Czasoprzestrzeń

Fizyka wielkich prędkośći zwana inaczej teorią względności w sposób zasadniczy zmieniła poglądy na podstawowe właściwości przestrzeni i czasu. Transformacje Lorentza wykazują głęboki związek między czasem t a współrzędnymi przestrzennymi x, y, z. Z ruchem, czyli zmianą położenia, wiążą się zmiany w upływie czasu, a w transformacji czasu pojawił się składnik zależny od współrzędnej równoległej do kierunku ruchu, a więc od położenia. Wszystko to wskazuje, że współrzędnych nie można rozpatrywać niezależnie od czasu. Czas trzeba traktować jako czwartą współrzędną, która razem z pozostałymi tworzy czterowymiarową czasoprzestrzeń. Żeby uniknąć różnicy wymiarów między współrzędnymi, mnoży się go zwykle przez prędkość światła w próżni. Współrzędną czasową będzie więc iloczyn ct.

(Rys. 18.1)

W zwykłej przestrzeni trójwymiarowej zespół współrzędnych określa położenie cząstki, czyli punkt. Zespół czterech współrzędnych w czasoprzestrzeni określa położenie i czas, czyli opisuje zdarzenie. Czasoprzestrzeń jest wypełniona zdarzeniami. Punkt w czasoprzestrzeni nazywamy punktem świata.

18.2 Interwał

Miarą odległości między punktami A i B jest interwał lub przedział przestrzenny zdefiniowany jako

(18.1)

Miarą czasoprzestrzennej odległości między zdarzeniami jest interwał (przedział) czasoprzestrzenny

(18.2)

W układzie ruchomym

(18.3)

Podstawiając tutaj związki transformacyjne Lorentza łatwo stwierdzimy, że

(18.4)

czyli, że interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji i w każdym układzie ma tę samą wartość.

Interwał można przedstawić wykreślnie, gdy oś czasu pomnożymy przez jednostkę urojoną

(18.5)

(Rys. 18.2)

wówczas

(18.6)

i interwał jest długością odcinka łączącego zdarzenia Q_A i Q_B:

(18.7)

r_AB jest zwykłym interwałem przestrzennym, czyli odległością między miejscami A i B zajścia zdarzeń. Jednostkę urojoną często się pomija.

Wybierzmy tak początek układu, żeby pierwsze zdarzenie zaszło w nim (tzn. x_A = y_A = z_A = ct_A = 0), a współrzędne drugiego określimy jako x, y, z, t. Teraz kwadrat interwału jest równy

(18.8)

Jeżeli zdarzenie pierwsze polega na wysłaniu, a drugie na odebraniu sygnału świetlnego, to r = ct i s² = 0, czyli

(18.9)

Otrzymaliśmy równanie stożka świetlnego, czyli czterowymiarowego stożka utworzonego przez promienie światła wysłane z początku układu. Aby móc go sobie choćby w uproszczony sposób wyobrazić, ograniczymy się do jednej współrzędnej przestrzennej x.

Interwał między zdarzeniami połączonymi ze sobą sygnałem świetlnym jest równy zeru.

(Rys. 18.3)

Równanie stożka świetlnego przechodzi w

(18.10)

czyli

(18.11)

(Rys. 18.4)

Równanie to przedstawia proste powstałe w wyniku przekrojenia stożka świetlnego płaszczyzną (x, ct). Stanowią one miejsca geometryczne punktów, które można połączyć sygnałem świetlnym z początkiem układu.

Ponieważ żadne ciało i żaden sygnał nie może się poruszać szybciej niż światło w prózni, stożek świetlny oddziela wszystkie zdarzenia, które można połączyć jakimkolwiek oddziaływaniem z danym zdarzeniem (początkiem układu), od tych, z którymi nie sposób się skomunikować. Zdarzenia osiągalne – wewnątrz stożka – stanowią tzw. bezwzględną przeszłość (dla t < 0) i przyszłość (t > 0 ), zdarzenia nieosiągalne – bezwzględną teraźniejszość. Interwały łączące początek układu ze zdarzeniami wewnątrz stożka spełniają nierówność

(18.12)

(Rys. 18.5)

nie ma więc tam zdarzeń według jakiegokolwiek obserwatora równoczesnych z danym (wówczas byłoby t’ = 0 i s² < 0). Interwały zdarzeń poza stożkiem spełniają nierówność

(18.13)

więc dla każdego zdarzenia można tam znaleźć taki układ, żeby t’ = 0, czyli żeby odpowiedni obserwator uznał je za równoczesne z danym (stąd nazwa bezwzględnej równoczesności).

18.3 Czas własny

Czasoprzestrzenne tory cząstek nazywamy liniami świata. Linie świata cząstek poruszających się jednostajnie i prostoliniowo będą proste, cząstek przyspieszonych zakrzywione.

(Rys. 18.6)

Czasoprzestrzenne przemieszczenie elementarne jest różniczką łuku linii świata

(18.14)

gdzie dr jest przemieszczeniem przestrzennym, a v = dr/dt prędkością cząstki.

W układzie związanym z cząstką, czyli takim, w którym cząstka spoczywa, dr = 0 i przemieszczenie

(18.15)

Ze względu na niezmienniczość interwału zachodzi równość ds₀ = ds, czyli

(18.16)

Stąd

(18.17)

Czas t₀ mierzony w układzie, w którym cząstka spoczywa, nosi nazwę czasu własnego. Całkując otrzymamy

(18.18)

W układzie poruszającym się wraz z cząstką odstęp czasu między zdarzeniami jest najkrótszy. Jest to wynikiem dylatacji czasu. Przy małych prędkościach dt₀ = dt.

Różniczka łuku linii świata cząstki ruchomej (cdt₀) jest mniejsza niż cząstki spoczywającej (cdt). Wynika stąd, że czas własny dt₀ < dt. Czas własny cząstki poruszającej się z prędkością światła jest równy zeru, bo jej przemieszczenie dr = cdt. Przedstawia to poniższy rysunek

(Rys. 18.7)

Ze względu na niezmienniczość interwału ds₀ także i czas własny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Każdy obserwator określa go tak samo.

18.4 Czterowektor wodzący

W przestrzeni trójwymiarowej interwał r był bezwzględną wartością wektora łączącego dwa punkty, a jeżeli jeden z punktów był początkiem układu, interwał był bezwzględną wartością wektora położenia r. Podobnie interwał czasoprzestrzenny możemy uważać za bezwzględną wartość czterowymiarowego wektora położenia w czasoprzestrzeni r^μ (tzw. wektora świata). Wektory czterowymiarowe nazywamy inaczej czterowektorami. Współrzędne i czas:

(18.19)

są składowymi czterowektora wodzącego zdarzenia, które zaszło w czasie t w miejscu x, y, z. Niezmienniczość interwału wobec transformacji Lorentza jest analogiczna do niezmienniczości wektora położenia punktu przy obrocie układu współrzędnych.

(Rys. 18.8)

Transformacje Lorentza opisują obrót osi: przestrzennej i czasowej przy niezmienionym interwale zdarzenia Q.

(Rys. 18.9)

18.5 Metodyka pomiarów położenia i czasu

Niezmienniczość prędkości światła i wynikające z niej transformacje Lorentza zmuszają do głębszego spojrzenia na metodykę przyporządkowywania zdarzeniom miejsca i czasu. Wiemy już, że położenie ciał ustalamy tylko względem jakiegoś układu odniesienia. Stwierdzamy więc względność położenia. Także ruch ciał określamy tylko względem innych ciał. Z równoważności układów inercjalnych wynika, że nie możemy określić absolutnego ruchu jednostajnego, natomiast dzięki pojawieniu się sił bezwładności jesteśmy w stanie stwierdzić przyspieszony ruch układu.

Zastanówmy się teraz nad sposobem pomiaru długości czy odległości między dwoma ciałami. Trzeba znaleźć prostą łączącą ciała i odłożyć na niej miary wzorcowe, np. metrowe pręty. Znalezienie prostej jest zawsze możliwe, bo wzdłuż prostej odległość jest najmniejsza. Okazuje się jednak, że nie jesteśmy w stanie podać absolutnego kierunku prostej, a tylko kierunek względem innych ciał. Za to – znów dzięki siłom bezwładności – potrafimy wykryć zmiany kierunku, czyli obrót układu. Konsekwencją tego jest możliwość wyboru układu, w którym ciało spoczywa.

Z kolei przejdźmy do pomiarów czasu. Skalę czasu wyznaczamy za pomocą periodycznie powtarzających się zjawiska, które są podstawą konstrukcji zegarów. Spoczywające w danym układzie zegary jednakowej konstrukcji będą chodziły jednakowo – niezależnie od położenia. Natomiast zsynchronizować wskazania zegarów znajdujących się w różnych miejscach można tylko w oparciu na stałej prędkości światła. Jeżeli dwaj obserwatorzy odlegli o r chcą zsynchronizować swoje jednakowej konstrukcji zegary, to z chwilą dojścia do jednego z nich sygnału świetlnego wysłanego przez drugiego obserwatora w chwili t musi on uwzględnić opóźnienie konieczne na dojście sygnału i nastawić swój zegar na czas t + r/c. Przenoszenie zegarów ze względu na dylatację czasu jest mniej wygodne.

(Rys. 18.10)

Pozostaje jeszcze do omówienia ostatni problem: jak porównywać wyniki pomiarów wykonanych przez obserwatorów, którzy się względem siebie poruszają wraz ze swoimi przyrządami i wzorcami? Można podać wiele sposobów przeniesienia jednostek. Na przykład w chwili gdy, ruchomy pręt pomiarowy przesuwa się wzdłuż naszej sztaby wzorcowej umieszczone na jej końcach ostre nożyki równocześnie (według nas) wysuwają się i ryją dwie kreski na pręcie. Podobnie w momencie mijania nieruchomego zegara wzorcowego przez zegar ruchomy można porównać i uzgodnić ich wskazania, a następnie za pomocą sygnałów świetlnych zsynchronizować pozostałe zegary w danym układzie.

(Rys. 18.11)

Gdyby prędkość światła nie była niezmiennikiem układu odniesienia, taka synchronizacja nie byłaby możliwa.

Po ustaleniu jednostek obserwatorzy z różnych układów mogą porównywać swoje dane. Przejście do współrzędnych i czasu w jednym układzie do współrzędnych i czasu w drugim umożliwiają transformacje Lorentza.