Pole grawitacyjne

Pole grawitacyjne jest to przestrzeń która ma tę własność, że na każde ciało w nim umiesczone i obdarzone masą działa siła grawitacji.

Oddziaływania grawitacyjne są jedynym rodzajem oddziaływań podstawowych, który bezpośrednio odczówamy w postaci siły ciężkości.

12.1. Prawo powszechnej grawitacji.

Wszystkie ciała wzajemnie się przyciągają siłą grawitacji. Należy zaznaczyć, że nie istnieje odpychanie grawitacyjne!

Prawo opisujące przyciąganie się punktów materialnych (a także ciał o symetrii sferycznej bądź kulistej) nosi nazwę prawa powszechnej grawitacji. Prawo to głosi, że:

Siła którą przyciągają się dwa punkty materialne jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych punktów materialnych i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi:

gdzie:

G – współczynnik proporcjonalności zwany stałą grawitacji

Kierunek działania siły pokrywa się z prostą łączącą punkty materialne:

Powyższy wzór można uogólnić na postać wektorową:

12.2. Natężenie pola grawitacyjnego.

Jednym z parametrów opisujących intensywność pola grawitacyjnego jest natężenie pola grawitacyjnego γ. Jest to wielkość wektorowa.
Definiuje się ją jako stosunek wektora siły grawitacji działającej na masę próbną (o bardzo małej wartości) do wartości tej masy:

Wymiar γ jest taki sam jak wymiar przyspieszenia.

Pośrednio można z tego wywnioskować, że w pobliżu powierzchni Ziemi natężenie pola grawitacyjnego jest równe przyspieszeniu swobodnego spadania g. Jednak należy pamiętać, że są to dwie różne wielkości o różnym znaczeniu fizycznym.

Jeżeli do powyższego wzoru podstawimy wzór na siłę grawitacji (z prawa powszechnego ciążenia) to otrzymamy:

Dla formalności należy jeszcze zaznaczyć, że w naszym przypadku:

12.3. Grawitacyjna energia potencjalna.

Ponieważ pole grawitacyjne jest polem potencjalnym (oraz zachowawczym) więc możemy dla niego zdefiniować parametr jakim jest energia potencjalna.

Energia potencjalna w polu grawitacyjnym jest to praca jaką wykona siła grawitacji przy przesunięciu ciała z danego punktu pola do nieskończoności.

A więc grawitacyjna energia potencjalna w ogólności jest ujemna i rośnie przy oddalaniu się od źródła pola, osiągając zero w nieskończoności.

Wyprowadźmy teraz wzór na energię potencjalną w polu grawitacyjnym:

Wiemy, że:

lub skalarnie:

Z definicji grawitacyjnej energii potencjalnej wiemy, że:

dokonujemy kolejnych przekształceń:

i w efekcie otrzymujemy:

jednocześnie pamiętamy, że:

12.4. Potencjał pola grawitacyjnego.

Kolejną wielkością charakteryzującą intensywność pola grawitacyjnego jest potencjał grawitacyjny V. W odróżnieniu od natężenia pola grawitacyjnego potencjał jest wielkością skalarną.

Potencjał grawitacyjny V w danym punkcie pola jest liczbowo równy stosunkowi grawitacyjnej energii potencjalnej masy próbnej umieszczopnej w tym punkcie do wartości tej masy:

12.5. Prędkości kosmiczne.

W odniesieniu do grwiatcji ciał niebieskich (takich jak Ziemia czy Słońce) w fizyce mówi się o prędkościch kosmicznych, które definiuje się następująco:

– Pierwsza prędkość kosmiczna v_I – jest to prędkość jaką należy nadać ciału aby poruszało się po kołowej orbicie okołoziemskiej o promieniu niewiele większym od promienia Ziemi R_Z.

W celu znalezienia wzoru na tą prędkość przyrównujemy siłe dośrodkową F_d do siły grawitacji, (ponieważ siła dośrodkowa w tym przypadku ma naturę siły grawitacyjnej):

Po skróceniu odpowiednich wyrazów oraz przekształceniu powyższego wzoru otrzymujemy zależność na pierwszą prędkość kosmiczną:

– Druga prędkość kosmiczna v_II – jest to minimalna prędkość jaką należy nadać ciału znajdującemu się na powierzchni Ziemi, aby oddaliło się ono do nieskończoności (przy założeniu braku istnienia innych „zakłócających” pól grawitacyjnych).

W celu wyznaczeniu wzoru na drugą prędkość kosmiczną należy przyrównać sumę energii potencjalnej i kinetycznej naszego ciała na powierzchni Ziemi do zera. (Ponieważ całkowita energia mechaniczna musi być zachowana a w nieskończoności, przy naszych warunkach wynosi zero.)

Po przekształcenich otrzymujemy:

p>

12.6. Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego.

Dla pól centralnych typu:

gdzie:

w – wektor natężenia pola

c = const – stała

r – odległość danego punktu od centrum pola

Prawo Gaussa ma następującą postać:

Prawo to można zastosować do wektora natężenia pola grawitacyjnego. Dla pola grawitacyjnego:

Powyższy wzór wyraża prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego, które można wyraźić słownie następująco:

Strumień natężenia pola przez zamkniętą powierzchnię S jest wprost proporcjonalny do sumarycznej masy ciał wewnątrz niej – niezależnie od ich rozmieszczenia i kształtu. Minus oznacza, że wektor γ wskazuje do środka (wektory powierzchni na zewnątrz).

Z matematycznej definicji dywergencji wiemy, że:

a więc:

Powyższa zależność to tak zwana różniczkowa postać prawa Gaussa dla pola grawitacyjnego

gdzie:

ρ(r) – gęstość materii wewnątrz obszaru całkowania