Fizyka

Pole elektryczne

1 kwietnia 2017

20. Spis treści.

20.1 Pojęcia związane z polem elektrycznym.

20.2 Prawo Coulomba.

20.3 Wektor natężenia pola elektrycznego.

20.4 Energia potencjalna w polu elektrostatycznym ładunku punktowego.

20.5 Potencjał pola elektrostatycznego ładunku punktowego.

20.6 Układ ładunków punktowych. Dipol elektryczny.

20.7 Pojemność elektryczna przewodnika.

20.7.1 Pojemność elektryczna kondensatora kulistego.

20.7.2 Pojemność elektryczna kondensatora cylindrycznego.

20.7.3 Pojemność elektryczna kondensatora płaskiego.

20.1 Pojęcia związane z polem elektrycznym.

ładunek punktowy – ciało naładowane którego rozmiary można zaniedbać w porównaniu z odległościami tego ciała do innych ciał naładowanych elektrycznie.

20.2 Prawo Coulomba.

Prawo Coulomba można sforułować w następujący sposób:

Siła oddziaływania dwóch nieruchomych ładunków punktowych jest proporcjonalna do wartości każdego z tych ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.

Prawo to obrazuje poniższy rysunek:

oraz wzór wektorowy:

gdzie:

ε₀ – przenikalnośc elektryczna próżni

q₁ , q₂ – wielkości oddziałujących ładunków

r – odległośc między ładunkami

20.3. Wektor natężenia pola elektrycznego.

Wektor natężenia pola elektrycznego – jest to stosunek siły F działającej na ładunek próbny q₀ umieszczony w polu do wartości tego ładunku:

20.4. Energia potencjalna w polu elektrostatycznym ładunku punktowego.

Energię tę można określić jako pracę jaką wykonuje siła elektrostatyczna przy przesunięciu ładunku z danego punktu pola do niekończoności (tam gdzie pole elektryczne zanika).

20.5. Potencjał pola elektrostatycznego ładunku punktowego.

Potencjał elektrostatyczny V w danym punkcie pola jest liczbowo równy stosunkowi elektrostatycznej energii potencjalnej ładunku próbnego umieszczopnego w tym punkcie do wartości tego ładunku:

20.6. Układ ładunków punktowych. Dipol elektryczny.

Pole elektryczne wytwarzane przez układy ładunków punktowych może być łatwo obliczone przez wektorowe dodawanie kulombowskich pól poszczególnych ładunków. Szczególną rolę wśród układów ładunków punktowych pełni dipol elektryczny tj. układ dwóch równych ładunków q o przeciwnych znakach, znajdujących się w stałej odległości wzajemnej l.

Wyprowadźmy wzór na nateżenie pola elektrycznego na osi dipola:

Stosując wzór skróconegpo mnożenia otrzymujemy:

gdzie:

r₊ – odległość punktu w którym wyznaczamy natężenie pola elektrycznego P od punktowego ładunku doatniego

r_– – odległość punktu w którym wyznaczamy natężenie pola elektrycznego P od punktowego ładunku ujemnego

Jeżeli założymy, że:

to wówczas:

Podstawiając powyższe wnioski do wzoru na E otrzymujemy:

Powyższy wzór przybiera prostszą postać gdy wprowadzimy nową wielkość fizyczną:

Wielkość ta nazywa się: elektrycznym momentem dipolowym.

A więc wzór na E jest następujący:

20.7. Pojemność elektryczna przewodnika.

Stosunek ładunku elektrycznego zgromadzonego na przewodniku do potencjału wytworzonego na tym przewodniku jest dla danego przewodnika stały i nosi nazwę pojemności elektrycznej przewodnika.

Pojemność elektryczna przewodnika zależy od jego kształtu i rozmiarów. Jednostkę pojemności przyjęto nazywać faradem: 1 F jest to pojemność takiego przewodnika, na którym ładunek 1 C wytwarza napięcie 1 V. Pojemność 1 F jest pojemnością bardzo dużą i dlatego stosujemy jednostki mniejsze takie jak: μF, nF, pF.

20.7.1. Pojemność elektryczna kondensatora kulistego.

Kondensator kulisty traktujemy jako dwie współśrodkowe kule o promieniach r_a i r_b (r_a< r_b). Kulę wewnętrzną ładujemy ładunkiem ujemnym Q. Wtedy pole między powierzchniami kulistymi będzie równe:

Różnica potencjałów kuli zewnętrznej względem wewnętrznej z definicji jest równa:

Wyrazy stałe wyciągamy przed znak całki:

Następnie dokonujemy całkowania:

lub w innej postaci:

Pojemność kondensatora kulistego jest więc równa:

Jeżeli teraz założymy, że:

to otrzymamy wzór na pojemność elektryczną odosobnionej kuli. W celu uzyskania tego wzoru podzielmy licznik i mianownik przez r_b:

Widzimy, że:

Tak, więc pojemność elektryczna odosobnionej kuli wynosi:

20.7.2. Pojemność elektryczna kondensatora cylindrycznego.

W celu wyprowadzenia wzoru na pojemność elektryczną kondensatora cylindrycznego wyprowadźmy najpierw wzór na natężenie pola elektrycznego pomiędzy dwiema różnoimiennie naładowanymi powierzchniami cylindrycznymi o promieniach r_a i r_b ( r_a < r_b ).
Skorzystamy tu z prawa Gaussa dla pola elektrostatycznego:

Na początek wyobraźmy sobie w myśli naszą zamkniętą powierzchnię Gaussa. W tym przypadku będzie to walec o promieniu r i podstawach S_p, spełniający warunek:

Rozpiszmy teraz lewą stronę powyższego równania dla naszego przypadku, to jest naładowanego cylindra:

Powyższe równanie powinniśmy rozumieć w następujący sposób:

Powierzchnię gaussa jaką jest cylinder rozpatrujemy jako sumę dwóch podstaw o polu powierzchni S_p oraz powierzchni bocznej walca o polu powierzchni S_b.

Kąt pomiędzy wektorami E(r) oraz dS dla podstaw wynosi 90^ο natomiast dla powierzchni bocznej wynosi on zero.

Z trygonometrii wiemy, że:

oraz:

Nasze równanie przyjmuje więc następującą postać:

Wielkość E(r) możemy wyłączyć przed znak całki (ponieważ jest ona stała dla wybranej powierzchni bocznej S_b):

Powierzchnia S_b jest równa:

Lewa strona naszego pierwotnego równania przyjmuje więc postać:

A więc prawo Gaussa wygląda na tym etapie następująco:

W celu dalszej analizy tego równania wprowadzimy nową wielkość fizyczną jaką jest liniowa gęstość ładunku elektrycznego η. Okazuje się bowiem, że ładunek rozłożony na powierzchni walca jest równoważny ładunkowi rozłożonemu wzdłuż osi tego walca jeżeli tylko odległości które rozpatrujemy są większe od promienia tego walca. Liniową gęstość ładunku η definiujemy następująco:

Wzór ten możemy zapisać inaczej:

Następnie dokonujemy całkowania obustronnego tego wzoru, otrzymując:

Ponieważ zakładamy, że ładunek jest rozłożony równomiernie więc η jest stały:

Wielkość stałą możemy wyciągnąć przed znak całki:

Jeżeli teraz tą wartość ładunku podstawimy do naszej postaci prawa Gaussa, uprościmy wartość wielkości L i przekształcimy ten wzór wyznaczając E(r) to otrzymamy:

Kolejnym krokiem mającym na celu wyprowadzenie wzoru na pojemność elektryczną kondensatora cylindrycznego jest wyznaczenie napięcia pomiędzy powierzchniami cylindrycznymi o promieniach r_a i r_b.

Z zależności pomiędzy napięciem elektrycznym U_ab oraz natężeniem pola elektrycznego E wynika, że:

Jeżeli teraz połączymy dwa powyższe wzory to otrzymamy:

Wartości stałe wyciągamy przed znak całki otrzymując:

Z zasad całkowania wiemy, że:

Widzimy więc, że:

Z własności różnicy logarytmów wiemy, że:

Łącząc dwa powyższe wzory oraz biorąc wartość bezwzględną U_ab otrzymujemy związek:

Warto w tym momencie przypomnieć dwa wzory:

oraz:

Łącząc powyższe trzy zależności otrzymujemy ostateczny wzór na pojemność elektryczną kondensatora cylindrycznego:

20.7.3. Pojemność elektryczna kondensatora płaskiego.

W celu wyprowadzenia wzoru na pojemność elektryczną kondensatora płaskiego, wyprowadzimy najpierw wzór na natężenie pola elektrycznego pomiędzy okładkami takiego kondensatora.

Na początek wyprowadźmy wzór na wartość natężenia pola elektrycznego pochodzącego od nieskończonej płaskiej naładowanej dodatnio (lub ujemnie) płaszczyzny.Skorzystamy z prawa Gaussa dla pola elektrostatycznego:

Na początek wyobraźmy sobie naszą zamkniętą powierzchnię Gaussa. Jest to walec o podstawach S_p i wysokości 2r. Sytuację tą przedstawia poniższy rysunek:

Przeanalizujmy teraz lewą część powyższego równania:

Powyższe równanie powinniśmy rozumieć w następujący sposób:

Powierzchnię Gaussa jaką jest cylinder rozpatrujemy jako sumę dwóch podstaw o polu powierzchni S_p oraz powierzchni bocznej walca o polu powierzchni S_b.

Kąt pomiędzy wektorami E(r) oraz dS dla podstaw wynosi 0^ο natomiast dla powierzchni bocznej wynosi on 90^ο. Jeżeli skorzystamy ze znanych nam już własności funkcji trygonometrycznych to otrzymamy zależność:

Wielkość E(r) możemy wyłączyć przed znak całki (ponieważ jest ona stała dla wybranej powierzchni podstawy S_p ):

Na tym etapie prawo Gaussa zastosowane do nieskończonej naładowanej równomiernie płaszczyzny wygląda następująco:

W celu dalszej analizy tego równania wprowadzimy nową wielkość fizyczną jaką jest powierzchniowa gęstość ładunku elektrycznego σ. Definiuje się ją następująco:

Możemy przekształcić to równanie do następującej postaci:

Następnie całkujemy obustronnie to równanie, otrzymując:

Ponieważ gęstość powierzchniowa σ jest z założenia wielkością stałą, więc możemy tę wielkość „wyciągnąć” przed znak całki:

Jeżeli teraz podstawimy tą wartośc ładunku do naszego prawa Gaussa to otrzymamy następujący wzór na natężenie pola elektrycznego E pochodzącego od nieskończonej płaszczyzny naładowanej jednorodnie:

Naszym celem jednak jest wyznaczenie natężenia pola elektrycznego powstającego pomiędzy dwiema płąszczyznami naładowanymi jednorodnie oraz różnoimiennie.

W celu przeanalizowania naszego przypadku posłużymy się rysunkiem:

Płaszczyzna naładowana dodatnio wytwarza po obu swoich stronach pole elektryczne o natężeniu E₊ skierowane od tej płaszczyzny:

Płaszczyzna naładowana ujemnie wytwarza po obu swoich stronach pole elektryczne o natężeniu E_– skierowane do tej płaszczyzny:

Ponieważ kierunki i zwroty wektorów E₊ i E_– są zgodne w przestrzeni pomiędzy obiema płaszczyznami więc natężenie wypadkowe jest zwykłą sumą wartości tych natężeń:

Tak więc widzimy, że natężenie pola elektrycznego pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego wynosi:

Następnym krokiem mającym na celu wyprowadzenie pojemności elektrycznej kondensatora płaskiego jest znalezienie napięcia U_ab pomiędzy okładkami tego kondensatora. Skorzystamy w tym momencie z zależności pomiędzy napięciem a natężeniem pola elektrycznego:

Z prostej symetrii kondensatora płaskiego wynika, że: