1.1. Wiadomości wstępne.
1.2. Dodawanie i odejmowanie wektorów.
1.3. Mnożenie wektora przez skalar.
1.4. Rzut wektora na oś.
1.5. Wyrażenie wektora przez jego rzuty na osie układu współrzędnych.
1.6. Wektor położenia.
1.7. Iloczyn skalarny wektorów
1.8. Iloczyn wektorowy.
1.9. Iloczyn mieszany.
1.10. Podwójny iloczyn wektorowy.
1.1 Wiadomości wstępne.
W fizyce rozróżniamy dwa zasadniecze rodzaje wielkości fizycznych: skalary oraz wektory. W tym podrozdziale zajmiemy się wektorami.
Do pełnego opisu wektora nie wystarczy jak ma to miejsce w przypadku skalara podanie jednej liczby. W ogólności do pełnego opisu wektora trzeba podać (w trójwymiarowym układzie współrzędnych) aż trzy liczby – tak zwane współrzędne wektora. Współrzędne te możemy oznaczyć standardowo symbolami: x, y, z.
Przykłady skalarów: masa, czas, temperatura, gęstość, objętość, natężenie prądu, potencjał, energia
Przykłady wektorów: przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, siła, natężenie pola elektrycznego, indukcja magnetyczna, gęstość prądu elektrycznego itp.
Wektory oznaczamy strzałką nad daną wielkością fizyczną lub pogrubioną czcionką. Na tej stronie wektory będziemy oznaczali pogrubioną czcionką. Oto przykłady wektorów:
Obrazem geometrycznym wektora jest odcinek skierowany o początku w punkcie A i końcu w punkcie B. Co przedstawia poniższy rysunek:
Długość odcinka AB jest proporcjonalna do wartości reprezentowanej wielkości fizycznej. Długość (moduł) wektora 
oznaczamy
lub krócej a.
1.2. Dodawanie i odejmowanie wektorów.
Sumę wektorów możemy znaleźć metodą równoległoboku. Z jednego punktu wykreślamy wektory a i b. W równoległoboku zbudowanym na tych wektorach poszukiwaną sumą jest przekątna wychodząca ze wspólnego punktu. Przedstawia to poniższy rysunek:
Z rysunku widzimy, że dodawanie wektorów jest przemienne.
Wektory można też dodawać metodą wieloboku. Z dowolnego punktu wykreślamy wektor a, z końca wektora a – wektor b. Wektor c którego początek pokrywea się z początkiem wektora a, koniec zaś – z końcem wektora b, nazywamy sumą wektorów a i b. Podobnie tworzymy sumę n wektorów. Z końca pierwszego wektora wykreślamy drugi wektor, z końca drugiego wektora – wektor trzeci itd. Wektor wypadkowy, łączący początek pierwszego wektora z końcem ostatniego, nazywamy sumą danych n wektorów. Przedstawia to poniższy rysunek:
Odejmowanie wektora b od wektora a definiujemy jako dodawanie wektora przeciwnego: – b do wektora a.
1.3. Mnożenie wektora przez skalar
W wyniku mnożenia wektora a przez skalar k otrzymuje się nowy wektor b:
Długość (moduł) wektora b jest |k| razy większa od długości wektora a . Kierunki wektorów a i b są takie same, a zwrot wektora b jest albo zgodny ze zwrotem wektora a (jeżeli k > 0 ), albo przeciwny zwrotowi wektora a (jeżeli k < 0 ).
Zatem pomnożenie wektora przez -1 zmienia zwrot tego wektora na przeciwny. Wektory a i – a mają więc takie same długości i ten sam kierunek, lecz różnią się zwrotem.
Każdy wektor a można przedstawić w postaci:
gdzie:
Wersor jest wielkością bezwymiarową. Wersory można przyporządkowąć nie tylko wektorom ale i dowolnym osiom w przestrzeni. Na przykład:
1.4. Rzut wektora na oś
Rzut wektora a na oś l oznaczamy al
<>
Jeżeli wektor a tworzy z osią l kąt 
to rzut wektora a na oś l wyraża się wzorem:
Rzut wektora jest wielkością algebraiczną, a więc może przyjmować zarówno wartości dodatnie jak i ujemne. Jeżeli wektor tworzy z daną osią kąt ostry to:
i rzut jest dodatni.
Jeżeli wektor tworzy z daną osią kąt taki, że:
to rzut jest ujemny.
Natomiast gdy wektor jest prostopadły do danej osi, wtedy rzut wektora na oś jest równy zeru.
1.5. Wyrażenie wektora przez jego rzuty na osie układu współrzędnych.
Rozważmy układ współrzędnych kartezjańskich:
Wektor a leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi z. Wzdłuż każdej z osi leżą wersory (wektory jednostkowe), które mają wspólny początek (w początku układu współrzędnych) i są do siebie wzajemnie prostopadłe. Na rysunku nie pokazano wersora ez gdyż jest on prostopadły do płaszczyzny rysunku i zwrócony ku nam.
Jak widać na poniższym rysunku oraz wzorze każdy wektor umieszczony w kartezjańskim układzie współrzędnych można wyrazić przez jego rzuty na osie układu i wersory osiowe.
Wartość wektora a można wyrazić za pomocą wzoru:
Jeżeli wektor a tworzy z osiami: Ox. Oy, Oz odpowiednio kąty: α, β , γ to zachodzi następująca ważna zależność:
1.6. Wektor położenia.
Wektor łączący początek układu współrzędnych z danym punktem nazywamy wektorem położenia lub wektorem wodzącym. Przedstawia to poniższy rysunek:
1.7. Iloczyn skalarny wektorów
Dwa wektory a i b możemy pomnożyć przez siebie na dwa sposoby: jeden prowadzi do wielkości skalarnej, a drugi do wektorowej. Mamy zatem dwa działania które nazywamy: iloczynem skalarnym oraz iloczynem wektorowym. Należy zaznaczyć, że nie występuje operacja działania dzielenia wektora przez wektor.
Iloczynem skalarnym wektorów a i b nazywamy skalar równy iloczynowi długości tych wektorów i kosinusa kąta między nimi:
Dla ostrego kąta α iloczyn skalarny dwóch wektorów jest dodatni, a dla rozwartego kąta α iloczyn skalarny wektorów jest ujemny. Iloczyn skalarny prostopadłych wektorów jest równy zeru.
Przez kwadrat wektora zawsze rozumie się iloczyn skalarny wektora przez siebie:
Widzimy, że kwadrat wektora równy jest kwadratowi jego długości.
Iloczy skalarny jest przemienny to znaczy, żę nie zależy od kolejności czynników, co przedstawia wzór:
Mnożenie skalarne jest rozdzielne względem dodawania tzn.
Z definicji iloczynu skalarnego wynika, że:
oraz:
Biorąc pod uwagę trzy powyższe wzory możemy zapisać:
1.8. Iloczyn wektorowy.
Iloczynem wektorowym weltorów a i b nazywamy wektor c dany wzorem:
gdzie:
Wartość wektora c jest równa polu powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b. Co przedstawia poniższy rysunek:
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a i b zapisujemy następująco:
Iloczyn wektorowy nie jest działaniem przemiennym:
Mnożenie wektorowe jest rozdzielne względem dodawania tzn.
Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że iloczyny wektorowe wektorów jednostkowych związanych z osiami x, y, z mają następujące własności:
oraz:
W tym miejscu można dodać, że wersory związane z osiami x, y, z można różnie oznaczać:
Biorąc pod uwagę powyższe zależności otrzymujemy:
Do zapisu iloczynu wektorowego wykorzystane zostały wyznaczniki drugiego stopnia, które liczymy następująco:
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a i b można zapisać krócej za pomocą wyznacznika stopnia trzeciego:
1.9. Iloczyn mieszany.
Mieszanym (lub skalarno-wektorowym) nazywamy iloczyn trzech wektorów :
gdzie:
Wersor n określa kierunek i zwrot wektora d. Z poniższego rysunku:
gdzie:
Opisywany w tym podrozdziale iloczyn mieszany ma więc prosty sens geometryczny: jet on równy liczbowo objętości równoległościanu rozpiętego na mnożonych wektorach a, b, c. Ponieważ objętość równoległościanu nie może zależeć od tego, która ściana jest wzięta za podstawę bryły to:
Można więc zauważyć, że iloczyn mieszany nie zależy od cyklicznego przestawiania czynników, to znaczy następującej zamiany wektorów w iloczynie:
Iloczyn mieszany można również zapisać za pomocą wyznacznika:
1.10. Podwójny iloczyn wektorowy.
Podwójny iloczyn wektorowy ma następującą postać matematyczną:
Podwójny iloczyn wektorowy można uprościć za pomocą tak zwanej reguły BAC-CAB:
