Bryła Sztywna

Zróżniczkujmy równanie definiujące bryłę sztywną

(22.6)

Powyższe równanie ma dwa rozwiązania

(22.7)

albo

(22.8)

Pierwsze z nich jest inną postacią warunku niezmiennych odległości między cząstkami, czyli nieodkształcalności bryły. Drugie oznacza, że możliwe są tylko takie elementarne przemieszczenia wzajemne cząstek, które są prostopadłe do wektorów łączących cząstki. Takie przemieszczenie nazywamy obrotem. Oznaczając wektor elementarnego obrotu przez dφ, otrzymujemy

(22.9)

Całkowite przemieszczenie cząstki będzie sumą przemieszczenia wynikającego z równoleglego przesunięcia bryły jako całości i przemieszczenia związanego z obrotem.

(Rys. 22.2)

Przy przesunięciu równoległym przemieszczenie wszystkich cząstek jest takie samo, można więc je oznaczyć jako dr_s – przemieszczenie środka masy. Zatem przemieszczenie całkowite

(22.10)

Dzieląc je przez dt, otrzymamy

(22.11)

Wyraz po lewej stronie jest prędkością v_i cząstki, pochodna dr_s/dt = v_s prędkością środka masy, a dφ/dt = ω – prędkością kątową obrotu. Zatem

(22.12)

(Rys. 22.3)

Pozostawienie tej samej prędkości kątowej ω nie powinno dziwić. Jeżeli bryła sztywna obraca się o kąt dφ wokół jakiejś osi, to kąt obrotu jest dla całej bryły ten sam. Dzieląc go przez dt otrzymamy stałą dla całej bryły prędkość kątową ω.

Do opisu ruchu bryły stosujemy, jak widać dwa układy: laboratoryjny i poruszający się wraz z bryłą układ środka masy. Ruch bryły może składać się z przesunięcia równoległego bez obrotu – zwanego ruchem postępowym – zachodzącego z prędkością v_s i ruchu obrotowego wokół dowolnej osi zachodzącego z prędkością kątową ω. Przy ω = 0 bryła porusza się tylko ruchem postępowym, a przy v_s = 0 tylko ruchem obrotowym.

22.3 Energia kinetyczna bryły sztywnej

Energia kinetyczna układu jest sumą energii cząstek

(22.13)

przy czym v₀ jest jak uprzednio, prędkością punktu przez który przechodzi oś obrotu, a r_i odległością danej cząstki od tego punktu, czyli wektorem położenia cząstki w układzie, którego ów punkt jest początkiem.

Podnieśmy do kwadratu wyrażenie w nawiasie

(22.14)

Zgodnie z prawem cyklicznej przemienności iloczynów mieszanych

(22.15)

Kwadrat iloczynu wektorowego znajdziemy łatwo:

(22.16)

Można więc zapisać energię kinetyczną w postaci

(22.17)

albo po wyłączeniu poza znak sumy wszystkich stałych czynników

(22.18)

Pierwszy wyraz po prawej stronie jest oczywiście energią kinetyczną ruchu postępowego bryły:

(22.19)

przy czym

(22.20)

oznacza masę bryły, a prędkość v₀ = v ruchu postępowego jest, jak pamiętamy, dla wszystkich punktów taka sama. Drugi wyraz nazywany czasem energią mieszaną, znika gdy początkiem układu jest środek masy. Wówczas bowiem

(22.21)

(suma momentów statycznych względem środka masy jest równa zeru). Widać jeszcze raz korzyści ze stosowania układu środka masy. Ostatni wyraz jest wprost proporcjonalny do kwadratu prędkości kątowej:

(22.22)

Współczynnik I nosi nazwę momentu bezwładności bryły (względem osi przechodzącej przez początek układu). Definicją momentu bezwładności będzie więc

(22.23)

Wzór na energię kinetyczną bryły otrzymuje teraz postać

(22.24)

Zauważmy, że gdy oś obrotu przechodzi przez środek masy, energia kinetyczna wynosi po prostu

(22.25)

a gdy prędkość ruchu postępowego v = 0

(22.26)

Jest to energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym.

(Rys. 22.4)

22.4 Moment bezwładności

Spróbujmy teraz wyjaśnić sens fizyczny momentu bezwładności. W tym celu rozpatrzmy bliżej składniki, z których sumowania powstał, czyli momenty bezwładności cząstek

(22.27)

Zauważmy, że dla cząstek leżących na osi obrotu (r_i||ω) sin(ω, r_i) = 0, to znaczy cząstki te nie dają żadnego przyczynku do momentu bezwładności. Wektor położenia dowolnej cząstki można zawsze rozłożyć na dwa wektory, z których jeden jest równoległy, a drugi prostopadły do osi obrotu. Oczywiście

(22.28)

Stąd

(22.29)

bowiem

(22.30)

r_i⊥ jest po prostu odległością cząstki od osi obrotu.

Sumując po wszystkich cząstkach otrzymamy

(22.31)

Moment bezwładności bryły względem jakiejś osi (to znaczy względem prostej) jest sumą iloczynów mas cząstek i kwadratów ich odległości od osi.

(Rys. 22.5)

Moment bezwładności bryły ciągłej znajdziemy, zastępując masy cząstek elementami masy ciała

(22.32)

W takim przypadku sumowanie zastępujemy całkowaniem po całej objętości ciała

(22.33)

Rozróżniamy przy tym moment bezwładności względem punktu (r oznacza wówczas odległość od tego punktu) i względem prostej (r jest odległością od prostej).

(Rys. 22.6)

Przykład: Moment bezwładności pręta. Pręt jest wydłużonym walcem. Określimy najpierw moment bezwładności względem osi podłużnej. Ze względu na symetrię najwygodniej jest wybrać element masy w postaci wydrążonego walca o odległości r od rozpatrywanej osi, grubości dr i wysokości h takiej samej jak walec. Objętość tego elementu

(22.34)

a masa

(22.35)

(Rys. 22.7)

Całkowanie musimy poprowadzić po całej objętości, to znaczy od r = 0 do r = R (promień zewnętrzny). Stąd

(22.36)

gdzie m jest masą walca. Moment bezwładności walca pełnego jest więc dwa razy mniejszy niż cienkiej powłoki walcowej o tym samym promieniu.

Obliczmy teraz moment bezwładności tego samego walca względem osi poprzecznej, przechodzącej przez środek masy. Elementem masy będzie prostopadła do osi podłużnej warstwa o przekroku dx. Jeżeli pręt jest cienki, to możemy wszystkie punkty tej warstwy uważać za jednakowo odległe od osi. Niech ta odległość wynosi x.

(Rys. 22.8)

Wobec symetrii pręta wystarczy przeprowadzić całkowanie od x = 0 do x = h/2 i pomnożyć otrzymany wynik przez dwa

(22.37)

22.5 Transformacja momentu bezwładności

Często można uprościć obliczenie momentu bezwładności względem dowolnej osi I, jeżeli znamy moment bezwładności I_s względem równoległej do niej osi przechodzącej przez środek masy. Niech odległość między osiami wynosi b. Wówczas dla każdej cząstki

(22.38)

(Rys. 22.9)

i stąd

(22.39)

Pierwsza suma jest po prostu momentem bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy:

(22.40)

Łatwo wykazać, że drugi wyraz jest równy zeru:

(22.41)

(suma momentów statycznych w układzie środka masy jest równa zeru). Wreszcie trzeci wyraz

(22.42)

jest iloczynem masy bryły i kwadratu odległości między osiami. Stąd

(22.43)

Otrzymany związek nosi nazwę twierdzenia Steinera.

Przykład: Moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego koniec. Znamy już moment bezwładności pręta względem osi poprzecznej, przechodzącej przez środek masy:

(22.44)

Zgodnie z prawem Steinera moment względem osi przesuniętej o h/2 wynosi

(22.45)

(Rys. 22.10)

22.6 Główne osie bezwładności

Dotychczas określaliśmy moment bezwładności względem jakiejś niesprecyzowanej bliżej osi obrotu. Jest oczywiste, że momenty bezwładności ciała względem osi związanych z ciałem, na przykład osi poruszającego się wraz z ciałem układu współrzędnych kartezjańskich będą dla danego kształtu ciała ściśle określone. Dla większości ciał istnieją osie, względem których moment bezwładności przybiera wartości ekstremalne. Nazywamy je głównymi osiami bezwładności, a odpowiadające im momenty – głównymi momentami bezwładności. Trzecia oś główna ciał symetrycznych jest prostopadła do dwóch pozostałych.

Wróćmy teraz do wyrażenia na energię kinetyczną ruchu obrotowego w postaci

(22.46)

W przypadku ciała ciągłego suma przejdzie w całkę

(22.47)

Zaczepimy w środku masy bryły osie układu kartezjańskiego x, y, z. W ogólnym przypadku wektor prędkości kątowej ma składowe ω_x, ω_y, ω_z.

(22.48)

a wektor położenia x, y, z

(22.49)

Przekształćmy teraz iloczyn wektorowy pod całką

(22.50)

Iloczyn skalarny można też wyrazić przez współrzędne

(22.51)

Stąd

(22.52)

Podstawiając to wszystko do wzoru na energię kinetyczną otrzymamy

(22.53)

albo grupując po wymnożeniu i redukcji według składowych prędkości kątowej

(22.54)

Przedstawiliśmy energię kinetyczną w postaci sumy iloczynów kwadratów (lub iloczynów) składowych prędkości kątowej i całek, stanowiących odpowiedniki składowych momentu bezwłądności. Wprowadzimy oznaczenia

(22.55)

Wyrażenia o jednakowych wskaźnikach I_xx, I_yy, I_zz są momentami bezwładności względem osi x, y, z układu. Wielkości o wskaźnikach mieszanych I_xy, I_xz, I_yz nazywamy momentami zboczenia. Momenty bezwładności są zawsze dodatnie, momenty zboczenia mogą przybierać dowolne wartości.

W przypadku nieciągłego układu punktów całki zastępują odpowiednie sumy:

(22.56)

Jak widać, moment bezwładności ma bardzo interesującą i złożoną strukturę. Tego rodzaju wielkości opisujemy za pomocą tensorów. Wypadkowy moment bezwładności bryły jest tensorem, a momenty bezwładności względem osi i momenty zboczenia są jego składowymi.

Ostatecznie wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego otrzymuje postać

(22.57)

Jeżeli jako osie układu współrzędnych przyjmiemy główne osie bezwładności, to momenty względem osi będą głównymi momentami bezwładności I₁, I₂, I₃. W takim układzie znikają charakteryzujące asymetrię ciała momenty zboczenia i wzór na energię upraszcza się:

(22.58)

przy czym ω₁, ω₂, ω₃ są prędkościami kątowymi obrotu wokół głównych osi bezwładności.

Wartości głównych momentów bezwładności zależą od kształtu ciała. Istnieją ciała, zwane bąkami kulistymi, których wszystkie trzy główne momenty bezwładności są sobie równe: I₁ = I₂ = I₃. Wybór osi głównych jest w takim przypadku dowolny.

Poniżej przedstawiony jest przykład bąka kulistego

(Rys. 22.11)

Elipsoida bezwładności jest tutaj kulą.

Bąk symetryczny ma jeden z głównych momentów bezwładności różny od pozostałych

(22.59)

Osiami głównymi mogą być dowolne dwie proste prostopadłe do siebie w płaszczyźnie prostopadłej do osi I oraz oś I₁. Wreszcie jeżeli wszystkie momenty główne różnią się,

(22.60)

ciało nosi nazwę bąka niesymetrycznego.

Jak znaleźć główne osie bezwładności? Jeżeli ciało ma oś symetrii, to będzie ona jedną z osi głównych. Jeżeli ciało ma płaszczyznę symetrii, to dwie osie główne będą leżały w tej płaszczyźnie. W szczególności dla układu cząstek leżącego w płaszczyźnie x, y (tzn. z = 0) moment względem osi prostopadłej do płaszczyzny będzie sumą dwóch pozostałych:

(22.61)

(Rys. 22.12)

Jeszcze prostszy niż układ płaski jest układ liniowy, czyli rotator. Cząstki rozmieszczone są w nim wzdłuż lini prostej (np. x = y = 0), moment względem tej osi znika, a dwa pozostałe momenty główne są sobie równe:

(22.62)

(Rys. 22.13)

Zauważmy jeszcze, że w przypadku bąka niesymetrycznego żaden z głównych momentów nie może być większy niż suma dwóch pozostałych. Niech

(22.63)

Wtedy

(22.64)

i stąd

(22.65)

Znak równości odnosi się do przypadku z_i = 0 (układ płaski).

Przykład: Główne momenty bezwładności cząsteczki dwuatomowej.

Jeśli masy atomów wynoszą m₁ i m₂, a odległość między nimi jest równa l, to moment bezwładności względem osi prostopadłej do osi cząsteczki przeprowadzonej przez środek masy będzie równy

(22.66)

gdzie μ jest masą zredukowaną. Trzeci główny moment bezwładności I₃ = 0.

(Rys. 22.14)

22.7 Moment pędu bryły

Moment pędu względem środka masy jest równy

(22.67)

W dalszym ciągu będziemy pomijali kreski przy przy r_i. W przypadku bryły ciągłej

(22.68)

Podwójny iloczyn wektorowy da się przedstawić w postaci

(22.69)

Po wstawieniu do poprzedniego związku i rozpisaniu na składowe w kartezjańskim układzie współrzędnych mamy

(22.70)

Podobnie obliczymy pozostałe składowe

(22.71)

(22.72)

Czynniki całkowe są składowymi tensora bezwładności. Zatem

(22.73)

Jak widać, w ogólnym przypadku wektor momentu pędu nie jest równoległy do wektora prędkości kątowej ω (tzn. do osi obrotu). Gdy za osie współrzędnych przyjmiemy główne osie bezwładności, to znikają momenty zboczeń i możemy zapisać

(22.74)

Tylko przy obrocie dookoła którejś z głównych osi wektory momentu pędu i prędkości kątowej będą miały ten sam kierunek. Jedynie w przypadku bąka kulistego (I_xx = I_yy = I_zz) możemy napisać dla dowolnej osi obrotu

(22.75)

analogicznie jak dla pojedynczej cząstki.

Przykład: Wirujące hantle. Niech pręt o długości l z osadzonymi na końcach ciężarkami m_A i m_B nachylony pod kątem α do osi x wiruje dookoła niej z prędkością kątową ω_x = ω. Początek układu umieścimy w środku masy. Jeżeli w danej chwili pręt leży w płaszczyźnie xy (z = 0), to ω_y = ω_z = 0 i moment pędu ma składowe

(22.76)

(Rys. 22.15)

Masa m_A jest oddalona od środka masy o

(22.77)

a masa m_B o

(22.78)

W danej chwili kartezjańskie współrzędne obu ciężarków będą równe

(22.79)

Stąd moment bezwładności

(22.80)

gdzie μ jest masą zredukowaną obu ciężarków. Podobnie moment zboczenia będzie równy

(22.81)

Obliczmy teraz składowe momentu pędu

(22.82)

i sam moment

(22.83)

oraz jego kierunek, czyli kąt nachylenia β do osi x

(22.84)

czyli

(22.85)

Wektor momentu pędu nie jest równoległy do prędkości kątowej, tylko prostopadły do pręta. Dzieje się tak dlatego, że moment bezwładności względem podłużnej osi pręta znika i moment pędu nie może mieć składowej wzdłuż tej osi.