Fizyka

Dynamika punktu materialnego

1 kwietnia 2017

6.1. Masa i pęd punktu materialnego.
6.2. Moment bezwładności.
6.3. Twierdzenie Steinera.
6.4. Dowód twierdzenia Steinera.
6.5. Siła i moment siły.
6.6. Zasady dynamiki klasycznej.
6.7. Układy inercjalne.
6.8. Zasada względności Galileusza – transformacje Galileusza.
6.9. Ruch ciał o zmiennej masie.

Dynamika bada ruch ciał z uwzględnieniem przyczyn tego ruchu czyli sił.

6.1. Masa i pęd punktu materialnego .

Nie bez przyczyny pęd dawniej zwany był przez fizyków „ilością prędkości”. Wektor pędu bowiem jest to iloczyn masy ciała i jego wektora prędkości:

Masa natomiast jest to wielkość fizyczna charakteryzująca obiekty fizyczne służąca do ilościowego opisu ich bezwładności i oddziaływania grawitacyjnego. Początkowo fizycy rozróżnili tak zwaną masę bezwładną oraz masę grawitacyjną, jednak po jakimś czasie okazało się że stosunek masy bezwładnej do grawitacyjnej jest bezwymiarowy i równy jedności (czyli obie masy są sobie równe).>W tym podrozdziale zajmiemy się tylko masą bezwładną.

Masa bezwładna jest miarą bezwładności ciała to znaczy oporu jaki ciało stawia sile zmieniającej stan jego ruchu. Jednostką masy jest 1 kilogram (1 kg) – jest jedną z siedmiu podstawowych jednostek w układzie SI.

6.2. Moment bezwładności.

W przypadku ruchu obrotowego bezwładność ciała zależy nie tylko od jego masy, ale także od jej odległości od osi obrotu. Miarą bezwładności w ruchu obrotowym jest moment bezwładności. Dla punktu materialnego o masie m, którego odległość od nieruchomej osi obrotu wynosi r wielkość tę definiujemy jako:

Moment bezwładności układu punktów materialnych o masach Δm_i, leżących w różnych odległościach r_i od osi obrotu wynosi zatem:

W przypadku ciała sztywnego, które charakteryzuje się ciągłym rozkładem masy, sumowanie należy zastąpić całkowaniem. A więc ciało sztywne dzielimy na nieskończenie małe cząstki o masach Δm_i(co przedstawia poniższy rysunek):

i przy wyznaczaniu jego momentu bezwładności obliczamy granicę powyższego wyrażenia przy Δm_i→ 0:

W konkretnych problemach fizycznych często dokonuje się zamiany zmiennej, przechodząc od całkowania po masie, do całkowania po objętości. W tym celu wykorzystuje się zależność definiującą objętościową gęstosć masy:

Momenty bezwładności dla różnych brył można znaleźć w tablicach fizycznych. Wartość momentu bezwładności na ogół zależy od wyboru osi obrotu.

6.3. Twierdzenie Steinera .

W przypadku ciała jednorodnego o regularnym kształcie na jego osi symetrii, leży środek masy ciała. Istnieje prosty związek między momentem bezwładności I_sm , względem osi przechodzącej przez środek masy, a momentem bezwładności I względem innej, równoległej do niej osi. Ten użyteczny związek nosi nazwę twierdzenia Steinera i ma następującą postać matematyczną:

gdzie:

M – masa ciała

h – odległość między dwiema osiami

6.4. Dowód twierdzenia Steinera .

W celu wyprowadzenia twierdzenia Steinera dla bryły sztywnej wprowadzamy układ współrzędnych o początku w punkcie O. Zgodnie z poniższą ilustracją:

Moment bezwładności dI małej cząstki masy dm względem osi przechodzącej przez punkt
P wynosi:

Po scałkowaniu powyższego wzoru otrzymujemy:

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia dla wyrażenia podcałkowego otrzymujemy:

Następnie grupujemy zmienne x i y, a stałe a i b wyciągamy przed symbol całki:

Powyżej skorzystaliśmy z faktu, że całka sumy kilku składników równa jest sumie całek. Współrzędne środka masy wynoszą: (0, 0). Z drugiej strony współrzędne te określone są przez wzory:

a więc:

oraz:

w związku z czym:

Przypomnijmy teraz, że:

oraz:

a także:

Uwzględniając powyższe wzory otrzymujemy twierdzenie Steinera:

6.5. Siła i moment siły.

Siły, z którymi mamy do czynienia w mechanice klasycznej, mają naturę grawitacyjną lub elektromagnetyczną. Elektromagnetyczne pochodzenie niektórych typowych sił mechanicznych może budzić zdziwienie, jednakże w skali mikroskopowej takie siły jak np. siła tarcia lub siła sprężystości, sprowadzają sie w istocie do oddziaływań elektromagnetycznych.

Jak wykazują doświadczenia, bezpośrednim skutkiem działania siły F na ciało o masie m jest nadanie temu ciału przyspieszenia a:

Jednostką siły jest niuton:

W ruchu obrotowym odpowiednikiem siły F jest moment siły M, który dla cząstki znajdującej się w odległości r od nieruchomej osi obrotu definiujemy jako:

Zgodnie z definicją wektorowego iloczynu dwóch wektorów moduł wektora M możemy zapisać:

lub:

Wielkość r_⊥ nosi nazwę ramienia siły.

Powyższe wzory można zilustrować rysunkiem:

6.6. Zasady dynamiki klasycznej.

Podstawą dynamiki klasycznej są trzy prawa sformułowane przez Newtona i są one prawdziwe dla układów inercjalnych.

układ inercjalny – to taki układ odniesienia w którym, jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub działąjące siły równoważą się, to ciało jest w spoczynku albo porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Każdy układ który porusza się względem danego układu inercjalnego ruchem jednostajnym po lini prostej jest również układem inercjalnym.

6.6.1. Pierwsze prawo Newtona (I zasada dynamiki Newtona).

Jedno ze sformułowań tego prawa brzmi następująco:

Każde ciało znajduje się w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego prostoliniowego dopóki działanie ze strony innych ciał nie zmieni tego stanu.

Pierwszą zasadę dynamiki matematycznie można ująć następująco:

6.6.2. Drugie prawo Newtona (II zasada dynamiki Newtona).

Drugie prawo Newtona głosi, że:

Szybkość zmiany pędu ciała równa jest sile działającej na ciało:

6.6.3. Trzecie prawo Newtona (III zasada dynamiki Newtona).

Trzecie prawo Newtona głosi, że:

Dwa ciała A i B oddziałują na siebie siłami, które są sobie równe co do wartości, skierowane wzdłuż prostej łączącej te ciała lecz maja przeciwne zwroty.

Należy zaznaczyć, że siły te nie równoważą się gdyż są przyłożone do różnych ciał.

6.7. Układy inercjalne.

Ruch ciał materialnych określamy względem innych ciał materialnych, z którymi wiążemy układ odniesienia. A więc ruch jest względny. Podstawę określania czy układ jest inercjalny stanowi I zasada dynamiki Newtona czyli zasada bezwładności.

Układ odniesienia, w którym spełniona jest zasada bezwładności, nazywamy układem inercjalnym.

Układ odniesienia, w którym zasada bezwładności nie jest spełniona, nazywamy układem nieinercjalnym.

W tym miejscu warto zaznaczyć, że każdy układ, który porusza się względem układu inercjalnego ruchem jednostajnym prostoliniowym, jest także układem inercjalnym.

6.8. Zasada względności Galileusza – transformacje Galileusza

W celu wyprowadzenia transformacji Galileusza wyobraźmy sobie dwa układy odniesienia, które poruszają się względem siebie ze stałą prędkością v₀. Układ oznaczony literą K na poniższym rysunku uważamy za nieruchomy. Układ K’ porusza się więc względem K ruchem jednostajnym prostoliniowym. Osie układu współrzędnych obieramy tak, żeby osie x i x’ pokrywały się, a pozostałe były do siebie parami równoległe. Zakładamy, że czas zaczęto mierzyć w chwili w której początki obu układów współrzędnych pokrywały się.

Z powyższego rysunku widać, że

Równania te nazywamy transformacjami Galileusza

Pierwszy i ostatni związek są słuszne tylko dla v₀ znacznie mniejszych od prędkości światła w próżni c. Jeżeli wartość v₀ jest porównywalna z c to przekształcenia Galileusza muszą być zastąpione ogólniejszymi transformacjami Lorentza.

W celu wyprowadzenia wzorów na dodawanie prędkości (w mechanice nierelatywistycznej) zróżniczkujmy pierwsze trzy wzory z transformacji Galileusza względem czasu, otrzymując:

lub:

6.9. Ruch ciał o zmiennej masie.

W wielu zagadnieniach fizycznych mamy do czynienia z ruchem ciała, którego masa zmienia się wraz z upływem czasu. Przykładem takiego ciała może być rakieta, z której wylatują gazy spalinowe.

Ciało o zmiennej masie m(t) porusza się w pewnej chwili z prędkością v i działa na nie siła zewnętrzna F. Po czasie dt masa ciała zmienia się o dm, a prędkość ubywającej (lub przybywającej) masy dm względem ciała wynosi w. Zmiana pędu wynosi zatem:

Pierwszy składnik powyższej sumy reprezentuje impuls siły zewnętrznej, a drugi zmianę pędu ciała spowodowaną zmianą masy. Wektor (v+w) jest prędkością masy dm względem układu inercjalnego(w przypadku z rakietą jest to Ziemia). Dzieląc powyższe równanie przez dt przechodzimy z różniczek do pochodnych:

Z definicji pochodnej iloczynu dwóch funkcji wiemy, że:

Przyrównujemy do siebie powyższe dwa równania otrzymując:

Po skróceniu odpowiednich wyrazów otrzymujemy:

lub:

Powyższe równanie to ogólne równanie różniczkowe ruchu ciała o zmiennej masie noszące nazwę równania Mieszczerskiego

Równanie to można zastosować do pionowego ruchu rakiety przyjmując, że prędkość względna gazów spalinowych wylatujących z dyszy silnika rakiety wynosi w oraz, że:

Możemy więc zapisać:

Pierwszy składnik sumy w równaniu Mieszczerskiego wyraża wypadkową F sił zewnętrznych drugi zaś składnik F_r wyraża tak zwaną siłę ciągu, odpowiedzialną za zmianę ruchu rakiety. W celu uproszczenia rachunków przyjmiemy, że siła ciągu jest znacznie większa od wypadkowej sił zewnętrznych (na którą składa się siła ciężkości i siła oporu ruchu).Przybliżenie to jest tym lepsze im dalej od Ziemi znajduje się rakieta. Kierunek wznoszenia się rakiety przyjmujemy za dodatni, a kierunek gazów spalinowych za ujemny. Sytuację tą przedstawia poniższy rysunek:

W naszym przypadku równanie Mieszczerskiego (tym razem w postaci skalarnej) wygląda następująco:

Mnożymy powyższe równanie przez dt i po prostym przekształceniu otrzymujemy:

Jest to proste równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych, które rozwiązujemy, całkując obie jego strony w odpowiednich granicach. Załóżmy przy tym, że w chwili początkowej: