Pole magnetyczne

Hipoteza monopoli magnetycznych które miałyby wytwarzać pole magnetyczne podobnie jak ładunki elektryczne wytwarzają pole elektryczne, jak dotąd nie znalazła potwierdzenia doświadczalnego. Natomiast ruchome ładunki spotykamy zarówno w przewodnikach z prądem, jak i magnesach trwałych i w ogóle we wszystkich materiałach magnetycznych, w postaci prądów atomowych.

22.2 Siła Lorentza.

Przeprowadzając doświadczenia z ruchomymi ładunkami w polu magnetycznym, możemy stwierdzić, że działająca na nie siła, zwana siłą Lorentza jest prostopadła do ich prędkości i do kierunku pola. Zmieniając ładunek q i prędkość υ dojdziemy do wniosku, że wartość siły jest wprost proporcjonalna do iloczynu ładunku i prędkości oraz do sinusa kąta α między kierunkiem pola a prędkością:

Oznaczając współczynnik proporcjonalności (zależny od „intensywności” pola magnetycznego) przez B, możemy zapisać:

Wielkość B nosi nazwę wektora indukcji magnetycznej. Wektor ten jes zgodny z kierunkiem pola. Iloczyn wartości prędkości, indukcji i sinusa kąta między nimi jest iloczynem wektorowym, a więc możemy zapisać wzór wektorowy na siłę Lorentza:

Zwrot siły Lorentza wynika z reguły śruby prawoskrętnej. Powyższą równość można uważać za definicję wektora indukcji magnetycznej. Zauważmy, że jeżeli ładunki poruszają się prostopadle do pola, siła Lorentza przybiera maksymalną wartość:

stąd:

Natężenie dowolnego pola sił określamy jako stosunek siły pola do wielkości charakteryzującej obiekt oddziaływania. Źródłami i obiektami oddziaływania pola magnetycznego są ruchome ładunki. A więc charakteryzującą je wielkością jest iloczyn wartości ładunku oraz wartości prędkości. Jak widać indukcja magnetyczna powinna właściwie nosić nazwę natężenia pola magnetycznego. Jednak ze względów historycznych tę ostatnią nazwę stosuje się do innej wielkości. Jednostką indukcji magnetycznej jest 1 tesla (T). Z definicji wynika, że:

Góra strony

22.3 Solenoidalność pola magnetycznego.

Strumień indukcji określa się podobnie jak strumień skalarny każdego innego wektora jako:

Zwykle nazywa go się strumieniem magnetycznym. Jego jednostką jest 1 weber równy:

Ze względu na to, że linie pola magnetycznego są krzywymi zamkniętymi to strumień przez powierzchnię zamkniętą jest równy zeru:

Jest to prawo Gaussa dla pola magnetycznego. Korzystając z twierdzenia Ostrogardskiego-Gaussa można je zapisać także w postaci różniczkowej:

Pole magnetyczne jest wszędzie polem solenoidalnym.

Dla porównania: pole elektryczne jest solenoidalne tylko w obszarach bez ładunków.

Góra strony

22.4 Względność pola magnetycznego.

Pole magnetyczne jest względne.

Pojęcie ruchu jest związane z układem odniesienia. Tak więc pole magnetyczne też jest związane z układem odniesienia. Jeżeli w jakimś układzie ładunek spoczywa, to dla znajdujących się w nim obserwatorów jego pole magnetyczne znika. Dostrzegają oni działanie sił które obserwatorzy z innych układów uważają za magnetyczne, ale przypisują je innym przyczynom. Aby lepiej pojąć charakter tej względności, weźmy pod uwagę dodatni ładunek q znajdujący się w odległości r od prostoliniowego nieskończenie długiego przewodnika, w którym płynie prąd o natężeniu I. Przepływ prądu przez przewodnik jest w istocie przepływem ładunków ujemnych (elektronów). Dodatnie jony siatki krystalicznej nie zmieniają swego położenia.

Gęstość ładunku każdego znaku w wybranym odcinku przewodnika o długości l określamy jako:

gdzie Q oznacza ładunek danego znaku, a S – pole przekroju poprzecznego. Gęstości ładunków obu znaków pozostają jednakowe:

Obojętny elektrycznie przewodnik nie oddziałuje na nieruchumy ładunek q. Wystarczy jednak wprawić ładunek w ruch z prędkością υ w dowolnym kierunku, z wyjątkiem kierunku prostopadłego do płaszczyzny utworzonej przez ładunek i przewodnik, by zaczęła nań działać siła. Obserwator z zewnątrz nazwie ją siłą Lorentza, a jej pojawienie uzna za dowód, że przewodnik z prądem wytwarza pole magnetyczne. Nadając ładunkowi prędkość równoległą do przewodnika i mierząc tę siłę przy różnych natężeniach prądu i odległościach, można stwierdzić, że indukcja magnetyczna wokół przewodnika będzie proporcjonalna do ilorazu I/r.

Współczynnik proporcjonalności (stałą) przyjmiemy jako:

Tak więc:

gdzie:

μ₀ – przenikalnośc magnetyczna próżni

Przeanalizujemy teraz sytuację w której obserwator porusza się wraz z ładunkiem q (wielkości fizyczne związane z tym przypadkiem oznaczamy znakiem prim). Dla tego obserwatora ładunek q jest nieruchomy. Tak więc działąjąca na niego siła nie może mieć natury siły Lorentza. Dla prostoty ograniczmy się do przypadku kiedy prędkość obserwatora poruszającego się wraz z ładunkiem q – υ jest taka sama jak prędkość ładunków ujemnych w przewodniku czyli:

Wymiary poprzeczne przewodnika nie ulegną zmianie, podobnie nie zmieni się ładunek który jest niezmiennikiem transformacji Lorentza (gdyby ładunek cząstek zależał od prędkości, można by ładowaqć ciała podgrzewając je) zatem:

Zapiszmy teraz wzór na gęstość objętościową ładunków primowanych dodatnich:

W powyższym wzorze za l’₊ możemy podstawić:

ponieważ następuje skrócenie długości pręta (ładunki dodatnie poruszają się razem z prętem z prędkością υ). Łącząc powyższe cztery wzory oraz pamiętając, że:

otrzymujemy:

Zapiszmy teraz wzór na gęstość objętościową ładunków primowanych ujemnych:

W powyższym wzorze za l’_– możemy podstawić:

ponieważ następuje wydłużenie długości pręta, (to pręt spoczywa, a my poruszamy się wraz z ładunkami ujemnymi).

Tak więc, otrzymujemy następującą zależność na ρ_–’ :

Zatem: Dla obserwatora związanego zładunkiem q gęstość ładunków ujemnych maleje, a ładunków dodatnich rośnie.

Wypadkowa gęstość jest równa:

Po doprowadzeniu do współnego mianownika, uproszczeniu i pamiętając, że:

otrzymujemy:

W układzie związanym z ładunkiem q przewodnik nie jest już elektrycznie obojętny, tylko tworzy liniowy obszar naładowany dodatnio z gęstością ρ’. Z elektrostatyki (a konkretnie z prawa Gaussa dla pola elektrostatycznego) wiemy, że natężenie pola elektrycznego pochodzącego od takiego liniowego obszaru wynosi:

gdzie:

λ’ – liniowa gęstość ładunku

Wyprowadzimy teraz prostą zależność pomiędzy liniową i objętościową gęstością ładunku. Wiemy z definicji, że obie gęstości (liniowa i objętościowa) są równe:

Łącząc te dwa wzory oraz dodając primy otrzymujemy:

Tak więc, w efekcie wzór na E’ wygląda następująco:

Uwzględniając wcześniej wspomniany wzór na ρ’ otrzymujemy:

Jak widać, według obserwatora związanego z q ładunek ten znajduje się w polu elektrycznym o natężeniu E’ i stąd pochodzi działająca nań siła. Jak wynika z definicji natężenia pola elektrycznego wartość siły działającej na ładunek jest równa:

W celu uproszczenia zapisu przedstawmy kwadrat prędkości w liczniku jako iloczyn:

Zauważmy teraz, że:

Taką siłę dostrzega obserwator związany z ładunkiem q. Nie jest ona równa sile Lorentza. Siła nie jest niezmiennikiem transformacji Lorentza (zależy od prędkości). Musimy skorzystać z transformacji siły. W przypadku siły prostopadłej do ruchu (to znaczy do prędkości υ) ma ona postać:

Z porównania obu ostatnich wzorów wynika, że:

i to jest właśnie siłą Lorentza. Dzieląc ją przez iloczyn qυ znajdziemy indukcję magnetyczną w odległości r od prostoliniowego nieskończonego przewodnika z prądem:

W ten oto sposób wykazaliśmy względność pola magnetycznego: to, co dla jednego obserwatora było polem magnetycznym, dla drugiego stanowiło pole elektryczne – i odwrotnie. Należy mówić o względności obu pól – magnetycznego i elektrycznego – lub o względności pola elektromagnetycznego.

Góra strony

22.7 Siła Ampere’a

W celu wyprowadzenia wzoru na siłę Ampere’a rozpatrzmy odcinek dl przewodnika w którym płynie prąd o natężeniu I Jeżeli umieścimy ten odcinek w polu magnetycznym o indukcji B to możemy się spodziewać, że podziała nań siła, będąca sumą sił Lorentza, działających na elektrony przewodnictwa. Badany odcinek przewodnika ma objętość:

W celu znalźenia wzoru na liczbę elektronów przewodnictwa, zdefiniujmy nową wielkość, kórą nazwiemy : koncentracją nośników:

gdzie:

N – liczba nośników (np. elektronów)

V – obkjętość którą obejmują te ładunki.

w naszym przypadku:

Łącząc powyższe trzy wzory otrzymujemy wyrażenie na liczbę elektronów przewodnictwa N:

Elektrony przewodnictwa poruszają się ze średnią prędkością υ_e . Suma działających na elektrony sił Lorentza jest równa:

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

Znak minus jest związany ze znakiem ładunku elektronów. Prąd elektronów jest równoważny przeciwnie skierowanemu prądowi ładunków dodatnich o prędkości:

Tak więc nasz wzór przybiera postać:

lub:

Zauważmy teraz , że przypisując elementoei dl kierunek i zwrot prądu ładunków dodatnich (a więc kierunek i zwrot wektora υ) możemy zapisać:

gdzie e jest wersorem zgodnym z wektorem υ oraz dl.

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

Zauważmy, że:

Tak więc wzór na siłę dF przyjmuje postać:

Opisaną powyżej sytuację ilustruje poniższy rysunek:

Całkowitą siłę działającą na przewodnik o długości l znajdziemy jako całkę:

Siłę tą nazywamy siłą Ampere’a.

W przypadku przewodnika prostoliniowego i jednorodnego pola wzór się upraszcza przybierając postać:

Góra strony

22.8 Moment magnetyczny

Umieśćmy w polu magnetycznym przewodnik w kształcie prostokątnej ramki, o bokach a i b, przez którą płynie prąd I. Niech normalna do płaszczyzny ramki tworzy kąt φ z wektorem indukcji B. Na każdy bok ramki działa siła Ampere’a prostopadła do niego i do wektora indukcji.

Siły te „starają się” obrócić ramkę, tak by normalna do niej pokrywała się z wektorem B. Jeżeli dwa boki, na przykład boki b, będą prostopadłe do B, to siły rozpychające oba pozostałe boki działają w jednej linii. Ich moment jest równy zeru:

Wypadkowy moment obracający ramkę pochodzi od sił działających na boki b, równych:

Siły te tworzą parę sił o ramieniu:

jej moment wynosi:

Przypisując polu powierzchni ramki:

kierunek normalnej do ramki i zwrot zgodny z ruchem śruby prawoskrętnej obracanej przez opływający ramkę prąd, możemy napisać:

przy czym wprowadziliśmy oznaczenie:

Wektor p_m nosi nazwę momentu magnetycznego.

Góra strony

22.9 Indukcja magnetyczna w ośrodku

Właściwości magnetyczne ciał charakteryzuje wektor namagnesowania (magnetyzacji), zdefiniowany jako przestrzenna gęstość magnetycznych momentów dipolowych:

Wielkość namagnesowania wiąże się z natężeniem pola wewnętrznego pochodzącego od dipoli atomowych i cząsteczkowych:

Można stąd określić dodatkową („wewnętrzną”) indukcję wewnętrzną:

Przypomnijmy teraz wzór na indukcję pola zewnętrznego:

Sumując powyższe dwie wartości otrzymujemy indukcję wypadkową:

Z drugiej strony wiemy, że wartość wektora B jest proporcjonalna do bezwymiarowego współczynnika zwanego względną przenikalnością magnetyczną μ_r :

Współczynnik przenikalności charakteryzuje magnetyczne właściwości ośrodka. W ciałach paramagnetycznych μ_r jest nieco większe od jedności, w ciałach diamagnetycznych – nieco mniejsze. Różnicę:

nazywamy podatnością magnetyczną.

Podatność magnetyczna dla paramagnetyków jest bardzo mała i dodatnia, a ujemna i mała dla diamagnetyków.

Osobną grupę stanowią substancje ferromagnetyczne o bardzo dużej dodatniej podatności – rzędu tysięcy, zależnej od natężenia pola.

Warto w tym miejscu wyprowadzić związek pomiędzy wektorem namagnesowania, a wektorem natężenia zewnętrznego pola magnetycznego:

Po wyprowadzeniu wzoru na J z jednego z powyższych wzorów na B otrzymujemy związek:

Łącząc powyższe trzy wzory otrzymujemy:

Namagnesowanie jest wprost proporcjonalne do nateżenia pola zewnętrznego.

Współczynnikiem proporcjonalności jest podatność magnetyczna.

Góra strony

22.10 Prawo Ampere’a

Z wyprowadzonego już wyrażenia na natężenie pola magnetycznego pochodzącego od nieskończenie długiego prostoliniowego przewodnika z prądem, wynika:

Po przekształceniu:

Iloczyn 2πr jest długością okręgu zatoczonego promieniem r wokół przewodnika. Iloczyn ten można zapisać jako całkę po konturze zamkniętym:

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

Z tego względu, że natężenie pola magnetycznego ma stałą wartość (na wybranym okręgu), możemy je wciągnąć pod znak całki:

W ten oto sposób uogólniliśmy ten wzór na przypadek kiedy natężenie pola magnetycznego nie jest stałe. Wzór ten można jeszcze bardziej uogólnić, gdy zauważymy, że H oznacza składową równoległą wektora H do wektora dr. Tak więc (zgodnie z powyższym rysunkiem):

oraz:

Łącząc powyższe trzy wzory otrzymujemy:

przy czym α jest kątem pomiędzy wektorami:

Zgodnie z definicją iloczynu skalarnego dwóch wektorów możemy zapisać:

Otrzymany związek zwany prawem Ampere’a odnosi się do dowolnego kształtu konturu.

W ogólnym przypadku kontur całkowania może obejmować dowolną liczbę n przewodników. Natężenie I należy wówczas rozumieć jako algebraiczną sumę natężeń prądów w poszczególnych przewodnikach:

Prawo Ampere’a wyraża podstawową właściwość pola magnetycznego – jego wirowość.

Ze względu na zależność:

Prawo Ampere’a można także przedstawić w postaci:

Teraz wyprowadzimy tak zwaną różniczkową postać prawa Ampere’a. W tym celu zastosujmy całkowy związek pomiędzy natężeniem prądu a jego gęstością:

Podstawiając powyższy wzór do poprzedniego, otrzymujemy:

i korzystając z prawa Stokesa:

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

Wyrażenia podcałkowe muszą być sobie równe, a więc:

albo:

Powyższa równość nosi nazwę różniczkowego prawa Ampere’a.

Powyższą zależność można zapisać „bardziej elegancko” za pomocą operatora nabla (szczegóły w podrozdziale4.6):

Góra strony

22.11 Skalarny potencjał magnetyczny

Jeżeli wewnątrz konturu całkowania nie ma prądów to znaczy:

to prawa Ampere’a przyjmują postać:

lub:

Takiemu polu można przypisać skalarny potencjał magnetyczny V_m, zdefiniowany wzorem:

Jednostką potencjału magnetostatycznego jest 1 A. Podobnie całkę:

Określa się jako napięcie magnetyczne.

Ciągnąc tę analogię dalej można sumę prądów objętych danym konturem nazwać siłą magnetomotoryczną.

Góra strony

22.12 Wektorowy potencjał magnetyczny

Tak jak już zostało wspomniane pole magnetyczne B jest bezźródłowe, to znaczy, że:

Z matematyki wiemy, że dywergencja z rotacji wektora charakteryzującego pole wektorowe jest równa zeru:

Łącząc dwa powyższe wzory widzimy, że wektor indukcji B można przedstawić jako rotację pewnego pola wektorowego A, to znaczy:

Powyższy zapis możemy ująć bardziej „elegancko” stosując operator nabla:

Pole A nazywamy potencjałem wektorowym pola B.

Powyższa zależność nie określa jednak potencjału A w sposób jednoznaczny, gdyż potencjał:

gdzie W jest dowolną funkcją skalarną również jest potencjałem wektorowym pola B.

Aby się o tym przekonać połączmy ze sobą powyższe dwa wzory:

Doszliśmy do tego wniosku wykorzystując zależność znaną z matematyki, że:

Wobec tego potencjał wektorowy A określony jest z dokładnością do gradientu funkcji skalarnej i w celu ujednoznacznienia go stosuje się dodatkowy warunek zwany kalibracją który wybiera się w sposób dogodny dla danego zagadnienia. Często stosuje się kalibrację Coulomba:

W celu rozstrzygnięcia jaki jest sens fizyczny potencjału wektorowego A przeprowadźmy następujące rozważania. Na początek wprowadźmy potencjał wektorowy do różniczkowego prawa Ampere’a:

Jak pamiętamy :

Natomiast:

gdzie:

∇ – operator nabla

Łącząc ze sobą powyższe cztery wzory otrzymujemy:

Czyli w efekcie otrzymujemy:

Równanie to jest odpowiednikiem równania Poissona dla potencjału skalarnego i musi mieć podobne rozwiązanie:

gdzie:

r – odległość od źródła pola do punktu, w którym wyznaczamy potencjał.

Źródłem pola jest element przewodnika z prądem o gęstości j.

Jeżeli przewodnik ma wszędzie ten sam przekrój S, to:

Biorąc pod uwagę, że gęstość prądu wynosi:

i przypisując elementowi dl kierunek i zwrot gęstości prądu możemy zastąpić całkowanie objętościowe całkowaniem po długości przewodnika:

gdzie:

e_l – jest wersorem równoległym do wektora j oraz dl.

czyli mamy:

Jak widać, dla danego przewodnika wartość potencjału wektorowego jest proporcjonalna do natężenia płynącego w nim prądu.. Kierunek i zwrot potencjału wektorowego wynika z sumowania przyczynków od poszczególnych elementów przewodnika. Każdy taki przyczynek wynosi:

oraz ma zwrot i kierunek elementu dl. Iloczyn Idl nazywa się niekiedy elementem prądu.

Składowe potencjału wektorowego w układzie kartezjańskim przybierają następującą postać:

W tym miejscu warto jeszcze znaleźć cyrkulację z potencjału wektorowego (skorzystamy z twierdzenia Stokesa):

Z analizy powyższego równania, można stwierdzić, że:

Cyrkulacja z potencjału wektorowego po dowolnym konturze jest równa strumieniowi magnetycznemu przez powierzchnię objętą tym konturem.

Góra strony

22.13 Prawo Biota-Savarta

W celu wyprowadzenia prawa Biota-Savarta zapiszmy wyprowadzony już wzór na różniczkę potencjału wektorowego:

przypomnijmy sobie też zależność pomiędzy wektorem indukcji magnetycznej B, a wektorowym potencjałem magnetycznym A:

Łącząc powyższe dwie zależności znajdujemy przyczynek do wektora indukcji:

Zamieniamy kolejność czynników składowych powyższego iloczynu wektorowego i jednocześnie musimy postawić minus (jest to zgodne z własnościami iloczynu wektorowego dwóch wektorów):

Ponieważ czynnik 1/r jest skalarem możemy go „wciągnąć” za operator nabla.

Jak wiemy pomiędzy wektorem a jego wersorem zachodzi zależność:

a operator nabla można zapisać jako:

Podstawiając powyższe dwa wzory do poprzedniego otrzymujemy:

Po zróżniczkowaniu wektora r otrzymujemy:

Po uporządkowaniu otrzymujemy:

lub (po scałkowaniu):

Jest to prawo Biota-Savarta.

Powyższe prawo można też zapisać w postaci:

Skorzystaliśmy tu z zależności:

Góra strony

22.14 Pole magnetyczne na granicy ośrodków

W celu przeanalizowania pola magnetycznego na granicy ośrodków, rozpatrzmy powierzchnię graniczną między ośrodkami o współczynnikach przenikalności magnetycznej μ₁ i μ₂.

Następnie utwórzmy obszar w postaci walca, którego powierzchnia boczna jest prostopadła do przecinającej ją powierzchni granicznej. Górna część walca znajduje się w ośrodku 1, a dolna w ośrodku 2. Pole podstawy walca oznaczymy przez ΔS, a wysokość przez h. Aby wyznaczyć indukcję magnetyczną po obu stronach powierzchni granicznej, oprzemy się najpierw na twierdzeniu Gaussa dla pola magnetycznego: całkowity strumień magnetyczny przez powierzchnię walca musi być równy zeru:

Strumień ten jest sumą strumieni przez obie podstawy i przez powierzchnię boczną. Oznaczając ten ostatni przez ΔΦ_b napiszeny:

Po rozpisaniu skalarnych iloczynów wektorowych otrzymujemy:

Zauważmy, że:

gdzie: B_1n oraz B_2n stanowią normalne składowe indukcji magnetycznej.

Przy zmniejszaniu do zera wysokości walca strumień przez powierzchnię boczną maleje do zera, a więc:

tak więc po uproszczeniu i przekształceniu powyższych wzorów otrzymujemy:

Tak więc możemy stwierdzić, że: tuż przy powierzchni obie normalne składowe indukcji magnetycznej są sobie równe..

Z uwagi na to, że:

Po przyrównaniu i przekształceniu dwóch powyższych wzorów otrzymujemy stosunek:

Tak więc: normalne składowe natężenia pola muszą się różnić.

Aby znaleźć składowe styczne, poprowadzimy w płaszczyźnie prostopadłej do granicy ośrodków prostokątny kontur o dwóch bokach o długości h prostopadłych do powierzchni granicznej i dwóch o długości Δl równoległych do niej. Do tego konturu zastosujemy teraz prawo Ampere’a.

Jeżeli nie ma prądu powierzchniowego to:

Cyrkulacja po całym konturze jest sumą całek po kolejnych bokach prostokąta. Jednakże, całki po bokach prostopadłych zmierzają do zera przy h dążącym do zera. Tak więc cyrkulacja po całym konturze jest sumą:

zauważmy, że:

Po połączeniu trzech powyższych wzorów oraz wyciągnięciu stałych przed znak całki i dokonaniu całkowania otrzymujemy:

czyli:

Styczne składowe natężenia pola są po obu stronach takie same. Wobec tego styczne składowe indukcji muszą się różnić:

Góra strony

22.15 Współczynnik indukcyjności własnej obwodu z prądem

Prąd elektryczny I wytwarza pole magnetyczne o indukcji B. Indukcja ta przenikając pole powierzchni wyznaczonej przez obwód prądu tworzy strumień magnetyczny, którego wartość zależy od prądu I oraz od geometrii obwodu i środowiska, w jakim istnieje ten strumień. Iloraz skojarzonego z obwodem strumienia Ψ i prądu I płynącego w tym obwodzie nazywamy współczynnikiem indukcyjności własnej (samoindukcji) lub indukcyjnością własną obwodu, tj.

Jednostką indukcyjności jest henr (1H):

Współczynnik indukcyjności własnej obwodów bez elementów ferromagnetycznych jest wielkością stałą, niezależną od natężenia prądu, a jedynie od geometrii obwodu i właściwości magnetycznych środowiska. W układach z ferromagnetykami przeciwnie – indukcyjność własna zależy od prądu.

Góra strony

22.16 Współczynnik indukcyjności wzajemnej

Jeżeli w polu magnetycznym wytworzonym przez prąd płynący w pewnym obwodzie znajduje się drugi obwód, to strumień pola magnetycznego wytworzony przez pierwszy obwód może całkowicie lub częściowo przenikać przez obwód drugi. W obwodach przedstawionych na poniższym rysunku strumienie wytworzone przez poszczególne obwody wynoszą odpowiednio: Φ₁₁ i Φ₂₂.

Każdy z nich tylko częściowo przenika obwód sąsiedni – odpowiednio Φ₁₂ i Φ₂₁, a pozostałe części, tzw. strumień rozproszenia – odpowiednio Φ_1r i Φ_2r – nie przenikają obwodu sąsiedniego. Jeżeli obwody zawierają odpowiednio z₁ i z₂ zwojów, to strumienie skojarzone z własnymi obwodami wynoszą:

a indukcyjności własne pierwszego i drugiego obwodu zgodnie z definicją są równe:

Strumienie skojarzone z obwodem sąsiednim wynoszą odpowiednio:

W powyższych wzorach pierwszy indeks przy strumieniu oznacza źródło tego strumienia, a drugi – obwód przenikany .

Strumień skojarzony ψ₁₂ zależy od prądu I₁, który go wytworzył i analogicznie strumień ψ₂₁ zależy od prądu I₂. Jeżeli strumienie te podzieli się przez odpowiadające im prądy źródłowe, to otrzymane związki nie będą zależeć od tych prądów (w środowiskach liniowych), a tym samym będą określać sprzężenie magnetyczne między obwodami zależne tylko od geometrii własnej i wzajemnej obwodów oraz od środowiska. Tak utworzone stosunki nazywa się współczynnikami indukcyjności wzajemnej:

dla obwodu pierwszego z drugim:

dla obwodu drugiego z pierwszym:

Jednostką indukcyjności wzajemnej jest henr (1 H). W środowiskach liniowych zachodzi:

Stopień sprzężenia dwóch obwodów określa się współczynnikiem sprzężenia, który jest stosunkiem tej części strumienia całkowitego, która przenika obwód sąsiedni, do strumienia całkowitego:

Wartość współczynnika sprzężenia zawarta jest w przedziale od 0 do 1, przy czym 0 – oznacza brak sprzężenia, a 1 – sprzężenie idealne. Średnia geometryczna współczynników k₁ i k₂ jest współczynnikiem sprzężenia obu obwodów:

Wstawiając do tego wzoru określenia współczynników k₁ i k₂, otrzymujemy:

Zgodnie z wprowadzonymi już zależnościami otrzymujemy związek:

czyli:

Ponieważ jak już zostało wspomniane k jest mniejsze od jedności, więc indukcyjność wzajemna pomiędzy dwoma obwodami nie może być większa niż średnia geometryczna indukcyjności własnych obwodów.

Góra strony

22.17 Energia pola magnetycznego cewki

Rozważmy obwód linearny z prądem I rozpięty na krzywej zamkniętej Γ i umieszczony w polu magnetycznym o indukcji B. Zgodnie z wzorem na siłę Ampere’a działającą na elementarny fragment obwodu o długości dl działa siła równa:

Jeżeli nie będzie więzów blokujących możliwość ruchu, to siła ta spowoduje przesunięcie tego fragmentu obwodu. Wobec tego podczas przesunięcia o elementarny wektor ds wykonana zostanie praca:

Zgodnie z zasadą mnożenia iloczynu mieszanego wektorów naszą pracę możemy przedfstawić za pomocą wyrażenia:

Iloczyn wektorowy wektorów: ds i dl wyznaczają wektor dS którego wartość jest równa polu powierzchni rozpiętego na tych wektorach równoległoboku. A więc możemy zapisać:

Wskutek przesunięcia fragmentu przewodu strumień przenikający obwód zmaleje o dΦ więc ubytek energii dW układu możemy zapisać jako:

Skorzystaliśmy tu z faktu, że:

Otrzymana zależność na pracę ma charakter ogólny – zwiększenie w jakikolwiek sposób strumienia magnetycznego przenikającego obwód, w którym płynie prąd wymaga wykonania pracy. Zmiana strumienia może być spowodowana różnymi czynnikami, na przykład: zmianą prądu w rozpatrywanym obwodzie, zmianą prądu w sąsiednim obwodzie, przemieszczeniem obwodu, przemieszczeniem źródła pola magnetycznego itp.

Gdy zmiana strumienia jest spowodowana zmianą prądu w rozpatrywanym obwodzie to w środowiskach liniowych strumień Φ jest proporcjonalny do prądu, to znaczy:

gdzie lambda jest współczynnikiem proporcjonalności. Oznacza to, że:

Przy wzroście prądu od 0 do I energia pola magnetycznego rośnie o:

W przypadku z – zwojowej cewki elementarna praca związana ze zwiększeniem (natężenia) prądu o dI jest równa:

Zauważmy, że iloczyn zΦ jest to tak zwany strumień magnetyczny skojarzony z całą cewką. Zgodnie z definicją strumienia magnetycznego skojarzonego Ψ mamy:

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

Teraz skorzystamy z definicji indukcyjności własnej cewki- którą określa się jako stosunek strumienia skojarzonego z cewką Ψ do prądu I płynącego przez cewkę:

Łącząc dwa powyższe wzory oraz wyciągając L przed znak różniczki otrzymujemy:

Zwiększenie prądu od zera do I wymaga wykonania pracy:

Otrzymany wzór przedstawia energię zgromadzoną w polu magnetycznym cewki z prądem I o indukcyjności L.

Góra strony

22.18 Energia pola magnetycznego obwodów sprzężonych magnetycznie

Rozważmy dwa obwody. Zakładamy, że początkowo prądy w obydwu obwodach nie płyną (nie ma pola magnetycznego). Zwiększenie prądu w pierwszym obwodzie od zera do I₁ powoduje wzrost energii pola magnetycznego do wartości:

gdzie wielkośći: ψ₁₁ oraz ψ₁₂ mają to samo znaczenie co w podrozdziale 22.16.

i wynoszą:

Zatem różniczki powyższych wielkości wynoszą:

Podstawiając powyższe związki do wzoru na W’_m otrzymujemy:

Jeżeli następnie zwiększymy prąd w drugim obwodzie od zera do I₂ to energia zwiększy się o:

gdzie wielkośći: ψ₂₂ oraz ψ₂₁ mają to samo znaczenie co w podrozdziale 22.16.

i wynoszą:

Zatem różniczki powyższych wielkości wynoszą:

Podstawiając dwa powyższe związki do wzoru na W”_m otrzymujemy:

Zatem całkowita energia pola magnetycznego dwóch obwodów sprzężonych magnetycznie wynosi:

przy czym wybór znaku „+” lub „-” zależy od tego, czy sprzężenie jest dodatnie, czy nie.

22.19 Energia pola magnetycznego prądów objętościowych

Rozważmy odosobniony obwód o skończonej objętości V z gęstością prądu równą j. Wydzielmy w obwodzie elementarną rurkę prądu dI :

Zgodnie ze wzorem z podrozdziału 22.17 energia pola magnetycznego związana z rozpatrywaną rurką prądu wynosi:

Strumień magnetyczny Φ_m=Φ zgodnie ze wzorem z podrozdziału 22.12 wynosi:

Łącząc trzy powyższe wzory otrzymujemy zależność na dW_m :

Następnie zamieniamy miejscami wektory j i dr :

Całkowitą energię pola magnetycznego związaną z przepływem prądu o gęstości j otrzymamy całkując powyższą zależność po przekroju poprzecznym S obszaru V :

22.20 Gęstość objętościowa energii pola magnetycznego

W celu wyznaczenia zależności na gęstość objętościową energii pola magnetycznego rozważmy dywergencję z iloczynu wektorowego H i A.

Zgodnie ze wzorem przedstawionym w podrozdzile 4.21 na dywergencję iloczynu wektorowego dwóch wektorów, otrzymujemy:

Z różniczkowej postaci prawa Ampere’a wynika, że:

Natomiast ze związku pomiędzy wektorem indukcji magnetycznej a wektorowym potencjałem magnetycznym, wynika:

Łącząc teraz trzy powyższe wzory, otrzymujemy:

Wyznaczmy z powyższego wzoru iloczyn A•j :

Przypomnijmy sobie teraz wzór z poprzedniego podrozdziału na całkowitą energię pola magnetycznego związaną z przepływem o gęstości j :

Wykorzystując dwa powyższe wzory otrzymujemy zależność:

czyli:

stosując teraz twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego do drugiej całki otrzymujemy dalej:

Obszar całkowania V jest obszarem występowania prądów, jednak można go rozszerzyć na całą przestrzeń.
Pierwszy składnik powyższej sumy przedstawia energię zlokalizowaną w obszarze V, a drugi składnik – jej pozostałą część. Całka druga jest równa zeru ponieważ dla dużych odległości r od obszaru występowania prądów zachodzi:

Więc wyrażenie podcałkowe w drugiej całce jest odwrotnie proporcjonalne do r. Tak więc przy r→∞ całka dąży do zera. Mamy więc:

a więc:

Wyrażenie:

nazywa się gęstością objętościową energii pola magnetycznego