Wzajemność oddziaływań – JR

Wzajemność oddziaływań

8.1 Wiadomości wstępne
8.2 Moment pędu układu
8.3 Energia układu

8.1 Wiadomości wstępne

Dotąd rozpatrywaliśmy ruch pojedynczej cząstki pod wpływem działających na nią sił. Znając zależność wypadkowej tych sił od czasu, położenia i prędkości cząstki mogliśmy ułożyć i rozwiązać równanie ruchu, tzn. znaleźć położenie i prędkość w funkcji czasu. Często udawało się skrócić rachunki stosując prawa zachowania pędu, momentu pędu i energii.

W przypadku dwóch cząstek o masach mA, mB musimy ułożyć i rozwiązać dwa równania ruchu. Jak zwykle trzeba zacząć od ustalenia położenia cząstek w obranym układzie odniesienia opisanego wektorami rA i rB. Na każdą cząstkę działają siły zewnętrzne o wypadkowych FzA i FzB i siły wewnętrzne, czyli siły oddziaływania FAB i FBA. Na cząstkę A działa więc siła

siła FA(8.1)

a na cząstkę B:

siła FB(8.2)
siły(Rys. 8.1)

W ogólnym przypadku siły te zależą od położeń i prędkości cząstek, a także od czasu:

fafb(8.3)

Równania ruchu mają postać:

równania ruchu(8.4)

Ze względu na to, że każde równanie wektorowe jest równoznaczne trzem równaniom skalarnym, równania ruchu dwóch cząstek stanowią układ sześciu równań różniczkowych drugiego rzędu. Całkując je z uwzględnieniem warunków początkowych

warunki początkowe(8.5)

otrzymamy równania

równania (8.6)

Podobnie jak w przypadku pojedynczej cząstki równania ruchu możemy przedstawić w formie

siła jako pochodna pędu względem czasu(8.7)

gdzie

pędy(8.8)

oznaczają pędy cząstek. Oczywiście jeżeli wypadkowa sił działających na cząstkę równa się zeru, to jej pęd pozostaje stały. Dodajmy teraz stronami równania ruchu obu cząstek (8.1) i (8.2)

suma wektorów sił(8.9)

czyli

suma wektorów sił(8.10)

sumę pędów

pęd układu(8.11)

określimy jako pęd układu.

Natomiast

wypadkowa sił zewnętrznych(8.12)

jest wypadkową (sumą) sił zewnętrznych działających na układ, a

wektorowa suma sił wewnętrznych(8.13)

sumą sił wewnętrznych. Dla układu jako całości prawo ruchu przedstawia się więc następująco:

dla układu jako całości(8.14)

Zobaczmy teraz, co się dzieje, gdy siły zewnętrzne nie działają lub równoważą się. Gdy Fz = 0, to po prawej stronie równania pozostaje tylko wypadkowa sił wewnętrznych

zerowanie się siły zewnętrznej(8.15)

Czemu równa się suma sił wewnętrznych? Doświadczenie uczy, że wszystkie oddziaływania są wzajemne. Jeżeli mierzę za pomocą dynamometru siłe, jaką moja ręka ciągnie klocek, to dynamometr mierzy równocześnie siłę, jaką klocek wywiera na rękę. Obie te siły są równe i przeciwnie skierowane. Jeżeli jakaś cząstka podlega oddziaływaniu – przyciąganiu czy odpychaniu – ze strony innej cząstki, to ze swej strony działa na nią siłą taką samą, tylko przeciwnie skierowaną. Jest to prawo akcji i reakcji, albo trzecia zasada dynamiki Newtona. Zatem:

trzecia zasada dynamiki Newtona(8.16)

Aby uniknąć nieporozumienia, trzeba pamiętać, że każda z tych równych sobie sił działa na inne ciało.

Jeżeli natomiast dwie cząstki stanowią układ, to siły zewnętrzne możemy zastąpić wypadkową (sumą) Fz. Sumę pędów cząstek uważamy za pęd układu. Siły wewnętrzne znoszą się.

układ cząstek(Rys. 8.2)

Przykład: Zagadka ruchu. Jeżeli działanie i przeciwdziałanie znoszą się wzajemnie, to w jaki sposób siła może spowodować ruch ciała? Przede wszystkim przypomnijmy, że ciało może się poruszać nawet wtedy, gdy nie działają siły zewnętrzne. Będzie to oczywiście ruch jednostajny i prostoliniowy. W naszym przypadku chodzi jednak o spowodowanie ruchu, czyli o nadanie ciału przyspieszenia, a do tego konieczne jest, aby wypadkowa sił zewnętrznych była różna od zera. I tak rzeczywiście jest, mimo równości akcji i reakcji. Na przyspieszane ciało – np. sanki ciągnięte przez dziecko – działa z jednej strony siła jaką się je ciągnie, a z drugiej opory ruchu, mianowicie siła tarcia między ciałem a podłożem i opór ośrodka. Jedynym warunkiem ruchu przyspieszonego jest aby wypadkowa tych sił była większa od zera, czyli żeby siła ciągnąca była większa niż opory ruchu. Trzecia zasada dynamiki jest przy tym spełniona, bo ciało ciągnięte oddziałuje na obiekt który je ciągnie – np. sanki na dziecko – siłą taką samą, tylko przeciwnie skierowaną, a także wywiera na podłoże i ośrodek, w którym się porusza, siły przeciwne do oporów ruchu. Wszystkie te siły przeciwdziałania mogą wpływać na ruch tylko tych obiektów, na które działają, a więc nie mają wpływu na ruch rozpatrywanego ciała. W każdym punkcie, gdzie dochodzi do kontaktu ciała z otoczeniem, mamy do czynienia z dwójkami równych sobie i przeciwnie skierowanych sił, ale przy ruchu przyspieszonym siły z różnych dwójek nie są sobie równe i wypadkowa sił działających na ciało jest różna od zera.

ilustracja trzeciej zasady dynamiki(Rys. 8.3)

Równość (8.16) można zapisać inaczej:

równość(8.17)

Suma sił oddziaływania między cząstkami tworzącymi układ jest równa zeru. Wobec tego przy braku sił zewnętrznych równanie ruchu układu przejdzie w

zależność(8.18)

co oznacza, że pęd układu nie zmienia się:

stałość wektora pędu(8.19)

Jest to zasada zachowania pędu układu dwóch cząstek. Można ją napisać w formie

zasada zachowania pędu w formie różniczkowej(8.20)

W układzie odosobnionym (Fz = 0) przyrost pędu jednej cząstki jest równy ubytkowi pędu drugiej.

Przykład: Napęd odrzutowy. W czasie dt z dyszy silnika rakiety wylatują gazy spalinowe o masie

dms(8.21)

Prędkość gazów względem rakiety wynosi u, aktualna prędkośc rakiety v, a jej masa wraz z paliwem jest równa m. Przy braku oddziaływań zewnętrznych, jak opory ruchu, czy siła ciężkości, pęd układu złożonego z rakiety i wyrzuconych gazów musi być zachowany. Przyrost pędu rakiety równa się więc ubytkowi pędu wyrzuconych gazów, czyli po prostu iloczynowi ich masy i prędkości względem rakiety:

rakieta(8.22)

W nawiasie po lewej stronie decydującym składnikiem jest masa rakiety i masę gazów wyrzuconych w czasie dt można pominąć. Stąd

rakieta(8.23)

Masa wyrzuconych gazów jest równa ubytkowi masy rakiety

rakieta(8.24)

Wobec tego

rakieta(8.25)
rakieta(Rys. 8.4)

czyli

rakieta(8.26)

Otrzymaliśmy różniczkowe równanie ruchu rakiety. Całkowanie z uwzględnieniem warunków początkowych (dla t = 0, m = m0 i v = v0) daje

rakieta równanie różniczkowe ruchu(8.27)

czyli

wzór Ciołkowskiego(8.28)

Otrzymaliśmy tzw. wzór Ciołkowskiego. Prędkość końcowa rakiety jest tym większa, im większa jest prędkość wylotu spalin. Przez m rozumie się masę końcową. Prędkość wylotu gazów spalinowych nie przekracza 4 km/s (produkty spalania wodoru w tlenie). Uzyskanie prędkości kosmicznych wymaga ogromnego stosunku mas. I tak, aby uzyskać v = 8km/s przy u = 3 km/s, stosunek mas musi wynosić m0/m = exp(v/u) = 14,3. Żeby wynieść na orbitę sztucznego satelitę o masie 1t, trzeba postawić na starcie rakietę o masie 14,3 t. Masa użyteczna będzie oczywiście znacznie mniejsza niż 1 t, bo trzeba odliczyć masę zbiorników po wypalonym paliwie. Aby uzyskać v = 11 km/s masa startowa musi być 39,2 razy większa niż końcowa. Wynikające stąd trudności konstrukcyjne udało się pokonać dzięki użyciu rakiet wielostopniowych o znacznie korzystniejszym stosunku mas.

Jeżeli nie można pominąć siły ciężkości, to przyspieszenie swobodnego spadku dodaje się wektorowo do przyspieszenia odrzutu. Przy starcie pionowym

ruch rakiety w polu grawitacyjnym(8.29)

Warunkiem wznoszenia się rakiety jest dv/dt > 0 czyli μu > mg. Iloczyn

siła ciągu(8.30)

nazywamy siłą ciągu. Start pionowy może nastąpić, gdy siła ciągu jest większa od ciężaru rakiety. Siła ciągu rakiety Saturn 5 była 1,5 razy większa niż jej ciężar startowy.

siła ciągu(Rys. 8.5)

Suma sił wewnętrznych zeruje się niezależnie od tego, czy na układ działają siły z zewnątrz czy nie. Jeżeli Fz ≠ 0, to równanie ruchu układu przyjmuje postać

druga zasada dynamiki Newtona(8.31)

czyli

wektor dp(8.32)

albo po scałkowaniu

całka(8.33)

Przyrost pędu układu równa się popędowi wypadkowej sił zewnętrznych.

popęd siły(Rys. 8.6)

Suma zmian pędów cząstek, czyli zmiana pędu układu ma kierunek wypadkowej sił zewnętrznych. Równanie ruchu układu ma taką samą postać jak dla pojedynczej cząstki.

 

 

8.2 Moment pędu układu

 

 

Wróćmy teraz do równań ruchu poszczególnych cząstek i pomnóżmy je obustronnie przez wektory położenia

moment pędu(8.34)

Dodanie do lewej strony każdego równania wektora

zero(8.35)

nie zmienia ich słuszności. Ale

pochodna momentu pędu(8.36)

jest pochodną momentu pędu L cząstki względem początku układu współrzędnych. Iloczyny wektorowe po prawej stronie oznaczają momenty sił działających na cząstki. Stąd

układ równań(8.37)

gdzie przez Mz oznaczono moment działających na cząstkę sił zewnętrznych, a przez Mw moment sił wzajemnego oddziaływania. Dodając stronami oba równania otrzymujemy

suma momentów sił(8.38)

Moment znoszących się wzajemnie sił wewnętrznych musi być równy zeru. Istotnie

moment sił wewnętrznych(8.39)
moment sił wewnętrznych(Rys. 8.7)

bo wektor rArB ma kierunek łączącej B z A, wzdłuż której działają siły FAB i FBA. Wprowadzając całkowity moment pędu układu

całkowity moment pędu układu(8.40)

otrzymujemy ostatecznie

moment sił zewnętrznych(8.41)
suma zmian momentów pędu cząstek(Rys. 8.8)

Suma zmian momentów pędu cząstek, czyli zmiana momentu pędu układu ma kierunek wypadkowego momentu sił zewnętrznych. Równanie obrotowego ruchu układu ma taką samą postać jak dla pojedynczej cząstki.

Pochodna momentu pędu układu równa się momentowi wypadkowej sił zewnętrznych. Stąd

dL(8.42)

i po scałkowaniu

zależność(8.43)

przyrost momentu pędu równa się popędowi momentu siły. Jeżeli momenty sił zewnętrznych znoszą się (Mz = 0), to

stałość wektora momentu pędu(8.44)

Moment pędu układu, na który nie działają momenty sił zewnętrznych, pozostaje stały. Jest to prawo zachowania momentu pędu dla układu dwu cząstek.

 

 

8.3 Energia układu

 

 

Mechaniczna energia układu jest sumą kinetycznych i potencjalnych energii obu cząstek. Energia kinetyczna jest równa

suma energii kinetycznych(8.45)

Z uwagi na równość

pochodna energii kinetycznej względem czasu(8.46)

mamy też

szybkość zmian energii kinetycznej układu(8.47)

Stąd zmiana energii kinetycznej układu

zmiana energii kinetycznej układu(8.48)

i po scałkowaniu

przyrost energii kinetycznej(8.49)

Zmiana energii kinetycznej układu jest równa całkowitej pracy sił działających na układ.

Jeżeli siły FA i FB są zachowawcze, to ich praca nie zależy od kształtu drogi sA i sB obu cząstek. Istnieje wówczas energia potencjalna zdefiniowana wzorem

definicja energii potencjalnej(8.50)

czyli

praca a energia potencjalna(8.51)

gdzie

energia potencjalna(8.52)

stąd

zasada zachowania energii dla układu cząstek(8.53)

albo

zasada zachowania energii dla układu cząstek(8.54)

Otrzymaliśmy zasadę zachowania energii dla układu dwu cząstek. Zasada ta jest spełniona, gdy siły działające na cząstki nie zależą jawnie od czasu ani od prędkości.

Jeżeli na układ działają także siły niezachowawcze F’, to

szybkość zmian energii kinetycznej siły niezachowawcze(8.55)

Stąd

zmiana całkowitej energii mechanicznej(8.56)

albo

praca sił niezachowawczych(8.57)

Zmiana całkowitej energii mechanicznej układu równa się pracy sił niezachowawczych.