw – zachowania masy, a poza tym bywa niewygodna w stosowaniu. Znacznie wygodniej jest traktować mase jako niezmienną. Obserwowany w doświadczeniach wzrost masy szybkich cząstek jest w istocie wzrostem pędu. Wywołuje go ujawniająca się przy dużych prędkościach różnica między czasem własnym cząstki a czasem laboratoryjnym.

19.4 Przykład: Pęd elektronu

Źródłem elektronów, czyli lekkich cząstek elementarnych o masie m = 9,1·10^-31 kg i ujemnym ładunku e = 1,6·10^-19 C może być preparat promieniotwórczy (promieniowanie β to właśnie elektrony) albo żarzący się drucik. Elektrony wychodzące ze źródła mają różne prędkości v. W polu elektrycznym o natężeniu E działa na elektron siła eE, a w polu magnetycznym o indukcji B siła Lorentza ev×B. Jeżeli przepuścimy wiązkę elektronów przez obszar skrzyżowanych pól (tzn. o kierunkach E i B prostopadłych do siebie i do kierunku ruchu elektronów), to opuszczą go tylko te elektrony, dla których siły obu pól się równoważą, pozostałe ulegną odchyleniu. Z warunku równowagi eE = evB wynika, że będą to elektrony o prędkości

(19.11)

Zmieniając E lub B możemy wybierać z wiązki elektrony o żądanej prędkości. Obszar skrzyżowanych pól możemy nazwać selektorem prędkości.

(Rys. 19.4)

Jeżeli po wyjściu z selektora elektron pozostaje dalej w poprzecznym polu magnetycznym, to pod wpływem siły Lorentza porusza się po łuku koła określonym zależnością

(19.12)

Można stąd znaleźć stosunek ładunku do masy elektronu

(19.13)

w zależności od natężenia pola elektrycznego w selektorze, indukcji magnetycznej i promienia toru po wyjściu z selektora. Promień ten możemy wyznaczyć ustawiając na drodze wiązki kliszę fotograficzną lub ekran fluoryzujący i mierząc odchylenie elektronów.

Tak zmierzony stosunek ładunku do masy maleje ze wzrostem prędkości elektronu. Tradycyjnie interpretowano ten spadek jako przejaw wzrostu masy elektronu. Jeżeli uważamy masę za niezmienną, to musimy uznać, że doświadczenie wykazuje wzrost stosunku pędu do prędkości. Wyniki liczbowe potwierdzają wzór

(19.14)

19.5 Relatywistyczny moment pędu

Mnożąc wektorowo promień wodzący przez pęd otrzymujemy moment pędu

(19.15)

Iloczyn r×v jest równy podwojonej prędkości polowej σ. Ze względu na zależny od prędkości czynnik

(19.16)

w dynamice relatywistycznej ze stałości momentu pędu

(19.17)

nie wynika stałość prędkości polowej.

19.6 Energia relatywistyczna

Podobnie jak w dynamice małych prędkości, pochodna pędu względem czasu gra rolę siły:

(19.18)

Jeżeli prędkość cząstki ma stałą wartość, a zmienny kierunek, czyli gdy siła jest prostopadła do prędkości, to v/c = const i różniczkowanie jest proste

(19.19)

Natomiast gdy prędkość zmienia wartość zachowując stały kierunek, czyli gdy siła jest równoległa do prędkości, różniczkujemy pęd jako iloczyn skalara i wektora

(19.20)

Jak widać, stosunek siły do przyspieszenia jest inny dla siły prostopadłej, a inny dla równoległej do ruchu.

Energię kinetyczną znajdziemy z pracy rozpędzania cząstki przez siłę równoległą do prędkości

(19.21)

Pomnóżmy licznik i mianownik przez 2c²:

(19.22)

Po scałkowaniu z uwzględnieniem warunku, że dla v = 0 E_k =0, otrzymamy

(19.23)

Jest to relatywistyczny wzór na energię kinetyczną. Iloczyn mc² nosi nazwę energii spoczynkowej. Suma energii kinetycznej i spoczynkowej

(19.24)

jest energią całkowitą. Zauważmy, że dla v << c można napisać

(19.25)

a stąd

(19.26)

w zgodności z dynamiką małych prędkości.

(Rys. 19.5)

Uzyskana relatywistyczna postać wzoru na energię jeszcze raz potwierdza graniczny charakter prędkości światła. Dla v → c energia dąży do nieskończoności, co oznacza, że do przyspieszenia cząstki konieczny jest nieskończenie wielki nakład pracy.

W odróżnieniu od dynamiki małych prędkości energia relatywistyczna jest zawsze dodatnia i ściśle określona. Ciałom spoczywającym musimy przypisać energię spoczynkową o zaskakująco wielkiej wartości. Masa jest równoważna energii.

Przykład: Gram energii. Energia spoczynkowa ciała o masie 1 g jest wystarczająca do podniesienia całej ludzkości (2·10¹¹ kg) na wysokość 45 m.

Masę i energię można mierzyć w tych samych jednostkach. W bilansie energii trzeba uwzględnić energię spoczynkową, a w bilansie masy – masę wyzwolonej energii.

Przykład: Rozpad cząstki. Produkty rozpadu spoczywającej cząstki o masie m rozlatują się z prędkościami v₁ i v₂. Bilans energii całkowitej całkowitej ma postać

(19.27)

Jak widać, suma mas produktów jest mniejsza niż masa cząstki wyjściowej m₁ + m₂ < m. Różnica

(19.28)

jest defektem (niedoborem masy). Suma energii kinetycznych produktów

(19.29)

Na poniższym wykresie przedstawiono zmiany energii przy rozpadzie spoczywającej cząstki o masie m. Rozpad nastąpił w chwili t_r. Suma mas produktów rozpadu ∑m jest mniejsza niż masa cząstki pierwotnej. Niedobór masy jest równy sumie początkowych energii kinetycznych produktów rozpadu podzielonej przez kwadrat prędkości światła. W wyniku zderzeń z innymi cząstkami energia kinetyczna zmalała do zera i energia końcowa jest sumą energii spoczynkowych ∑mc².

(Rys. 19.6)

19.7 Związek między pędem a energią

Podnieśmy relatywistyczny pęd do kwadratu i pomnóżmy przez kwadrat prędkości światła

(19.30)

Dodajmy teraz kwadrat energii spoczynkowej

(19.31)

Oczywiście

(19.32)

Zatem

(19.33)

albo

(19.34)

Wyrażenie to jest słuszne także dla cząstek o zerowej masie.

19.8 Energia i pęd fotonu

Promieniowanie możemy uważać za złożone z fotonów – cząstek o prędkości v = c, a więc o masie m = 0 i energii E = hν, gdzie h jest stałą Plancka , a ν – częstością drgań. Wobec tego

(19.35)

Foton jest cząstką nieważką, ale posiadającą pęd:

(Rys. 19.7)

pęd fotonu wynosi

(19.36)

Zderzając się z przeszkodą, fotony przekazują jej pęd, czyli wywierają ciśnienie. Ciśnienie światła można zaobserwować doświadczalnie.

19.9 Transformacje pędu i energii

Wyrażenie

(19.37)

jest kwadratem energii spoczynkowej ciała, musi więc być takie samo we wszystkich układach

(19.38)

Kwadrat pędu jest sumą kwadratów składowych

(19.39)

Stąd

(19.40)

Analogia do kwadratu interwału

(19.41)

jest widoczna. Interwał jest bezwzględną wartością czterowektora wodzącego. Iloczyn masy i prędkości światła

(19.42)

będziemy uważali za wartość bezwzględną czterowektora pędu – energii, czyli czteropędu p^μ. Składowe pędu

(19.43)

są jego składowymi przestrzennymi, a energia (podzielona przez prędkość światła) – składową czasową:

(19.44)

(Rys. 19.8)

Korzystając z definicji energii i czasu własnego możemy i tej składowej nadać postać analogiczną do pozostałych

(19.45)

i stąd

(19.46)

Ponieważ m, c, i dt₀ nie zmieniają się przy transformacjach, widać stąd, że składowe pędu będą transformowały jak dx, dy, dz a E/c jak dt. Z zależności

(19.47)

wynika więc

(19.48)

Wprowadzenie czteropędu pozwala nam ująć prawa zachowania energii i pędu w jedno prawo zachowania czteropędu

(19.49)

W dynamice relatywistycznej z zachowania pędu wynika zachowanie energii i odwrotnie. Stałość czterowektora oznacza, że stałe są wszystkie cztery składowe.

19.10 Relatywistyczne zderzenia cząstek

Niech

(19.50)

Prawa zachowania zapiszemy w postaci równości sum czteropędów:

(19.51)

Podnieśmy je obustronnie do kwadratu:

(19.52)

Kwadrat czteropędu jest równy kwadratowi iloczynu masy cząstki i prędkości światła. Stąd

(19.53)

i po redukcji pozostają tylko iloczyny

(19.54)

Przekształcając prawo zachowania czteropędu przez przenoszenie wyrazów do postaci

(19.55)

lub

(19.56)

i podnosząc do kwadratu możemy uzyskać związki

(19.57)

Jak widać, w prawie zachowania wyrażonym w postaci równości iloczynów czteropędów czynniki można grupować parami w dowolny sposób. Rozwiązując konkretne zagadnienie stosujemy najwygodniejszą postać. Można też podnosić do kwadratu sumę trzech czterowektorów, np.

(19.58)

otrzymując

(19.59)

Podobnie jak poprzednio

(19.60)

Stąd

(19.61)

czyli po redukcji

(19.62)

W taki sam sposób znajdziemy

(19.63)

przy czym każdy iloczyn można zastąpić iloczynem pozostałej pary czteropędów. Skalarne iloczyny czterowektorów oblicza się tak samo jak zwykłych wektorów, z tą tylko różnicą, że iloczyny składowych przestrzennych mają znak przeciwny niż składowych czasowych

(19.64)

przy czym ϑ jest kątem między wektorami pędu p_A, p_B, a E_A, E_B są relatywistycznymi energiami cząstek.

Rozpatrzmy zderzenie sprężyste w układzie laboratoryjnym, w którym jedna z cząstek – powiedzmy B – przed zderzeniem spoczywa. Wówczas do prawa zachowania czteropędu wstawiamy p_B- = 0 i E_B- = m_Bc². Mnożenie przez p_B- pozwala przy odpowiednim wyborze postaci prawa zachowania wyeliminować jeden nieznany pęd. Ponadto zasada zachowania energii

(19.65)

umożliwia wyrugowanie jednej nieznanej energii. Wyznaczymy kąty ϑ_A, ϑ_B odchylenia (rozproszenia) obu cząstek w wyniku zderzenia. Prawo zachowania czteropędu w postaci

(19.66)

rozpiszemy na składowe

(19.67)

stąd kąt rozproszenia

(19.68)

W podobny sposób z odpowiedniej postaci prawa zachowania znajdziemy kąt rozproszenia drugiej cząstki:

(19.69)

Gdy cząstka padająca ma masę równą zeru (m_A = 0), jej pęd jest równy energii podzielonej przez prędkość światła:

(19.70)

i wzór na rozproszenie przyjmuje postać

(19.71)

19.11 Zjawisko Comptona

Przechodząc przez substancję fotony gamma i rentgenowskie tracą energię między innymi w drodze rozpraszania na elektronach. Podstawiając

(19.72)

otrzymujemy

(19.73)

Można stąd obliczyć zmianę długości fali:

(19.74)

w zależności od kąta rozproszenia, który łatwiej zmierzyć.

(Rys. 19.9)

19.12 Kąt rozrzutu cząstek wielkiej energii

Kąty odchylenia cząstek o równych masach można znaleźć podstawiając do wzorów m_A = m_B = m. Prościej jednak otrzymamy kąt rozrzutu z prawa zachowania czteropędu w postaci

(19.75)

czyli

(19.76)

stąd

(19.77)

Wyrugujmy pędy podstawiając

(19.78)

oraz energię cząstki A przed zderzeniem

(19.79)

Teraz

(19.80)

ostatecznie

(19.81)

Przy małej końcowej energii kinetycznej jednej z cząstek E – mc² ≈ 0 i stąd

(19.82)

(Rys. 19.10)

Cząstki nierelatywistyczne rozbiegają się pod kątem prostym. Ten wynik otrzymaliśmy już uprzednio. Przy bardzo dużej energii E >> mc² (przypadek skrajnie relatywistyczny) można pominąć energie spoczynkowe i

(19.83)

Obie cząstki lecą w kierunku cząstki padającej. W przypadku pośrednim kąt między cząstkami jest ostry. Takie „widełki” obserwowane na kliszach jądrowych świadczą zawsze o dużej energii cząstek.

19.13 Zderzenia niesprężyste

W odróżnieniu od zderzeń przy małych prędkościach w niesprężystych zderzeniach relatywistycznych energia (całkowita!) jest zachowana. Spełnione jest również prawo zachowania pędu. Podobnie jak przy zderzeniach sprężystych można posługiwać się prawem zachowania czteropędu.

Zderzenie całkowicie niesprężyste jest równoznaczne z wychwytem. Jeżeli cząstka o masie m_A i energii E_A zderza się niesprężyście ze spoczywającą cząstką o masie m_B tworząc cząstkę o masie m_C i energii E_C, to prawo zachowania czteropędu ma postać

(19.84)

Podnosząc je obustronnie do kwadratu otrzymujemy

(19.85)

czyli

(19.86)

albo

(19.87)

Z zasady zachowania energii

(19.88)

widać, że energia cząstki C jest większa niż cząstki A

(19.89)

Obliczmy różnicę energii kinetycznych

(19.90)

Różnica między sumą mas cząstek pierwotnych a masą powstałej przez ich złączenie cząstki C jest defektem (niedoborem) masy Δm, a po pomnożeniu przez c² – energią wiązania cząstki C

(19.91)

W procesie syntezy cząstki C wyzwoliła się energia wiązania w postaci nadmiaru energii kinetycznej cząstki C w porównaniu z A. Ze względu na równoważność masy i energii masa cząstki C jest mniejsza niż suma mas cząstek, z których powstała. Niedobór masy jest miarą energii wiązania. Żeby przeprowadzić reakcję odwrotną, trzeba doprowadzić energię co najmniej równą energii wiązania.

W świetle powyższych rozważań możemy wypisać warunki powstania trwałej cząstki (Δm > 0):

(19.92)

i samorzutnego rozpadu cząstki C (Δm < 0) na A i B

(19.93)

(Rys. 19.11)

19.14 Tworzenie par elektronowych

Fotony gamma o dużej energii mogą ją tracić w drodze tworzenia par elektronów. Każda taka para składa się z elektronu ujemnego, czyli negatonu i dodatniego czyli pozytonu. Obie cząstki mają taką samą masę m = 9,1·10^-31 kg i różnią się tylko znakiem ładunku e = 1,6·10^-19 C. Masa cząstki pierwotnej (fotonu) m = 0, energia E = hν, a pęd p = hν/c. Bilans energii wygląda tak:

(19.94)

Tutaj wskaźnik f oznacza foton, e- negaton, e+ pozyton. Niedobór masy

(19.95)

jest zawsze większy od zera. Warunkiem rozpadu jest więc, by foton miał energię

(19.96)

(Rys. 19.12)

O tego typu reakcjach mówimy, że mają próg energii. Energia progowa tworzenia par

(19.97)

Zauważmy, że zasada zachowania pędu może być tutaj spełniona tylko wtedy, gdy jakaś trzecia cząstka przejmie nadmiar pędu (w układzie środka masy powstałej pary suma p’_e- + p’_e+ = 0 a p’_f ≠ 0)

(Rys. 19.13)

W układzie środka masy powstałych elektronów widać, że pęd nie będzie zachowany, bo suma pędów elektronów jest równa zeru, a pęd fotonu w żadnym układzie nie może się zerować. Dodatkowym warunkiem utworzenia pary elektronów jest więc bliskość jądra atomu, które może przejąć pęd fotonu.

Energia jaką zyska ciężkie jądro jest tak mała, że w bilansie energii możemy ją pominąć.

19.15 Relatywistyczne równanie ruchu

Stwierdziliśmy wyżej, że pochodna dp/dt gra rolę siły. Unikaliśmy jednak nazwania jej siłą. Wprowadzimy obecnie pojęcie siły relatywistycznej zwanej siłą uogólnioną lub czterosiłą. Zdefiniujemy ją jako pochodną czteropędu względem czasu własnego cząstki:

(19.98)

(Rys. 19.14)

Składowe czterowektora siły mają postać

(19.99)

oraz

(19.100)

Łatwo dostrzec, że składowe czterowektora siły uogólnionej transformują się jak składowe zmiany pędu dp_x, dp_y, dp_z i energii dE:

(19.101)

Jeżeli układ ruchomy porusza się wraz z cząstką, to

(19.102)

i dE’ = 0. Wyrażenie na dp’_x jest równe

(19.103)

Po podzieleniu przez

(19.104)

otrzymujemy transformację siły

(19.105)