Elementy mechaniki kwantowej

Ze względu na niedostatki modelu Bohra konieczne było zrewidowanie podstaw teorii kwantowej i wyobrażeń o naturze mikrocząstek (elektronów, protonów, neutronów itp.). Powstało pytanie, na ile wyczerpujące jest przedstawienie elektronu w postaci małej mechanicznej cząstki opisywanej za pomocą określonych współrzędnych i określonej prędkości.

W wyniku pogłębienia wiedzy o naturze światła stwierdzono, że w zjawiskach optycznych widoczny jest osobliwy dualizm. Oprócz takich własności światła, które w bezpośredni sposób świadczą o jego naturze falowej (interferencja, dyfrakcja), obserwujemy również inne własności, równie bezpośrednio świadczące o jego własnościach korpuskularnych (zjawisko fotoelektryczne, zjawisko Comptona).

W roku 1924 Louis de Broglie wysunął śmiałą hipotezę, że dualizm cechuje nie tylko zjawiska optyczne, ale ma znaczenie uniwersalne. „W optyce – pisał on – w przeciągu stulecia w zbyt dużym stopniu zaniedbywano korpuskularny sposób rozumowania w porównaniu z falowym; czy nie popełniono odwrotnego błędu przy rozwijaniu wiedzy o materii?” Zakładając, że materialne cząstki oprócz własności korpuskularnych mają także własności falowe, de Broglie przeniusł na przypadek materialnych cząstek obowiązujące w przypadku światła reguły przechodzenia od obrazu falowego do korpuskularnego. Foton ma energię:

(27.1)

i pęd:

(27.2)

Według hipotezy de Broglie’a ruch elektronu lub jakiejkolwiek innej cząstki związany jest z procesem falowym o długości fali:

(27.3)

i częstości

(27.4)

George Paget Thomson (w 1927 roku) i niezależnie od niego P.S. Tartakowski otrzymali obraz dyfrakcyjny wiązki elektronowej przy przechodzeniu przez metalową folię. Doświadczenie przeprowadzono w następujący sposób:

Rys. 27.1

Wiązka elektronów przyspieszanych napięciem rzędu kilkudziesięciu kilowoltów, przechodziła przez cienką folię metalową i padała na kliszę fotograficzną. Elektron padający na emulsję fotograficzną działa na nia jak foton. Otrzymany w ten sposób elektronogram złota zestawiono z otrzymanym w analogicznych warunkach rentgenogramem aluminium:

Rys. 27.2

Podobieństwo obu obrazów jest zdumiewające. Stern wraz ze współpracownikami wykazał, że zjawiska dyfrakcyjne występują również w przypadku wiązek atomowych i cząsteczkowych.

W doświadczeniu Thomsona natężenie wiązki elektronowej było na tyle duże, że przez kryształ przechodziła równocześnie duża liczba elektronów. Dlatego też można było założyć, że obserwowany tu obraz dyfrakcyjny związany jest z uczestniczeniem w tym procesie dużej liczby elektronów, natomiast pojedyńczy elektron przy przechodzeniu przez kryształ nie ulegnie dyfrakcji. Aby wyjaśnić ten problem radzieccy fizycy Biberman, Suszkin oraz Fabrikant przeprowadzili w roku 1949 eksperyment w którym natężenie wiązki elektronów było na tyle małe, że elektrony przechodziły przez przyrząd napewno pojedyńczo. Różnica czasu pomiędzy dwoma kolejnymi przejściami elektronu przez kryształ była około 30 000 razy dłuższa niż czas zużywany przez elektron na przebycie całego przyrządu. Przy dostatecznej ekspozycji otrzymywano obraz dyfrakcyjny nie różniący się niczym od obrazu otrzymywanego w przypadku normalnego natężenia wiązki. W ten sposób dowiedziono, że własności falowe stanowią atrybut pojedyńczego elektronu.

27.2 Niezwykłe własności mikrocząstek

Mikrocząstakami nazywamy cząstki elementarne (elektrony, protony, neutrony, fotony i inne proste cząstki), a także cząstki złożone składające się ze stosunkowo niewielkiej liczby cząstek elementarnych (cząsteczki, atomy, jądra atomowe itp. ). Termin „mikrocząstka” reprezentuje tylko jeden aspekt obiektu, w stosunku do którego go używamy. Każdy mikroobiekt stanowi twór szczególnego rodzaju, łączący w sobie własności zarówno fali, jak i cząstki. Być może bardziej prawidłowe byłoby używanie nazwy „fala-cząstka”. Mikroobiekt nie może bezpośrednio oddziaływać na nasze narządy zmysłów – nie można go ani zobaczyć, ani dotknąć. W postrzeganym przez nas świecie nie istnieje nic podobnego do mikroobiektów.

Przed powstaniem mechaniki kwantowej „zrozumieć” oznaczało wytworzyć sobie poglądowy obraz obiektu lub zjawiska. Fizyki kwantowej nie można zrozumieć w takim sensie tego słowa. Każdy model poglądowy nieuchronnie musi funkcjonować zgodnie z prawami klasycznymi i dlatego nie nadaje sie do przedstawiania procesów kwantowych. Widać zatem, że najbardziej prawidłową rzeczą, jaką możemy uczynić, jest rezygnacja z prób zbudowania poglądowych modeli zachowania się obiektów kwantowych. Na początku brak poglądowości może wywoływać uczucie niezadowolenia, ale z czasem to uczucie przechodzi i wszystko wraca do normy.

Mikrociała, mimo że łączą w sobie własności fali i cząstki nie zachowują się ani jak fale, ani jak cząstki. Różnica pomiędzy falą a mikrocząstką polega na tym, że ta ostatnia zawsze ukazuje się jako niepodzielna całość. Nikt nigdy nie obserwował na przykład połowy elektronu. Tymczasem falę mozna podzielić na części (przykładowo – kierując falę świetlną na zwierciadło półprzepuszczalne), po czym rejestrować każdą część osobno. Z kolei od dobrze znanej nam makrocząstki mikrocząstka różni się tym, że nie ma równocześnie określonych wartości położenia i pędu, wskutek czego w przypadku mikrocząstki traci sens używanie pojęcia trajektorii.

Osobliwy charakter mikrocząstek najbardziej wyraźnie ujawnia się w następującym doświadczeniu myślowym. Na przegrodę z dwoma równoległymi wąskimi szczelinami skierujmy równoległą wiązkę monoenergetyucznych (to jest mających jednakowe energie kinetyczne) elektronów.

Rys. 27.3

Za przegrodą ustawmy płytę fotograficzną. Na początek zakryjmy szczelinę numer 2 i naświetlajmy kliszę przez czas τ. Zaczernienie na wywołanej kliszy można scharakteryzować za pomocą krzywej 1. Drugą kliszę naświetlamy z takim samym czasem ekspozycji τ, zakrywając szczelinę numer 1. W tym przypadku charakter zaczernienia będzie opisywywany za pomocą krzywej 2. Na koniec odkryjmy obie szczeliny i przez czas τ naświetlajmy trzecią kliszę. Otrzymany w tym przypadku rozkład zaczernień przedstawiono na rysunku c). Rozkład ten bynajmniej nie przypomina złożenia dwóch poprzednich rozkładów. Jest on analogiczny do obrazu interferencyjnego otrzymywanego dla dwóch spójnych fal świetlnych. Charakter tego rozkładu świadczy o tym, że obie szczeliny wpływają na ruch każdego elektronu. Wniosek ten jest sprzeczny z pojęciem trajektorii. Gdyby elektron w każdym momencie czasu znajdował się w określonym punkcie przestrzeni, czyli poruszał sie po trajektori, to przechodziłby przez określoną szczelinę – pierwszą lub drugą. Występowanie dyfrakcji dowodzi, że w przechodzeniu elektronu biorą udział obie szczeliny – pierwsza i druga.

Nie należy jednak wyobrażać sobie tego w ten sposób, że pewna część elektronu przechodzi przez jedną szczelinę, a pozostała część przez drugą. Elektron bowiem – jak i inne mikrocząstki – zawsze obserwowany jest jako całość o właściwych mu masie, ładunku i innych charakterystycznych dlań wielkości. A zatem elektron, proton, jądro atomowe są cząstkami o nader osobliwych własnościach. Zwyczajna kulka – nawet o bardzo małych wymiarach (cząstka makroskopowa) – nie może być uważana za pierwowzór mikrocząstki. Wraz ze zmniejszaniem się wymiarów zaczynają ujawniać się jakościowo nowe, nie obserwowane w przypadku makrocząstek własności.

W szeregu przypadków twierdzenie o tym, że mikrocząstki nie poruszają się po trajektoriach przeczy – jak by się wydawało – faktom doświadczalnym. I tak na przykład w komorze Wilsona droga, po której porusza się mikrocząstka, obserwowana jest w postaci wąskich śladów, utworzonych z kropoelek mgły; ruch elektronów w lampie oscyloskopowej doskonale można obliczać korzystając z praw klasycznych itp. Tę pozorną sprzeczność wyjaśnia fakt, że – jak się okazuje – w znanych warunkach w przypadku mikrocząstek można używać pojęcia trajektorii, ale jedynie w pewnym przybliżeniu. Sytuacja jest tu dokładnie taka jak w optyce. Jeżeli wymiary przegród lub otworów są duże w porównaniu z długością fali, światło rozchodzi się jakby wzdłuż określonych promieni (trajektorii). W określonych warunkach okazuje się, że można zastosować pojęcie trajektorii do ruchu mikrocząstek, podobnie jak okazuje się, że słuszne jest prawo prostoliniowego rozchodzenia się światła.

27.3 Zasada nieoznaczoności

W mechanice klasycznej stan cząstki materialnej (cząstki klasycznej) opisuje się przez podanie wartości współrzędnych, pędu, energii itd. Wymienione wielkości nazywamy zmiennymi dynamicznymi. Ściśle mówiąc, mikroobiektowi nie można przypisać zmiennych dynamicznych. Jednakże informacje o mikrocząstkach otrzymujemy obserwując ich oddziaływanie z przyrządami, stanowiącymi ciała makroskopowe. Wskutek tego wyniki pomiarów mimo woli wyrażane są za pomocą terminów wypracowanych dla charakteryzowania makrociał, tj. za pomocą wartości zmiennych dynamicznych. Zgodnie z tym zmierzone wartości zmiennych dynamicznych przypisywane są mikrocząstkom. Na przykład mówi się o stanie elektronu, w którym ma on taką a taką wartość energii itp.

Osobliwość własności mikrocząstek polega na tym, że nie dla wszystkich zmiennych dynamicznych można – w wyniku pomiarów – otrzymać określone wartości. I tak na przykład elektron (jak również i dowolna inna mikrocząstka) nie może mieć równocześnie dokładnych wartości współrzędnej x i pędu p_x. Nieoznaczoność wartości x i p_x spełniają warunek:

(27.5)

Z powyższej nierówności wynika, że im mniejsza jest nieokreśloność jednej ze zmiennych (x lub p_x), tym większa jest nieokreśloność drugiej. Możliwy jest taki stan, w którym jedna ze zmiennych ma dokładną wartość; w tym przypadku okazuje się, że druga zmienna jest całkowicie nieokreślona – jej nieokreśloność równa jest nieskończoności. Analogiczny związek do powyższego zachodzi również dla y i p_y, dla z i p_z a także dla szeregu innych par wielkości (w mechanice klasycznej takie pary wielkości nazywane są kanonicznie sprzężonymi). Oznaczywszy kanonicznie sprzężone wielkości literami A i B możemy napisać:

(27.6)

Powyższe wyrażenie nazywamy związkiem nieokreśloności dla wielkości A i B. Związek ten został wykryty w 1927 roku przez Wernera Heisenberga.

Twierdzenie o tym, że iloczyn nieokreśloności wartości dwu zmiennych sprzężonych nie może być co do rzędu wielkości mniejszy niż stała Plancka podzielona przez 2π, nazywamy zasadą nieoznaczoności Heisenberga.

Energia i czas również są wielkościami kanonicznie sprzężonymi. A więc dla nich także słuszny jest związek nieokreśloności:

(27.7)

Związek ten oznacza, że wyznaczenie energii z dokładnością ΔE musi zająć odcinek czasu co najmniej równy:

(27.8)

27.4 Równanie Schrödingera

Idee de Broglie’a rozwijał dalej Erwin Schrödinger; w 1926 roku sformułował on swoje słynne równanie. Ruchowi mikrocząstek Schrödinger przypisał zespoloną funkcję współrzędnych i czasu, którą nazwał funkcją falową oznaczył grecką literą „psi” (ψ lub Ψ).

Funkcja falowa opisuje stan mikrocząstki. Postać tej funkcji otrzymujemy przez rozwiązanie równania Schrödingera, które wygląda następująco:

(27.9)

Tutaj m oznacza masę cząstki, i – jednostkę urojoną, ∇² – operator Laplace’a; po podziałaniu tym operatorem na pewną funkcję otrzymujemy sumę drugich pochodnych cząstkowych po współrzędnych:

(27.10)

W równaniu Schrödingera za pomocą litery U oznaczono funkcję współrzędnych i czasu której gradient wzięty ze znakiem minus określa siłę działającą na cząstkę. W przypadku gdy funkcja U nie zależy w sposób jawny od czasu, ma ona sens energii potencjalnej cząstki. Z równania tego wynika, że postać funkcji falowej określona jest przez funkcję U, czyli w ostatecznym rachunku przez charakter sił działających na cząstkę.

Równanie Schrödingerajest podstawowym równaniem nierelatywistycznej mechaniki kwantowej. Nie może być ono wyprowadzone z innych zależności. Należy je traktować jak podstawowe wyjściowe założenie którego słuszność potwierdzana jest przez to, że wszystkie wynikające z niego wnioski bardzo dokładnie zgadzają się z faktami doświadczalnymi.

Schrödinger sformułował swoje równanie posługując się mechaniczno – optyczną analogią. Polega ona na podobieństwie równań opisujących bieg promieni świetlnych i równań określających tory cząstek w mechanice analitycznej. W optyce bieg promieni spełnia zasadę Fermata, w mechanice kształt trajektorii spełnia tak zwaną zasadę najmniejszego działania.

Jeżeli pole siłowe, w którym porusza się cząstka, jest stacjonarne, to funkcja U nie zależy w sposób jawny od czasu i ma, jak już podkreślaliśmy sens energii potencjalnej. W tym przypadku rozwiązanie równania Schrödingera rozkłada się na dwa czynniki, z których jeden zależy tylko od współrzędnych, a drugi – tylko od czasu:

(27.11)

Tutaj E oznacza całkowitą energię cząstki, która w przypadku pola stacjonarnego pozostaje stała. Aby przekonać się o słuszności powyższego wyrażenia podstawmy je do równania Schrödingera. W rezultacie otrzymujemy związek:

(27.12)

Dzieląc obie strony przez współczynnik:

(27.13)

dochodzimy do równania różniczkowego określającego funkcję ψ:

(27.14)

Powyższe równanie nosi nazwę równania Schrödingera bez czasu. W dalszym ciągu będziemy mieć do czynienia tylko z tym równaniem i dla uproszczenia będziemy je nazywać po prostu równaniem Schrödingera. Równanie to spotyka się często w postaci:

(27.15)

Wyjaśnijmy jak można dojść do równania Schrödingera. Dla uproszczenia ograniczmy się do przypadku jednowymiarowego. Rozpatrzmy poruszającą się swobodną cząstkę. Zgodnie z ideą de Broglie’a należy przypisać jej falę płaska:

(27.16)

(w mechanice kwantowej przyjęte jest stawianie znaku minus przy wykładniku).

Stosując poniższe wzory:

(27.17)

(27.18)

dochodzimy do wyrażenia:

(27.19)

Różniczkując to wyrażenie jednokrotnie po t oraz dwukrotnie po x otrzymujemy:

(27.20)

stąd:

(27.21)

oraz:

(27.22)

W nierelatywistycznej mechanice klasycznej energię E i pęd p cząstki swobodnej wiąże wyrażenie:

(27.23)

Łącząc trzy powyższe wzory i następnie mnożąc przez Ψ, otrzymujemy równanie:

(27.24)

Równanie to pokrywa się z równaniem Schrödingera wprowadzonym przez nas na samym początku (wystarczy podstawić za U = 0).

W przypadku cząstki poruszającej się w polu sił, charakteryzowanym przez energię potencjalną U, energię E i pęd p łączy zależność:

(27.25)

Korzystając ponownie ze wzorów na E i p², otrzymujemy:

(27.26)

Przytoczone tu rozważania nie mają mocy dowodu i nie mogą być traktowane jako wyprowadzenie równania Schrödingera. Ich celem jest wyjaśnienie, w jaki sposób można było dojść do sformułowania tego równania.

W mechanice kwantowej ogromną rolę odgrywa pojęcie operatora. Pod tym pojęciem rozumiemy regułę, która jednej funkcji (oznaczmy ją literą φ) przyporządkowuje inną funkcję (oznaczmy ją f). Symbolicznie zapisujemy to w następujący sposób:

(27.27)

gdzie:

Q („z daszkiem”) – symboliczne oznaczenie operatora (równie dobrze można było użyć tu dowolnej innej litery „z daszkiem”)

W poniższym wzorze:

(27.28)

rolę Q („z daszkiem”) odgrywa ∇², rolę φ – funkcja Ψ, a rolę f prawa strona powyższego wzoru.

W symbolu operatora ukryty jest zbiór działań, za pomocą których funkcja wyjściowa (φ) przekształcana jest w inną funkcję (f). Na przykład symbol ∇² oznacza dwukrotne różniczkowanie po wszystkich trzech współrzędnych x, y, z, a następnie zsumowanie otrzymanych wyrażeń. Operator, w szczególności, może przedstawiać mnożenie wyjściowej funkcji φ przez pewną funkcję U.

Wtedy:

(27.29)

zatem:

(27.30)

Gdybyśmy funkcję U w poniższym równaniu:

(27.31)

rozpatrywali jako operator, którego działanie na funkcję falową ψ sprowadza się do pomnożenia jej przez U, to powyższemu równaniu można by nadać postać:

(27.32)

W tym równaniu symbolem H („z daszkiem”) oznaczono operator równy:

(27.33)

Operator ten nosi nazwę hamiltonianu.

Hamiltonian jest operatorem energii E. W mechanice kwantowej również innym zmiennym dynamicznym przypisane są operatory. Rozpatruje się zatem operatory współrzędnych, pędu, momentu pędu itp. Dla każdej zmiennej dynamicznej q można sformułować równanie postaci:

(27.34)

27.5 Sens fizyczny funkcji falowej

Prawidłową interpretację funkcji falowej podał w 1926 roku M. Born. Według Borna kwadrat modułu funkcji falowej określa prawdopodobieństwo dP tego, że cząstka znajdzie się wewnątrz obszaru o objętości dV:

(27.35)

(A – współczynnik proporcjonalności)

Całka z powyższego wyrażenia, obliczona po całej objętości, powinna być równa jedności:

(27.36)

Istotnie, całka ta opisuje prawdopodobieństwo tego, że cząstka znajdzie się w dowolnym punkcie przestrzeni, czyli prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego, które jest równe jedności.

W mechanice kwantowej przyjmuje się, że funkcję falową można pomnożyć przez dowolną różną od zera liczbę zespoloną C, przy czym Ψ i CΨ opisują jeden i ten sam stan cząstki. Ta okoliczność pozwala wybrać funkcję falową w taki sposób, by spełniała ona warunek:

(27.37)

Powyższy warunek nosi nazwę warunku normalizacji. Spełniające ten warunek funkcje nazywamy funkcjami unormowanymi. W dalszych rozważaniach zawsze będziemy zakładać, że rozpatrywane przez nas funkcje falowe są unormowane.

Dla funkcji unormowanej wyrażenie (27.35) przyjmuje postać:

(27.38)

Z (27.38) widać, że kwadrat modułu funkcji falowej jest równy gęstości prawdopodobieństwa (prawdopodobieństwu przypadającemu na jednostkę objętości) znalezienia się cząstki w odpowiednim punkcie przestrzeni.

W przypadku stacjonarnego pola sił funkcja falowa ma postać (27.11). Odpowiednio:

(27.39)

tak więc gęstość prawdopodobieństwa nie zależy od czasu. Z tego powodu stany opisywane funkcjami falowymi mającymi postać (27.11) nazywane są stanami stacjonarnymi.

Z takiej interpretacji funkcji falowej wynika, że mechanika kwantowa ma charakter statyczny. Nie pozwala ona wyznaczyć ani położenia cząstki w przestrzen, ani toru, po jakim się ona porusza. Za pomocą funkcji falowej można jedynie przewidywać jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w różnych punktach przestrzeni. Na pierwszy rzut oka może wydawać się, że mechanika kwantowa daje znacznie mniej dokładny i wyczerpujący opis ruchu cząstki niż mechanika klasyczna, która „dokładnie” wyznacza położenie i prędkość cząstki w każdym momencie czasu. Jednakże w rzeczywistości tak nie jest. Mechanika kwantowa znacznie głębiej odsłania rzeczywiste zachowanie się mikrocząstek. Nie określa ona jedynie tego, czego po prostu nie ma. W zastosowaniu do mikrocząstek – jak już podkreślaliśmy – w ogóle nie mają sensu pojęcia określonego położenia i trajektorii.

27.6 Kwantowanie energii

Równanie Schrödingera pozwala wyznaczyć funkcję falową danego stanu i w konsekwencji określić prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w poszczególnych punktach przestrzeni. Znaczenie tego równania jest dużo szersze. Z równania (27.32) i z nakładanych na funkcję falową warunków wynikają bezpośrednio reguły kwantowania energii.

Zgodnie z sensem fizycznym funkcji falowej, powinna ona być jednoznaczna, ciągła i skończona (za wyjątkiem, być może, punktów osobliwych). Oprócz tego powinna mieć ciągłą i skończoną pochodną. Zbiór wymienionych wyżej żądań nosi nazwę warunków standardowych.

W równaniu Schrödingera występuje – jako parametr – całkowita energia cząstki. Jak wiadomo z teorii równań różniczkowych, nie dla wszystkich wartości parametru (tj. energii E) , a jedynie dla pewnych wybranych wartości istnieją rozwiązania równań typu (27.32) spełniające warunki standardowe. Te wybrane wartości nazywamy wartościami własnymi odpowiedniej wielkości (w naszym przypadku – energii). Rozwiązania równań odpowiadające wartościom własnym E noszą nazwę funkcji własnych problemu.

Zbiór wartości własnych nosi nazwę widma danej wielkości. Jeżeli ten zbiór tworzy dyskretny ciąg, to widmo nazywamy dyskretnym, natomiast gdy wartości własne tworzą zbiór ciągły, widmo nazywamy ciągłym. W dalszych rozważaniach ograniczymy się tylko do takich problemów, w których widmo wartości własnych jest dyskretne.

W przypadku widma dyskretnego można ponumerować wartości własne i funkcje własne:

(27.40)

A zatem kwantowanie energii wynika bezpośrednio z podstawowych tez mechaniki kwantowej bez jakichkolwiek dodatkowych założeń.

Znajdowanie wartości własnych i funkcji własnych zwykle stanowi bardzo trudny problem matematyczny. Rozpatrzmy przykład, wystarczająco prosty, aby bez większych trudności można było rozwiązać równanie Schrödingera.

Znajdźmy wartości własne energii i odpowiadające im funkcje własne cząstki znajdującej się w nieskończenie głębokiej jednowymiarowej jamie potencjału. Załóżmy, że cząstka może poruszać się tylko wzdłuż osi x. Niech ruch ograniczają nieprzenikalne dla cząstki ścianki: x = 0 i x = l. Energia potencjalna U ma w tym przypadku następującą postać(rys. 27.4a):

(27.41)

Rys. 27.4

Rozważmy równanie Schrödingera w postaci (27.15). Ponieważ funkcja falowa zależy tylko od współrzędnej x równanie upraszcza się w następujący sposób:

(27.42)

Cząstka nie może wyjść poza granice jamy potencjału. Dlatego prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki na zewnątrz jamy równe jest zeru. Zatem i funkcja falowa ψ równa jest zeru na zewnątrz jamy.