Praca i energia

W ogólnym przypadku siła przemieszczająca cząstkę nie musi być równoległa do przemieszczenia. Pracą siły F na elementarnym przemieszczeniu dr, czyli pracą elementarną będziemy nazywali iloczyn skalarny wektora siły i wektora przemieszczenia:

(3.1)

Iloczyn skalarny dwóch wektorów równa się iloczynowi ich wartości i cosinusa kąta między nimi. Oznaczywszy kąt między siłą a przemieszczeniem przez α otrzymujemy:

(3.2)

Wiemy poza tym, że:

(3.3)

(różniczka łuku), a:

(3.4)

jest styczną składową siły. Stąd:

(3.5)

(Rys. 3.1)

Znak pracy zależy od wartości kąta α w danym punkcie. Przy α = 0 (siła skierowana zgodnie z przemieszczeniem) praca jest największa: dW = Fds. Przy:

(3.6)

(ostry kąt między siłą a przemieszczeniem) praca jest dodatnia. Dla α = 90° (siła prostopadła do przemieszczenia) praca dW = 0. Wreszcie dla:

(3.7)

(kąt rozwarty) praca siły F jest ujemna.

Aby obliczyć pracę siły F na przemieszczeniu skończonym – powiedzmy między punktami A i B toru cząstki – trzeba podzielić odcinek AB na przemieszczenia elementarne, a następnie zsumować wszystkie prace elementarne, czyli obliczyć całkę (krzywoliniową) wzdłuż toru AB:

(3.8)

Wykorzystując znaną właściwość iloczynu skalarnego:

(3.9)

można związać tę całkę z układem współrzędnych kartezjańskich:

(3.10)

(dx, dy, dz są rzutami wektora dr na osie współrzędnych) lub z dowolnym układem współrzędnych krzywoliniowych:

(3.11)

gdzie ds_q oznaczają rzuty wektora przemieszczenia elementarnego na odpowiednie linie współrzędnych.

Jeżeli w czasie ruchu cząstki rzut siły na kierunek przesunięcia pozostaje stały, co zapisujemy w formie F_s = Fcosα = const, wzór na pracę przybiera postać:

(3.12)

przy czym przez s oznaczono drogę cząstki od punktu A do B. Dla siły równoległej do przemieszczenia (α = 0) powyższe wyrażenie otrzymuje szczególnie prostą formę

(3.13)

Wzór na pracę ma prostą geometryczną interpretację. Mianowicie na wykresie siły w zależności od przemieszczenia miarą pracy jest pole powierzchni między krzywą siły a osią przemieszczeń.

(Rys. 3.2)

W wielu zagadnieniach interesuje nas nie tylko praca, ale i szybkość jej wykonania. Do jej określenia służy wielkość zwana mocą, zdefiniowana jako pochodna pracy względem czasu:

(3.14)

Ze względu na to, że praca elementarna dW = Fdr, moc można wyrazić jako:

(3.15)

3.2 Praca w ruchu obrotowym

Przemieszczenie przy obrocie wektora położenia o kąt dφ wokół osi przechodzącej przez początek układu wynosi:

(3.16)

gdzie dφ jest wektorem elementarnego obrotu. Związana z tym praca działającej na cząstkę siły F jest równa

(3.17)

Tego rodzaju iloczyn wektorów, zwany mieszanym, nie zmienia wartości przy cyklicznym przestawianiu czynników. Wolno również zamieniać miejscami znaki mnożenia skalarnego i wektorowego. Zatem

(3.18)

Iloczyn:

(3.19)

jest momentem siły F względem początku układu. Wzór na pracę przybiera postać:

(3.20)

Elementarna praca przy obrocie równa się skalarnemu iloczynowi wektora momentu siły i wektora obrotu. W przypadku, gdy wektory położenia i siły leżą w płaszczyźnie obrotu (dφ⊥F, r) wektor momentu siły jest równoległy do osi i

(3.21)

(Rys. 3.3)

Przy obrocie skończonym o kąt

(3.22)

i stałym momencie siły

(3.23)

Siła działająca przy obrocie jest sumą siły stycznej i siły dośrodkowej

(3.24)

Mnożąc wektorowo obie strony przez r znajdziemy wypadkowy moment siły

(3.25)

Moment siły dośrodkowej względem osi obrotu jest oczywiście równy zeru

(3.26)

i pozostaje tylko moment siły stycznej

(3.27)

Siła styczna jest prostopadła do promienia, więc wartość jej momentu

(3.28)

Pracę

(3.29)

wykonuje tylko siła styczna. Praca siły dośrodkowej jest zawsze równa zeru.

Znajdźmy jeszcze moc

(3.30)

Moc siły przyspieszającej obrót, czyli siły stycznej, jest równa skalarnemu iloczynowi jej momentu i prędkości kątowej.

3.3 Praca rozpędzania

Obliczmy teraz pracę rozpędzania ciała o masie m od prędkości v_A do v_B. Z zależności:

(3.31)

i z definicji siły

(3.32)

wynika

(3.33)

ale ze względu na własność:

(3.34)

możemy zapisać:

(3.35)

Gdy praca siły rozpędzającej jest dodatnia, prędkość ciała rośnie (v_B > v_A). Tak jest, kiedy kąt między siłą a prędkością bądź przemieszczeniem jest ostry. Siła prostopadła do prędkości nie wpływa na jej wartość, bo wtedy praca rozpędzania W_AB = 0 i v_B = v_A. Wreszcie przy rozwartym kącie między siłą a przemieszczeniem praca rozpędzania jest ujemna i v_B < v_A, co oznacza, że siła hamuje ruch. Tak skierowane siły nazywamy zwykle oporami ruchu.

(Rys. 3.4)

3.4 Energia kinetyczna

W wyniku działania sił zmienia się położenie i prędkość. Położenie i prędkość określają stan mechaniczny cząstki. Wielkości, które charakteryzują stan, nazywamy parametrami stanu. Położenie i prędkość cząstki są więc mechanicznymi parametrami jej stanu.

Zmieniając stan mechaniczny cząstki, siły wykonują pracę. W przypadku rozpędzania praca ta da się przedstawić w postaci różnicy dwóch wyrażeń (3.35) zależnych od prędkości. Każde z nich charakteryzuje stan mechaniczny rozpędzanej cząstki. Wskaźnikiem A oznaczyliśmy stan początkowy, wskaźnikiem B – końcowy. Różnica obu wyrażeń – równa pracy sił rozpędzających cząstkę – opisuje zmianę stanu. Wyrażenie

(3.36)

nosi nazwę energii kinetycznej albo energii ruchu. Energia kinetyczna jest funkcją mechanicznych parametrów stanu, czyli funkcją stanu, a jej zmiana równa się pracy sił rozpędzających cząstkę. Gdy praca sił rozpędzających jest dodatnia, energia kinetyczna rośnie. Gdy siły hamują cząstkę, jej energia kinetyczna maleje. Zależność między pracą a energią kinetyczną można wyrazić w formie różniczkowej

(3.37)

lub całkowej

(3.38)

Zmieniony stan cząstki rozpędzonej wyraża się tym, że może ona wykonać pracę, przy czym jej prędkość, a tym samym i energia kinetyczna, zmaleje. Na rysunku poniżej przedstawiony jest schemat zmian energii kinetycznej przy rozpędzaniu. W_AB jest pracą rozpędzania, W_BA pracą jaką może wykonać rozpędzone ciało.

(Rys. 3.5)

Zauważmy jeszcze, że moc siły rozpędzającej lub hamującej

(3.39)

równa jest szybkości zmian energii kinetycznej.

3.5 Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Praca obrotu jest iloczynem momentu siły i kąta elementarnego obrotu:

(3.40)

przy czym ω = dφ/dt jest prędkością kątową. Moment siły jest pochodną momentu pędu względem czasu

(3.41)

przy czym I oznacza moment bezwładności. Stąd praca elementarna

(3.42)

Ograniczmy się do przypadku stałego momentu bezwładności i obliczmy pracę skończonego obrotu

(3.43)

Przedstawiliśmy pracę przy obrocie w postaci różnicy dwóch wyrażeń oznaczających oczywiście końcową i początkową wartość energii kinetycznej.

(3.44)

Z dwóch ciał wirujących z tą samą prędkością kątową większą energię kinetyczną będzie miało to, którego moment bezwładności jest większy. Na poniższym rysunku moment bezwłądności drugiego ciała jest większy, bo jego masa jest rozłożona dalej od osi obrotu:

(Rys. 3.6)

3.6 Wahadło matematyczne

Na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l wisi ciężarek o masie m, który wychylono o kąt φ₀ z położenia równowagi i puszczono swobodnie. Przy dostatecznie małych rozmiarach ciężarka można go uważać za cząstkę (punkt materialny). Na wychylony ciężarek działa siła ciężkości (ciężar) F, skierowana pionowo w dół i siła napięcia nici S, skierowana wzdłuż niej w górę do punktu zaczepienia.

(Rys. 3.7)

Wobec tego moment M_s siły S względem środka obrotujest stale równy zeru i jej praca

(3.45)

Przy danym kącie wychylenia φ moment ciężaru względem punktu zaczepienia wynosi:

(3.46)

i jego praca

(3.47)

Znak minus pochodzi stąd, że w rozpatrywanej fazie ruchu kąt φ maleje, czyli dφ < 0. W wyniku całkowania otrzymujemy:

(3.48)

Oczywiście v₀ = 0. Poza tym:

(3.49)

i stąd

(3.50)

Otrzymaliśmy związek między prędkością kątową dφ/dt a wychyleniem, będący w istocie różniczkowym równaniem ruchu wahadła matematycznego. Aby się o tym przekonać, zróżniczkujmy go względem czasu:

(3.51)

Po uproszczeniu przez 2dφ/dt dochodzimy do równania różniczkowego:

(3.52)

które dla małych wychyleń przechodzi w równanie ruchu harmonicznego

(3.53)

o częstości kołowej:

(3.54)

i okresie:

(3.55)

Oczywiście jest to ruch harmoniczny krzywoliniowy.

3.7 Energia potencjalna – a praca podnoszenia

Energia kinetyczna jest mechaniczną funkcją stanu cząstki poruszającej się. Jeżeli w danym układzie odniesienia cząstka spoczywa, to jej energia kinetyczna jest równa zeru. Jednakże można przytoczyć wiele przykładów ciał mających stałą energię kinetyczną, których stan mechaniczny zmienia się na skutek pracy sił zewnętrznych. Dzieje się tak na przykład przy jednostajnym podnoszeniu i odkształcaniu ciał.

Siła ciężkości, czyli siła przyciągania grawitacyjnego między ciałem a Ziemią, wyraża się wzorem Newtona

(3.56)

przy czym m_Z jest masą Ziemi, m – masą ciała, r – odległością ciała od środka Ziemi, a

(3.57)

nosi nazwę stałej grawitacyjnej. Siła ciężkości nadaje ciału przyspieszenie swobodnego spadku g, co pozwala zapisać ją w innej postaci:

(3.58)

Z porównania wzorów (3.56) oraz (3.58) wynika, że

(3.59)

czyli iloczyn przyspieszenia swobodnego spadku w danym miejscu i kwadratu odległości od środka Ziemi jest stały. Wobec tego można go obliczyć dla dowolnego miejsca, np. dla powierzchni Ziemi, podstawiając wartości:

(3.60)

Wzór na siłę ciężkości otrzyma teraz wygodną postać:

(3.61)

Aby podnieść ciało ze stałą prędkością, trzeba działać siłą równą ciężarowi i przeciwnie doń skierowaną. Kierunek siły podnoszącej jest więc zgodny z kierunkiem elementarnego przemieszczenia dr i praca podnoszenia będzie równa

(3.62)

Na skończonym odcinku AB

(3.63)

Podobnie jak przy rozpędzaniu ciała, przedstawiliśmy pracę podnoszenia w postaci różnicy dwóch wyrażeń, charakteryzujących końcowy (B) i początkowy (A) stan ciała. Wyrażenie

(3.64)

nosi nazwę energii potencjalnej albo energii położenia. Dla odróżnienia od innych form energii potencjalnej będziemy ją nazywali grawitacyjną energią potencjalną. Przy podnoszeniu ciała (r_B > r_A) siły podnoszące wykonują pracę dodatnią i energia potencjalna ciała rośnie. Przy opuszczaniu ciała (r_B < r_A) praca sił podnoszących jest ujemna, co oznacza, że pracę dodatnią wykonuje siła ciężkości, przy czym energia potencjalna ciała maleje.

Praca podnoszenia W_AB jest równa przyrostowi grawitacyjnej energii potencjalnej. Ciało podniesione może spaść z powrotem wykonując pracę W_BA – co przedstawia poniższy rysunek

(Rys. 3.8)

Grawitacyjna energia potencjalna jest więc funkcją stanu, której zmiana równa się pracy podnoszenia lub opuszczania ciała. Zmieniony stan polega na tym, że ciało o zwiększonej energii potencjalnej może wykonać pracę. Podobnie jak w przypadku energii kinetycznej łatwo ustalić poziom odniesienia. Grawitacyjną energię potencjalną równą zeru będzie miało ciało nieskończenie odległe od Ziemi, tzn. dla r = ∞. Będzie to zarazem maksymalna możliwa wartość energii potencjalnej. Ciała bliższe będą miały ujemną energię potencjalną. Podobne rachunki można przeprowadzić dla dowolnego innego ciała niebieskiego, podstawiając za g_R i R odpowiednie wartości.

Dla

(3.65)

tzn. przy przesunięciach tak małych, że można zaniedbać zależność przyspieszenia swobodnego spadku od odległości od środka Ziemi, wzór na pracę podnoszenia przybiera postać:

(3.66)

Znak pracy wiąże się z kierunkiem przemieszczenia podobnie jak poprzednio. Łatwo zauważyć, że do obliczenia pracy nie musimy znać bezwzględnej wartości energii, a tylko jej zmianę. I tak, w przypadku grawitacyjnej energii potencjalnej zamiast r_A i r_B można wstawić wysokość h_A i h_B ciała nad dowolnie wybranym poziomem odniesienia, np. poziomem morza, tzn. wyrazić energię potencjalną jako

(3.67)

Praca podnoszenia

(3.68)

będzie taka sama jak poprzednio. Istotnie, jeżeli odległość poziomu odniesienia (h = 0) od środka Ziemi wynosi r₀, to:

(3.69)

Zauważmy, że tutaj znak energii będzie taki jak współrzędnej h.

(Rys. 3.9)

3.8 Energia potencjalna – a praca odkształcenia

Siła sprężystości jest wprost proporcjonalna i przeciwnie skierowana do odkształcenia, które mierzymy od położenia równowagi. Obieramy taki układ współrzędnych, żeby miarą odkształcenia była współrzędna x punktu ciała odkształcanego, np. końca sprężyny. Wówczas prostopadłe do osi składowe siły odkształcającej znikają i zostaje

(3.70)

gdzie k jest współczynnikiem sprężystości. Proporcjonalność odkształcenia do siły odkształcającej obserwuje się przy niezbyt dużych odkształceniach. Pracę odkształcenia obliczymy jako:

(3.71)

I znowu wyraziliśmy pracę w postaci różnicy dwóch wyrażeń, charakteryzujących końcowy i początkowy stan mechaniczny ciała odkształconego. Możemy każde z nich uważać za energię potencjalną, którą – w odróżnieniu od grawitacyjnej energii potencjalnej – będziemy nazywali sprężystą. Zatem sprężystą energię potencjalną

(3.72)

definiujemy jako mechaniczną funkcję stanu, której zmiana równa się pracy sił odkształcających ciało. Przy |x_B| > |x_A| praca siły odkształcającej jest dodatnia i sprężysta energia potencjalna rośnie. Przy |x_B| < |x_A| praca sił odkształcających ciało jest ujemna, co oznacza, że pracę (dodatnią) wykonują siły sprężystości, a energia potencjalna maleje. Powyższe wzory odnoszą się do wszystkich sił zależnych od przemieszczenia w taki sam sposób, jak siła sprężysta, czyli sił quasi-sprężystych.

(Rys. 3.10)

3.9 Różne postacie energii

Zestawmy teraz wszystkie poznane wyrażenia na pracę:

praca rozpędzania:

(3.73)

praca obracania:

(3.74)

praca podnoszenia w przypadku ogólnym:

(3.75)

praca podnoszenia w przypadku szczególnym: g = const

(3.76)

praca odkształcenia:

(3.77)

Możemy je streścić jednym ogólnym wzorem:

(3.78)

gdzie przez E_B oznaczono energię przypisaną stanowi B, a przez E_A – energię odpowiadającą stanowi A. Energia (mechaniczna) jest funkcją stanu, której zmiana jest równa pracy sił działających na ciało. Kiedy praca ta jest dodatnia, energia ciała rośnie, gdy jest ujemna – energia maleje.

(Rys. 3.11)

Siły, których praca jest ujemna, noszą nazwę oporów ruchu. Pojęcie energii rozszerzymy przy omawianiu układów i pól.

Energię, której zmiana równa się pracy rozpędzania lub obracania, nazywamy energią kinetyczną.

(3.79)

Energię, której zmiana równa się pracy podnoszenia

(3.80)

przy czym w pobliżu powierzchni Ziemi

(3.81)

oraz energię, której zmiana równa się pracy odkształcenia sprężystego

(3.82)

obejmujemy wspólną nzawą energii potencjalnej. W pierwszym przypadku jest to grawitacyjna, a w drugim sprężysta energia potencjalna. Energię mierzymy w jednostkach pracy.

W każdym z omówionych przypadków istniał stan ciała, dla którego energia równała się zeru. Grawitacyjna energia potencjalna równa jest zeru dla r = ∞, tzn. gdy ciało znajduje się nieskończenie daleko. Potencjalna energia odkształcenia równa się zeru, gdy x = 0, czyli dla ciała nie odkształconego. Energia kinetyczna zeruje się dla v = 0, tzn. gdy ciało jest w spoczynku. Wszystkie te stany są stanami odniesienia, względem których określamy energię. Łatwo dostrzec, że przyjęcie stanu odniesienia jest tylko kwestią wygody – podobnie jak przyjęcie układu odniesienia przy określaniu położenia czy przemieszczenia ciał. Istotna jest nie wartość energii, tylko jej zmiana, bowiem ona równa się wykonanej pracy. Zmiana energii nie zależy od przyjętego stanu odniesienia.

(Rys. 3.12)