Transformacje relatywistyczne – JR

Transformacje relatywistyczne

17.1 Wiadomości wstępne
17.2 Skrócenie LorentzaFitzgeralda
17.3 Dylatacja czasu
17.4 Transformacje Lorentza
17.5 Relatywistyczne prawo dodawania prędkości
17.6 Aberracja światła
17.7 Zjawisko Dopplera dla światła
17.8 Prędkość graniczna

17.1 Wiadomości wstępne

Z tego, że oparte na transformacjach Galileusza prawo dodawania prędkości zawodzi w przypadku wielkich szybkości, nie wynika wcale że transformacje są błędne. Transformacje Galileusza można dalej stosować przy prędkościach niewielkich w porównaniu z prędkością światła. Warto się jednak pokusić o takie ich zmodyfikowanie, żeby zachowały swą postać przy małych prędkościach a jednocześnie były zgodne z wynikami doświadczeń w zakresie wielkich prędkości. Zakres ten nazywamy relatywistycznym; nazwa wiąże się z zasadą względności (relatywizmem) Einsteina. Naszym zadaniem będzie więc znalezienie transformacji relatywistycznych na podstawie zjawisk obserwowanych w doświadczeniach.

 

 

17.2 Skrócenie LorentzaFitzgeralda

 

 

Opisując doświadczenie MichelsonaMorleya obliczyliśmy czas przejścia przez światło równoległego do kierunku ruchu Ziemi ramienia interferometru

czas (17.1)

i ramienia prostopadłego

czas (17.2)

Przesuwając zwierciadła możemy tak zmienić długość jednego z ramion powiedzmy ramienia równoległego do kierunku ruchu L|| żeby oba czasy przejścia były sobie równe

równość czasów (17.3)

przy czym L = L oznacza długość ramienia prostopadłego. Stąd

l równoległe (17.4)

Ramię równoległe do ruchu jest krótsze od prostopadłego.

Obrócenie interferometru o 90° nie powoduje przesunięcia prążków. Oznacza to, że oba czasy przejścia pozostały sobie równe, mimo że ramiona interferometru zamieniły się miejscami. Ramię które było równoległe do kierunku ruchu jest teraz prostopadłe, a ramię poprzednio prostopadłe stało się równoległym. Wobec tego zależność między długościami ramion pozostaje nadal w mocy. L|| oznacza długość tego z ramion, które w danej chwili jest równoległe, a L tego, które aktualnie jest prostopadłe do kierunku ruchu Ziemi. A przecież przy obrocie interferometru nie zmienialiśmy długości ramion! Doświadczenie wykazuje, że równoległe do ruchu wymiary ramion skracają się. Wniosek ten można rozszerzyć na wszystkie ciała ruchome. Równoległe do ruchu wymiary ciał poruszających się ulegają skróceniu w stosunku

skrócenie Lorentza (17.5)

przy czym l(vu) oznacza wymiar ciała ruchomego, a l spoczywającego. Efekt ten nosi nazwę skrócenia Lorentza-Fitzgeralda.

skrócenie Lorentza - Fitzgeralda (Rys. 17.1)

Przykład: Wielkość skrócenia. Prędkość Ziemi vu = 30 km/s stanowi 10-4 prędkości światła. Dzięki wykorzystaniu wielokrotnego odbicia droga światła w interferometrze wynosiła L = 22 m. W ramieniu równoległym do prędkości Ziemi światło przebiega drogę

skrócenie długości (17.6)
zależność skrócenia od prędkości (Rys. 17.2)

(skorzystaliśmy z przybliżenia dopuszczalnego dla małych v/c). Zatem skrócenie wynosi

wielkość skrócenia (17.7)

Mimo stosunkowo dużej prędkości Ziemi skrócenie LorentzaFitzgeralda jest znikomo małe. Powyższy rachunek pozwala docenić ogromną dokładność metod interferometrycznych. Przy prędkościach podświetlnych, czyli porównywalnych z prędkością światła wielkość skrócenia szybko rośnie. Na przykład dla vu = 0,8c (z taką prędkością oddalają się od nas najdalsze zaobserwowane obiekty kosmiczne) skrócenie relatywistyczne wynosi

skrócenie relatywistyczne (17.8)

Tu oczywiście nie wolno stosować wzoru przybliżonego. W razie potrzeby można uprościć rachunek przez podstawienie

sinus u (17.9)

wówczas

cos u (17.10)

Wartość u i cos u znajdujemy za pomocą dokładnych tablic funkcji trygonometrycznych.

 

 

17.3 Dylatacja czasu

 

 

Wróćmy do doświadczenia MichelsonaMorleya i porównajmy punkty widzenia obserwatora ruchomego na Ziemi i nieruchomego obserwatora spoza Ziemi. Przy odpowiednio ustawionych zwierciadłach obserwator ziemski uważa czasy przejścia przez promień prostopadłych do siebie ramion interferometru za równe; niezależnie od tego jak obrócony jest interferometr

równe czasy (17.11)

Obserwator pozaziemski widzi, że ramię równoległe do kierunku ruchu jest skrócone;

skrócenie długości (17.12)

Wobec tego czasy przejścia obu ramion ze stałą prędkością c muszą się różnić:

czasy (17.13)

Jak widać, w obu układach przebieg czasu jest inny. Co dla obserwatora ziemskiego było równoczesne (dojście promieni do lunetki), dla obserwatora z zewnątrz zachodzi w różnych czasach. Zjawisko to nazywamy względnością równoczesności.

Ponieważ długość L ramienia prostopadłego do kierunku ruchu nie uległa zmianie, więc czas t przejścia jej przez światło w układzie ruchomym:

czas (17.14)

jest taki sam jak czas przejścia takiej samej drogi w układzie nieruchomym. Nie oznacza to wcale, że obaj obserwatorzy określą czas t jednakowo. Dla obserwatora z zewnątrz rzeczywista droga światła ct będzie geometryczną sumą prostopadłej do kierunku ruchu drogi L wzdłuż ramienia i przemieszczenia vut układu:

rzeczywista droga światła (17.15)

Podniesiemy to równanie do kwadratu

związek (17.16)

i łatwo znajdziemy

czas (17.17)

Zauważmy, że iloraz

czas (17.18)

przedstawia czas przebycia przez promień drogi L w układzie ruchomym. Stąd

dylatacja czasu (17.19)

albo

dylatacja czasu (17.20)
czas płynie wolniej (Rys. 17.3)

Ze względu na obserwowaną w układzie ruchomym równość t|| = t wniosek ten będzie słuszny także dla ramienia równoległego i w ogóle dla dowolnej orientacji ramion interferometru

dylatacja czasu (17.21)

Określony przez obserwatora ruchomego odstęp czasu między dwoma zdarzeniami w tym przypadku między wysłaniem a powrotem promienia świetlnego będzie krótszy niż podany przez obserwatora nieruchomego. W układzie ruchomym czas płynie wolniej. Efekt ten nosi nazwę dylatacji czasu.

dylatacja czasu (Rys. 17.4)

Przykład: Czas życia mionów. W reakcjach jądrowych wywołanych przez promieniowanie kosmiczne w atmosferze na wysokości powyżej 10 km nad poziomem morza powstają między innymi nietrwałe cząstki leptony μ, czyli miony o prędkości v bliskiej prędkości światła. Można je także wytworzyć w akceleratorze i zmierzyć przeciętny czas życia τ = 2,2·10-6 s.

Zakładając vu = 0,999c możemy obliczyć drogę jaką może przebyć mion w czasie swego istnienia

droga przebyta przez miony (17.22)

Tymczasem miony wytworzone na wysokości dziesiątków kilometrów w atmosferze rejestrujemy w znacznej liczbie na poziomie morza! Wyjaśnimy tę pozorną sprzeczność z pozycji obserwatora ruchomego np. mikrokrasnoludka lecącego wraz z mionem i obserwatora nieruchomego, związanego z Ziemią.

Obserwator ruchomy: „W moim układzie mion spoczywa, a Ziemia pędzi nam na spotkanie z prędkością vu = 0,999c. Do chwili rozpadu mion przebiegnie drogę l = 659 m. Gdyby warstwa atmosfery która nas rozdziela spoczywała miałaby grubość L = 10 km = 104m i na pewno nie doszłoby do zderzenia. Ponieważ jednak porusza się, przeto jej równoległy do kierunku ruchu wymiar doznaje skrócenia i odległość do przebycia wynosi tylko

l (17.23)

Ziemia zderzy się z mionem przed jego rozpadem”

Obserwator nieruchomy: „Mion zbliżający się do Ziemi z prędkością vu = 0,999c potrzebuje na dotarcie do niej czasu

czas (17.24)

W ruchomym układzie mionu odstęp czasu między zderzeniami (pojawieniem się cząstki i zderzeniem z Ziemią) skraca się i wynosi

czas (17.25)

a więc jest krótszy niż czas życia. Zderzenie nastąpi przed rozpadem”.

miony (Rys. 17.5)

 

 

17.4 Transformacje Lorentza

 

 

Jakie warunki muszą spełniać transformacje relatywistyczne? Po pierwsze, powinny być zgodne z doświadczalnie stwierdzonymi efektami relatywistycznymi skróceniem wymiarów ciał w kierunku ruchu i zwolnieniem upływu czasu. Po drugie, powinno z nich wynikać takie prawo dodawania prędkości żeby prędkość światła była zgodnie z doświadczeniem niezmiennikiem transformacji. Po trzecie, przy małych prędkościach nowe transformacje powinny przechodzić w sprawdzone transformacje Galileusza.

Opierając się na tych warunkach spróbujemy znaleźć postać transformacji relatywistycznych w najprostszym przypadku, gdy osie obu układów są równoległe, a początek układu ruchomego porusza się wzdłuż osi x układu nieruchomego. Skróceniu LorentzaFitzgeralda ulegają wyłącznie wymiary równoległe do kierunku ruchu. Jeżeli obserwator ruchomy określa odległość między dwoma punktami, np. między końcami spoczywającego w jego układzie pręta, jako l’, to obserwator nieruchomy uzna ten poruszający się względem niego pręt za skrócony i przypisze mu długość

skrócenie długości (17.26)

Ale długość pręta można w obu układach wyrazić jako różnicę współrzędnych końca i początku pręta

związki (17.27)

Stąd

skrócenie długości (17.28)

albo

związki (17.29)

co prowadzi do transformacji

transformacja (17.30)

Dla małych prędkości

dla małych prędkości (17.31)

i w rezultacie otrzymujemy

związek (17.32)

Proponowana postać transformacji nie spełnia więc jednego z warunków nie przechodzi w transformację Galileusza

transformacja Galileusza (17.33)

Oba warunki można pogodzić wprowadzając do licznika prawej strony (17.30) poprawkę vu t. Poprawiona postać

transformacja Lorentza (17.34)

spełnia obydwa warunki: prowadzi do skrócenia LorentzaFitzgeralda (przy odejmowaniu x’Bx’A poprawka znika), a dla małych prędkości przechodzi w transformacje Galileusza.

Wymiary prostopadłe do kierunku ruchu nie ulegają skróceniu, więc pozostałe współrzędne nie zmieniają się przy transformacji

y z (17.35)

Pozostaje jeszcze do znalezienia transformacja czasu. Podany przez obserwatora ruchomego odstęp czasu Δt’ między jakimiś zdarzeniami jest krótszy niż stwierdzony przez obserwatora nieruchomego Δt

dylatacja czasu (17.36)

Zastępując odstępy czasu w obu układach przez różnicę czasów zajścia obu zdarzeń otrzymamy

dylatacja czasu (17.37)

Pomnóżmy i podzielmy prawą stronę powyższej równości przez

czynnik (17.38)
przekształcenia (17.39)

Iloczyn

iloczyn (17.40)

jest drogą, jaką przebyło wraz z układem ruchomym spoczywające w nim miejsce zajścia obu zdarzeń. Zatem według obserwatora ruchomego x’A = x’B, natomiast według nieruchomego

zależność (17.41)

wobec tego

związek (17.42)

Wynikająca stąd postać transformacji

transformacja czasu (17.43)

spełnia warunek zgodności z efektem dylatacji czasu, a dla małych prędkości przechodzi w transformację Galileusza

transformacja czasu Galileusza (17.43)

Otrzymane transformacje

Transformacje Lorentza (17.44)

noszą nazwę transformacji Lorentza. Transformacje Galileusza

transformacje Galileusza (17.45)

są ich szczególnym przypadkiem przy małych prędkościach.

Niekiedy przydają się transformacje odwrotne, tzn. opisujące współrzędne i czasy podane przez obserwatora nieruchomego z punktu widzenia obserwatora ruchomego. Jeżeli układ ruchomy porusza się z prędkością vu, np. w dodatnim kierunku osi x, to dla obserwatora ruchomego prędkość v’u układu nieruchomego jest skierowana przeciwnie. We wzorach transformacyjnych trzeba więc zastąpić vu przez vu, a wielkości primowane nieprimowanymi (każdy obserwator traktuje swój układ jako nieruchomy). Zatem

odwrotne transformacje Lorentza (17.46)

W przypadku dowolnego kierunku ruchu układu transformacje bardzo się komplikują. Nie ma to jednak praktycznego znaczenia, bo zawsze można tak dobrać układy, żeby ich osie były równoległe, a początek układu ruchomego poruszał się po jednej z osi ukladu nieruchomego.

 

 

17.5 Relatywistyczne prawo dodawania prędkości

 

 

Różniczkując transformacje Lorentza, otrzymujemy

zróżniczkowane transformacje Lorentza (17.47)

a stąd transformacje składowych prędkości

składowe prędkości (17.48)

Jak widać, wszystkie składowe prędkości zależą od składowej v’x w kierunku ruchu układu. Jeżeli ciało porusza się równolegle do ruchu układu, to v’y = v’z = 0 wobec czego także vy = vz = 0 i zostaje tylko składowa v’x = v’ oraz vx = v. Stąd otrzymujemy relatywistyczne prawo dodawania prędkości równoległych do kierunku ruchu

relatywistyczne prawo dodawania prędkości równoległych (17.49)
dodawanie prędkości (Rys. 17.6)

Dla v << c powyższa równość przechodzi w prawo dodawania małych prędkości

prawo dodawania małych prędkości (17.50)

Sprawdzimy jeszcze, czy otrzymane prawo prowadzi do niezmiennej wartości prędkości światła w obu układach. Światło wysłane przez źródło np. reflektor w układzie ruchomym będzie miało prędkość v’ = c. Obserwator nieruchomy zmierzy

stałość prędkości światła (17.51)

Taki sam wynik uzyskujemy, gdy nie prędkość względna tylko prędkość unoszenia równa się prędkości światła vu = c:

c (17.52)

a nawet, gdy obie prędkości są równe c:

c (17.53)

Na poniższym wykresie przedstawione jest porównanie klasycznego i relatywistycznego prawa dodawania prędkości dla prędkości unoszenia vu = 0,5c. Wszystkie prędkości mają ten sam kierunek. Prędkość bezwzględna nie może przekroczyć c.

klasyczne i relatywistyczne dodawanie prędkości (Rys. 17.7)

 

 

17.6 Aberracja światła

 

 

Jeżeli jadący samochodem myśliwy chce trafić w nieruchomy cel znajdujący się na lini prostopadłej do kierunku jazdy, musi wziąć poprawkę na ruch samochodu i celować ukośnie do tyłu. Astronom, który chce obejrzeć przez teleskop gwiazdę znajdująca się np. na linii prostopadłej do kierunku ruchu Ziemi powiedzmy Gwiazdę Polarną musi uwzględnić ruch Ziemi i skierować teleskop pod kątem α do przodu. W czasie, którym światło przelatuje długość teleskopu , Ziemia przebiegnie drogę vuτ. W przypadku nierelatywistycznym kąt aberracji α znajdziemy z wzoru

kąt aberracji (17.54)

Ze względu na stosunkowo małą prędkość Ziemi (vu/c = 10-4) rachunek nierelatywistyczny daje zupełnie dobre wyniki.

aberracja światła w ujęciu klasycznym (Rys. 17.8)

W przypadku relatywistycznym rozpatrujemy składowe prędkości. Obierając oś x w kierunku ruchu Ziemi, a oś z astronom napisze

składowe prędkości (17.55)

Obserwator z układu związanego z gwiazdą uzna, że Ziemia porusza się równolegle do osi x’ jego układu z prędkością vu. Składowe prędkości w jego układzie wynoszą

składowe prędkości w układzie ruchomym (17.56)
aberracja światła w ujęciu relatywistycznym (Rys. 17.9)

Stąd

relatywistyczny kąt aberracji (17.57)

Przy małej wartości stosunku vu/c możemy użyć przybliżenia

przybliżenie (17.58)

czyli

przybliżenie kąta aberracji (17.59)

 

 

17.7 Zjawisko Dopplera dla światła

 

 

Ruch płaskiej fali świetlnej opisuje równanie

równanie fali płaskiej (17.60)

w którym ψ oznacza wielkość falową (w fali mechanicznej wychylenie, w elektromagnetycznej natężenie pola), ψ0 jej amplitudę, ω = 2πν częstośc kołową, ν częstość drgań, c prędkość fali, a x odległość od źródła.

Wielkość

liczba falowa (17.61)

jest tzw. liczbą falową, czyli odwrotnością długości fali. Dla obserwatora poruszającego się z prędkością vu naprzeciw fali, czyli w kierunku przeciwnym do osi x, zmieni się nie tylko współrzędna x i czas t, ale także częstość ν i liczba falowa k.

fala płaska (Rys. 17.10)
zjawisko Dopplera (Rys. 17.11)

Do wyrażenia w nawiasie zastosujemy transformacje Lorentza, pamiętając o kierunku vu

zależność (17.62)

Wyrażenie przy t’ powinno być równoznaczne z częstością drgań w układzie ruchomym, a wyrażenie przy x’ z liczbą falową. Transformacje częstości i liczby falowej mają więc postać

transformacje częstości i liczby falowej (17.63)

Przekształcimy pierwszą z nich podstawiając

liczba falowa (17.64)
transformacja częstości (17.65)

Jeżeli obserwator będzie się oddalał od źródła, to w liczniku zamiast plusa trzeba wstawić minus. Wzór obejmujący oba przypadki ma postać

prawo Dopplera (17.66)

(Minusowi w liczniku odpowiada plus w mianowniku i odwrotnie).

Otrzymana zależność nosi nazwę prawa Dopplera. Częstość drgań, a więc także i barwa światła, będzie różna dla obserwatora ruchomego i nieruchomego. Ze zmiany barwy można znaleźć względną prędkość źródła i obserwatora. W ten właśnie sposób wykryto rozszerzanie się Wszechświata.

Zauważmy, że gdy vu << c, możemy pominąć wyraz drugiego stopnia i stąd

efekt Dopplera - małe prędkości (17.67)

Powyższy wzór przedstawia prawo Dopplera dla małych prędkości. Relatywistyczną postać prawa Dopplera potwierdzono doświadczalnie obserwując przesunięcie linii widma atomów wodoru o szybkości vu = 0,005 c.

Łatwo sprawdzić, że liczby falowe transformują się tak jak częstości

transformacja liczb falowych (17.68)

a długości fali odwrotnie

relatywistyczny efekt Dopplera dla długości fali (17.69)

 

 

17.8 Prędkość graniczna

 

 

Z transformacji prędkości wynika, że przy dodawaniu prędkości bliskich lub równych c prędkość wypadkowa nie przekracza c. Nasuwa się wniosek, że prędkość światła w próżni stanowi największą możliwą prędkość ruchu ciał i sygnałów. Można go potwierdzić doświadczalnie rozpędzając elektrony w akceleratorze, a następnie mierząc czas przejścia drogi l między elektrodami podłączonymi do oscyloskopu.

aparatura do pomiaru zależności prędkości elektronów od energii (Rys. 17.12)

Końcowa elektroda jest odizolowana termicznie od otoczenia. Dzieląc drogę przez odczytany z ekranu oscyloskopu czas między impulsami powstającymi, gdy elektrony mijają elektrody, obliczymy prędkość, a zmierzony za pomocą czułego termometru wzrost temperatury elektrody końcowej pozwala wyznaczyć energię pochłoniętych przez nią elektronów (można ją także znaleźć jako iloczyn ładunku elektronu i napięcia przyspieszającego w akceleratorze). Ponieważ energia kinetyczna Ek = mv2/2, to wykres zależności v2 od Ek powinien być linią prostą. Począwszy od energii 105 eV punkty doświadczalne zaczynają się odchylać od prostej, a powyżej 4,0 MeV praktycznie nie obserwuje się wzrostu prędkości mimo zwiększania energii. Z wykresu można odczytać kwadrat prędkości granicznej, a stąd samą prędkość równą 3·108 m/s, czyli równą c.

zależność kwadratu prędkości od energii kinetycznej (Rys. 17.13)