Zagadnienie dwu ciał – JR

Zagadnienie dwu ciał

10.1 Wiadomości wstępne
10.2 Ruch w polu grawitacyjnym i elektrostatycznym
10.3 Przykład: Stała Rydberga

10.1 Wiadomości wstępne

Obecnie sformułujemy i rozwiążemy tzw. zagadnienie dwu ciał, czyli zagadnienie ruchu dwu cząstek oddziałujących ze sobą przy braku sił zewnętrznych, tzn. gdy Fz = 0. Siły wewnętrzne między cząstkami zależą z reguły tylko od ich odległości, a nie od położenia w przestrzeni. Wygodnie więc będzie wprowadzić wektor

wektor r (10.1)

wskazujący od cząstki A do B o wartości bezwzględnej równej odległości między cząstkami. Zgodnie z naszymi założeniami na cząstkę A działa siła

siła (10.2)

a na cząstkę B siła

siła (10.3)

przy czym f(r) oznacza funkcję odległości między cząstkami zależną od charakteru oddziaływań, a r0 jest wektorem jednostkowym o kierunku r. Oczywiście

wektor r (10.4)

Jak widać, siły działające na cząstki są centralne.

[Rozmiar: 12950 bajtów] (Rys. 10.1)

Aby rozwiązać zagadnienie ruchu, tzn. znaleźć współrzędne i prędkość cząstek w funkcji czasu, trzeba scałkować równania ruchu:

równania ruchu (10.5)

Wygodniejszym dla opisu ruchu będzie inercjalny układ środka masy. Aby przejść do niego, trzeba skorzystać z transformacji przyspieszeń i uwzględnić inercjalność układu (as = 0);

transformacje przyspieszeń (10.6)

Stąd

równania ruchu (10.7)

W układzie środka masy równania ruchu mają niezmienioną postać. Ale położenia cząstek r’A i r’B nie są niezależne:

zależność (10.8)

i możemy je łatwo przedstawić w funkcji wektora

wektor (10.9)
związki (10.10)

Stąd

związki (10.11)

czyli

związki (10.12)
współrzędne cząstek (Rys. 10.2)

Z równania pędów

równanie pędów (10.13)

możemy otrzymać podobne zależności między prędkościami

zależności (10.14)

gdzie

prędkość (10.15)

oznacza różnicę wektorów prędkości obu cząstek.

Podstawmy teraz uzyskane wyrażenia na r’A i r’B do równań ruchu

zwiazek (10.16)
prędkości cząstek w układzie środka masy (Rys. 10.3)

W ten sposób wyrugowaliśmy współrzędne cząstek, zastępując je wektorem r. Wyrażenie

masa zredukowana (10.17)

nosi nazwę masy zredukowanej układu cząstek. Zauważmy przy okazji, że

związek (10.18)

Ostatecznie równanie ruchu przybiera postać

równanie ruchu (10.19)

Dla ustalenia związku między znakiem funkcji f(r) a kierunkiem siły, trzeba pamiętać, że prawa strona powyższego równania przedstawia siłę działającą na cząstkę B, a wektor r0 wskazuje od cząstki A do B. Jeżeli f(r) jest dodatnie, siła FB ma zwrot przeciwny do r0, to znaczy wskazuje w stronę cząstki A – cząstki się przyciągają. Przy f(r) < 0 siła FB wskazuje zgodnie z r0 – cząstki się odpychają.

W układzie środka masy równania ruchu cząstek A i B możemy zastąpić równaniem ruchu cząstki μ o masie równej masie zredukowanej układu pod działaniem siły centralnej FB(r). Promień wodzący cząstki μ równy r = rBrA odkładamy od środka masy w stronę cząstki B. Do opisania ruchu cząstki μ stosuje się układ biegunowy.

układ środka masy (Rys. 10.4)

Jak widać udało się nam zredukować zagadnienie dwu ciał do równania ruchu jednej cząstki o masie równej μ położonej w odległości r od środka masy układu. Oczywiście położenie to jest funkcją czasu. Zależność r(t), czyli tor takiej fikcyjnej cząstki znajdziemy przez całkowanie równania ruchu. Rachunek będzie taki sam jak przy ruchu pojedynczej cząstki pod działaniem siły centralnej. Wykorzystuje się przy tym całki ruchu, tzn. zasady zachowania momentu pędu i energii (zasady zachowania w układzie środka masy pozostają w mocy). Najdogodniejszy dla opisu ruchu będzie układ współrzędnych biegunowych z początkiem w środku masy. Prawo zachowania momentu pędu otrzymuje postać

zachowanie momentu pędu (10.20)

a prawo zachowania energii

prawo zachowania energii (10.21)

Indeks 0 oznacza wartości w chwili t0.

Tutaj może nasunąć się pytanie czy w prawach zachowania wolno utożsamiać cząstkę o masie μ i położeniu r z układem cząstek A i B. Wprawdzie wynika to wyraźnie z równania ruchu, ale bez większego trudu można wykazać słuszność takiego postępowania i w przypadku praw zachowania. I tak moment pędu

moment pędu w układzie środka masy (10.22)
moment pędu cząstki (Rys. 10.5)

co w układzie biegunowym ze względu na zerowanie się iloczymu wektora położenia i radialnej składowej pędu daje

moment pędu (10.23)

Podobnie energia kinetyczna

energia kinetyczna w układzie środka masy (10.24)

Przypomnijmy, że w układzie biegunowym

kwadrat prędkości (10.25)

co prowadzi do zapisanej wyżej postaci całki energii.

Aby otrzymać rozwiązanie, skorzystamy z gotowych wzorów dla pojedynczej cząstki podstawiając μ, L’0, E’0 zamiast m, L0, E0. Oczywiście trzeba też pamiętać, że wektor r oznacza w ruchu dwu ciał co innego niż w ruchu jednej cząstki. Prędkość radialna cząstki μ wynosi zatem

prędkość radialna (10.26)

przy czym podobnie jak poprzednio wprowadzamy efektywną energie potencjalną

efektywna energia potencjalna (10.27)

Równanie toru cząstki μ ma postać

równanie toru w układzie biegunowym (10.28)

Założyliśmy tu, że dla t = 0 r = r0 i φ = 0. Podobnie

czas (10.29)

Te dwie całki opisują ruch cząstki μ na płaszczyźnie prostopadłej do wektora momentu pędu. Po tej samej płaszczyźnie, przechodzącej przez środek masy, poruszają się obie cząstki układu. Ich tory można łatwo wyznaczyć z wzorów

wzory (10.30)

przy czym r = r(t) jest wektorowym równaniem toru cząstki równoważnym dwom równaniom skalarnym r = r(t) i φ = φ(t). Podobnie znajdujemy prędkości cząstek

związki (10.31)

gdzie

wektor prędkości (10.32)

uzyskamy przez różniczkowanie. Jak widać, w układzie środka masy tory obu cząstek są podobne, różnią się tylko rozmiarami. Zależność między prędkościami jest taka sama jak między promieniami wodzącymi. Jednocześnie względem dowolnego inercjalnego układu odniesienia środek masy porusza się jednostajnie po linii prostej, a przechodząca przez niego płaszczyzna względnych ruchów cząstek nie zmienia swojej orientacji. W tym układzie tory cząstek są opisane wzorami

związki (10.33)

a prędkości wzorami

zależności na prędkości (10.34)

 

 

10.2 Ruch w polu grawitacyjnym i elektrostatycznym

 

 

Jeżeli cząstki układu związane są ze sobą siłami przyciągania grawitacyjnego lub elektrostatycznego, to zależność energii potencjalnej od odległości jest hiperboliczna:

energia potencjalna (10.35)

W przypadku sił grawitacyjnych

alfa (10.36)

(G – stała grawitacji), a w przypadku sił elektrostatycznych

alfa (10.37)

(ε0 – przenikalność elektryczna próżni). Cząstka μ porusza się po krzywej opisanej równaniem

równanie toru (10.38)

której parametr

parametr (10.39)

a mimośród

mimośród (10.40)

Gdy energia całkowita E’0 < 0, tzn. gdy mimośród e < 1, torem będzie elipsa z jednym z ognisk w środku masy. Najmniejsza i największa odległość cząstki μ od centrum wynosi

min i max (10.41)
tory cząstek (Rys. 10.6)

Okres obiegu równy

okres obiegu (10.42)

zależy tylko od energii cząstki μ. W układzie środka masy rzeczywiste cząstki A i B poruszają się po elipsach, których rozmiary są związane z rozmiarami orbity cząstki μ tak samo jak współrzędne:

związki (10.43)

czyli

związki (10.44)

Okres i kierunek obiegu jest jednakowy dla wszystkich cząstek. Cząstka cięższa zakreśla mniejszą orbitę, cząstka lżejsza większą – obie w tym samym czasie. Cząstka cięższa porusza się wolniej, cząstka lżejsza szybciej, zgodnie z wzorami

związki (10.45)

Jeżeli różnica mas jest znaczna, np. mB << mA, to można w mianowniku powyższych wyrażeń pominąć masę mniejszej cząstki i wzory przybierają postać

przybliżenia (10.46)

Na przykład w układzie Ziemia – Księżyc mZ = 81 mK i użycie wzoru przybliżonego daje

Ziemia Księżyc (10.47)

podczas gdy z wzoru dokładnego mielibyśmy

Ziemia - Księżyc (10.48)

Oczywiście r = r’Kr’Z jest różnicą odległości środków obu ciał od środka masy układu.

Cząstki o jednakowych masach biegną po orbitach o jednakowych rozmiarach. Cząstka μ zakreśla orbitę podobną, ale większą.

tory cząstek (Rys. 10.7)

Jeżeli obie cząstki maja równe masy (mA = mB), to

związki (10.49)

orbity i prędkości są jednakowe.

 

 

10.3 Przykład: Stała Rydberga

 

 

Atom wodoru składa się z jądra (protonu) i elektronu. Masa jądra mp jest 1836,5 razy większa od masy elektronu me = 9,109·10-31 kg. Dodatni ładunek protonu i ujemny elektronu mają jednakową wartość e = 1,602·10-19 C. Wychodząc z założeń Bohra można ująć długość fal obserwowanych prążków wszystkich serii widma wodoru we wzorze

prążki (10.50)

gdzie h = 6,626·10-34 J·s jest stałą Plancka, ε0 = 8,854·10-12 A2· s4·m-3·kg-1przenikalnością dielektryczną próżni, n1 i n2 są (całkowitymi) wartościami tzw. głównej liczby kwantowej. Współczynnik

stała Rydberga (10.51)

nosi nazwę stałej Rydberga. Jeżeli wstawimy za me, e, h i ε0 najdokładniejsze zmierzone wartości to otrzymamy w wyniku obliczenia

wartość stałej Rydberga (10.52)

Obserwowana wartość doświadczalna dla widma wodoru wynosi

stała Rydberga (10.53)

Rozbieżność ta może się wydawać nieistotna, ale przy wielkiej dokładności współczesnych metod spektroskopowych ma zasadnicze znaczenie. Jej przyczyną jest przyjęcie centrum ruchu w środku protonu. Tymczasem masa protonu nie jest nieskończenie wielka w porównaniu z masą elektronu i atom wodoru trzeba traktować jak układ dwu ciał. Oznacza to, że do wzoru na stałą Rydberga zamiast masy elektronu należy wstawić masę zredukowaną.

masa zredukowana (10.54)

Wówczas stała Rydberga zmieni się:

poprawiona stała Rydberga (10.55)

Podstawiając me/mp = 1/1836,5 otrzymujemy wartość stałej zgodną z doświadczeniem.