Zderzenia cząstek – JR

Zderzenia cząstek

Zagadnienie dwu ciał obejmuje także zderzenia. Rozróżniamy zderzenia sprężyste, czyli takie, podczas których nie zmienia się stan wewnętrzny ciał i niesprężyste, w czasie których następuje zmiana energii wewnętrznej. W rzeczywistości nie ma ani zderzeń doskonale sprężystych, ani niesprężystych – stanowią one przypadki graniczne. Pojęcie zderzenia odnosi się także do rozproszenia cząstek, czyli zmiany ruchu na skutek oddziaływania na odległość – bez zetknięcia – z tym, że rozgraniczenie takie wolno stosować tylko do obiektów makroskopowych. Gdy zderzają się mikrocząstki, pojęcie zetknięcia traci sens, bo promień takiej cząstki jest wynikiem umowy.

Do opisu zderzeń można stosować układ labolatoryjny, w którym poruszają się obie cząstki, albo jedna cząstka (np. B) przed zderzeniem spoczywa (vB = 0), a druga (A) porusza się z prędkością vA . Najprościej jednak opisuje się zderzenie w układzie środka masy. Prędkość w tym układzie określają związki transformacyjne

związki transformacyjne (11.1)

gdzie

prędkość środka masy (11.2)

jest prędkością środka masy w układzie labolatoryjnym. Masa zredukowana

masa zredukowana (11.3)

W układzie środka masy prędkości cząstek v’A i v’B mają przeciwne zwroty, a suma pędów jest równa zeru. Aby przejść do prędkości w układzie labolatoryjnym vA, vB, trzeba dodać (wektorowo!) prędkość środka masy.

układ labolatoryjny (Rys. 11.1)

Wielkości charakteryzujące ruch przed zderzeniem będziemy dalej oznaczać indeksem (), a po zderzeniu indeksem (+). W układzie środka masy spełniona jest zasada zachowania pędu: suma pędów cząstek jest stale równa zeru. Stąd

zachowanie pędu (11.4)

czyli i przed, i po zderzeniu pędy obu cząstek są równe i przeciwnie skierowane:

równość pędów (11.5)

Jeżeli zderzenie jest doskonale sprężyste, to zasada zachowania energii w układzie środka masy ma postać

zachowanie energii kinetycznej (11.6)

Suma energii kinetycznych przed zderzeniem jest taka sama jak po zderzeniu. Podstawiając z prawa pędów

z prawa pędów (11.7)

otrzymamy

związek (11.8)

czyli

prędkości (11.9)

W podobny sposób można stwierdzić, że także

związek (11.10)

Zatem bezwzględne wartości prędkości cząstek nie zmieniają się w akcie zderzenia. Wobec tego mogą się zmienić tylko kierunki prędkości.

wektory pędu i prędkości (Rys. 11.2)

Istotnie z prawa zachowania pędów mamy

zachowanie pędów (11.11)

co wobec (11.9) i (11.10) oznacza, że prędkości względne cząstek zmieniły kierunki.

Wprowadzimy teraz wektor jednostkowy v0 w kierunku prędkości cząstki A po zderzeniu. Teraz

związki (11.12)

i możemy wrócić do układu labolatoryjnego przez dodanie prędkości środka masy. Szukane prędkości po zderzeniu są równe

związki (11.13)

Prędkości przed i po zderzeniu w układzie labolatoryjnym otrzymujemy dodając do prędkości względem środka masy prędkość vs środka masy.

prędkości przed i po zderzeniu w układzie labolatoryjnym (Rys. 11.3)

Aby móc określić kierunki prędkości po zderzeniu, trzeba znać kierunek wektora v0 określony przez kąt odchylenia χ cząstki A w wyniku zderzenia. Niech oś x kartezjańskiego układu współrzędnych wskazuje zgodnie z kierunkiem prędkości vA cząstki padającej, a oś y leży w płaszczyźnie ruchu. Prędkość cząstki A względem cząstki B, czyli różnica prędkości przed zderzeniem, wynosi

prędkość względna (11.14)

bo vB- = 0. Po zderzeniu prędkość względna jest równa

prędkość względna po zderzeniu (11.15)

czyli zmienia kierunek bez zmiany wartości.

prędkości cząstek (Rys. 11.4)

Wzory na prędkości po zderzeniu przybierają teraz formę

związki (11.16)

w układzie środka masy oraz

prędkości w układzie labolatoryjnym (11.17)

w układzie labolatoryjnym. Wyrazimy te związki przez ich składowe. Rzuty prędkości względnej na osie współrzędnych wynoszą

składowe (11.18)

wobec tego

składowe prędkości (11.19)

Stąd

wartości prędkości cząstek po zderzeniu w układzie labolatoryjnym (11.20)

Za pomocą tych równań możemy wyrazić kąty odchylenia ϑA, ϑB obu cząstek w laboratoryjnym układzie odniesienia w zależności od kąta χ odchylenia cząstki A w układzie środka masy

tangensy (11.21)

Minus przed ułamkiem po prawej stronie dolnej równości wynika z przeciwnych znaków rzutów vB+ na obie osie. Jak widać,

związek (11.22)

 

 

11.2 Przykład: Zderzenie cząstek o równych masach

 

 

Jeżeli zderzają się dwie jednakowo ciężkie cząstki np. kule bilardowe, albo neutron i proton to tangens kąta odchylenia nadbiegającej cząstki

tangens kąta (11.23)

czyli

kąt (11.24)

a suma odchyleń, zwana kątem rozrzutu,

kąt rozrzutu (11.25)

Poniżej znajduje się wykres zależności tangensa kąta odchylenia cząstki A w układzie labolatoryjnym od kąta odchylenia w układzie środka masy dla mA < mB.

wykres (Rys. 11.5)

W miarę wzrostu kąta χ kąt ϑA rośnie. Dla χ = arccos (mA/mB) ϑA = π/2 (tgϑA = ). Ujemna gałąź krzywej odpowiada ϑA > π/2. Dla χ = π ϑA = π.

Gdy mA > mB mianownik wzoru na tg ϑA nigdy nie jest równy zeru i ϑA < π/2 (tg ϑA < )

wykres (Rys. 11.6)

Kąt odchylenia cząstki B i połowa kąta χ dopełniają się (zakreskowany trójkąt jest prostokątny). v- oznacza różnicę prędkości cząstek przed zderzeniem, v+ po zderzeniu.

kąty się dopełniają (Rys. 11.7)

A więc cząstki o jednakowych masach po zderzeniu rozbiegają się w układzie laborartoryjnym pod kątem prostym.

pod kątem prostym (Rys. 11.8)

Naturalnie, dla mA < mB ϑA + ϑB > π/2, a dla mA > mB ϑA + ϑB < π/2.

 

 

11.3 Przykład: Zderzenie czołowe (centralne)

 

 

W tym przypadku obie cząstki poruszają się po jednej prostej. Kąt odchylenia w układzie środka masy χ = π. Rzuty prędkości po zderzeniu wynoszą

rzuty prędkości zderzenie centralne (11.26)

Poniższy rysunek przedstawia zderzenie centralne przy mA < mB w układzie środka masy i laboratoryjnym.

zderzenie centralne (Rys. 11.9)

Gdy cząstka nadbiegająca jest cięższa niż spoczywająca, obie prędkości po zderzeniu centralnym mają w układzie labolatoryjnym ten sam zwrot.

zderzenie centralne (Rys. 11.10)

Obie prędkości (vA+ i vB+) są skierowane zgodnie lub przeciwnie. Zwrot vA+ zależy od relacji między masami:

wektory prędkości (11.27)

W szczególnym przypadku jednakowych cząstek mA = mB = m

wymiana prędkości (11.28)

Cząstka nadbiegająca przekazuje prędkość spoczywającej.

gdy jednakowe masy (Rys. 11.11)

W trakcie zderzenia cząstka A przekazała cząstce B część swojej energii. Cała energia cząstki B po zderzeniu

energia kinetyczna po zderzeniu (11.29)

pochodzi od cząstki A. Energia cząstki A wynosiła przed zderzeniem

energia cząstki A (11.30)

Stosunek

stosunek energii (11.31)

określa ułamek energii jaki oddała cząstka A. W jakich warunkach ilość przekazanej energii będzie największa. Aby to rozstrzygnąć, podzielmy licznik i mianownik prawej strony przez mB2:

stosunek energii (11.32)

gdzie stosunek mas oznaczono przez γ.

Jeżeli założymy, że kąt χ = const, to pozostaje do rozpatrzenia funkcja

funkcja (11.33)

Poszukajmy jej maximum

pochodna (11.34)

rozwiązanie tego równania daje γ = mA/mB = 1, czyli

Cząstka traci najwięcej energii, gdy masy obu cząstek są równe. Strata energii wynosi wówczas

strata energii (11.35)

Przy zderzeniu czołowym χ = π i strata energii

strata energii zderzenie czołowe (11.36)

skąd dla równych mas

stosunek energii dla równych mas (11.37)

W tych warunkach cząstka A traci całą swoją energię.

wykres (Rys. 11.12)

 

 

11.4 Przykład: Spowalnianie neutronów

 

 

W większości reaktorów jądrowych reakcja rozszczepienia zachodzi najlepiej z neutronami powolnymi, czyli termicznymi. W wyniku rozszczepienia powstają neutrony szybkie. Aby móc je wykorzystać trzeba je spowolnić. Do tego celu służą substancje zwane moderatorami. Neutrony tracą szybkość w zderzeniach z jądrami moderatora. Skuteczność spowalniania zależy od masy jądra moderatora. Najwięcej energii straci neutron w zderzeniu z jądrami o zbliżonej masie, czyli z protonami. Najlepszymi moderatorami są materiały bogate w wodór przede wszystkim woda i substancje organiczne. Używa się też związków ciężkiego wodoru oraz węgla w postaci grafitu. Skuteczność spowalniania jest przy tym mniejsza, ale węgiel jest tani i łatwo go formować. Konieczna dla termalizacji, czyli zmniejszenia energii do termicznej (Ek = 0,025 eV średnia energia molekuł ośrodka w temperaturze pokojowej) liczba zderzeń neutronu z jądrami węgla (γ = mc/mh ≈ 12) wynosi przeciętnie 114, z jądrami berylu (γ ≈ 8) 98, deuteru (γ ≈ 2) 25, wodoru (γ ≈ 1) tylko 18.

 

 

11.5 Zderzenia niesprężyste

 

 

Rozpatrzmy teraz przypadek zderzenia niesprężystego. W trakcie zderzenia zmienia się energia wewnętrzna ciał. Jeżeli energia wewnętrzna wzrasta, powiadamy, że nastąpiło wzbudzenie cząstka przeszła w stan wzbudzony. Energia wzbudzenia Q w ostatecznym efekcie przechodzi do otoczenia. Prawo zachowania energii przyjmuje postać

zachowanie energii zderzenia niesprężyste (11.38)

albo w układzie środka masy

zachowanie energii układ środka masy (11.39)

gdzie Ek- i Ek+ oraz E’k- i E’k+ oznaczają sumę energii kinetycznych cząstek przed i po zderzeniu. Całkowicie albo doskonale niesprężystym nazywamy takie zderzenie, w wyniku którego cała energia kinetyczna w układzie środka mas zamienia się w inne postacie energii i przechodzi z układu do otoczenia. Wówczas E’k+ = 0 i

energia kinetyczna zderzenie niesprężyste (11.40)

przy czym μ oznacza masę zredukowaną, a v = vA różnicę prędkości cząstek przed zderzeniem. Po zderzeniu

energia po zderzeniu (11.41)

Ze względu na μ ≠ 0 oznacza to, że

zerowanie się prędkości względnej (11.42)

Zatem po zderzeniu obie cząstki poruszają się ze wspólną prędkością w równą prędkości środka masy:

prędkość (11.43)

Kierunek wspólnej prędkości znajdziemy z prawa zachowania pędu przed i po zderzeniu:

zasada zachowania pędu (11.44)

czyli

prędkość (11.45)
zderzenie niesprężyste (Rys. 11.13)

W zderzeniu doskonale niesprężystym cząstki łączą się i poruszają dalej z prędkością, jaką miał przed zderzeniem środek masy.

Zderzenia rzeczywiste nie są doskonale niesprężystesprężyste. Nieznane parametry ruchu wyznaczamy stosując prawa zachowania pędu i energii.

 

 

11.6 Przykład: Energia reakcji

 

 

Protony (jądra wodoru) przyspieszone w akceleratorze do prędkości vp padają prostopadle na cienką folię zawierającą fluor. W wyniku reakcji powstają jądra tlenu i cząstki α (jądra helu). Jądra tlenu wylatują z folii z prędkością vO pod kątem ϑ do pierwotnej wiązki protonów, a prędkość cząstek α vα jest skierowana prostopadle do niej.

reakcja (Rys. 11.14)

Masy wszystkich cząstek znamy. Obierając oś x w kierunku lotu protonów, a oś y w kierunku ruchu cząstek α napiszemy prawo zachowania pędu w układzie laboratoryjnym

zasada zachowania pędu (11.46)

oraz zasadę zachowania energii

zasada zachowania energii (11.47)

Założyliśmy przy tym, że jądra fluoru spoczywają. Wielkość Q czyli różnica między sumą początkowych i końcowych energii cząstek, nosi nazwę energii reakcji. Z wypisanych równań można obliczyć trzy niewiadome. W rozpatrywanym przypadku będą to kąt ϑ, prędkość vO i energia reakcji. Weliminujemy najpierw ϑ podnosząc stronami do kwadratu dwa pierwsze równania.

podniesione do kwadratu (11.48)

Uzyskany stąd iloczyn

związek (11.49)

wstawiamy do równania (11.47):

związek (11.50)

stąd

energia reakcji (11.51)

Podstawmy dane jednego z takich doświadczeń. Otrzymamy wynik

energia reakcji (11.52)

Znak minus oznacza, że w wyniku reakcji suma energii kinetycznych wzrosła. Dokładne pomiary mas atomowych wykazują, że suma mas produktów rozpatrywanej reakcji jest mniejsza niż suma mas jąder wyjściowych. Niedobór masy (dla naszych przykładowych danych) wynosi

niedobór masy (11.53)

Stosunek energii reakcji do niedoboru masy

związek Einsteina (11.54)

jest równy kwadratowi prędkości światła w próżni. W ten sposób stosując do reakcji jądrowej prawa zachowania pędu i energii otrzymaliśmy leżący u podstaw teorii względności słynny związek Einsteina między masą a energią.

 

 

11.7 Rozpraszanie cząstek

 

 

Dotychczas rozpatrywaliśmy zderzenia ciał biorąc pod uwagę tylko prędkości i energie początkowe i końcowe, tzn. w chwilach na tyle odległych w czasie od zderzenia, że można było pominąć rozciągliwość zderzenia w czasie i traktować tory cząstek przed i po zderzeniu jako prostoliniowe. Rzeczywiste tory wynikają z praw ruchu w polu odpychających sił centralnych typu

siła wektor (11.55)

gdzie α < 0. Wiemy już, że tego typu ruch zachodzi po dalszej gałęzi hiperboli. Ograniczymy się do n = 2, czyli do sił o energii

zależność energii potencjalnej (11.56)

równanie toru ma postać

równanie toru (11.57)

Wprowadźmy parametr zderzenia b, czyli odległość centrum siły od asymptoty hiperboli, tzn. linii po której biegła cząstka z początkową prędkością v0, kiedy była jeszcze bardzo daleko. Możemy teraz określić moment pędu względem centrum

moment pędu (11.58)

i przekształcić równanie toru

równanie toru (11.59)

Położenie pericentrum określają wzory:

położenie pericentrum (11.60)

bowiem kąt φ odmierzamy od prostej łączącej centrum z pericentrum. Kąty między tą prostą a asymptotami można znaleźć przez całkowanie:

kąt (11.61)

Nawet nie obliczając całki można stwierdzić przez zamianę granic, że tor cząstki jest symetryczny względem prostej φ = 0, bowiem φ-∞ = φ. Prostszy sposób obliczenia kąta φ opiera się na znanych z geometrii analitycznej właściwościach hiperboli.

hiperbola (Rys. 11.15)

Punkt przecięcia asymptot nazywamy środkiem hiperboli. Odcinek łączący pericentrum, czyli wierzchołek hiperboli z jej środkiem zwany jest półosią rzeczywistą a, a prostopadły do niej odcinek o długości

z twierdzenia pitagorasa (11.62)

półosią urojoną. Przez c oznaczono tutaj odległość środka od ogniska hiperboli, czyli od centrum siły. Łatwo stwierdzić, że

r min (11.63)

oraz

sinus i cosinus (11.64)

i ostatecznie

r min (11.65)

Odkładając od środka hiperboli na asymptocie półoś rzeczywistą a i łącząc otrzymany punkt z ogniskiem stwierdzimy, że parametr zderzenia (odległość ogniska od asymptoty) jest równy półosi urojonej. Wobec tego b w powyższym wzorze oznacza parametr zderzenia, a sam wzór przedstawia związek między odległością od pericentrum, parametrem zderzenia i kątem odchylenia asymptoty od prostej łączącej centrum z pericentrum. Kąt rozproszenia, czyli odchylenia cząstki w wyniku oddziaływania centrum, wynosi

kąt rozproszenia (11.66)

Jeżeli parametr b = 0, zderzenie nazywamy czołowym albo centralnym. Wówczas φ = 0 i kąt rozproszenia ϑ = π. Prędkość cząstki zmienia zwrot na przeciwny.

 

 

11.8 Przykład: Rozpraszanie cząstek α

 

 

Rozmiary jąder ciężkich atomów można wyznaczyć mierząc kąt rozproszenia cząstek α przechodzących przez cienką folię z badanego pierwiastka. Doświadczenie takie przeprowadził po raz pierwszy E. Rutherford. Cząstka α ma ładunek +2e, jądro +Ze, gdzie

ładunek elementarny (11.67)

jest ładunkiem elementarnym, a Z liczbą atomową pierwiastka. Siła odpychania między jednoimiennymi ładunkami cząstki i jądra wyraża się wzorem

wektor siły (11.68)

(ε0 przenikalność dielektryczna próżni). Naturalnie jest to siła centralna o energii potencjalnej

energia potencjalna (11.69)

przy czym stała

stała (11.70)

Tor cząstki będzie więc hiperbolą. Wypiszemy prawa zachowania energii i momentu pędu dla chwili początkowej, gdy r = i

energia i pęd (11.71)

i dla pericentrum, gdzie

r min (11.72)

a prędkość cząstki wynosi v:

zasady zachowania energii i momentu pędu (11.73)

Trzeba stąd wyrugować v. Z pierwszego równania, po podzieleniu przez mv02/2 i przekształceniu

stosunek kwadratów prędkości (11.74)

gdzie dla skrócenia zapisu wprowadzono oznaczenie

stała (11.75)

Z równania momentów i wzoru na rmin

stosunek prędkości (11.76)

więc

zależność (11.77)

Stąd

związek (11.78)

Mnożąc obie strony przez b(1+cosφ), otrzymujemy

związek (11.79)

i po wymnożeniu i redukcji możemy znaleźć parametr zderzenia

parametr zderzenia (11.80)

Powrót do pierwotnych oznaczeń daje ostatecznie zależność

parametr (11.81)

zwaną wzorem Rutherforda. Jeżeli użyjemy innych cząstek o ładunku +ze, to

b (11.82)

Najmniejszą wartość rmin (dla zderzenia czołowego) określoną równaniem

z zasady zachowania energii (11.83)

czyli

r0 (11.84)

nazywamy klasycznym promieniem jądra. Na przykład dla cząstek α (z = 2) o energii kinetycznej równej 5 MeV rozproszonych przez złoto (Z = 79) otrzymujemy R0 = 4,6·10-14 m. W świetle współczesnych poglądów jest to wartość około 5 razy za duża.

zależność kąta rozproszenia (Rys. 11.16)

W powyższych wzorach m oznaczało masę cząstki rozpraszanej. W przypadku jąder lekkich nie wolno pomijać ruchu jądra. Zamiast m trzeba podstawić masę zredukowaną

masa zredukowana (11.85)

gdzie M oznacza masę jądra.

Dla jąder lekkich i małych parametrów zderzenia, tzn. gdy cząstka rozpraszana wnika do jądra, doświadczenia wykazują odstępstwa od prawa Coulomba. Na tak małych odległościach staje się widoczny wpływ jądrowych sił przyciągania między nukleonami, z których składa się i bombardowane jądro i cząstka α. Z tego względu najdogodniejsze do wyznaczania rozmiarów i struktury jąder atomów są nie podlegające oddziaływaniom jądrowym elektrony.