Układ N cząstek – JR

Układ N cząstek

20.1 Wiadomości wstępne
21.2 Równania ruchu
21.3 Środek masy
21.4 Ruch środka masy
21.5 Prawo zachowania pędu
21.6 Prawo zachowania momentu pędu
21.7 Prawo zachowania energii
21.8 Układ środka masy

21.1 Wiadomości wstępne

Położenie cząstki określaliśmy przez podanie wektora r, którego składowe były współrzędnymi liniowymi cząstki. Aby określić położenie układu N cząstek, trzeba podać N wektorów położenia, czyli 3N współrzędnych. Liczbę niezależnych współrzędnych, które musimy podać, żeby jednoznacznie określić położenie układu nazywamy liczbą stopni swobody. Układ, o którym mówimy, ma więc f = 3N stopni swobody.

liczba stopni swobody(Rys. 21.1)

Mogą być nimi dowolne współrzędne i w ogóle dowolne wielkości, byle tylko położenie układu dało się za ich pomocą określić. Wielkości q1, q2, q3, …, qf w pełni charakteryzujące położenie układu noszą nazwę współrzędnych uogólnionych.

Do pełnego scharakteryzowania mechanicznego stanu układu trzeba jeszcze wprowadzić pochodne współrzędnych względem czasu, czyli prędkości uogólnione

prędkości uogólnione(21.1)

Mamy więc f uogólnionych współrzędnych qi i tyleż samo uogólnionych prędkości vi w sumie 2f parametrów stanu, czyli wielkości w pełni charakteryzujących mechaniczny stan układu cząstek.

Aby określić ruch, trzeba rozwiązać 3N równań ruchu. Dynamika układu cząstek wynika z praw ruchu pojedynczej cząstki.

 

 

21.2 Równania ruchu

 

 

 

Siły działające na cząstki możemy podzielić na pochodzące, od ciał spoza układu, czyli zewnętrzne Fz i pochodzące od innych cząstek układu, czyli wewnętrzne Fw.

siły(Rys. 21.2)

Na cząstkę numer i o masie mi działa siła zewnętrzna Fiz i siła wewnętrzna Fiw równa sumie oddziaływań ze strony innych cząstek ponumerowanych dla odróżnienia od danej cząstki wskaźnikiem j. Zatem

siły zewnętrzne i wewnętrzne(21.2)

Równanie ruchu cząstki i ma postać

równanie ruchu cząstki i(21.3)

gdzie

pęd cząstki(21.4)

jest pędem cząstki. Jeżeli vi jest prędkością uogólnioną, to pi nosi nazwę pędu uogólnionego.

Sumując równania ruchu cząstek otrzymamy prawo ruchu układu

suma(21.5)

Sumę pędów cząstek

pęd układu(21.6)

określimy jako pęd układu. Wobec tego lewa strona równania ruchu

pochodna pędu po czasie(21.7)

Sumę sił zewnętrznych działających na poszczególne cząstki można zastąpić jedną siłą Fz przyłożoną do układu jako całości

siła zewnętrzna(21.8)

Nazywamy ją wypadkową sił zewnętrznych.

Oddziaływania między cząstkami są wzajemne. Jeżeli cząstka j działa na cząstkę i siłą Fij, to cząstka i oddziałuje na cząstkę j siłą Fji taką samą i przeciwnie skierowaną (trzecia zasada dynamiki), czyli

siły(21.9)

Każda cząstka oddziałuje z każdą pozostałą, więc zarówno sił Fij, jak i Fji jest tyle ile cząstek, to znaczy N. Połowa z nich to siły działania, a druga siły przeciwdziałania. Suma sił wewnętrznych

suma sił wewnętrznych(21.10)

jest równa zeru. Wynika stąd, że wypadkowa sił zewnętrznych jest równa sumie F wszystkich sił działających na cząstki wchodzące w skaład układu – i zewnętrznych i wewnętrznych.

Możemy teraz przepisać równanie ruchu w postaci

równanie ruchu(21.11)
zmiana wypadkowego pędu(Rys. 21.3)

formalnie identycznej jak dla pojedynczej cząstki. Musimy jednak pamiętać, że p oznacza pęd układu, czyli sumę pędów cząstek, a F jest wypadkową sił zewnętrznych.

Oczywiście

zasada dynamiki(21.12)

gdzie

przyspieszenie i tej cząstki(21.13)

jest przyspieszeniem i tej cząstki.

 

 

21.3 Środek masy

 

 

 

Rozwiązaniem równania ruchu jest równanie toru, czyli zależność położenia od czasu. Pełne rozwiązanie musi zawierać tory i prędkości wszystkich cząstek. Jednak pewne pojęcie o ruchu układu jako całości możemy uzyskać rozpatrując ruch odpowiednio wybranego punktu środka masy układu. Jeżeli środek masy ma reprezentować układ, to pod wpływem wypadkowej sił zewnętrznych musi poruszać się jak cząstka o masie m równej masie układu. Oznaczając przyspieszenie tej cząstki przez as, mamy

siła(21.14)

albo

przyspieszenie środka masy(21.15)

Całkując przyspieszenie as, otrzymamy prędkość

prędkość środka masy(21.16)

i położenie

wektor położenia środka masy(21.17)

środka masy układu.

układ cząstek(Rys. 21.4)

Iloczyn miri nazywamy momentem statycznym albo momentem masy względem początku układu. Wektor położenia środka masy jest równy sumie momentów mas cząstek podzielonej przez sumę mas, czyli masę układu.

 

 

21.4 Ruch środka masy

 

 

 

Z definicji środka masy wynika, że jego pęd

pęd środka masy a pęd układu(21.18)

jest równy pędowi układu. Równanie ruchu układu można więc napisać w formie

równanie ruchu dla układu cząstek(21.19)

która jest równaniem ruchu środka masy. Całkując to równanie można znaleźć jego prędkość i tor. Na przykład gdy wypadkowa sił zewnętrznych F = F0 = const, to

związek(21.20)

i z całkowania otrzymujemy

prędkość i położenie środka masy(21.21)

gdzie v0 i r0 oznaczają prędkość i położenie środka masy w chwili t t0. Pod działaniem stałej wypadkowej sił zewnętrznych układ porusza się po paraboli. Gdy F0 || v0, ruch środka masy jest jednostajnie przyspieszony i prostoliniowy.

ruch jednostajny prostoliniowy(Rys. 21.5)

 

 

21.5 Prawo zachowania pędu

 

 

 

Prawo ruchu środka masy można przepisać w formie

prawo ruchu środka masy(21.22)

i scałkowac w granicach od t = t0 (p = p0) do t:

przyrost pędu(21.23)

Przyrost pędu środka masy (a więc i układu) równa się popędowi wypadkowej sił zewnętrznych. Gdy ta wypadkowa jest równa zeru (układ odosobniony), pęd pozostaje stały.

zasada zachowania pędu środka masy(21.24)

Jest to zasada zachowania pędu środka masy. Z definicji pędu wynika, że wówczas vs = v0 = const oraz

wektor położenia środka masy(21.25)

gdzie r0 oznacza położenie środka masy w chwili t = t0. Środek masy układu odosobnionego porusza się jednostajnie i prostoliniowo niezależnie od tego jak poruszają się przy tym cząstki układu.

 

 

21.6 Prawo zachowania momentu pędu

 

 

 

Momentem pędu i tej cząstki względem przechodzącej przez początek układu osi prostopadłej do płaszczyzny utworzonej przez wektory pędu i położenia jest iloczyn

moment pędu i - tej cząstki(21.26)

a momentem działających na cząstke sił

moment sił działających na cząstkę(21.27)

Pochodna momentu pędu równa się momentowi sił

pochodna momentu pędu(21.28)

Zsumujemy powyższe związki dla wszystkich cząstek

suma(21.29)

Sumę momentów pędu określimy jako moment pędu układu

moment pędu układu(21.30)

a sume momentów jako wypadkowy moment sił działających na układ. Znajdźmy jego wartość:

wypadkowy moment sił(21.31)

ΣFij oznacza sumę sił wewnętrznych działających na tę samą i tą cząstkę. W stosunku do tego sumowania wektor położenia cząstki jest stały i można go wciągnąć pod znak sumy. Wówczas

związek(21.32)

bo, jak już wykazaliśmy, suma sił wewnętrznych w ukadzie

zerowanie się sił wewnętrznych(21.33)

Zatem

wypadkowy moment sił(21.34)

Wypadkowy moment sił jest równy sumie momentów działających na cząstki sił zewnętrznych. W rezultacie dla całego układu otrzymujemy

pochodna momentu pędu(21.35)

Pochodna momentu pędu układu jest równa wypadkowemu momentowi sił. Jest to równanie obrotowego ruchu układu. Oczywiście

związek(21.36)

i po scałkowaniu

popęd momentu siły(21.37)

Zmiana momentu pędu układu równa się popędowi momentu sił.

Jeżeli moment działających na układ sił jest równy zeru, moment pędu układu pozostaje stały.

stałość momentu pędu(21.38)

Jest to zasada zachowania momentu pędu. Moment pędu zachowuje stałą wartość i kierunek.

Przykład: Układ Słoneczny. Planety krążą dookoła Słońca pod wpływem sił centralnych, których moment względem początku układu jest równy zeru. Wobec tego moment pędu układu pozostaje stały co do wartości i kierunku, podobnie jak momenty pędu planet. Momenty pędu związane z wirowaniem planet wokół własnych osi są tak małe, że można je pominąć.

układ Słoneczny(Rys. 21.6)

 

 

21.7 Prawo zachowania energii

 

 

 

Poszczególne cząstki mają energię kinetyczną

energia kinetyczna i - tej cząstki(21.39)

Kinetyczna energia układu jest sumą kinetycznych energii cząstek

energia kinetyczna układu(21.40)

Zróżniczkujmy powyższy związek:

pochodna energii kinetycznej po czasie(21.41)

Pochodna kinetycznej energii cząstki jest mocą wypadkowej sił rozpędzających cząstki

pochodna(21.42)

Dla całego układu

moc(21.43)

Stąd

dek(21.44)

i po scałkowaniu (wystarczy to zrobić pod znakiem sumy)

przyrost energii kinetycznej układu(21.45)

gdzie Ek0 oznacza energię początkową (w chwili t0), a Wi jest pracą działającej na i tą cząstkę siły. Zmiana energii układu jest równa sumarycznej pracy przyłożonych sił. Jeżeli ta praca jest równa zeru, to

stałość energii kinetycznej(21.46)

energia kinetyczna zachowuje stałą wartość. Warunkiem zerowania się pracy sił Fi jest, by

suma(21.47)

czyli by siły działały prostopadle do prędkości cząstek bądź też były równe zeru.

siły prostopadłe do prędkości(Rys. 21.7)

Działające na układ siły mogą być potencjalne, a w szczególności mogą mieć wszystkie ten sam potencjał U. Wówczas

siła jako gradient(21.48)

Jeżeli potencjał nie zależy od czasu (siły zachowawcze), to potencjał jest po prostu energią potencjalną Ep:

siła jako gradient(21.49)

a sumaryczna moc

związek(21.50)

i możemy napisać

dek(21.51)

Po scałkowaniu

zasada zachowania energii(21.52)

albo

zasada zachowania energii(21.53)

gdzie E0 jest początkową energią mechaniczną układu.

Otrzymaliśmy zasadę zachowania energii mechanicznej. Mechaniczna energia układu, na który działają siły zachowawcze pozostaje stała.

stałość energii mechanicznej(Rys. 21.8)

Jeżeli na układ działają także siły niezachowawcze F’i to szybkość zmian energii kinetycznej

dla sił niezachowawczych(21.54)

Stąd

związek(21.55)

gdzie przez W’ oznaczono sumaryczną pracę sił niezachowawczych. Stąd

praca sił niezachowawczych(21.56)

zmiana mechanicznej energii układu jest równa pracy sił niezachowawczych.

Działaniu sił niezachowawczych towarzyszy przemiana energii mechanicznej w inne formy, jak energia cieplna lub elektromagnetyczna. Jeżeli weźmiemy je pod uwagę, to okaże, się że mimo niezachowania energii mechanicznej prawo zachowania energii jest spełnione.

zmiana energii mechanicznej(Rys. 21.9)

Energia całkowita, czyli suma mechanicznej i niemechanicznej energii układu odosobnionego pozostaje stała.

 

 

21.8 Układ środka masy

 

 

 

Stwierdziliśmy, że układ cząstek można zastąpić pojedynczą cząstką o masie układu umieszczoną w środku masy. Całkowanie równań ruchu można często uprościć posługując się całkami ruchu, czyli prawami zachowania pędu, momentu pędu i energii, które ruch takiej cząstki spełnia. Aby jednak wyznaczyć ruch poszczególnych cząstek układu, musimy określić ich ruch względem środka masy. W tym celu wprowadzamy układ współrzędnych o początku w środku masy, czyli układ środka masy. Opis ruchu w takim układzie jest szczególnie prosty.

W dalszym ciągu wielkości odnoszące się do układu środka masy będziemy oznaczali kreską, wielkości wyznaczone w dowolnym układzie nieprzyspieszonym (laboratoryjnym) tak samo jak dotąd.

Położenie w układzie laboratoryjnym wiąże się z położeniem w układzie środka masy za pomocą oczywistej transformacji

transformacja(21.57)
związek(Rys. 21.10)

Transformacje prędkości zależą od tego, czy środek masy porusza się ruchem jednostajnym czy przyspieszonym. Najcząściej ograniczamy się do pierwszego przypadku. Układ środka masy jest wówczas inercjalny. Transformacja prędkości ma postać

transformacja prędkości(21.58)

a transformacja przyspieszenia

transformacja przyspieszeń(21.59)

Tak samo transformują się siły

transformacja siły(21.60)

Siły nie zmieniają się w układzie środka masy. Inaczej zachowuje się moment siły

transformacja momentu siły(21.61)

Zsumujmy to na wszystkie cząstki układu

suma(21.62)

Przy sumowaniu położenie środka masy jest stałe, można więc wyłączyć rs przed znak sumy. Ponadto sumę iloczynów wektorów położenia w układzie środka masy przez siły można uważać za moment sił M’ względem środka masy. Wobec tego

transformacja momentu siły(21.63)
moment sił(21.64)

Ponieważ jako początek układu laboratoryjnego można wybrać dowolny punkt, przeto powyższe twierdzenie można sformułowac tak:

Moment sił działających na układ względem dowolnego punktu równa się sumie momentu względem tego samego punktu zaczepionej w środku masy wypadkowej tych sił i wypadkowego momentu sił względem środka masy.

Podobnego twierdzenia można dowieść w odniesieniu do momentu pędu. Wypadkowy moment siły działającej na układ jest równy czasowej pochodnej momentu pędu. Przekształcając transformację momentu siły

przekształcenia(21.65)

i biorąc pod uwagę, że iloczyn

równość(21.66)

jest momentem pędu środka masy, a suma momentów pędu względem środka masy momentem pędu układu względem środka masy, możemy napisać

transformacja momentu pędu(21.67)

Moment pędu układu względem dowolnego punktu jest równy sumie momentu pędu środka masy względem tego punktu i momentu pędu układu względem środka masy.

transformacja momentu pędu(Rys. 21.11)

Znajdźmy jeszcze transformację energii kinetycznej, czyli prawo Königa dla układu N cząstek. Przekształcając wyrażenie na moc

moc(21.68)

Ponieważ prędkość środka masy vs jest stałą względem sumowania, możemy ją wyrzucić przed znak sumy. Iloczyn

suma(21.69)

jest mocą wypadkowej siły rozpędzającej środek masy, czyli pochodną jego energii kinetycznej. Iloczyn

suma(21.70)

jest sumaryczną mocą sił rozpędzających cząstki w układzie środka masy, czyli pochodną energii kinetycznej układu cząstek względem środka masy. Ostatecznie

związek(21.71)

czyli przy zerowych stałych całkowania

energia kinetyczna układu cząstek(21.72)

Energia kinetyczna układu cząstek jest równa sumie energii kinetycznej środka masy i energii ruchu układu względem środka masy.

Twierdzenie Koniga(Rys. 21.12)