Mechanika relatywistyczna

Mechanika klasyczna (newtonowska) jest słuszna jedynie dla ciał których prędkości są znacznie mniejsze od prędkości światła w próżni (tą prędkość oznaczamy literką c). Natomiast do opisu ruchów z prędkościami porównywalnymi z c stosuje się stworzoną przez Einsteina mechanikę relatywistyczną, zgodną z postulatami szczególnej teorii wzgędności.

Podstawą tej teorii są: zasada względności Einsteina oraz zasada stałości prędkości światła.

Zgodnie z pierwszą z powyższych zasad:

Wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

Zasada stałości prędkości światła głosi, że:

prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia i nie zależy od ruchu źródeł i odbiorników światła.

W mechanice relatywistycznej nie tylko miejsce, ale i czas, w którym zaszło pewne zdarzenie W, zależą od przyjętego układu odniesienia. Jeżeli znamy miejsce (x, y, z) i czas t zdarzenia w pewnym układzie K to korzystając z transformacji Lorentza możemy znaleźć miejsce (x’, y’, z’) i czas t’ tego samego zdarzenia w układzie K’ który porusza się względem układu K z pewną prędkością v₀.

Przedstawione poniżej wzory na transformacje Lorentza są słuszne dla szczególnego przypadku gdy obydwa układy poruszają się względem siebie wzdłuż osi OX (O’X’).

Odwrotne transformacje Lorentza:

gdzie:

γ – jest to tak zwany czynnik Lorentza

23.3 Wnioski wypływające z transformacji Lorentza: skrócenie długości.

Z transformacji Lorentza wypływa następujący wniosek:

Długość pręta l zmierzona przez obserwatora A w układzie XYZ, względem którego pręt porusza się z prędkością v₀ jest mniejsza od długości spoczynkowej l₀ czyli zmierzonej w układzie X’Y’Z’, względem którego pręt jest w spoczynku.

W celu wyprowadzenia zależności pomiędzy l i l₀ zapiszmy wzory:

Z transformacji Lorentza wiemy, że:

oraz:

Łącząc powyższe cztery wzory w jeden układ równań oraz po prostych przekształceniach otrzymujemy:

Następnie dzielimy przez siebie obydwa równania oraz rozpisujemy czynnik Lorentza otrzymując ostateczny wzór na relatywistyczne skrócenie odcinka:

23.4 Wnioski wypływające z transformacji Lorentza: dylatacja czasu

Dylatacja czasu to wydłużenie odstępu czasu, jeżeli pomiar zostanie przeniesiony do innego niż własny układ odniesienia.

Innymi słowy w układzie odniesienia związanym z poruszającym się obiektem fizycznym, przedział czasu Δt’ upływający między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym układzie jest równy czasowi własnemu Δt₀. Dla obserwatora znajdującego się w laboratoryjnym układzie odniesienia K względem którego obiekt porusza się z prędkością v₀ czas między tymi zdarzeniami Δt jest większy od czasu własnego (Δt > t₀):

Wyprowadźmy zależność pomiędzy Δt oraz Δt₀:

Odstęp czasu między dwoma zdarzeniami dla obserwatora związanego z nieruchomym układem odniesienia wynosi:

Oba zdarzenia nastąpiły w tym samym punkcie, a więc:

Korzystając ze znanych już transformacji Lorentza możemy zapisać:

Odejmujemy teraz powyższe równania od siebie, otrzymując zależność:

Lub inaczej:

23.5 Wnioski wypływające z transformacji Lorentza: relatywistyczna transformacja prędkości

W układzie K położenie cząstki jest określone w każdej chwili t współrzędnymi x, y, z. Poniższe wyrażenia przedstawiają rzuty wektora prędkości cząstki na osie x, y, z w układzie K:

W układzie K’ położenie punktu w każdej chwili t’ jest określone współrzędnymi x’, y’, z’ przy czym rzuty wektora prędkości wynoszą:

Zgodnie z transformacjami Lorentza podanymi w podrozdziale 23.2 oraz przechodząc do postaci różniczkowej tych równań możemy zapisać cztery następujące równania:

W celu otrzymania zależności na v_x dzielimy pierwsze równanie przez czwarte:

Dzielimy teraz licznik i mianownik powyższego wyrażenia przez dt’ otrzymując:

W celu otrzymania zależności na v_y oraz v_z postępujemy analogicznie z drugim i trzecim równaniem otrzymując:

Z „odwrotnych” transformacji Lorentza analogicznie łatwo wyprowadzić wyrażenia na prędkości w układzie K’:

Jeżeli v₀ << c to relatywistyczne wzory na składanie prędkości przechodzą w zwykłe wzory klasyczne:

Jeżeli ciało porusza się równolegle do osi x to jego prędkość v względem układu K jest równa v_x, a względem układu K’ jego prędkość wynosi v’=v’_x.

W takim przypadku prawo składania prędkości ma postać:

23.6 Relatywistyczna zależność masy od prędkości.

Podstawowe prawa mechaniki, jak zasady zachowania: pędu, krętu i energii pozostają ważne i w mechanice relatywistycznej, ale znaczenie niektórych wielkości ulega zmianie. Na przykład okazuje się, że aby pozostała słuszna zasada zachowania pędu, masa ciała musi zależeć od prędkości według wzoru:

gdzie:

m – masa spoczynkowa ciała (czyli masa ciała nieruchomego).

Przyrost masy relatywistycznej wraz ze wzrostem prędkości można przedstawić na wykresie. Jeżeli na osi odciętych umieścimy stosunek v₀/c a na osi rzędnych stosunek m/m₀ to wykres tej zależności wygląda następująco:

Pęd w mechanice relatywistycznej jest zdefiniowany tym samym wzorem co w mechanice klasycznej:

ale nie jest on już ściśle proporcjonalny do prędkości, ponieważ masa jest funkcją prędkości.

23.7 Masa i energia relatywistyczna.

Aby zasada zachowania energii była nadal słuszna w mechanice relatywistycznej, to między masą a energią musi zachodzić związek:

gdzie:

E – całkowita energia ciała

Jest to słynne równanie Einsteina wyrażające równoważnośc masy i energii.

Do określenia energii ciała pozostającego w spoczynku wprowadza się pojęcie energii spoczynkowej E₀:

Relatywistyczna energia kinetyczna jest równa różnicy energii całkowitej ciała w ruchu i jego energii spoczynkowej, czyli:

Według szczególnej teorii względności żadne ciało materialne nie może osiągnąć prędkości światła. Wynika to z powyższego wzoru. Gdy bowiem prędkość v₀ dąży do c to energia kinetyczna ciała dąży do nieskończoności, a to oznacza, że rozpędzenie ciała do prędkości światła wymaga nieskończenie wielkiej pracy. Z prędkością światła mogą jedynie poruszać się cząstki elementarne o masie spoczynkowej równej zeru. Jedyną znaną dotąd taką cząstką jest foton (kwant światła).