Zasady względności – JR

Zasady względności

Przyspieszenie ciał określone przez obserwatora w ruchomym układzie inercjalnym a’ jest takie samo jak w układzie nieruchomym, który oczywiście także jest inercjalny. Jeżeli mamy więcej układów inercjalnych, a wiemy, że może ich być nieskończenie wiele, to dla wszystkich poruszających się z nimi obserwatorów przyspieszenie danego ciała będzie takie samo.

Transformacje współrzędnych w układach inercjalnych postaci

transformacja Galileusza(16.2)

albo

transformacje Galileusza(16.3)

noszą nazwę transformacji Galileusza. Wielkości primowane odnoszą się do układu ruchomego, nieprimowane do nieruchomego, r0 jest wektorem położenia początku układu ruchomego, a vu jego prędkością. Transformacje Galileusza obejmują jeszcze ciche i wcale nie oczywiste założenie, że w obu układach czas płynie jednakowo.

czas płynie jednakowo(16.4)

Różniczkowanie transformacji współrzędnych prowadzi do transformacji (prawa dodawania) prędkości

klasyczna transformacja prędkości(16.5)

albo

transformacja prędkości(16.6)

oraz transformacji przyspieszenia

transformacje przyspieszenia(16.7)

Jeżeli początek układu ruchomego porusza się wzdłuż osi x układu nieruchomego, a osie obu układów są równoległe, to transformacje Galileusza przybierają prostą postać

uproszczona posać transformacji Galileusza(16.8)
transformacje Galileusza(Rys. 16.1)

podobnie prawo dodawania prędkości równoległych do osi x (v’ = v’x, v = vx)

transformacja prędkości(16.9)
transformacja prędkości(Rys. 16.2)

i przyspieszeń

transformacja przyspieszeń(16.10)

Przyspieszenie jest niezmiennikiem transformacji Galileusza.

transformacja przyspieszeń(Rys. 16.3)

Niezmienniczość przyspieszeń pociąga za sobą niezmienniczość sił

niezmienniczość siły(16.11)

czyli

niezmienniczość siły względem transformacji Galileusza(16.12)

przy milczącym założeniu niezmienniczości masy

niezmienniczość masy(16.13)

Wynika stąd, że we wszystkich układach inercjalnych prawa ruchu

druga zasada dynamiki Newtona(16.14)

mają taką samą postać. Podobnie będzie z prawami zachowania pędu

prawo zachowania pędu(16.15)

momentu pędu

prawo zachowania momentu pędu(16.16)

i energii

zasada zachowania energii mechanicznej(16.17)

cząstki lub układu cząstek. Niezmienniczość praw zachowania względem przesunięcia i obrotu wykazaliśmy już wcześniej. Transformacje Galileusza mają ścisły związek z jednorodnością i izotropowością przestrzeni i jednorodnością czasu.

Jeżeli prawa ruchu mają taką samą postać we wszystkich układach inercjalnych to i ruch przebiega w nich tak samo. Nie ma zjawiska mechanicznego, za pomocą którego można by wyróżnić jakiś układ inercjalny spośród innych np. uznać, że on właśnie jest nieruchomy, a inne ruchome. Wszystkie układy inercjalne są mechanicznie równoważne. Ten ważny wniosek stanowi treść zasady względności Galileusza.

 

 

16.2 Dodawanie wielkich prędkości

 

 

Transformacje Galileusza zawodzą przy wielkich prędkościach. Kryterium „wielkości” prędkości uzyskujemy porównując ją z największą znaną prędkością prędkością światła i w ogóle fal elektromagnetycznych w próżni c = 3·108 m/s.

Rozpad mezonów π. Jednym z produktów reakcji jądrowych wielkich energii mogą być obojętne mezony π0, które po około 10-16 s rozpadają się wysyłając promienie γ. Promienie γ są falami elektromagnetycznymi o bardzo małej długości fali, ich prędkość jest taka jak światła. Jeżeli w układzie laboratoryjnym mezony miały prędkość vu = 0,99975 c = 2,99718·108 m/s to z prawa dodawania prędkości wynika

klasyczne dodawanie prędkości(16.18)

Prędkość promieniowania w układzie laboratoryjnym powinna więc być prawie 2 razy większa niż w układzie ruchomym. Tymczasem pomiary wykazały

wynik dodawania relatywistycznego(16.19)
relatywistyczne dodawanie prędkości(Rys. 16.4)

Doświadczenie Michelsona Morleya. Jeżeli jako nieruchomy obieramy układ inercjalny związany ze Słońcem i w tym heliocentrycznym układzie prędkość światła wynosi c, to prędkość światła względem Ziemi c’ powinna zależeć od jej prędkości vu względem Słońca:

c prim(16.20)

przy czym

prędkość Ziemi(16.21)

Największą dokładność pomiaru uzyskamy stosując interferometr, w którym interferują ze sobą promienie światła po przebyciu dwóch jednakowych dróg L w prostopadłych ramionach przyrządu. Równolegle do ruchu Ziemi względna prędkość światła c’ wynosi c + vu lub c vu w zależności od kierunku biegu promienia. Czas przebycia przez światło drogi L do zwierciadła i z powrotem wynosi

czas(16.22)

W kierunku prostopadłym do ruchu Ziemi odejmowanie wektorów prowadzi do skalarnej zależności

c prim(16.23)

i czas przebycia drogi do zwierciadła i z powrotem będzie równy

czas(16.24)
interferometr Michelsona(16.24)

Różnica tych czasów

różnica czasów(16.25)

przy czym w liczniku skorzystaliśmy z przybliżenia:

przybliżenie(16.26)

a w mianowniku położyliśmy

przybliżenie(16.27)

Promień równoległy dochodzi do pola widzenia lunetki obserwacyjnej o Δt później niż prostopadły. Wynik interferencji będzie taki jak przy różnicy dróg

różnica dróg(16.28)

Warunkiem powstania jasnego prążka interferencyjnego jest, by różnica dróg była całkowitą wielkorotnością użytej długości fali światła λ (oczywiście oświetlamy interferometr światłem jednobarwnym):

warunek na jasny prążek(16.29)

Stąd liczba długości fal mieszcząca się w pozornej różnicy dróg

liczba długości fal(16.30)

Stosunek prędkości vu/c = 10-4 przy L/λ = 2·107 (światło żółte, L = 11m) da n = 0,2, czyli różnicę dróg 5 razy mniejszą niż długość fali. Zmiana różnicy czasów pociągnie za sobą zmianę różnicy dróg co z kolei spowoduje zmianę liczby n, której przejawem będzie przesuwanie się prążków w polu widzenia lunetki. Jeżeli obrócimy interferometr o 90°, to ramię równoległe do prędkości Ziemi stanie się ramieniem prostopadłym, a prostopadłe równoległym. Różnica czasów zmieni się o 2Δt, dróg o 2cΔt, a liczba n o Δn = 2n = 0,4. Obraz interferencyjny powinien się przesunąć o 0,4 odległości między prążkami. Dokładność metod interferencyjnych pozwala zaobserwować przesunięcie 40 razy mniejsze. Doświadczenie Michelsona Morleya przeprowadzone po raz pierwszy w roku 1887 powtarzano wielokrotnie w różnych wersjach, otrzymując za każdym razem wynik negatywny. Obrót interferometru nie dawał przesunięcia prążków interferencyjnych.

 

 

16.3 Zasada względności Einsteina

 

 

Opiasne wyżej doświadczenia wykazują, że prędkość fal elektromagnetycznych w próżni nie zależy od ruchu układu odniesienia i nie podlega wyprowadzonemu z transformacji Galileusza prawu dodawania prędkości. Prędkość światła jest niezmiennikiem transformacji. Ten doświadczalny fakt pociąga za sobą daleko idące konsekwencje.

stałość prędkości światła(Rys. 16.5)

Prędkość światła w próżni nie jest zwykłą prędkością; jako stała mianowana wchodzi do praw wielu działów fizyki przede wszystkim do elektrodynamiki. Niezmienność prędkości światła w różnych inercjalnych układach odniesienia oznacza, że prawa elektrodynamiki i optyki mają w nich tę samą postać. Wobec tego nie tylko zjawiska mechaniczne, ale także elektryczne i magnetyczne przebiegają jednakowo we wszystkich układach inercjalnych. Żadne z nich nie może służyć do wyróżnienia jakiegoś układu inercjalnego spośród innych.

Stałe elektromagnetyczne próżni.

Podstawowe prawo elektrostatyki prawo Coulomba, przedstawiające zależność siły oddziaływania między ładunkiem Q1 i Q2 od odległości r

siła coulombowska(16.31)

zawiera stałą zwaną przenikalnością dielektryczną próżni

przenikalność dielektryczna próżni(16.32)

Prawa magnetyzmu, np. zależność między indukcją magnetyczną B a natężeniem pola magnetycznego H w próżni

indukcja magnetyczna(16.33)

zawierają stałą zwaną przenikalnością magnetyczną próżni

przenikalność magnetyczna próżni(16.34)

Łatwo stwierdzić, że odwrotność pierwiastka z iloczynu tych stałych równa się prędkości światła w próżni:

prędkość światła(16.35)

Powyższa zależność wykazuje związek między prędkością światła (fal elektromagnetycznych) w próżni a jej podstawowymi właściwościami. Jeżeli prędkość światła jest niezmiennikiem transformacji, to także i stałe ε0 i μ0 (a ściślej ich iloczyn) mają tę samą wartość we wszystkich układach inercjalnych.

Prawa elektrodynamiki mają niezwykle szeroki zakres: od termodynamiki (promieniowanie cieplne), poprzez zjawiska elektromagnetyczne i optykę do fizyki atomu. Nawet siły tarcia są z nimi związane. Wobec tego niezmienniczość praw mechaniki i elektrodynamiki względem transformacji oznacza niezmienniczość praw fizyki. Zasadę względności Galileusza możemy zastąpić ogólniejszą zasadą względności Einsteina :

We wszystkich układach inercjalnych prawa fizyki mają taką samą postać i zjawiska fizyczne przebiegają jednakowo. Nie ma zjawiska fizycznego, za pomocą którego można by odróżnić jeden układ inercjalny od drugiego. Wszystkie układy inercjalne są fizycznie równoważne.