Analiza pola: gradient, dywergencja, rotacja

Celem wyprowadzenia zależności na wektor zwany gradientem funkcji przeprowadźmy następujące rozważania.

Spróbujmy najpierw zapisać wzór na przyrost funkcji pola skalarnego. (Należy zaznaczyć w tym miejscu, że będziemy od tej chwili stosować kartezjański układ współrzędnych.) Z matematycznego punktu widzenia przyrost funkcji pola jest sumą iloczynów jej pochodnych względem współrzędnych i różniczek współrzędnych:

Łatwo zauważyć, że powyższy przyrost można zapisać inaczej. A mianowicie jako iloczyn skalarny dwóch wektorów: jednego o składowych ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z i drugiego o składowych: dx, dy, dz.

Pierwszy z tych wektorów to właśnie gradient funkcji u:

Drugi z tych wektorów to oczywiście dr.

A więc przyrost funkcji pola można przedstawić jako skalarny iloczyn gradientu funkcji pola i przemieszczenia:

Zgodnie z oznaczeniem wprowadzonym w podrozdziale 4.6 gradient skalara możemy przedstawić przy użyciu operatora nabla:

Formuły związane z gradientem:

Gradient:

• stałej C:

• sumy skalarów U i V:

• iloczynu skalarów U i V:

• funkcji złożonej V(U) :

• iloczynu stałej k i skalara V :

• iloczynu skalarnego wektorów A i B :

• we współrzędnych walcowych:

• we współrzędnych sferycznych:

4.1.2 Gradient jako gęstość strumienia.

W celu wyprowadzenia wzoru na gradient funkcji jako gęstości strumienia, przeanalizujmy pewną sytuację. w polu skalara u wybieramy dwie bliskie izopowierzchnie, odległe o h. Na jednej z nich wartość pola wynosi u a na drugiej u+du. Gradient pola jest wszędzie do nich prostopadły. Oczywiście:

W celu dalszej analizy sytuacji zbudujmy między izopowierzchniami mały walec, którego podstawy o polu ΔS leżą na obu izopowierzchniach, a pobocznica jest do nich w przybliżeniu prostopadła (tzn. równoległa do gradientu). Strumień pola przez całą powierzchnię walca jest równy:

Jeżeli połączymy dwa powyższe wzory to otrzymamy:

Należy zaznaczyć, że pominęliśmy równy zeru (ze względu na symetrię) strumień przez pobocznicę walca. ΔS oznacza wektor pola podstawy leżącej na izopowierzchni u+du tzn. ma kierunek i zwrot gradientu. Można więc napisać:

gdzie ΔV jest objętościa walca, zatem:

i stąd:

Jest to zależność przyblizona, tym ściślejsza im mniejszy jest walec. W granicy zachodzi równość:

czyli:

4.2.1 Dywergencja.

W celu wyprowadzenia wzoru na dywergencję wektora w w kartezjańskim układzie współrzędnych przeprowadźmy następujące rozważania. Wektor pola w(r) możemy rozłożyć na składowe w kierunku odpowiednich osi. W układzie kartezjańskim mamy:

Każda z tych składowych jest, podobnie jak wektor w funkcją współrzędnych:

Utwórzmy pochodne składowych względem odpowiednich współrzędnych ∂w_x/∂x, ∂w_y/∂y, ∂w_z/∂z

Ich sumę nazywamy dywergencją (rozbieżnością) wektora pola:

Dywergencja jest skalarem i zależy od położenia.

Zgodnie z oznaczeniem wprowadzonym w podrozdziale 4.6 dywergencję wektora możemy przedstawić przy użyciu operatora nabla:

Formuły związane z dywergencją:

Dywergencja:

• wektora stałego C:

• iloczynu stałej k i wektora A:

• sumy wektorów A i B :

• iloczynu skalara V i wektora A :

• gradientu skalara V (równa się laplasjanowi funkcji V) :

• rotacji wektora A :

• iloczynu wektorowego :

• we współrzędnych walcowych :

• we współrzędnych sferycznych :

4.2.2 Dywergencja jako gęstość strumienia.

Strumieniem (skalarnym) wektora wychodzącego z powierzchni S z definicji nazywamy całkę ze skalarnego iloczynu wektora w i elementu powierzchni dS.(gdzie wektor w charakteryzuje natężenie pola). A więc:

Strumień elementarny wyraża się związkiem różniczkowym:

Powyższy wzór (zgodnie z definicją iloczynu skalarnego dwóch wektorów) można rozpisać następująco:

W celu wyprowadzenia ogólnej definicji dywergencji niezależnej od wyboru układu współrzędnych zastosujmy powyższy wzór do sześcianu o objętości dV. Oczywiście:

Rachunek przeprowadzamy w układzie kartezjańskim o osiach równoległych do krawędzi sześcianu.

Strumień z powierzchni prostopadłych do osi x jest sumą algebraiczną strumieni wychodzących ze ściany w punkcie x+dx i ściany w punkcie x. Tak więc:

Pole powierzchni dS_x jest polem ściany prostopadłej do osi x i wynosi:

Po uwzględnieniu wartości trygonometrycznych otrzymujemy:

Z prostej analizy matematycznej wynika, że zależność w nawiasie kwadratowym możemy przedstawić jako iloczyn pochodnej i różniczki:

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

Podobnie strumień z powierzchni prostopadłych do osi y wynosi:

i prostopadłych do osi z:

Całkowity strumień przez wszystkie powierzchnie jes dany wzorem:

Łącząc powyższe cztery wzory otrzymujemy:

Wyrażenie w nawiasie jest dywergencją wektora w. Stąd:

Prowadzi to do ogólnej, niezależnej od układu współrzędnych definicji dywergencji:

Dywergencja jest przestrzenną gęstością strumienia pola wektorowego.

4.3.1 Rotacja.

Składowymi gradientu były pochodne skalarnej funkcji pola względem poszczególnych współrzędnych. W skład dywergencji wchodzą pochodne składowych wektorowego pola w względem jednoimiennych współrzędnych, to znaczy składowej w_x względem x, w_y względem y, w_z względem z.

W celu wyprowadzenia wzoru na rotację wektora w w kartezjańskim układzie współrzędnych, zróżniczkujmy teraz składowe wektora w względem pozostałych współrzędnych, czyli utwórzmy pochodne:

Każda z tych pochodnych oznacza lokalną zmienność danej składowej przy przemieszczaniu się prostopadle do niej. Następnie przegrupujmy parami pochodne w których występują tylko dwie współrzędne, a więc x i y, y i z, z i x i utwórzmy ich różnice zaczynając od z, y i zachowując cykliczną kolejność.:

Każda taka różnica jest miarą różnicy zmienności dwóch składowych, to znaczy pokazuje o ile szybciej zmienia się pierwsza od drugiej przy przemieszczaniu się w kierunku różnoimiennych współrzędnych. Mnożąc je przez wersory pozostałych współrzędnych przypisujemy im odpowiednie kierunki i tworzymy z nich składowe wektora zwanego rotacją. Jest on sumą tych iloczynów:

Zgodnie z oznaczeniem wprowadzonym w podrozdziale 4.6 rotację wektora możemy przedstawić przy użyciu operatora nabla:

Formuły związane z rotacją:

Rotacja:

• wektora stałego C :

• iloczynu stałej k i wektora A :

• sumy wektorów A i B :

• iloczynu skalara V i wektora A :

• iloczynu wektorowego wektorów A i B :

• gradientu skalara V :

• rotacji wektora A :

• we współrzędnych walcowych :

• we współrzędnych sferycznych :

4.3.2 Rotacja a cyrkulacja.

Przemieszczając się w polu wektorowym obserwujemy zmiany wartości i kierunku pola w. Możemy je opisać mnożąc skalarnie w każdym punkcie wektor pola w przez wektor przemieszczenia elementarnego dr i całkując tak utworzone iloczyny wzdłuż całego toru. Jeżeli całkujemy po konturze zamkniętym, to otrzymujemy cyrkulację wektora w:

Element cyrkulacji będzie równy:

lub inaczej:

W celu znalezienia zależności cyrkulacji z rotacją, obliczmy cyrkulację po konturze o bokach równych dx i dy prostopadłych do osi z.

Zgodnie z powyższym wzorem cyrkulacja dK_z będzie równa (wybieramy skrętność okrążania konturu Γ odwrotnie do ruchów wskazówek zegara):

a więc:

Wartości składowych wektora w miejscach x+dx i y+dy można wyrazić za pomocą wartości w miejscach x i y:

Po podstawieniu ich do poprzedniego wyrażenia otrzymujemy:

Po wymnożeniu nawiasów kwadratowych oraz uproszczeniu odpowiednich wyrażeń otrzymujemy:

Podobnie oblicza się cyrkulację po konturze prostopadłym do osi x:

Oznaczając elementarne powierzchnie prostopadłe do osi x, y, z odpowiednio przez dS_x, dS_y, dS_z:

otrzymamy:

Wyrażenia w nawiasach są składowymi rotacji wektora w.

Uwzględniając fakt, że w naszym przypadku:

możemy zapisać:

lub inaczej:

Tak więc:

Składowe rotacji są powierzchniowymi gęstościami odpowiednich cyrkulacji.

4.3.3 Rotacja jako gęstość strumienia.

Wektorowy strumień pola wektorowego można zdefiniować jako całkę powierzchniową za pomocą następującego wzoru:

W celu wyprowadzenia ogólnej zależności pomiędzy rotacją wektora w a wektorowym strumieniem pola wektorowego przeprowadźmy następujące obliczenia. Obliczmy najpierw strumień:

przez wszystkie ściany elementarnego sześcianu o objętości:

rozpiętego w polu wektora w między współrzędnymi x i x+dx, y i y+dy, z i z+dz.

Znajdziemy najpierw równoległą do osi x składową wcześniej wspomnianego iloczynu wektorowego:

Znaki + lub – określamy za pomocą reguły sruby prawoskrętnej.

Po uwzględnieniu prostej zależności trygonometrycznej oraz uporządkowaniu wyrazów otrzymujemy następujący wzór:

Biorąc pod uwagę, że :

oraz:

otrzymujemy:

czyli:

Podobnie znajdujemy składową równoległą do osi y:

i do osi z

Cały iloczyn wektorowy jest równy:

Łatwo zauważyć, że wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest wziętą ze znakiem minus rotacją wektora w. Zatem:

Rotacja jest wziętą ze znakiem minus przestrzenną gęstością wektorowego strumienia wektora w.

4.4 Twierdzenie Ostrogardskiego-Gaussa.

Dywergencję pola wektora w określiliśmy jako lokalną gęstość objętościową jego strumienia (skalarnego) wychodzącego z elementu objętości. Chcąc znaleźć całkowity strumień wychodzący z obszaru skończonego, musimy scałkować strumień elementarny po całej powierzchni zamykającej obszar.

zatem mamy:

i po scałkowaniu:

Powyższa równość jest właśnie twierdzeniem Ostrogardskiego-Gaussa.

Całkowity strumień (skalarny) wektora wychodzący przez powierzchnię zamkniętą, otaczającą jakiś obszar w polu wektorowym , jest równy rozciągniętej na całą objętość obszaru całce z dywergencji tego wektora.

4.5 Twierdzenie Stokesa.

Rotację określiliśmy jako powierzchniową gęstość cyrkulacji:

czyli:

Zgodnie z zależnością trygonometryczną składowa prostopadła rotacji jest równa:

Tak więc:

Po scałkowaniu powyższego wzoru otrzymujemy wzór na cyrkulację :

gdzie kąt α jest kątem pomiędzy wektorami:

Pamiętamy z definicji cyrkulacji, że:

gdzie S jest dowolną powierzchnią której brzegiem jest krzywa Γ
.

Przyrównując do siebie dwa powyższe wzory otrzymujemy związek zwany twierdzeniem Stokesa:

Cyrkulacja wektora po zamkniętym konturze jest równa strumieniowi jego rotacji przez powierzchnię rozpiętą na tym konturze.

Takich powierzchni może być oczywiście nieskończenie wiele. Przykładową powierzchnię oraz kontur przedstawia poniższy rysunek:

4.6 Operator nabla

Zapis i rachunki przeprowadzane na gradiencie, dywergencji i rotacji można znacznie uprościć wprowadzając wektor nabla ∇, zdefiniowany wzorem:

Nabla jest operatorem , tzn. symbolem, który nabiera sensu dopiero po oddziałaniu na jakąś wielkość czy funkcję.

Na przykład:

Jeśli podziałamy operatorem nabla na jakąś skalarną wielkość u, to otrzymamy wektor. Jak łatwo zauważyć będzie to gradient wielkości u:

Iloczyn skalarny operatora nabla (który jak pamiętamy jest „wektorem”) i innego wektora w jest dywergencją:

Natomiast iloczyn wektorowy operatora nabla oraz innego wektora jest rotacją:

Gradient, dywergencja i rotacja są przestrzennymi pochodnymi pola. Za pomocą operatora nabla możemy łatwo znaleźć drugie pochodne, wystarczy znać reguły podwójnego mnożenia wektorów. Oto przykłady drugich pochodnych pola:

Kwadrat nabli w kartezjańskim układzie współrzędnych ma następującą postać:

i nosi nazwę laplasjanu. W zastosowaniu do skalara laplasjan tworzy pole skalarne. W zastosowaniu do wektora np. w laplasjan tworzy pole wektorowe.

Teraz, gdy już znamy zapis pochodnych wykorzystując do tego operator nabla, możemy zapisać twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa oraz twierdzenie Stokesa w „bardziej eleganckiej” postaci: