5.1 Układy współrzędnych.
5.1.1. Kartezjański układ współrzędnych.
5.1.2. Kulisty (sferyczny) układ współrzędnych.
5.1.3.Walcowy (cylindryczny) układ współrzędnych.
5.1.4. Biegunowy układ współrzędnych.
5.2.Tor, droga, przemieszczenie i równania toru.
5.4. Przyspieszenie liniowe.
5.5. Składowe styczna i normalna przyspieszenia.
5.6. Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe.
5.1. Układy współrzędnych.
Ruch cząstki lub ciała sztywnego określamy zawsze względem innego ciała, z którym wiążemy tak zwany układ odniesienia. W kinematyce do określania ruchu cząstek wystarczy rozważyć układy czysto matematyczne, jakimi są układy współrzędnych. Do najczęściej stosowanych układów współrzędnych należą: układ kartezjański, układ kulisty (sferyczny) oraz układ walcowy (cylindryczny).
5.1.1. Kartezjański układ współrzędnych.
Położenie cząstki w przestrzeni trójwymiarowej określamy przez podanie uporządkowanej trójki liczb(x, y, z), która określa współrzędne danej cząstki w tym układzie. Współrzędne te można traktować jako składowe wektora położenia :
Można rozróżnić dwa rodzaje układów kartezjańskich: układ prawoskrętny oraz układ lewoskrętny. Kartezjański prawoskrętny układ współrzędnych jest to układ trzech wzajemnie prostopadłych osi przecinających się w punkcie zwanym początkiem układu, przy czym zwroty osi są takie, że przejście od osi x do osi y jest zgodne z obrotem śruby prawoskrętnej, która postępuje w kierunku osi z. Sytuację tą przedstawia poniższy rysunek:
Jeżeli zwrot jednej z osi zostanie odwrócony na przeciwny, dostaniemy układ lewoskrętny.
Składowe wektora r zawierają się w następujących przedziałach:
5.1.2. Kulisty układ współrzędnych.
Położenie cząstki podaje się określając trójkę liczb (r,φ, θ) gdzie r oznacza promień wodzący (współrzędna radialna), φ – kąt azymutalny, θ – kąt biegunowy. Transformacja która przeprowadza współrzędne z układu kulistego do układu kartezjańskiego ma postać:
Transformacja która przeprowadza współrzędne z układu kartezjańskiego do układu kulistego ma postać:
5.1.3. Walcowy układ współrzędnych.
Położenie cząstki definiujemy odając trójkę liczb (ρ , φ , z) gdzie ρ oznacza promień wodzący leżący w płaszczyźnie prostopadłej do z, φ jest kątem biegunowym, zaś z współrzędną osi z.
Transformacja przeprowadzająca współrzędne punktu z układu walcowego do układu kartezjańskiego jest następująca:
Transformacja przeprowadzająca współrzędne punktu z układu kartezjańskiego do układu walcowego jest następująca:
5.1.4. Biegunowy układ współrzędnych – jako szczególny przypadek układu walcowego.
Często spotykanym dwuwymiarowym układem współrzędnych jest biegunowy układ współrzędnych. Położenie cząstki w tym układzie określa dwójka liczb (ρ, φ), których znaczenie jest identyczne jak dla układu walcowego. Wzory transformacyjne współrzędne z układu biegunowego do kartezjańskiego dwuwymiarowego mają następującą postać:
Natomiast wzory transformacyjne współrzędne z układu kartezjańskiego do biegunowego mają następującą postać:
5.2. Tor, droga, przemieszczenie i równania toru.
Podstawowe pojęcia kinematyki:
tor – linia jaką zakreśla poruszający się punkt materialny
droga – jest to długość toru (oznaczamy ją literą s)
przemieszczenie – wektor który w naszym przypadku ma początek w punkcie 1 i koniec w punkcie 2.(oznaczamy go symbolem r12)
Na poniższym rysunku możemy zauważyć, że każdemu fragmentowi drogi ds odpowiada małe przemieszczenie dr.
Bez dowodu wprowadzimy teraz zależność:
Pamiętajmy, że:
Jeżeli teraz połączymy dwa powyższe wzory oraz przejdziemy do postaci skalarnej (to znaczy pominiemy wektory) to otrzymamy:
Możemy teraz scałkować powyższe równanie otrzymując ogólny wzór na drogę dla dowolnego ruchu:
A więc zgodnie z graficzną interpretacją całki oznaczonej, droga s to pole powierzchni na poniższym wykresie (równe sumie pól powierzchni prostokącików o szerokości Δti i wysokości vi ):
5.3. Prędkość liniowa.
prędkość– wielkość wektorowa charakteryzująca zarówno szybkość przemieszczania się cząstki po torze, jak i uwzględniająca kierunek i zwrot ruchu cząstki w każdej chwili czasu.
Jak wynika z poniższego rysunku cząstka poruszająca się w przestrzeni po pewnym torze krzywoliniowym przyjmuje w chwili t położenie r(t), zaś w chwili (t+Δt) położenie r(t+Δt). Wektor r(t+Δt) można przedstawić jako wektorową sumę wektora r(t) oraz wektora przemieszczenia liniowego Δr.
Prędkość średnią υsr cząstki definiujemy jako iloraz różnicowy:
Prędkość chwilową (zwaną w skrócie prędkością) definiujemy jako granicę powyższego ilorazu różnicowego dla Δt→0 i zapisujemy następująco:
Prędkość jest więc pierwszą pochodną wektora położenia cząstki po czasie. Powszechnie używany w fizyce zapis:
Oznacza operację różniczkowania (czyli obliczania pochodnej) danej funkcji względem zmiennej t. W innej często stosowanej notacji, zaznaczając różniczkowanie względem czasu, stawiamy kropkę nad symbolem różniczkowanej funkcji. Należy dodać, że kropka odnosi się tylko i wyłącznie do pochodnej wzgledem czasu.
Prędkość jest wektorem, który w układzie kartezjańskim ma następującą postać:
Należy zaznaczyć, że wektor υ jest zawsze skierowany stycznie do toru.
5.4. Przyspieszenie liniowe.
Prędkość cząstki υ może zmieniać się zarówno co do wartości, jak i co do kierunku i zwrotu. Szybkość zmian wektora υ określa się jako pochodną wektora υ po czasie t. Tę pochodną nazywamy przyspieszeniem i oznaczamy literą a:
Jak widać z powyższego wzoru wektor przyspieszenia możemy również traktować jako druga pochodna wektora położenia po czasie, (co oznaczają dwie kropki nad wektorem r)
We współrzędnych kartezjańskich wektor przyspieszenia można zapisać jako:
Natomiast następujący iloraz różnicowy:
nazywamy przyspieszeniem średnim.
5.5. Składowe styczna i normalna przyspieszenia.
Wektor a można przedstawić w postaci sumy wektorowej dwóch składowych. Pierwsza z tych składowych jest styczna do toru i nazywa się przyspieszeniem stycznym lub tangencjalnym – at. Druga z tych skaładowych skierowana jest prostopadle do toru i nazywa się przyspieszeniem normalnym lub dośrodkowym – an .
W celu wyznaczenia wzorów na obie składowe przyspieszenia zastosujemy wzór:
gdzie:
it – wersor styczny do wektora prędkosci υ
Korzystając z definicji przyspieszenia oraz z reguły różniczkowania iloczynu dwóch funkcji, mamy:
Z powyższego wzoru widać, że pierwszy składnik powyższej sumy związany jest ze zmianą wartości prędkości, natomist drugi składnik związany jest ze zmianą kierunku ruchu. Wektor a ma w ogólnym przypadku inny kierunek niż wektor υ. Kierunki te pokrywają się jedynie wtedy, gdy ruch jest prostoliniowy, gdyż wówczas
i drugi składnik sumy znika.
W celu wyprowadzenia wzoru na przyspieszenie dośrodkowe przeanalizujmy powyższą pochodną (w przypadku gdy nie jest ona równa zeru). W ogólnym przypadku kierunek wersora stycznego it zależy od drogi S przebytej przez cząstkę do chwili t. Pomnóżmy i podzielmy pochodną wersora stycznego po czasie przez dS – nieskończenie mały element drogi:
W celu znalezienia pochodnej dit /dS pomocny będzie poniższy rysunek:
Rysunek ten przedstawia przyrost wektora stycznego it względem przebytej drogi S. Na podstawie analizy geometrycznej widać, że:
Jeżeli załozymy, że przedział Δφ jest bardzo mały to (przechodząc do różniczek) możemy już śmiało napisać:
Zwrot wektora dit skierowany jest do środka krzywizny R. Z definicji kąta płaskiego wiemy, że:
Wersor skierowany do środka krzywizny nazywa się wersorem normalnym in .
Gdy Δφ→0 to zaznaczone figury są podobne i wektor dit przyjmuje zwrot wersora in. Możemy zatem zapisać:
Następnie dzielimy powyższe równanie obustronnie przez dS:
Na podstawie powyższych rozważań możemy zapisać:
Tak więc wartość wektora an możemy wyrazić za pomocą prostego wzoru:
gdzie:
Wartość wektora at możemy przedstawić za pomocą prostego wzoru:
Poniweaż wektory at oraz an są wzajemnie prostopadłe więc (zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa) wzór na przyspieszenie całkowite jest następujący:
Można to zilustrować poniższym rysunkiem:
5.6. Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe.
W celu wyprowadzenia odpowiednich zależności dla płaskiego ruchu krzywoliniowego którego przykładem może być ruch po okręgu – zastosujmy walcowy układ współrzędnych ρ, φ, z. Załóżmy, że oś z tego układu pokrywa się z osią obrotu rozważanego przez nas ruchu po okręgu. Wersory walcowego układu współrzędnych oznaczmy przez iρ, iφ, iz. Obrotowi o nieskończenie mały kąt dφ przypisuje się w mechanice wektor dφ skierowany wzdłuż osi obrotu o zwrocie określonym przez regułę śruby prawoskrętnej, czyli wzdłuż osi z. Opisywaną tu sytuację przedstawia poniższy rysunek:
A więc:
Powyższy wektor nazywamy przemieszczeniem kątowym przez analogię do przemieszczenia liniowego dr, które w ruchu płaskim będziemy oznaczać przez dρ. Zgodnie z definicją kąta płaskiego możemy zapisać skalarną zależność:
A więc:
Ponieważ wektor dρ ma kierunek i zwrot zgodny z wersorem iφ więc możemy uogólnić powyższy wzór na postać wektorową:
Ponieważ w układzie walcowym :
Zatem:
Ponieważ wartość wektora położenia od czasu ρ dla ruchu jednostajnego po okręgu jest wielkością stałą, więc możemy go „włączyć” pod znak różniczki.
Wiemy, że różniczka iloczynu dwóch funkcji jest równa:
Jak już wcześniej zostało wspomniane wartość wektora położenia w ruchu po okręgu jest wielkością stałą. W związku z tym nieskończenie mały przyrost dρ jest równy zeru.
Tak więc, pierwszy człon powyższego równania zeruje się.
Łącząc powyższe dwa wzory otrzymujemy:
Mamy więc ważną zależność dla ruchu po okręgu:
W celu wyprowadzenia kolejnych wielkości fizycznych związanych z ruchem po okręgu przeanalizujmy układ cylindryczny. Na początek rozważmy dowolny ruch płaski krzywoliniowy:
Jak można zauważyć na powyższym rysunku rozkładamy wektor zmiany położenia Δρ na składowe Δρρ i Δρφ.
Następnie przechodzimy od delt do różniczek (Δ→d).
Składowe te w granicy nieskończenie małego przemieszczenia kątowego wynoszą:
Na podstawie rysunku możemy zapisać (również przechodzimy od Δ→d ):
Łącząc teraz powyższe trzy wzory otrzymujemy:
Skorzystamy teraz z definicji prędkości otrzymując:
lub:
lub:
Prędkość υρ nazywamy składową radialną, zaś prędkosć υφ – składową transwersalną lub azymutalną wektora prędkości υ.
Wyodrębniona z prędkości transwersalnej wielkość:
nosi nazwę prędkości kątowej. Prędkości tej przypisujemy wektor, który podobnie jak w przypadku przemieszczenia kątowego dφ jest skierowany wzdłuż osi z i jest wektorem osiowym:
Mamy więc:
W przypadku ruchu po okręgu zachodzą następujące wzory:
Uwzględniając powyższy wzór, otrzymujemy relację na wektor prędkości w ruchu po okręgu:
Kożystając teraz z tożsamości:
otrzymujemy:
Ostatecznie mamy:
Związek ten choć wyprowadzony dla ruchu po okręgu, jest słuszny w przypadku każdego ruchu krzywoliniowego.
Prędkość z jaką się zmienia prędkość kątowa nosi nazwę przyspieszenia kątowego ε. Przyspieszenie kątowe jest pierwszą pochodną prędkości kątowej względem czasu i drugą pochodną kąta biegunowego względem czasu:
