Względność ruchu – JR

Względność ruchu

13.1 Wiadomości wstępne
13.2 Przykład: Wagon jako układ odniesienia
13.3 Transformacje parametrów ruchu

13.1 Wiadomości wstępne

 

Nie istnieje ruch absolutny. Opis ruchu jest możliwy tylko względem wybranego układu odniesienia, który traktujemy jako nieruchomy. Układ odniesienia jest związany z obserwatorem. Każdy obserwator wybiera sobie najdogodniejszy układ odniesienia. Poszczególni obserwatorzy mogą się względem siebie poruszać i wobec tego mamy do czynienia z ruchomymi układami odniesienia. Ruch jest względny każdy z obserwatorów traktuje swój układ jako nieruchomy, pozostałe zaś jako ruchome.

 

 

13.2 Przykład: Wagon jako układ odniesienia:

 

 

Jadąc pociągiem opisujemy ruch ciał względem układu odniesienia związanego z poruszającym się wraz z nami wagonem. Przedmioty za oknem słupy telegraficzne, domy, drzewa poruszają się względem nas w stronę przeciwną do kierunku jazdy. Traktowanie ich jako nieruchomych i rozpatrywanie ruchu ciała powiedzmy piłki, którą odbijamy o podłogę przedziału w związanym z nimi układem odniesienia byłoby bardzo niewygodne; np. prostoliniowy tor piłki zamieniłby się na szereg odcinków paraboli.

ruch względny(Rys. 13.1)

 

 

13.3 Transformacje parametrów ruchu

 

 

Ograniczmy się do dwóch obserwatorów i dwóch układów, z których jeden tzw. laboratoryjny będzie związany z nami, czyli nieruchomy. Położenie jakiejś cząstki w układzie nieruchomym określa wektor r, w układzie ruchomym r’. Ponieważ obserwator ruchomy odkłada wektor położenia od początku swojego układu, to oczywiste jest, że

związek między wektorami położenia(13.1)
transformacja(Rys. 13.2)

gdzie r0 oznacza wektor położenia początku układu ruchomego w układzie nieruchomym, czyli wektor łączący początki obu układów. Przemieszczenie dr cząstki względem układu nieruchomego będzie składało się z przesunięcia dr’ względem układu ruchomego i przemieszczenia dru wraz z układem, czyli przemieszczenia, jakiego doznałaby cząstka gdyby w nim spoczywała.

dr(Rys. 13.3)
dr(13.2)

Przemieszczenie dru można rozłożyć na przesunięcie równoległe, czyli translację i obrót wokół jakiejś osi, czyli rotację. Translacja jest przemieszczeniem bez obrotu wszystkie proste w układzie pozostają cały czas jednakowo skierowane, natomiast przy obrocie tylko jedna prosta zachowuje swój kierunek właśnie oś obrotu. Przemieszczenie cząstki wraz z układem jest sumą przemieszczeń związanych z translacją (t) i rotacją (r):

translacja i rotacja(13.3)

Przesunięcie równoległe drt jest dla wszystkich punktów układu takie samo. Wobec tego jest ono równe przesunięciu początku układu dr0. Przemieszczenie związane z obrotem jest iloczynem wektora obrotu dφ i promienia wodzącego. Zatem

dr(13.4)
przesunięcie i obrót(Rys. 13.4)

przy czym wyróżniliśmy przemieszczenie

dr prim(13.5)

związane z przesunięciem i obrotem końca wektora r’. Dzieląc stronami przez dt otrzymujemy transformację prędkości

transformacja prędkości(13.6)

lub

transformacja prędkości(13.7)

gdzie v oznacza prędkość cząstki względem układu nieruchomego, v’ względem ruchomego, a vu = v0 + ω×r’ prędkością unoszenia złożoną z prędkości translacji (v0) i prędkości rotacji ω×r’, ω jest prędkością kątową obrotu układu. Ze względu na to, że prędkość kątowa jest wektorem osiowym jednakowym dla całego układu, powyższe wzory pozostają w mocy przy dowolnie obranym początku układu, nawet gdy oś obrotu przez niego nie przechodzi.

składowe prędkości(Rys. 13.5)

Zróżniczkujmy teraz obustronnie transformację prędkości

transformacja(13.8)

Rozpatrzymy poszczególne wyrazy. Wektor a = dv/dt jest przyspieszeniem cząstki względem układu nieruchomego. Gdyby układ się nie obracał wyrażenie dv’/dt przedstawiałoby po prostu przyspieszenie a’ względem układu ruchomego.

Obrót układu pociąga za sobą obrót wektora prędkości względnej v’. Podobnie jak to było z wektorem położenia, przemieszczenie końca wektora składa się z translacji i rotacji

d v prim(13.9)

Stąd

transformacja przyspieszeń(13.10)

przy czym tylko translacyjna część przyspieszenia dv’t/dt = a’ jest przyspieszeniem cząstki względem układu ruchomego. Składnik rotacyjny jest przyspieszeniem koniecznym do tego, żeby wektor v’ obracał się wraz z układem.

Kolejna pochodna dv0/dt = a0 oznacza przyspieszenie początku układu ruchomego. Następujący po niej iloczyn

przyspieszenie styczne(13.11)

jest przyspieszeniem stycznym związanym z obrotem układu. Wreszcie w ostatnim iloczynie trzeba uwzględnić związek (13.5), z którego wynika

pochodna(13.12)

Stąd

przyspieszenie(13.13)

Podwójny iloczyn wektorowy prędkości kątowej i prędkości rotacyjnej ω×(ω×r’) jest wektorem o wartości ω2r’ prostopadłym zarówno do wektora ω (kierunek osi), jak do ω×r’ (kierunek prostopadły do promienia r’), wobec tego jest skierowany wzdłuż promienia obrotu i może być tylko przyspieszeniem dośrodkowym, wynikającym z obrotu cząstki wraz z układem. Zatem

przyspieszenie dośrodkowe(13.14)
przyspieszenie dośrodkowe(Rys. 13.6)

Ostatni wektor związany z ruchem cząstki względem obracającego się układu

przyspieszenie Coriolisa(13.15)

nosi nazwę przyspieszenia Coriolisa.

Przyspieszenie Coriolisa jest prostopadłe do prędkości względnej i kątowej, co przedstawia poniższy rysunek

przyspieszenie Coriolisa(Rys. 13.7)

Jeżeli cząstka w układzie ruchomym spoczywa, to przyspieszenie Coriolisa jest równe zeru i oprócz przyspieszenia względnego pozostaje po prawej stronie suma

przyspieszenie unoszenia(13.16)

którą, podobnie jak to było z prędkością, nazwiemy przyspieszeniem unoszenia. Przyspieszenie w układzie nieruchomym

przyspieszenie w układzie nieruchomym(13.17)

jest więc wektorową sumą przyspieszeń: względnego, unoszenia i Coriolisa.

przyspieszenie bezwzględne(Rys. 13.8)