Drgania

Wśród praktycznie nieograniczonej mnogości rozmaitych ruchów wyróżniamy takie, które się powtarzają: poruszające się ciała lub cząstki powracają do tych samych punktów, lub ogólnie mówiąc do tych samych wartości i kierunków parametrów ruchu. Ruchy powtarzające się nazywamy drganiami. Jeżeli czas powtarzalności jest stały nazywamy go okresem, a ruch okresowym lub periodycznym. Oznaczając wielkość charakteryzującą ruch czyli parametr ruchu przez q, możemy opisać okresowość ruchu równaniem:

lub ogólniej:

Przy czym t oznacza czas, a n jest liczbą całkowitą. Okres T można zatem zdefiniować jako najmniejszy odstęp czasu, po którym ruch się powtarza.. Jest to zarazem czas jednego pełnego przejścia przez wszystkie powtarzające się cyklicznie wartości i kierunki wielkości q. Na poniższym wykresie przedstawiono ruch periodyczny o okresie T:

Okres mierzymy oczywiście w jednostkach czasu, np. w sekundach. Odwrotność okresu nazywamy częstością (lub częstotliwością):

i mierzymy ją w hercach czyli odwrotnościach sekundy.

Ruch okresowy z natury rzeczy jest ograniczony, wielkość q zawiera się między wartościami skrajnymi:

Jeżeli ruch jest symetryczny, istnieje określona wartość q, której odpowiada środek symetrii. Wygodnie jest przyjąć go jako punkt odniesienia (początek układu). W środku symetrii mamy teraz q=0, a obie wartości skrajne są sobie równe i mają przeciwne znaki:

Maksymalna wartość q_m okresowo zmiennej wielkości q nosi nazwę jej amplitudy. Teraz:

czyli:

13.2 Drgania harmoniczne.

Jeżeli przebieg zmienności wielkości q da się opisać za pomocą funkcji sinus lub cosinus, drgania nazywamy harmonicznymi. Wartość q zmienia się zgodnie ze wzorem:

lub:

gdzie ω oznacza częstość kołową albo pulsację. Argument sinusa lub cosinusa:

nosi nazwę fazy. Jak widać faza rośnie liniowo z czasem. Sens stałej fazowej ϑ najłatwiej określić kładąc t=0. Wówczas Φ=ϑ czyli:

Stała fazowa ϑ jest równoznaczna z fazą początkową. Odpowiada jej początkowa wartość okresowo zmiennej wielkości q :

lub

13.3 Pulsacja a częstość (częstotliwość).

Nazywając pulsację częstością kołową sugerujemy, że ma ona związek z częstością ν. Nietrudno go znaleźć. Jak wiemy dodanie do czasu t całkowitej liczby n okresów nie zmienia wartości q, a więc:

Najprostszym rozwiązaniem dla powyższej równości jest zależność ωT=2π. Stąd:

lub:

Częstość kołowa (pulsacja) jest wprost proporcjonalna do częstości.

Aby uniknąć nieporozumień, w niektórych dziedzinach techniki przyjmuje się dla ν nazwę częstotliwości. Warto zauważyć, że pulsacja ω i częstość („częstotliwość”) różnią się jednostkami: pulsację mierzymy w radianach na sekundę, a częstość w hercach. Współczynnik 2π jest tutaj mianowany, oznacza kąt pełny, czyli 2π radianów.

13.4 Oscylatory

Ciała lub układy wykonujące drgania noszą nazwę oscylatorów. W ogólnym przypadku nie muszą się poruszać, wystarczy, że wielkości charakteryzujące ich stan zmieniają się okresowo. Rozróżniamy oscylatory: mechaniczne, elektryczne, atomowe i jądrowe, różniące się nie tylko rodzajem drgającej wielkości, ale przede wszystkim zakresem częstości. Układy mechaniczne drgają z tak zwaną częstością akustyczną: do około 10⁵ Hz, elektryczne z częstością radiową: 10³-10¹² H,z atomowe z częstością optyczną: 10¹¹-10¹⁷ Hz, jądrowe z częstością do 10²² Hz i więcej.

Aby układ mógł wykonywać drgania, muszą być spełnione następujące warunki:

1. Istnieje położenie równowagi i przywracająca je siła zwrotna

2. Układ ma bezwładność.

3. Opory ruchu nie są zbyt duże.

13.5 Położenie równowagi

W ogólnym przypadku energia potencjalna oscylatora zależy od wielkości q:

Położenia (lub stany) równowagi odpowiadają minimom energii potencjalnej. Wychyleniu, czyli odejściu od stanu równowagi towarzyszy pojawienie się czynnika przywracającego równowagę. W oscylatorze mechanicznym wielkość q oznacza wychylenie, a czynnikiem przywracającym równowagę jest siła:

Powyższą równość można również zapisać przy pomocy operatora nabla:

lub w przypadku jednowymiarowym:

Wychylenie x mierzymy od położenia równowagi. Siła przywracająca równowagę jest przeciwnie skierowana do wychylenia, a jej wartość rośnie wraz z nim. Siła jest przeciwnie skierowana do wychylenia

13.6 Bezwładność

Gdyby nie było bezwładności, to siła zwrotna przywróciłaby stan równowagi i ruch na tym by się zakończył. Bezwładność powoduje, że po przejściu przez stan równowagi następuje wychylenie w przeciwną stronę. Powstaje przy tym siła zwrotna, skierowana w stronę położenia równowagi, która w końcu ją przywraca, ale bezwładność znowu nie pozwala na zatrzymanie w tym miejscu. Następuje wychylenie w tę stronę co na początku i cały proces powtarza się od nowa. Miarą bezwładności w oscylatorach mechamicznych jest masa m ciała drgającego.

13.7 Opory ruchu

W każdym ruchu mamy do czynienia z oporami ruchu, czyli siłami przeciwnie skierowanymi do prędkości, których praca jest zawsze ujemna. Należą do nich tarcie i lepkość. W ogólnym przypadku będą to różnego rodzaju czynniki nieodwracalnie zmniejszające energię układu, czyli tak zwane czynniki dyssypacyjne. Ich główny efekt polega na zmniejszaniu amplitudy, która z czasem zanika. Jeżeli opory są zbyt duże, to czas zaniku jest mniejszy niż okres i w ogóle nie dochodzi do drgań.

13.8 Siły zwrotne

Krzywa zależności energii potencjalnej od położenia może mieć różny kształt. Nieraz trudno ją opisać analitycznie.

Możemy ją zawsze aproksymować szeregiem potęgowym:

gdzie:

x – oznacza położenie

x₀ – oznacza położenie równowagi

ξ = x-x₀ – wychylenie z położenia równowagi

współczynniki a_n mają postać:

(n jest liczbą naturalną).

Biorąc pod uwagę, że w położeniu równowagi (dla n = 1):

możemy wypisać pierwsze wyrazy szeregu:

Dla małych wychyleń wolno pominąć dalsze wyrazy pozostawiając dwa pierwsze:

i stąd znaleźć siłę zwrotną:

albo:

przy czym przyjęto oznaczenie:

Wprowadzoną tutaj stałą k można znaleźć doświadczalnie jako stosunek siły do wychylenia:

W układach sprężystych, w których utożsamiamy wychylenie z odkształceniem, nazywa się ją zwykle współczynnikiem sprężystości (lub sztywności) i wyraża w niutonach na metr (N/m).

Wynik przeprowadzonego rachunku możemy sformułować następująco:

w bliskim sąsiedztwie położenia równowagi, czyli przy małym wychyleniu siła zwrotna jest wprost proporcjonalna do wartości wychylenia.

Energia potencjalna otrzymuje w tym przypadku postać:

Wygodnie jest przyjąć położenie równowagi jako początek układu, wówczas:

i wzory się upraszczają:

oraz

Tak więc, przesuwając początek układu do położenia równowagi utożsamiamy współrzędną x z wychyleniem ξ. Zwrot siły wynika ze znaku pochodnej energii, co przedstawia wykres:

W przypadku trójwymiarowym wychylenie x zastępujemy wektorem r :

13.9 Równanie drgań

Siły zwrotne proporcjonalne do wychylenia noszą nazwę quasi – sprężystych. Równanie ruchu pod działaniem takiej siły otrzymujemy z drugiej zasady dynamiki:

gdzie r jest wektorem położenia. W przypadku jednowymiarowym, np. ruchu wzdłuż osi x :

albo, jeżeli oznaczymy dwiema kropeczkami pochodne drugiego rzędu względem czasu:

Dzieląc przez masę i przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę otrzymujemy:

Jest to typowa postać równania drgań. Oba wyrazy mają sens przyspieszeń. Aby rozwiązać to równanie najwygodniej jest uniezależnić się od czasu t. Aby to osiągnąć dokonajmy następującego przekształcenia:

i równanie ruchu otrzymuje postać:

Następnie dokonujemy rozdzielenia zmiennych υ i x:

i po bezpośrednim całkowaniu otrzymujemy:

C jest stałą zależną od warunków brzegowych. Zauważmy, że po pomnożeniu obu stron przez m prowadzi to do zasady zachowania energii:

Stała C jest więc proporcjonalna do całkowitej energii mechanicznej E₀ oscylatora. Ale wróćmy do otrzymanego równania, które przedstawimy teraz w innej postaci:

Pierwiastek z tego wyrażenia to oczywiście prędkość:

Po wyciągnięciu przed nawias czynnika k/m otrzymujemy:

Otrzymujemy stąd równanie o rozdzielonych zmiennych:

następnie dokonujemy całkowania:

Korzystając teraz z tablic matematycznych możemy obliczyć powyższą całkę korzystając z zależności:

tak więc, mamy:

czyli

i w efekcie:

Porównując je z torem ruchu harmonicznego :

bez trudu wyjaśnimy sens występujących w nim wielkości. Wyrażenie przed sinusem:

oznacza amplitudę. Współczynnik przy t w argumencie sinusa:

oznacza częstość kołową czyli pulsację, a D jest stałą fazową:

Z częstości kołowej łatwo znajdziemy okres:

i częstość drgań:

Stałą C można wyrazić w funkcji pulsacji:

ale bardziej istotny jest związek maksymalnego wychylenia z całkowitą energią. Ponieważ:

oraz:

więc:

albo:

Całkowita energia mechaniczna jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy.

Uzyskane przedtem równanie toru jest tak zwanym ogólnym rozwiązaniem równania ruchu. Wykorzystując wzór na sinus sumy kątów:

otrzymujemy:

Podstawiając nowe stałe :

spełniają one związki:

otrzymujemy:

Każda z funkcji cosωt i sinωt spełnia równanie drgań. Są to tak zwane rozwiązania szczególne. Przedstawione tutaj rozwiązanie ogólne jest ich liniową kombinacją.

13.10 Oscylator sprężysty

Siły sprężystości są wypadkową oddziaływań międzycząsteczkowych. Ich energię opisuje się zwykle wyrażeniem typu:

gdzie r jest odległością między cząsteczkami, a wykładniki n i m, oraz A i B mają charakter empiryczny, przy czym n > m. Równie skomplikowana jest zależność siły od położenia:

Podobnie jak poprzednio w pobliżu położenia równowagi można aproksymować krzywą energii parabolą:

co jest równoznaczne z aproksymacją krzywej siły prostą:

Tutaj Δr = r – r₀ oznacza zmianę odległości między sąsiednimi cząsteczkami. Dla N cząsteczek leżących wzdłuż prostej jednorodne odkształcenia się sumują, dając w wyniku makroskopowe odkształcenie:

związane z makroskopową siłą zależnością:

zwaną czasem prawem Hooke’a. Wyraża ono podstawową zasadę sprężystości: Siła sprężystości jest wprost proporcjonalna do odkształcenia i ma przeciwny zwrot, tzn. działa w stronę położenia równowagi. Jak widać siła sprężystości może być siłą zwrotną.

13.11 ciężarek na sprężynie

Najprostszym przykładem oscylatora sprężystego jest ciężarek na sprężynie. Załóżmy, że ciężarek jest cząstką (punktem materialnym) o masie m, a sprężyna jest nieważka. Niech nie obciążona sprężyna ma długość l₀ (nazywamy ją długością swobodną ), a obciążona l. Przy niezbyt dużym obciążeniu mg wydłużenie sprężyny jest do niego proporcjonalne:

Charakteryzujący sprężynę współczynnik sprężystości k można wyznaczyć jako stosunek obciążenia do wydłużenia:

Obciążona sprężyna pozostaje w równowadze.

Przy wychyleniu o x z położenia równowagi wydłużenie sprężyny wynosi: l – l₀ + x, a związana z nim siła sprężystości jest równa: k(l – l₀ + x), z czego k(l – l₀) równoważy ciężar mg. Pozostaje różnica sił:

która jest wprost proporcjonalna i przeciwnie skierowana do wychylenia, działająca jako siła zwrotna. Równaniem ruchu jest oczywiście:

albo po podstawieniu k/m = ω²

Jego rozwiązaniem jest :

Ciężarek wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie x_m, częstości kołowej ω i okresie:

Słuszność wzoru na okres można sprawdzić doświadczalnie, obciążając sprężyny o różnym k różnymi ciężarkami. Sprężynę o dużej stałej sprężystości, czyli taką, którą trudno odkształcić, nazywamy potocznie twardą, natomiast sprężynę o małym k (łatwo odkształcalną) – miękką. Ten sam ciężarek zawieszony na twardej sprężynie drga szybciej (z mniejszym okresem) niż na miękkiej. Zwiększanie masy wydłuża okres, czyli zwalnia drgania.

13.12 Prawo Hooke’a

Wprowadzimy teraz prawo Hooke’a w bardziej ogólnej postaci. Doświadczalnie można stwierdzić, że odkształcenie ciała, na które działają siły, zależy od wielkości siły i rozmiarów ciała. Rozróżniamy odkształcenie objętościowe, czyli zmiany objętości:

gdzie V₀ jest objętością pierwotną, a V – objętością ciała odkształconego – np. przy ściskaniu, oraz odkształcenie liniowe albo wydłużenie :

równoznaczne ze zmianą długości. Dzieląc odkształcenie przez objętośc pierwotną czy długość pierwotną otrzymujemy odkształcenie względne objętościowe:

lub liniowe:

(indeks 0 często się pomija). Zamiast siły wygodnie jest wprowadzić jej stosunek do powierzchni, zwany naprężeniem :

Naprężenie mierzymy w jednostkach ciśnienia. Z doświadczenia wynika, że przy niezbyt dużych naprężeniach odkształcenie względne jest proporcjonalne do naprężenia:

K nosi nazwę modułu ściśliwości. Częściej używa się jego odwrotności:

zwanej modułem sprężystości postaciowej. Stąd:

Podobnie wydłużenie względne jest proporcjonalne do naprężenia:

i taka jest typowa postać prawa Hooke’a. Stałą E nazywamy modułem sprężystości liniowej (podłużnej) albo modułem Younga. Zarówno B jak E mierzymy w N/m² (paskalach), czyli w jednostkach ciśnienia.

Im większy moduł Younga E tym większe nachylenie prostej (mniejsze odkształcenie ε przy tym samym naprężeniu σ). Przy dużych naprężeniach ciała rzeczywiste odbiegają od prawa Hooke’a.

W omówionych tutaj przypadkach siły działały prostopadle do powierzchni (przy odkształceniu objętościowym) lub osiowo (przy wydłużeniu). Istnieje jeszcze trzecia możliwość: kiedy siły działają stycznie do powierzchni. Taki stan nazywamy ścinaniem, a stosunek siły ścinającej do powierzchni naprężeniem ścinającym. Pod jego wpływem następuje odkształcenie, którego miarą jest kąt α odchylenia ścianek (i osi) prostopadłych do powierzchni, na którą działa siła. W tym przypadku prawo Hooke’a przyjmuje postać:

Na poniższych rysunkach przedstawiono różne rodzaje odkształceń:

a) odkształcenie objętościowe przy wszechstronnym ściskaniu.

b) wydłużenie i kontrakcja przy osiowym rozciąganiu.

c) odchylenie ścianek przy ścinaniu

G nosi nazwę modułu ścinania lub modułu sztywności. W praktyce trudno jest oddzielić omówione przypadki od siebie. Żadnego z nich nie można zrealizować w czystej postaci. Na przykład wydłużeniu Δl/l pręta rozciąganego siłą osiową, towarzyszy odkształcenie poprzeczne – w ty przypadku zwężenie, którego miarą może być względna zmiana średnicy lub promienia Δr/r. Stosunek obu odkształceń

nazywamy współczynnikiem Poissona. Jest on ważną wielkością charakteryzującą materiał. Jego wartość wiąże się z wartościami modułów objętościowego i Younga:

Dla wszystkich ciał E i B mają ten sam rząd wielkości, a stosunek E/3B jest zawsze mniejszy od jedności. Wynika stąd, że współczynnik Poissona jest zawsze mniejszy od 0,5.

Często przydaje się też związek między modułem sztywności a modułem Younga:

13.13 Ciężarek na pręcie

Kolejnym modelem oscylatora może być punktowy ciężarek umieszczony na końcu wbitego w nieruchomą ścianę nieważkiego poziomego pręta o długości l. Strzałka ugięcia, czyli odchylenie swobodnego końca pręta od poziomu w wyniku działania na niego pionowej siły F wynosi:

I jest tak zwanym powierzchniowym momentem bezwładności przekroju względem osi. Ze wzoru na ugięcie wynika, że:

Stosując drugą zasadę dynamiki Newtona dochodzimy do równania ruchu w postaci:

albo:

jak widzimy jest to równanie drgań harmonicznych

Czynnik występujący przy y w równaniu drgań harmonicznych to ω², tak więc:

Czyli okres wynosi:

13.14 Wahadło matematyczne

Wahadłem matematycznym nazywamy cząstkę o masie m zawieszoną na nieważkiej i nierozciągliwej nici o dlugości l. Wychylenie nici o kąt φ powoduje powstanie momentu zwrotnego o wartości:

Moment bezwładności cząstki względem osi obrotu wynosi:

Korzystając teraz z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego możemy zapisać:

Łącząc powyższe trzy wzory możemy zapisać:

gdzie kropki nad φ oznaczają drugą pochodną po czasie – czyli przyspieszenie kątowe.

Minus wynika z faktu, że siła zwrotna jest przeciwnie zwrócona do wychylenia.

Dla dostatecznie małych wychyleń można przyjąć, że:

Wykorzystując tą zależność, otrzymujemy następujące równanie ruchu harmonicznego:

Rozwiązaniem tego równania jest zależność:

o amplitudzie (kątowej) φ_m i częstości kołowej:

a więc o okresie:

13.15 Wahadło fizyczne

W rzeczywistości ciężarki nie są punktowe i nie ma nieważkich i nierozciągliwych nici. Rzeczywiste wahadło jest po prostu zawieszoną obrotową bryłą. Jedyne założenie, jakie przyjmiemy to to, że bryłę będziemy uważali za sztywną. Przy wychyleniu osi łączącej środek ciężkości z osią obrotu o kąt φ powstaje moment zwrotny o wartości:

Korzystając z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego możemy napisać:

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

gdzie I jest momentem bezwładności względem osi obrotu., a r – promieniem ruchu środka ciężkości. Dla małych wychyleń:

co prowadzi do równania ruchu:

jego rozwiązaniem jest:

Mamy więc do czynienia z drganiami (wahaniami) harmonicznymi. Częstość kołowa wynosi:

a okres:

Wahadło waha się tym wolniej, im większy jest moment bezwładności i mniejsza odległość środka ciężkości od osi obrotu.

13.16 Wahadło torsyjne

Wahadłem torsyjnym nazywamy tarczę (płaski walec) zawieszoną na drucie. którego drugi koniec jest nieruchomy. Przy obrocie o kąt φ powstaje proporcjonalny do niego moment zwrotny M :

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:

możemy zapisać:

(minus wynika z tego, że siła zwrotna jest przeciwnie skierowana do skręcenia.)

albo:

Rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest oczywiście zależność:

o częstości kołowej:

i okresie:

13.17 Energia w ruchu harmonicznym

Drganiom oscylatora towarzyszom przemiany energii. Z wychyleniem x związana jest energia potencjalna. :

W oscylatorze sprężystym jest ona energią odkształcenia sprężystego, czyli energią sprężystą. Biorąc pod uwagę zależność:

można ją także wyrazić jako:

gdzie kreseczka nad literą F oznacza średnią wartość siły.

Ze względu, że :

możliwa jest jeszcze jedna postać wzoru na energię sprężystą:

W czasie ruchu drgającego wychylenie i siła zmieniają się okresowo, a energia potencjalna zmienia się wraz z ich kwadratem.

Ciało drgające ma także energię kinetyczną:

która zmienia się okresowo wraz z kwadratem prędkości. Okres zmian obu postaci energii nie jest więc taki, jak wychylenia czy prędkości, tylko taki, jak ich kwadratów.

W układach zachowawczych (albo konserwatywnych) suma energii potencjalnej i kinetycznej zwana energią mechaniczną pozostaje stała. :

czyli w przypadku oscylatora sprężystego:

Podnosząc do kwadratu wzór na wychylenie x, otrzymujemy:

i mnożąc go przez 0,5k otrzymujemy energię potencjalną (zależną od czasu):

Podniesienie sinusa do kwadratu powoduje, że wszystkie wartości ujemne stają się dodatnie, a okres zmienności staje się dwa razy mniejszy. Wynika to również ze wzoru :

Podstawiając teraz do wyprowadzonego wzoru na E_p :

otrzymujemy:

Prędkość w ruchu harmonicznym znajdziemy jako pochodną wychylenia względem czasu:

Podnosząc ją do kwadratu i mnożąc przez połowę masy otrzymujemy energię kinetyczną:

Suma obu postaci energii wynosi:

lub prościej:

Całkowita energia mechaniczna nie zmienia się w czasie. Jej wartość jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy.

Kwadrat maksymalnego wychylenia jest miarą całkowitej energii mechanicznej oscylatora. Jeżeli nie ma strat energii, amplituda drgań pozostaje stała w czasie drgań. Poszczególne postacie energii zmieniają się okresowo. Ze względu na stałość ich sumy ubytek jednej z nich oznacza wzrost drugiej i odwrotnie. Gdy energia potencjalna spada do zera, to energia kinetyczna osiąga maksimum, i odwrotnie.

13.18 Drgania elektryczne

Na okładkach kondensatora o pojemności C naładowanego do napięcia U znajduje się ładunek q, na jednej dodatni, na drugiej ujemny. Jak wiadomo:

Jeżeli zewrzemy okładki za pomocą przewodu (cewki) o indukcyjności L popłynie przezeń prąd o natężeniu:

i po pewnym czasie napięcie na kondensatorze spadnie do zera. Ale przy przepływie prądu przez cewkę powstaje w niej siła elektromotoryczna samoindukcji :

opóźniająca zanikanie prądu, który płynie dalej, i dopiero wtedy spada do zera, gdy kondensator naładuje się do napięcia -U, takiego samego jak na początku, ale o przeciwnej biegunowości. Następnie zaczyna płynąć prąd w przeciwnym kierunku, kondensator się rozładowuje, w cewce powstaje siła elektromotoryczna skierowana przeciwnie niż poprzednio, prąd przez to zanika wolniej i osiąga wartość zero gdy ładunki znajdują się znowu na okładkach kondensatora. Obwód osiąga stan wyjściowy i cały proces, zwany drganiami elektrycznymi powtarza się cyklicznie. Opisany obwód jest oscylatorem elektrycznym. Równanie drgań znajdziemy z II prawa Kirchhoffa.

W każdej chwili napięcie na kondensatorze, czyli na końcówkach cewki jest równe sile elektromotorycznej samoindukcji. Ponieważ:

więc:

albo

Otrzymane równanie drgań jest formalnie takie samo, jak dla oscylatora sprężystego. Wychyleniu x odpowiada ładunek q. Rozwiązanie powyższego równania różniczkowego ma oczywiście postać:

gdzie q_m jest amplitudą (maksymalną wartością) ładunku. Częstość kołowa wynosi:

a okres drgań:

Okres drgań rośnie wraz z indukcyjnością cewki i pojemnością kondensatora.

W obwodzie drgającym nic się nie porusza (mechanicznie), nie ma wychylenia, zmienia się tylko ładunek na okładkach kondensatora. Odpowiednikiem siły zwrotnej, czyli czynnikiem zwrotnym jest siła elektromotoryczna indukcji. Widać to szczególnie wyraźnie jeżeli równanie drgań przedstawi się w postaci:

Wartość siły elektromotorycznej indukcji jest wprost proporcjonalna do ładunku (odpowiednika wychylenia) ze znakiem minus. Mechanicznym odpowiednikiem tego równania jest:

Widoczna jest też analogia między stałą sprężystą k a odwrotnością pojemności 1/C oraz między masą a indukcyjnością L wyrażającą bezwładność elektryczną.

Ważną właściwością drgających obwodów elektrycznych jest ich liniowość także przy dużych wartościach q.

13.19 Energia obwodu drgającego

Odpowiednikiem energii potencjalnej oscylatora sprężystego jest w obwodzie drgającym energia kondensatora (energia pola elektrycznego) :

Jeżeli q odpowiada wychyleniu, to natężenie prądu i jest odpowiednikiem prędkości. Ponieważ odpowiednikiem masy jest indukcyjność L, to energię kinetyczną (magnetyczną) możemy wyrazić jako:

Jest to energia magnetyczna cewki (energia pola magnetycznego). Przy założonych warunkach początkowych (w chwili t=0 ładunek na kondensatorze jest maksymalny) w naszym przypadku ładunek kondensatora zmienia się zgodnie z równaniem:

Natężenie prądu w cewce:

gdzie I_m = ωq_m jest amplitudą natężenia prądu.

Zastosowaliśmy tutaj wzór na pochodną funkcji trygonometrycznej:

gdzie C jest dowolną stałą.

Podstawiając teraz wzory na q oraz na I do wzorów na E_el oraz E_m otrzymujemy związki:

Ale:

Podstawiając powyższą zależność do E_el otrzymujemy:

Suma obu postaci energii zwana jest energią elektromagnetyczną. Tak więc:

Korzystając z własności jedynki trygonometrycznej widzimy, że energia elektromagnetyczna jest stała w czasie:

Wartość tej stałej energii wynosi:

i jest równa maksymalnej wartości każdej z obu postaci energii, które w czasie drgań przechodzą w siebie nawzajem.

13.20 Opis drgań za pomocą liczb zespolonych

Niekiedy bardzo wygodny jest opis drgań za pomocą wielkości zespolonych. Dla ilustracji wróćmy do równania jednowymiarowego ruchu drgającego wzdłuż osi x :

Poszukajmy rozwiązania w postaci:

oczywiście:

Po podstawieniu do równania wyjściowego i skróceniu przez Ae^λt otrzymujemy tak zwane równanie charakterystyczne:

które ma dwa pierwiastki:

gdzie:

jest jednostką urojoną. Prowadzi to do zespolonej postaci rozwiązania równania ruchu drgającego:

lub po zastosowaniu wzoru Eulera dla liczb zespolonych:

Otrzymany wynik jest sumą wyrazów rzeczywistych i urojonych :

(w dalszym ciągu ograniczymy się do znaku plus)

Zarówno część rzeczywista:

jak i urojona:

spełniają równanie wyjściowe czyli są rozwiązaniami szczególnymi.

13.21 Wektory fazowe

Liczbę zespoloną w postaci:

interpretujemy geometrycznie jako wektor r którego rzuta na oś rzeczywistą wynosi:

a na oś urojoną:

Moduł wektora r wynosi :

a faza :

Jeżeli kąt φ zależy od czasu, na przykład jest do niego proporcjonalny, to:

to wektor przedstawiający liczbę zespoloną wiruje z prędkością kątową w tym przypadku w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara:

Z uwagi na to, że :

taki wektor przedstawia zarazem drgania harmoniczne o amplitudzie r i częstości kołowej ω. Koniec wektora zakreśla okrąg, a jego rzuty na osie poruszają się ruchem harmonicznym prostym:

Wektor o długości równej amplitudzie drgań, nachylony do osi (rzeczywistej) pod kątem równym fazie, nazywamy wektorem fazowym albo fazorem. Ruch harmoniczny oznacza wirowanie fazorów.

13.22 Obroty fazorów

Mnożąc liczbę zespoloną z przez jednostkę urojoną:

otrzymujemy:

stąd:

stosując trygonometryczne wzory redukcyjne to znaczy:

oraz:

Tak więc mamy:

Wektor reprezentujący otrzymaną lczbę zespoloną jest nachylony do osi rzeczywistej pod kątem φ + π/2. Mnożenie przez j oznacza zatem obrócenie wektora r o kąt prosty w lewo (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Podobnie podzielenie przez j, czyli pomnożenie przez -j:

interpretujemy jako obrót o kąt prosty w prawo. Podobne wyniki daje różniczkowanie i całkowanie.

Pochodna liczby zespolonej (względem czasu):

Jeżeli, tak jak w ruchu harmonicznym to znaczy:

to:

co oznacza pomnożenie wektora r przez ω i obrót o π/2 w lewo. Powtórne różniczkowanie :

daje w wyniku wektor ω² większy i obrócony o π, czyli przeciwnie skierowany do z. Mamy tu wygodny opis przyspieszenia skierowanego przeciwnie do wychylenia:

Przy całkowaniu efekt jest odwrotny:

Otrzymany wektor amplitudy jest ω razy mniejszy i obrócony o π/2 w prawo.

Poniższy rysunek ilustruje różniczkowanie i całkowanie liczb zespolonych.

13.23 Drgania złożone – zasada superpozycji

Dotychczas rozpatrywaliśmy drgania proste i jednowymiarowe to znaczy zachodzące równolegle do jednej z osi układu lub ogólniej drgania o jednym stopniu swobody, czyli takie, w których do jednoznacznego określenia położenia wystarczyła jedna współrzędna. W następnych rozdziałach zajmiemy się drganiami złożonymi jedno- i wielowymiarowymi.

Łącząc ze sobą różne oscylatory albo „obciążając” dany oscylator różnymi siłami, otrzymujemy w wyniku drgania, które są wypadkową drgań wszystkich układów i od wszystkich sił liczonych osobno. Wychylenie w danej chwili jest sumą wychyleń każdego elementu układu wywołanych przez każdy czynnik osobno, oczywiście z uwzględnieniem aktualnych faz. Jest to tak zwana zasada superpozycji. Opiera się ona na liniowym związku między wychyleniem a siłą, leżącym u podstaw wszelkich ruchów harmonicznych i wynikającej stąd liniowości równań ruchu. Matematycznie można sformułować zasadę superpozycji następująco: Jeżeli funkcjie f₁ i f₂ spełniają równanie ruchu, to spełnia je także ich liniowa kombinacja:

gdzie A i B są stałymi dowolnymi. Na przykład jeżeli rozwiązanie równania ruchu harmonicznego ma postać:

to suma:

również spełnia to równanie.

13.24 Drgania złożone – składanie drgań

W najprostszym przypadku dodawane drgania mają tę samą częstość i różne amplitudy. Ograniczymy się do dwóch drgań w tym samym kierunku różniące się w fazie o ϑ.

Dodawanie można przeprowadzić algebraicznie:

Po wyłączeniu czynnika sinωt przed nawias otrzymujemy:

następnie mnożymy i dzielimy otrzymane wyrażenie przez :

otrzymując :

oznaczmy:

Łatwo się przekonać, że spełniony jest warunek na jedynkę trygonometryczną.

Teraz nasze wyrażenie na x przybiera następującą postać:

Oznaczając amplitudę A jako:

Z trygonometrii wiemy, że:

Łącząc trzy powyższe wzory otrzymujemy:

stała fazowa wynosi:

Wynik dodawania dwóch drgań zależy od różnicy faz drgań składowych. Dla ϑ =0 , 2π, 4π itd. amplituda wypadkowa przybiera największą wartość (wzmocnienie drgań).

a dla ϑ = π, 3π, 5π itd. amplituda wypadkowa przybiera wartość najmniejszą (osłabienie drgań):

W skrajnym przypadku (dla A₁ =A₂ = A ) mamy:

13.25 Drgania złożone – dodawanie fazorów

Wynik superpozycji można interpretować geometryczniejakom sumę wektorów fazowych o amplitudach (długościach) A₁ i A₂ nachylonych do siebie pod kątem ϑ i wirujących w płaszczyźnie, w której się znajdują z prędkością kątową ω. Wartość sumy A jest równa długości przekątnej równoległoboku utworzonego przez wektory A₁ i A₂, a jej kąt nachylenia do wektora A₁ wynosi φ. Dodawanie fazorów jest szczególnie wygodne przy składaniu większej liczby – np. N drgań o tej samej amplitudzie ΔA i stałej różnicy faz Δϑ. Otrzymujemy wówczas ciąg łamanych linii, a w granicy Δϑ→0 łuk koła. Ze wzrostem liczby drgań amplituda wypadkowa A rośnie i maleje cyklicznie przechodząc przez zero, gdy :

gdzie :

n – liczba całkowita

Jeżeli:

oraz

możemy długość linii łamanej utożsamiać z długością łuku:

Stąd promień koła:

Wypadkowa A jest długością cięciwy:

Podstawiając do powyższego równania:

otrzymujemy:

13.26 Drgania złożone – dudnienia

Jeżeli drgania składowe różnią się amplitudami, częstościami i fazami:

to wynik dodawania:

będzie bardziej skomplikowany. Przekształcając argument:

i podstawiając do wzoru na sumę wychyleń, otrzymujemy:

co można doprowadzić do postaci:

Stałe A i φ znajdziemy, rozwijając powyższe dwa wyrażenia:

oraz:

Skorzystaliśmy tu z faktu, że:

i porównując współczynniki przy sin ω₁t i cos ω₁t :

Podnosząc obie równości do kwadratu, sumując je i korzystając z własności jedynki trygonometrycznej otrzymujemy wzór na amplitudę drgań wypadkowych która zależna jest od czasu:

i zmienia się od wartości A₁+A₂ , gdy cosinus pod pierwiastkiem jest równy 1, do A₁-A₂ gdy cosinus pod pierwiastkiem jest równy -1. Okres zmienności wynosi:

a częstość :

Jeżeli częstości obu drgań leżą w zakresie słyszalności, wprawne ucho słyszy tzw. ton kombinacyjny o częstości ν, który przy małej różnicy częstości (poniżej 16 Hz) przechodzi w rytmiczne powtarzanie się maksimów amplitudy, zwane dudnieniami. ν nazywamy wtedy częstością dudnień :

oczywiście :

Dudnienia ułatwiają porównanie częstości dwóch oscylatorów (na przykład )