21.1 Pojęcia związane z prądem elektrycznym.
21.2. Natężenie prądu elektrycznego.
21.3. Gęstość prądu elektrycznego.
21.4. Równanie ciągłości prądu.
21.5. Prawo Ohma. Opór przewodników.
21.6. Prawo Ohma w postaci różniczkowej.
21.1 Pojęcia związane z prądem elektrycznym.
prąd elektryczny – uprządkowany ruch ładunków elektrycznych przez badany przekrój poprzeczny ośrodka przewodzącego.
nośniki prądu – są to naładowane cząstki obecne w ciele które mogą się swobodnie przemieszczać w obrębie tego ciała.
amper – jest to natężenie takiego prądu stałego, który płynąc przez dwa równoległe, prostoliniowe, nieskończenie długie przewodniki o zaniedbywalnym przekroju poprzecznym umieszczone w próżni w odległości r = 1 m od siebie wywołuje między nimi siłę F = 2•10-7 N na każdy jeden metr długości.
21.2. Natężenie prądu elektrycznego.
Natężenie prądu jest to wielkość skalarna równa ilości ładunku przepływającej przez przekrój poprzeczny przewodnika dQ w jednostce czasu dt.
Stwierdzenie to wyraża następujący wzór:
Powyższy wzór określa chwilowe natężenie prądu, jeżeli chcemy obliczyć średnią wartość natężenia prądu w danym przedziale czasu Δt, to wzór ten przechodzi w następującą postać:
W tym miejscu należy zaznaczyć, że w przypadku prądu stałego średnia wartość natężenia prądu jest równa wartości chwilowej tej wielkości fizycznej.
Jednostką natężenia prądu jest jeden amper (1 A)
21.3. Gęstość prądu elektrycznego.
Gęstość prądu elektrycznego j służy do opisu rozkładu prądu w rozciągłych przewodnikach. Jest to wielkosć wektorowa. Kierunek wektora gęstości prądu jest zgodny z kierunkiem przepływu prądu, a wartośc jest równa stosunkowi natężenia prądu dI przepływającego przez nieskończenie małą powierzchnie prostopadła do kierunku przepływu prądu – dS⊥.
Przekształcając powyższy wzór otrzymujemy całkową zależność pomiędzy natężeniem prądu a jego gęstością:
Następnie całkujemy powyższą zależność i otrzymujemy:
21.4. Równanie ciągłości prądu.
Równanie ciągłości odnosi się do prądu elektrycznego I wypływającego z zamkniętej powierzchni S.
Zgodnie z zasadą zachowania ładunku suma natężenia prądu elektrycznego I wypływającego z powierzchni zamkniętej S oraz szybkości przyrostu ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni musi być równa zeru:
Wiemy, że ładunek elektryczny można wyrazić poprzez całkę objętościową z gęstości objętościowej ładunku:
Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:
Symbol różniczkowania po czasie „wciągamy” pod znak całki. Jednocześnie pamiętamy o zamianie zwykłej pochodnej na pochodną cząstkową – z tego względ, że gęstość objętościowa zależy nie tylko od czasu ale i od współrzędnych przestrzennych.
Skorzystamy teraz z matematycznego twierdzenia o zamianie całki powierzchniowej na objętościową. Twierdzenie to nosi nazwę twierdzenia Ostrogardskiego – Gaussa:
Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy zależność:
Wyrażenia podcałkowe muszą być sobie równe, a więc otrzymujemy równanie ciągłości prądu w postaci różniczkowej:
21.5. Prawo Ohma. Opór przewodników.
Ohm ustalił doświadczalnie prawo według którego:
Natężenie prądu płynącego wzdłuż jednorodnego, metalicznego przewodnika jest proporcjonalne do spadu napięcia na przewodniku:
Wielkość R nazywamy oporem lub rezystancją przewodnika. Jednostką oporu jest jeden om [1Ω ].
Wielkość oporu zależy od kształtu i rozmiarów przewodnika, a także od własności materiału z którego jest on wykonany. Dla przewodnika jednorodnego o kształcie walca jest on równy:
gdzie:
l – długość przewodnika
S – pole poprzecznego przekroju
ρ – współczynnik zależny od własności materiału nazywany elektrycznym oporem właściwym materiału.
21.6. Prawo Ohma w postaci różniczkowej.
Prawo Ohma w postaci różniczkowej wyraża zależność pomiędzy wektorem gęstości prądu j a wektorem natężenia pola elektrycznego E. W celu wyprowadzenia tej zależności skorzystamy z pomocniczego rysunku:
Oraz wykorzystamy następujące wzory:
1) Przez przekrój poprzeczny walca płynie prąd o natężeniu:
2) Napięcie przyłożone do walca wynosi:
3) Opór walca dany jest wzorem:
Powyższe trzy wzory podstawiamy do:
Po skróceniu otrzymujemy wzór:
gdzie:
σ – przewodnictwo właściwe
Wówczas prawo Ohma w postaci różniczkowej przyjmuje następującą skalarną postać:
Wykorzystując, fakt że wektory j i E są równoległe możemy uogólnić ten wzór do postaci wektorowej:
21.7. Prawo Joule’a.
Podczas przepływu prądu przez przewodnik nośniki prądu muszą pokonywać opory ruchu. W ostatecznym efekcie stracona energia ogrzewa przewodnik. Wydzielone ciepło nosi nazwę ciepła ciepła Joule’a. Aby znaleźć jego wartość, przypomnijmy, że praca przeniesienia ładunku q między dwoma punktami jest iloczynem wartości tego ładunku i różnicy potencjałów pomiędzy tymi punktami:
Różniczkując ją względem czasu otrzymamy moc wydzielającą się w postaci ciepła:
W stanie ustalonym (U=const) drugi wyraz jest równy zero. Pochodna ładunku po czasie to natężenie prądu:
Uwzględniając powyższe wnioski otrzymujemy wzór na wydzielaną moc na oporze o rezystancji R:
Jeżeli teraz zastosujemy prawo Ohma, to otrzymamy różne postacie prawa Joule’a:
Można stąd obliczyć ciepło wydzielone w czasie t:
Mierzymy je naturalnie w jednostkach energii czyli dżulach. Prawu Joule’a można też nadać postać różniczkową. Jeżeli wewnątrz przewodnika o długości l pole jest jednorodne, to:
gdzie E jest natężeniem pola elektrycznego.
Wyrażamy natężenie prądu jako całkę z gęstości:
wykorzystując teraz dwa powyższe wzory i podstawiając je do wzoru na P, otrzymujemy:
skorzystaliśmy tu z zależności:
gdzie dV – jest elementem objętości.
W ogólnym przypadku wektory gęstości pradu i natężenia pola mnoży się skalarnie:
Różniczkując powyższą zależność po objętości otrzymujemy:
Następnie wykorzystując różniczkowe prawo Ohma, znajdziemy gęstość mocy:
21.8. I Prawo Kirchhoffa.
Sieć elektryczna jest układem przewodów złożonych z węzłów i oczek. Zastosujmy równanie ciągłości do węzła, czyli punktu, w którym zbiega się N przewodów o gęstościach prądu ji (i=1,2,3,…N).
Otoczmy węzeł zamkniętą powierzchnią S.
Ponieważ zgodnie z zasadą zachowania ładunku, ubytek ładunków jest skompensowany ich dopływem, więc mamy do czynienia ze stanem stacjonarnym. Wówczas we wzorze:
pochodna gęstości objętościowej ładunku po czasie wynosi zero:
Tak więc dywergencja wektora j wynosi zero. Jeżeli dodatkowo scałkujemy to równanie po objętości i zastosujemy twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa to otrzymamy:
przy czym symbolem Si oznaczono pola przekroju przewodów (w obszarze między przewodami prąd nie płynie). Ze względu na oczywistą równość:
otrzymujemy I prawo Kirchhoffa:
Suma natężeń prądów dopływających i odpływających od węzła jest równa zeru.. Sumę należy rozumieć algebraicznie to znaczy z uwzględnieniu znaku. Tradycyjnie przypisujemy prądowi dopływającemu do węzła natężenie dodatnie, a odpływającemu – ujemne.
21.9. Łączenie oporów.
Rozróżniamy dwa podstawowe sposoby łączenia oporników (rezystorów): szeregowe (kolejno jeden za drugim) i równoległe (z rozgałęzieniem). Opór przewodnika jest wprost proporcjonalny do jego długości, a odwrotnie proporcjonalny do pola przekroju. Szeregowe łączenie jednakowych oporników jest równoznaczne ze zwiększeniem długości, równoległe natomiast ze zwiększeniem przekroju.
Można więc z góry przewidzieć, że przy łączeniu szeregowym opór wypadkowy R układu będzie sumą oporów R1,R2, R3, …Rn poszczególnych przewodników. Aby tego dowieść trzeba zsumować spadki napięć na poszczególnych oporach i wziąć pod uwagę, że płynie przez nie ten sam prąd:
Stąd:
Przy łączeniu równoległym opór wypadkowy będzie mniejszy niż każdy z łączonych oporów. Na każdym oporze mamy to samo napięcie:
Zgodnie z I prawem Kirchhoffa prąd całkowity jest sumą prądów w odgałęzieniach:
Łącząc dwa powyższe wzory, to znaczy przedstawiając natężenie prądu In jako stosunek napięcia U do oporu Rn możemy napisać:
stąd:
