Prawa ruchu

Wielkością charakteryzującą ruch jest prędkość. Do opisania ruchu cząstki wystarczy znajomość wektora prędkości w funkcji czasu. Zmiana ruchu, tzn. zmiana prędkości, wymaga pokonania oporu bezwładności. Miarą bezwładności jest masa. Iloczyn masy cząstki i jej prędkości nosi nazwę pędu:

(2.1)

Pęd jest pojęciem bardziej pierwotnym niż masa czy prędkość. Masa i położenie charakteryzują cząstkę w spoczynku. Ruch cząstki jest równoznaczny ze zlokalizowanym transportem pędu i energii. Pęd jest wektorem o kierunku prędkości.

(Rys. 2.1)

Wektor pędu pełniej charakteryzuje ruch niż wektor prędkości. W ogólnym przypadku pęd cząstki jest funkcją współrzędnych i czasu:

(2.2)

W układzie kartezjańskim:

(2.3)

Stąd:

(2.4)

oraz:

(2.5)

oczywiście:

(2.6)

We współrzędnych krzywoliniowych:

(2.7)

Kierunek pędu wyznacza się z wzoru:

(2.8)

Wektor pędu jest styczny do toru.

Przykład: Pęd w układzie biegunowym. Jeżeli opisujemy ruch za pomocą współrzędnych biegunowych, to wektor pędu będzie miał składową radialną:

(2.9)

i transwersalną:

(2.10)

Naturalnie:

(2.11)

Kierunek wektora pędu znajdziemy z wzoru:

(2.12)

2.2 Siła

Kiedy mówimy o zmianach ruchu, mamy na myśli zmiany parametrów ruchu, a najczęściej zmiany prędkości. Pełniejszą charakterystykę zmian ruchu dają zmiany pędu. Przyczyną zmiany pędu cząstki mogą być tylko oddziaływania innych cząstek lub ciał. Fizyczną miarą oddziaływania jest siła. Im silniejsze oddziaływanie, tym szybciej zmienia się pęd cząstki podlegającej oddziaływaniu. Siłę definiuje się jako pochodną pędu względem czasu:

(2.13)

Powyższy wzór nosi nazwę drugiej zasady dynamiki (Newton 1687). Wektor siły ma kierunek zmiany pędu.

(Rys. 2.2)

Przykład: Hamujący samochód. Podczas równomiernego hamowania na prostoliniowej trasie pęd samochodu maleje zgodnie z wzorem:

(2.14)

Wobec tego siła hamująca jest równa:

(2.15)

Współczynnik R ma sens siły, znak minus oznacza, że działa on przeciwnie do pędu, czyli do kierunku ruchu.

(Rys. 2.3)

Siłą, która odpowiada temu warunkowi, jest siła tarcia. Z podanego wzoru można obliczyć także czas potrzebny do całkowitego zachamowania samochodu, mianowicie, aby było p = 0, trzeba czasu:

(2.16)

Im większy pęd (tzn. masa i prędkość) i im mniejsza hamująca siła tarcia, tym dłużej trwa hamowanie i tym większą drogę przejedzie samochód w tym czasie. Drogę hamowania obliczamy z wzoru dla ruchu jednostajnie opóźnionego:

(2.17)

gdzie przyspieszenie

(2.18)

bowiem prędkość końcowa:

(2.19)

Stąd biorąc pod uwagę (2.17), (2.18) oraz (2.16) otrzymujemy:

(2.20)

Zasada bezwładności. Cząstkę, na którą nie działają siły, będziemy nazywali odosobnioną. Wówczas:

(2.21)

czyli:

(2.22)

Pęd ciała odosobnionego jest stały co do wartości i kierunku. Powyższe stwierdzenie wyraża zasadę zachowania pędu zwaną także pierwszą zasadą dynamiki lub zasadą bezwładności (Galileusz 1638). Ciało odosobnione porusza się ruchem jednostajnym, po lini prostej (v = const). Ten sam wynik otrzymamy, jeżeli na cząstkę działają siły równoważące się, czyli gdy:

(2.23)

Układy inercjalne. Prostoliniowy i jednostajny ruch ciała odosobnionego jest najprostszym z wszystkich możliwych ruchów. Z ciałem takim można związać układ odniesienia, który będzie się poruszał wraz z nim ruchem jednostajnym po lini prostej. Nazwiemy go układem inercjalnym. Układów inercjalnych może być tyle, ile ciał odosobnionych, tzn. nieskończenie wiele. Poszczególne układy inercjalne poruszają się względem siebie jednostajnie i prostoliniowo. Można ten wniosek odwrócić: jeżeli jakiś układ porusza się jednostajnie i prostoliniowo względem układu inercjalnego, to jest również inercjalny.

Poniższy rysunek przedstawia inercjalny układ odniesienia.

(Rys. 2.4)

Zasadę bezwładności można określić jako postulat istnienia układów inercjalnych: istnieją takie układy odniesienia, w których cząstka odosobniona porusza się ruchem jednostajnym po lini prostej. Zasady dynamiki są spełnione tylko w układach inercjalnych. Z układami nieinercjalnymi, czyli przyspieszonymi zapoznamy się później.

Popęd siły. Z drugiej zasady dynamiki można znaleźć zmianę pędu:

(2.24)

Po scałkowaniu w granicach od p₀ do p otrzymujemy:

(2.25)

Powyższa całka nosi nazwę popędu siły. Zmiana pędu równa się popędowi siły. Jeżeli siła jest stała (F = const), to wyrzucamy ją przed znak całki i popęd siły jest wówczas równy iloczynowi siły i czasu, czyli:

(2.26)

Zmienna i stała masa. Przy zmiennej masie:

(2.27)

i druga zasada dynamiki otrzymuje postać:

(2.28)

Dla cząstki odosobnionej F = 0. otrzymujemy stąd:

(2.29)

Wyrażenie po lewej stronie ma sens siły. Oznacza to, że ze zmianą masy wiąże się siła. Do powyższego równania wrócimy przy omawianiu zasady zachowania pędu dla układu cząstek i podstaw napędu odrzutowego.

Jeżeli masa jest stała, to:

(2.30)

i druga zasada dynamiki przechodzi w dobrze znaną postać:

(2.31)

Siła równa się iloczynowi masy cząstki i przyspieszenia uzyskanego pod jej wpływem. Gdziekolwiek obserwujemy przyspieszenie, przyczyną jego jest siła równa iloczynowi masy i przyspieszenia. Przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do siły działającej na cząstkę i ma jej kierunek:

(2.32)

(Rys. 2.5)

Przykład: Siły w ruchu po okręgu. Cząstka o masie m porusza się po okręgu. Przyspieszenie całkowite a jest sumą przyspieszenia stycznego a_s i normalnego a_n. Ruch przyspieszony jest wynikiem działania siły, którą można rozłożyć na składową styczną i normalną. Każda z nich jest równa iloczynowi masy cząstki i odpowiedniej składowej przyspieszenia. I tak składowa styczna:

(2.33)

a składowa normalna:

(2.34)

Składowa normalna nosi nazwę siły dośrodkowej.

(Rys. 2.6)

Z drugiej zasady dynamiki wynika, że jeżeli stała siła działa na ciała o różnych masach, to uzyskują one przyspieszenia odwrotnie proporcjonalne do swoich mas.

Przykład: siła dośrodkowa. Aby ciało o masie m mogło się poruszać po okręgu o promieniu r ze stałą prędkością v, trzeba wytworzyć siłę dośrodkową, czyli siłę prostopadłą do toru o takiej wartości F, by ciało uzyskało przyspieszenie:

(2.35)

Ta sama siła przyłożona do ciała o tej samej prędkości, ale większej masie m’ nie wystarczy, bo z m’ > m wynika:

(2.36)

Jeżeli nie zwiększymy siły, to ciało m’ będzie się poruszało po okręgu o promieniu:

(2.37)

Jeżeli jakaś siła nadaje ciałom o różnych masach takie samo przyspieszenie, oznacza to, że jest ona wprost proporcjonalna do masy ciał na które działa.

Przykład: Siła ciężkości. Wszystkie ciała spadają pod wpływem siły ciężkości F ze stałym przyspieszeniem g. Siła, która ciału o masie m₁ nadaje przyspieszenie g, jest równa F₁ = m₁g. Ogólnie rzecz biorąc:

(2.38)

Ciężar ciał jest wprost proporcjonalny do ich masy.

Oddziaływania podstawowe. Wszystkie znane obecnie oddziaływania dadzą się sprowadzić do trzech podstawowych klas. Będą to oddziaływania grawitacyjne, elektromagnetyczne i jądrowe. Siły oddziaływania grawitacyjnego są odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości r między cząstkami o masach m₁ i m₂ :

(2.39)

przy czym stała grawitacyjna jest bardzo mała:

(2.40)

Znacznie silniejsze są oddziaływania elektromagnetyczne, których przejawem są między innymi siły elektrostatycznego przyciągania lub odpychania między naładowanymi ciałami Q₁ i Q₂

(2.41)

gdzie współczynnik:

(2.42)

oraz siła, jaką na ruchomy ładunek działa pole magnetyczne o indukcji B (siła Lorentza)

(2.43)

Oddziaływania jądrowe dzielą się na silne i słabe. Oddziaływania silne wiążą ze sobą cząstki, z których składają się jądra, oddziaływania słabe przejawiają się w rozpadzie cząstek jądrowych. W odróżnieniu od oddziaływań grawitacyjnych i elektromagnetycznych, których zasięg jest nieograniczony (proporcjonalność do 1/r²), zasięg sił jądrowych jest rzędu rozmiarów jądra – przypisuje się im proporcjonalność do:

(2.44)

gdzie:

(2.45)

Siłę, a ściślej energię oddziaływań, określają stałe oddziaływania. Jeżeli stałą oddziaływań silnych przyjąć za 1, to oddziaływania elektromagnetyczne charakteryzuje liczba 1/137, słabe 10^-14, a grawitacyjne 10^-40. W działalności praktycznej, w życiu codziennym i w technice mamy najczęściej do czynienia z siłami elektromagnetycznymi. Należą do nich obok sił elektrycznych i magnetycznych siły tarcia, sprężystości, molekularne i atomowe.

Wszystkie wymienione rodzaje sił mają prawdopodobnie charakter wymienny, tzn. polegają na bardzo szybkiej wymianie odpowiedniej cząstki. Pośrednikiem oddziaływań silnych są mezony π (piony), elektromagnetycznych – fotony, słabych – pośrednie bozony, grawitacyjnych – nie odkryte dotąd grawitony.

2.3 Moment siły i moment pędu

Pęd nie jest jedyną wielkością charakteryzującą ruch cząstki. Mnożąc wektorowo obie strony drugiej zasady dynamiki (2.13) przez wektor położenia cząstki:

(2.46)

i uwzględniając związek:

(2.47)

ale ze względu na to, że:

(2.48)

otrzymujemy:

(2.49)

Lewa strona powyższej równości nosi nazwę momentu siły :

(2.50)

Moment siły jest iloczynem wektorowym wektora położenia i siły. Oczywiście będzie to moment siły względem początku układu odniesienia. Jego wartość wynosi:

(2.51)

(Rys. 2.7)

Iloczyn:

(2.52)

czyli rzut wektora r na kierunek prostopadły do siły nazywamy ramieniem siły. Wartość wektora momentu siły jest równa iloczynowi wartości siły i jej ramienia.

Wektor momentu siły jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez siłę i wektor położenia i wskazuje w stronę określoną regułą śruby prawoskrętnej. Gdy siła jest prostopadła do wektora położenia, jej moment ma wartość maksymalną M = rF. Moment siły skierowanej wzdłuż wektora położenia jest równy zeru.

Iloczyn wektorowy wektora położenia i pędu cząstki:

(2.53)

nazywamy momentem pędu. Spotyka się też nazwę pęd obrotowy lub kręt. Moment pędu jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez wektor położenia i pęd, a jego zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej.

(Rys. 2.8)

Wartość momentu pędu:

(2.54)

jest największa, gdy wektory położenia i pędu są prostopadłe, i równe zeru, gdy są równoległe.

Wróćmy teraz do przekształconej postaci drugiej zasady dynamiki (która wynika z zależności: (2.49), (2.50) oraz (2.53)):

(2.55)

Zmiana momentu pędu ma kierunek momentu siły, co przedstawia rysunek:

(Rys. 2.9)

Moment siły równa się czasowej pochodnej momentu pędu. To prawo jest szczególnie przydatne w ruchu obrotowym. W przypadku pojedyńczej cząstki dobrą jego ilustracją może być ruch niejednostajny po okręgu.

Iloczyn:

(2.56)

można scałkować:

(2.57)

Całka po prawej stronie nosi nazwę popędu momentu siły. Zmiana momentu pędu jest równa (wektorowo) popędowi momentu siły. Jeżeli moment siły względem początku wektora r znika (M = 0), to moment pędu zachowuje stałą wartość i kierunek:

(2.58)

Otrzymaliśmy zasadę zachowania momentu pędu.

Ze stałości wektora momentu pędu wynikają dwa ważne wnioski. Po pierwsze, ze względu na prostopadłość momentu pędu do płaszczyzny wzynaczonej przez wektory położenia i pędu stałość wektora L oznacza, że płaszczyzna (r, v) nie zmienia się. Tor cząstki jest krzywą płaską. Po drugie:

(2.59)

Iloczyn wektorowy wektora położenia i prędkości jest proporcjonalny do prędkości polowej, więc i ona będzie stała:

(2.60)

Zatem jeżeli w jakimś ruchu moment pędu jest stały, to cząstka porusza się po krzywej płaskiej ze stałą prędkością polową.

Przykład: Siła centralna. Siłę nazywamy centralną, gdy jej linia działania przechodzi zawsze przez stały punkt, zwany centrum, a jej wartość jest funkcją odległości od centrum. Siłę centralną można więc zdefiniować wzorem:

(2.61)

(Rys. 2.10)

przy czym początek układu współrzędnych wybrano w centrum siły. Moment siły centralnej względem centrum

(2.62)

jest stale równy zeru. Wobec tego także:

(2.63)

Ruch pod wpływem siły centralnej jest płaski, a prędkość polowa stała. Przykładem takiego ruchu są ruchy planet dookoła Słońca (prawa Keplera).

Moment pędu i moment bezwładności. Często konieczne jest wyrażenie momentu pędu w układzie biegunowym. Rozkładając wektor pędu na składową radialną p_r i transwersalną p_φ, otrzymujemy:

(2.64)

(Rys. 2.11)

Moment pędu jest iloczynem wektorowym promienia wodzącego i transwersalnej składowej pędu. Zakreskowane pole jest miarą wartości iloczynu wektorowego.

Składowa radialna pędu jest równoległa do wektora r, a składowa transwersalna prostopadła. Zatem:

(2.65)

Iloczyn

(2.66)

nosi nazwę momentu bezwładności cząstki względem początku wektora r. Pochodna dφ/dt jest oczywiście prędkością kątową. Stąd, po uwzględnieniu kierunków L i ω otrzymujemy:

(2.67)

Wektor momentu pędu jest proporcjonalny do prędkości kątowej i ma jej kierunek.

Wróćmy do związku między momentem siły i momentem pędu:

(2.68)

Jeżeli moment bezwładności pozostaje stały (np. cząstka w ruchu po okręgu), to:

(2.69)

gdzie ε jest przyspieszeniem kątowym. Powyższy związek jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki w ruchu obrotowym.

(Rys. 2.12)

Gdy:

(2.70)

Iloczyn momentu bezwładności i prędkości kątowej pozostaje stały. Jeżeli moment bezwładności wzrośnie, to prędkość kątowa zmaleje i odwrotnie: zmniejszenie momentu bezwładności spowoduje wzrost prędkości kątowej.

Przykład: Moment pędu planety. Planety obiegają Słońce po elipsach. Siła ciążenia jest centralna, jej moment względem centrum jest równy zeru. Moment pędu planety zachowuje stałą wartość :

(2.71)

W najdalszym punkcie orbity (tzw. aphelium) moment bezwładności:

(2.72)

jest większy niż w najbliższym punkcie (perihelium):

(2.73)

Ze stałości iloczynu Iω wynika, że prędkość kątowa w perihelium musi być większa niż w aphelium.

(Rys. 2.13)

2.4 Równania ruchu

Podane uprzednio sformułowanie drugiej zasady dynamiki mogłoby prowadzić do wniosku, że jest ona li tylko definicją siły. Tak jednak nie jest. Podstawowe znaczenie drugiej zasady dynamiki polega na tym, że daje ona równanie ruchu. Mianowicie jeżeli znamy siłę jako funkcję położenia, prędkości czy czasu:

(2.74)

to z drugiej zasady zapisanej w formie

(2.75)

możemy przez całkowanie otrzymać prędkość:

(2.76)

i położenie:

(2.77)

Stałe całkowania r₀ i v₀ oznaczają położenie i prędkość w jakiejś chwili t₀.

W praktyce całkowanie może być niekiedy bardzo trudne. Niemniej jednak świadomość, że z równania ruchu można drogą rachunku otrzymać prędkość i tor ciała, ma wielkie znaczenie poznawcze. Świat mechaniki klasycznej jest deterministyczny . Wystarczy znać zależność siły od położenia, prędkości czy czasu i stałe całkowania, żeby móc odtworzyć przeszły ruch ciała i przewidzieć jak się będzie poruszało w przyszłości.

Każde wektorowe równanie ruchu jest równoważne trzem równaniom skalarnym. Ich postać zależy od układu współrzędnych wybranego do opisania ruchu. W układzie współrzędnych kartezjańskich równania ruchu przyjmują postać:

(2.78)

przy czym F_x, F_y, F_z są składowymi siły, x, y, z – współrzędnymi cząstki, czyli składowymi wektora położenia, a:

(2.79)

są składowymi wektora prędkości. Rozwiązaniem tego układu będą równania toru cząstki:

(2.80)

podające zależność współrzędnych od czasu i sześciu stałych, określonych przez warunki brzegowe – np. początkowe. Tylko przez podanie warunków brzegowych uzyskujemy jednoznaczne równanie toru. Jeżeli ich nie określamy, to oznacza to, że położenie i prędkość w chwili t₀ mogą być dowolne i wartości x₀, y₀, z₀, v_0x, v_0y, v_0z należy zastąpić przez dowolne stałe C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, C₆. Wówczas równanie toru:

(2.81)

opisuje rodzinę nieskończenie wielu możliwych torów ruchu.

Z równań ruchu można też wyznaczyć składowe prędkości w funkcji sześciu stałych dowolnych:

(2.82)

lub gdy znamy warunki brzegowe, w funkcji składowych położenia i prędkości w chwili t₀ :

(2.83)

Niekiedy dogodniejsze dla opisu ruchu są współrzędne krzywoliniowe. W układzie cylindrycznym równania ruchu przybierają postać:

(2.84)

Rozwiązuje się je względem ρ, φ, z. W układzie biegunowym odpada ostatnie równanie. A oto równania ruchu w układzie współrzędnych sferycznych:

(2.85)

Znacznie prostszą postać mają równania ruchu we współrzędnych naturalnych:

(2.86)

przy czym F_s oznacza składową styczną siły, a F_n – składową normalną.

Należy pamiętać, że zagadnienie ruchu ciała nie jest problemem czysto rachunkowym. Na to, żeby móc wypisać i rozwiązać równania ruchu, trzeba znać zależność siły od położenia, prędkości czy czasu i warunki brzegowe. Zależność siły od parametrów ruchu poznajemy drogą eksperymentu i obserwacji. Równania ruchu wyrażają prawa natury, natomiast warunki brzegowe opisują konkretne ramy w jakich przebiega zjawisko. Każdy wynik rachunku matematycznego musimy skonfrontować z doświadczeniem, bo tylko ono jest ostatecznym sprawdzianem słuszności teorii. Rozwiązania niezgodne z rzeczywistością muszą być odrzucone, nawet jeśli z punktu widzenia matematyki rachunek był prawidłowy.

Całkowanie równań ruchu. Równania ruchu są równaniami różniczkowymi. Najłatwiejsze do rozwiązania są równania o rozdzielonych zmiennych. Zmienne potrafimy rozdzielić, gdy siła występująca po prawej stronie równań ruchu jest funkcją tylko jednej zmiennej, tj. tylko położenia, albo tylko prędkości albo tylko czasu. Kiedy siła zależy od położenia, mówimy zwykle o polu siły. Przykładem sił zależnych od położenia są siły grawitacyjne, siły sprężystości i siły elektromagnetyczne. Siły elektromagnetyczne mogą zależeć również od prędkości (siła Lorentza) i od czasu (pola zmienne). Wyłącznie od prędkości zależą wszystkie siły oporów ruchu – np. siły tarcia i lepkości.

Poniżej rozpatrzymy poszczególne przypadki równań ruchu i metody ich rozwiązania.

Cząstka odosobniona. Za odosobnioną uważamy cząstkę, na którą albo nie działają siły, albo też działają siły równoważące się, tzn. o wypadkowej F = 0. Równanie ruchu:

(2.87)

da się rozwiązać w sposób elementarny w formie wektorowej. Niech w chwili t₀ = 0, v = v₀ i r = r₀. Po rozdzieleniu zmiennych:

(2.88)

i scałkowaniu otrzymujemy:

(2.89)

czyli:

(2.90)

(Rys. 2.14)

Wektor prędkości jest stały – oczywiście także:

(2.91)

Drugi raz rozdzielamy zmienne w równaniu (2.90):

(2.92)

całkujemy i po przekształceniu otrzymujemy:

(2.93)

Przemieszczenie r – r₀ ma więc stały kierunek wektora prędkości v₀. Ruch cząstki odosobnionej jest jednostajny i prostoliniowy (zasada bezwładności).

Stała siła. Także i w tym przypadku równanie ruchu da się rozwiązać w sposób elementarny. Rozpatrzmy najpierw przypadek, kiedy siła jest stała jako wektor, czyli F = F₀ = const. W równaniu ruchu

(2.94)

rozdzielamy zmienne:

(2.95)

i całkujemy z uwzględnieniem warunków brzegowych:

(2.96)

czyli:

(2.97)

Ponowne rozdzielenie zmiennych i całkowanie daje wektorowe równanie toru:

(2.98)

czyli:

(2.99)

Tor ten jest parabolą drugiego stopnia, o czym można się przekonać rozpisując powyższe równanie na składowe i rugując parametr t.

Gdy siła jest stała jako wektor i działa w kierunku prędkości, ruch jest jednostajnie przyspieszony po lini prostej (brak składowej normalnej), co przedstawia rysunek:

(Rys. 2.15)

Ruch pod wpływem stałej siły jest jednostajnie przyspieszony (a_s = const) tylko wtedy, gdy ta siła jest równoległa do prędkości początkowej (F₀||v₀). Ruch odbywa się wtedy po linii prostej, o czym można się przekonać podstawiając:

(2.100)

gdzie f jest pewną stałą. Stąd:

(2.101)

a to jest równanie linii prostej o kierunku v₀, gdzie C jest stałą.

Jeżeli siła nie jest równoległa do v, to ruch pod wpływem stałej siły nie jest jednostajnie przyspieszony. Aby się o tym przekonać, obierzemy jedną z osi układu kartezjańskiego jako równoległą do siły – np. y⁰||F₀ – i napiszemy równanie ruchu dla współrzędnych w płaszczyźnie ruchu:

(2.102)

czyli:

(2.103)

Całkując te związki i uwzględniając warunki brzegowe (dla t = 0 v_x = v_0x, v_y = v_0y, x = x_o, y = y₀) otrzymujemy:

(2.104)

oraz:

(2.105)

Jest to parametryczne równanie paraboli. Stąd prędkość:

(2.106)

i przyspieszenie styczne

(2.107)

Z uwagi na to, że v_y zależy od czasu inaczej niż v, przyspieszenie styczne wzrasa z czasem dążąc do:

(2.108)

Mimo stałego przyspieszenia całkowitego a = F₀/m ruch nie jest jednostajnie przyspieszony.

Możemy jeszcze obliczyć przyspieszenie dośrodkowe:

(2.109)

i z zależności a_n = v²/R znaleźć promień krzywizny toru:

(2.110)

który również rośnie, co jest charakterystyczne dla paraboli.

Rozważmy teraz przypadek, kiedy tylko wartość siły F₀ jest stała, a jej kierunek może się zmieniać, tak że stały jest kąt α między siłą a prędkością, tj. między siłą a styczną do toru. Najwygodniejsze do opisu ruchu będą współrzędne naturalne. Stała wartość siły i stałe nachylenie do stycznej oznacza stałość składowej stycznej i normalnej. Równania ruchu przybierają formę:

(2.111)

Stałość przyspieszenia dośrodkowego dowodzi, że ruch odbywa się po krzywej o promieniu krzywizny proporcjonalnym do kwadratu prędkości:

(2.112)

Jeżeli znamy warunki brzegowe, np. dla t = 0 v = v₀ i s = s₀, to całkowanie drugiego równania daje:

(2.113)

i

(2.114)

Ruch jest jednostajnie przyspieszony. W szczególnym przypadku, gdy siła F₀ jest styczna do toru (α = 0), jej składowa dośrodkowa staje się równa zeru i ruch przechodzi w prostoliniowy. Natomiast gdy siła F₀ jest stale prostopadła do toru (α = 90°), znika jej składowa styczna i ruch przechodzi w ruch jednostajny po okręgu co przedstawia poniższy rysunek:

(Rys. 2.16)

Jak widać z powyższych przykładów, ruch jednostajnie przyspieszony (a_s = const) mamy tylko wtedy, gdy stała jest styczna składowa siły. Natomiast stałość składowej normalnej jest warunkiem ruchu po okręgu tylko wtedy, gdy a_s = 0, a jej zerowanie się (a_n = 0) jest warunkiem ruchu po linii prostej.

(Rys. 2.17)

Siła zależna od położenia. Przy znanym polu siły:

(2.115)

równanie ruchu

(2.116)

jest takie samo jak w przypadku przyspieszenia zależnego od położenia. Rozwiązuje się je w podobny sposób wykorzystując związek:

(2.117)

Pierwsza całka

(2.118)

daje prędkość w funkcji położenia:

(2.119)

stąd:

(2.120)

i przez całkowanie dochodzimy do równania toru

(2.121)

bowiem wyrażenie po prawej stronie jest funkcją położenia r oraz stałych brzegowych r₀ i v₀.

W praktyce wektory rozkłada się na składowe i całkuje się równania skalarne.

Przykład: Siły quasi-sprężyste. Siły sprężystości powstają przy odkształacaniu ciał. Wartość siły sprężystej jest wprost proporcjonalna do odkształcenia (przy małych odkształceniach), a kierunek przeciwny. Jeżeli wektor położenia cząstki zaczepimy w położeniu równowagi, to zależność siły sprężystości od odkształcenia, czyli od położenia cząstki przesuniętej z punktu równowagi, opisuje wzór:

(2.122)

(Rys. 2.18)

(k = F/r – współczynnik sprężystości). Siłami quasi-sprężystymi nazywamy wszystkie siły które zależą od położenia w taki sam sposób jak siły sprężystości (np. siła ciążenia wewnątrz Ziemi). Równanie ruchu ma postać:

(2.123)

Rozpiszmy je na składowe w układzie kartezjańskim, tak poprowadzonym, żeby F_z = 0, czyli a_z = 0 oraz z = 0:

(2.124)

Podstawmy:

(2.125)

Niech w chwili t = 0 x = r₀, y = 0 v_x = 0 v_y = v₀, stąd uwzględniając (2.124) oraz (2.125):

(2.126)

Zatem:

(2.127)

czyli:

(2.128)

Podobnie:

(2.129)

czyli:

(2.130)

Z równań (2.128) oraz (2.130) można wyznaczyć:

(2.131)

oraz:

(2.132)

Po rozdzieleniu zmiennych możemy całkować:

(2.133)

(2.134)

W celu obliczenia powyższych skomplikowanych całek skorzystamy ze znanego z matematyki wzoru:

(2.135)

otrzymując równanie toru:

(2.136)

uwzględniając fakt, że:

(2.137)

Po rozwikłaniu równania toru (2.136) otrzymują formę:

(2.138)

Jak widać, jeżeli współczynnik k nie zależy od kierunku (oscylator izotropowy), cząstka pod działaniem siły quasi-sprężystej porusza się w ogólnym przypadku po elipsie. Aby się o tym przekonać, podnieśmy równania toru obustronnie do kwadratu i dodajmy. Po elementarnym przekształceniu otrzymamy równanie elipsy:

(2.139)

o półosiach:

(2.140)

Początek układu znajduje się w środku elipsy.

(Rys. 2.19)

Szczególnym przypadkiem będzie ruch po okręgu. Jego warunkiem jest równość obu półosi:

(2.141)

Wówczas jak nietrudno sprawdzić:

(2.142)

Ruch po okręgu pod wpływem siły sprężystej jest więc jednostajny.

(Rys. 2.20)

Zauważmy, że

(2.143)

Prędkość kątowa ω jest zależna od współczynnika sprężystości k. Jak widać z równania toru, każda ze współrzędnych zależy od czasu tak samo jak położenie cząstki w ruchu harmonicznym prostym. Badany ruch można rozpatrywać jako wynik złożenia dwóch ruchów harmonicznych prostych w prostopadłych do siebie kierunkach. Przy tej samej częstości ω i różnicy faz π/2 ruch będzie odbywał się po elipsie, gdy amplitudy ruchów składowych są różne, i po okręgu – gdy są jednakowe. Względna wielkość obu amplitud zależy od wartości i kierunku prędkości v₀. Biorąc pod uwagę, że:

(2.144)

możemy zapisać równanie toru złożonego ruchu harmonicznego w postaci wektorowej:

(2.145)

Warunki brzegowe w formie wektorowej mają postać : dla t = 0 r = r₀, v = v₀, przy czym r₀||x⁰, a v₀||y⁰. Wobec tego:

(2.146)

Jeżeli nie podajemy warunków brzegowych, to równanie toru ruchu harmonicznego przechodzi w postać ogólną:

(2.147)

przy czym każdy z dowolnych stałych wektorów C i D ma trzy składowe skalarne. Przechodząc do współrzędnych kartezjańskich otrzymujemy:

(2.148)

Podstawiając poniższe stałe:

(2.149)

do (2.148) otrzymujemy:

(2.150)

korzystając teraz z następującej zależności trygonometrycznej:

(2.151)

możemy napisać:

(2.152)

(A_x, A_y, A_z jest aplitudą, argument ωt+φ – fazą, a φ – stałą fazową). Łatwo dostrzec, że każdy z tych ruchów jest periodyczny, mianowicie istnieje taki najmniejszy czas T zwany okresem, po którym ruch się powtarza. Aby go znaleźć, trzeba rozwiązać jedno z następujących równań:

(2.153)

gdzie τ jest czasem, po którym ruch się powtarza. Zatem:

(2.154)

Ze względu na znaną właściwość funkcji trygonometrycznych

(2.155)

widzimy od razu, że:

(2.156)

czas ten jest oczywiście najmniejszy, gdy n = 1. Stąd wynika znany wzór na okres:

(2.157)

Okres drgań harmonicznych jest więc tym większy, im cięższa jest drgająca cząstka i im mniejszy współczynnik sprężystości.

Jeżeli współczynnik sprężystości zależy od kierunku (oscylator anizotropowy), to dla każdej współrzędnej trzeba wprowadzić inną wartość k. Równanie ruchu przybiera postać:

(2.158)

albo

(2.159)

Z zależności:

(2.160)

widać, że każde z drgań składowych odbywa się z inną częstością. Rozwiązanie:

(2.161)

przedstawia rodzinę krzywych przestrzennych. Gdy ruch jest płaski (dla F_z = 0, z = 0), nazywamy je figurami Lissajous. Warunkiem periodyczności ruchu jest, jak wyżej:

(2.162)

gdzie i = 1, 2, 3. Stąd

(2.163)

Zatem tor jest krzywą zamkniętą, gdy stosunki częstości są wymierne, tzn. gdy częstości mają się do siebie jak liczby całkowite. Dla ω₁ = ω₂ = ω₃ tory przechodzą w elipsy.

Na poniższym rysunku przedstawiono figury Lissajous przy stosunku częstości ω_x:ω_y = 4:3. Pod wykresami wypisano różnice faz.

(Rys. 2.21)

Siła zależna od prędkości. Równanie ruchu

(2.164)

rozwiązujemy podobnie jak w przypadku przyspieszenia zależnego od prędkości. Najpierw rozpisujemy równanie wektorowe w dogodnym dla danego zagadnienia układzie współrzędnych na równanie skalarne typu:

(2.165)

gdzie wskaźnik q odnosi się do każdej ze współrzędnych liniowych. Następnie przekształcamy je do postaci

(2.166)

i całkujemy, otrzymując związki między czasem a składowymi prędkości v_q.

(2.167)

które po rozwikłaniu dają składowe prędkości w funkcji czasu i stałych brzegowych. Przedstawiając je w postaci:

(2.168)

i całkując (po rozdzieleniu zmiennych) dochodzimy do równań toru:

(2.169)

Równań jest tyle, ile współrzędnych (symbolem q zastąpiono współrzędne liniowe). Pełne rozwiązanie wymaga jeszcze znalezienia przyspieszenia w funkcji czasu, bowiem jak dotąd znamy je tylko w funkcji prędkości. Oczywiście:

(2.170)

Przykład: Rzut ukośny w lepkim ośrodku. Przy nie za szybkim ruchu siłę hamującą możemy uważać za proporcjonalną do prędkości:

(2.171)

przy czym k jest współczynnikiem oporów ruchu. Wektorowe równanie ruchu:

(2.172)

rozpiszemy na składowe w układzie kartezjańskim tak ustawionym, że przyspieszenie swobodnego spadku jest skierowane przeciwnie niż współrzędna z (tzn. –g||z⁰). Składowe siły F są równe:

(2.173)

Wziąwszy, pod uwagę, że składowa siły w kierunku współrzędnej q:

(2.174)

otrzymujemy układ równań:

(2.175)

Aby go rozwiązać trzeba rozdzielić zmienne:

(2.176)

Zanim przystąpimy do całkowania, trzeba ustalić warunki brzegowe. Jeżeli tak obierzemy układ współrzędnych, żeby ruch zaczynał się w początku układu, a wektor prędkości początkowej leżał w płaszczyźnie x, z to dla t = 0 mamy:

(2.177)

(α oznacza kąt nachylenia wektora v₀ do osi x).

Całkowanie w odpowiednich granicach daje:

(2.178)

czyli:

(2.179)

Powtórne całkowanie w tych samych granicach prowadzi do równania toru, zwanego krzywą balistyczną:

(2.180)

Zerowanie się współrzędnej y wskazuje, że tor jest krzywą płaską. Rugując czas otrzymujemy ostatecznie:

(2.181)

(Rys. 2.22)

Krzywa balistyczna (na rysunku linia ciągła) ma ciekawe właściwości. Przede wszystkim zauważmy, że przy dostatecznie długim czasie lotu (tzn. przy dużej prędkości początkowej) składowa pozioma prędkości v_x dąży do zera, a składowa pionowa v_z do stałej wartości -g/k. Wobec tego w końcowym punkcie trajektorii wektor prędkości będzie miał kierunek pionowy, niezależnie od kąta, pod jakim wyrzucono pocisk. Różniczkując względem czasu pionową składową prędkości możemy znaleźć przyspieszenie:

(2.182)

Jest ono ujemne, tzn. skierowane przeciwnie niż oś z, a jego wartość bezwzględna maleje z czasem do zera. W początkowej fazie i przy niezbyt dużych oporach ruchu stosunkowo nieznacznie różni się od rzutu ukośnego bez oporów. Z upływem czasu różnice pogłębiają się, krzywa balistyczna spada bardziej stromo niż parabola rzutu ukośnego, a jej końcowy odcinek przebywany jest ruchem prawie jednostajnym.

Siła zależna od czasu. W tym przypadku równanie ruchu przybiera postać:

(2.183)

Rozwiązujemy je po prostu przez dwukrotne całkowanie z uwzględnieniem warunków brzegowych – np. dla t = 0 r = r₀ i v = v₀. Po rozpisaniu na składowe

(2.184)

całkujemy otrzymując

(2.185)

Stąd

(2.186)

Przykład: Cząstka naładowana w zmiennym polu elektrycznym. Rozpatrzmy ruch cząstki o ładunku e w polu elektrycznym o natężeniu zależnym od czasu zgodnie z wzorem:

(2.187)

Na cząstkę taką działa zależna od czasu siła:

(2.188)

Obieramy tak kartezjański układ współrzędnych, żeby oś y była równoległa do kierunku natężenia pola E, a prędkość początkowa v₀ leżała w płaszczyźnie x, y, tzn. w płaszczyźnie z = 0. Po rozpisaniu na współrzędne równanie ruchu:

(2.189)

przybierze postać:

(2.190)

Niech dla t = 0 v = v₀ i r = 0. Pierwsze całkowanie prowadzi do równania prędkości:

(2.191)

a drugie daje równanie toru:

(2.192)

czyli:

(2.193)

Cząstka porusza się po krzywej będącej wynikiem złożenia ruchu jednostajnego po przechodzącej przez początek układu prostej y = (v_0y/v_0x)x i drgań harmonicznych wokół tej prostej. Zagadnienia tego typu mogą grać rolę przy projektowaniu akceleratorów cząstek jądrowych.

(Rys. 2.23)

Zależności złożone. Równania ruchu komplikują się, gdy siła zależy od większej liczby zmiennych. Podanie jednolitej metody całkowania równań jest najczęściej niemożliwe. Nakład pracy zależy od wprawy i pomysłowości rozwiązującego zagadnienie.

Przykład: Siła zależna od położenia i prędkości – drgania tłumione. Siła sprężystości jest funkcją odkształcenia, czyli funkcją położenia punktu ciała odkształconego. Pod działaniem takiej siły punkt materialny wykonuje ruch harmoniczny. W ośrodku lepkim tłumią drgania siły oporu zależne od prędkości. Siła wypadkowa będzie więc zależna od położenia i prędkości drgającej cząstki. Jeżeli siły oporu są wprost proporcjonalne do prędkości, to równanie drgań tłumionych napiszemy w postaci:

(2.194)

W przypadku ogólnym ruch cząstki może być skomplikowaną krzywą złożoną z szeregu przechodzących w siebie figur Lissajous. Zajmijmy się najprostszym przypadkiem drgań jednowymiarowych, np. w kierunku osi x. Wówczas:

(2.195)

(Rys. 2.24)

Dla skrócenia zapisu wprowadźmy współczynnik tłumienia:

(2.196)

i przypomnijmy, że częstość kołowa drgań nietłumionych:

(2.197)

Odpowiednio przekształcone równanie:

(2.198)

można rozwiązać metodą podstawienia. Wprowadzamy nową zmienną określoną równaniem:

(2.199)

Wówczas

(2.200)

oraz

(2.201)

Wstawiając (2.199), (2.200), (2.201) do (2.198) otrzymujemy:

(2.202)

czyli po podzieleniu przez e^-βt

(2.203)

a to jest równanie ruchu drgającego o częstości:

(2.204)

czyli mamy:

(2.205)

Jeżeli:

(2.206)

(tzn. przy niezbyt dużych oporach ruchu), to rozwiązanie ma znaną nam już okresową postać

(2.207)

Wracając do pierwotnych zmiennych, otrzymujemy:

(2.208)

Jak widać w ruchu harmonicznym tłumionym amplituda maleje wykładniczo z upływem czasu:

(2.209)

a częstość jest mniejsza niż przy braku oporów:

(2.210)

(Rys. 2.25)

Przykład: Siła zależna od położenia i czasu – drgania wymuszone. Jeżeli na cząstkę, której ruch ograniczają więzy sprężyste (np. kulkę zawieszoną na sprężynie) podziała siła okresowo zmienna o amplitudzie F₀ i częstości Ω, tzn. siła:

(2.211)

to cząstka będzie wykonywała drgania wymuszone o częstotliwości Ω. Przy braku oporów ruchu siła wypadkowa będzie funkcją położenia (siła sprężysta) i czasu (siła wymuszająca). Równanie ruchu przybiera postać:

(2.212)

czyli:

(2.213)

Podstawiając

(2.214)

otrzymujemy:

(2.215)

Zgodnie z doświadczeniem możemy poszukać rozwiązania w postaci

(2.216)

Aby znaleźć amplitudę A i stałą fazową Φ, trzeba powyższy związek dwukrotnie zróżniczkować, doprowadzić do postaci analogicznej do równania ruchu i porównać współczynniki. Mianowicie

(2.217)

i

(2.218)

Po podstawieniu do równania drgań (2.215) otrzymujemy

(2.219)

czyli:

(2.220)

Ale:

(2.221)

Stąd podstawiając (2.221) do (2.220) otrzymujemy tożsamość:

(2.222)

w której współczynniki przy wyrażeniach zależnych od czasu muszą być po obu stronach równe. Zatem

(2.223)

Amplitudę znajdziemy podnosząc oba równania stronami do kwadratu i dodając, dzięki czemu pozbędziemy się stałej fazowej Φ:

(2.224)

czyli

(2.225)

Zauważmy przy okazji, że amplituda drgań zależy od częstości Ω siły wymuszającej. Im bardziej zbliżona jest częstość Ω do częstości drgań własnych ω₀, tym większa jest amplituda A co przedstawia poniższy wykres:

(Rys. 2.26)

Dla Ω = ω₀ amplituda drgań rośnie do nieskończoności. Zjawisko takie nazywamy rezonansem, a częstość zmian siły wymuszającej, przy której następuje rezonans – częstością rezonansową. Nieskończona wartość amplitudy drgań oznacza zerwanie więzów sprężystych.

Dzieląc stronami równania (2.223) możemy wyrugować amplitudę A i obliczyć stałą fazową Φ, czyli przesunięcie w fazie drgań wymuszonych względem zmian siły wymuszającej

(2.226)

Jak widać, przy braku tłumienia drgania wymuszone są zgodne w fazie z siłą wzbudzającą drgania.

Przykład: Siła zależna od położenia, prędkości i czasu – tłumione drgania wymuszone. Przykładem ruchu pod wpływem takiej siły mogą być drgania wymuszone w ośrodku lepkim. Równanie ruchu

(2.227)

przekształcamy podstawiając:

(2.228)

i otrzymujemy:

(2.229)

i rozwiązujemy podobnie jak poprzednio. Zakładamy więc, zgodnie z doświadczeniem, że rozwiązanie ma postać:

(2.230)

Po zróżniczkowaniu:

(2.231)

podstawiając (2.230) i (2.231) do (2.229) otrzymujemy:

(2.232)

korzystając teraz z następujących zależności trygonometrycznych:

(2.233)

otrzymujemy

(2.234)

następnie grupując oraz przyrównując współczynniki otrzymujemy równania:

(2.235)

podnosząc powyższe równania do kwadratu oraz sumując otrzymujemy amplitudę:

(2.236)

i przesunięcie fazowe:

(2.237)

W celu obliczenia częstości rezonansowej obliczymy pochodną A względem Ω i przyrównajmy ją do zera:

(2.238)

po elementarnych przekształceniach otrzymujemy wzór na częstość rezonansową:

(2.239)

przy czym amplituda:

(2.240)

gdzie:

(2.241)

jest częstością tłumionych drgań własnych. Amplituda rezonansowa nie jest więc równa nieskończoności. Opory ruchu wpływają na drgania wymuszone w trojaki sposób: a) obniżają częstość rezonansową, b) zmniejszają amplitudę i c) przesuwają fazę. Przy silnym tłumieniu może w ogóle nie dojść do rezonansu.

(Rys. 2.27)