Środek masy – JR

Środek masy

9.1 Wiadomości wstępne
9.2 Ruch środka masy
9.3 Układ środka masy

9.1 Wiadomości wstępne

 

Równanie ruchu układu dwu cząstek

równanie ruchu układu dwu cząstek (9.1)

albo przy stałych masach

równanie ruchu (9.2)

uzyska bardziej przejrzystą postać, jeżeli przedstawimy sumę sił zewnętrznych jako iloczyn masy układu i przyspieszenia odpowiednio dobranego punktu S reprezentującego układ

równanie ruchu a środek masy (9.3)

czyli

przyspieszenie środka masy (9.4)

Stąd przez kolejne całkowanie otrzymamy prędkość

prędkość środka masy (9.5)

i położenie punktu S

wektor położenia środka masy (9.6)
środek masy (Rys. 9.1)

Tak zdefiniowany punkt nosi nazwę środka masy układu. Środek masy leży na odcinku prostej łączącej obie cząstki i dzieli go w stosunku odwrotnym do mas. Istotnie

zależność (9.7)

czyli

zależność (9.8)

Wektory rsrA i rBrs są więc do siebie proporcjonalne, co w rachunku wektorowym jest równoznaczne z równoległością. Oba te wektory mają wspólny punkt – środek masy – więc ich równoległość oznacza, że leżą one wraz ze środkiem masy na linii prostej łączącej cząstki A i B. Jednocześnie

zależność (9.9)

Środek masy jest bliżej cząstki o większej masie.

Przykład: Środek masy układu Ziemia-Księżyc. Odległość między środkami Ziemi i Księżyca wynosi rZK = 384 000 km, a masa Ziemi jest 81 razy większa niż masa Księżyca mK. Oznaczmy odległość środka masy układu od środka Ziemi przez rsZ, a od środka Księżyca przez rsK. Teraz

układ Ziemia Księżyc środek masy (9.10)

czyli

rsz (9.11)

Jak widać, środek masy układu Ziemia-Księżyc leży pod powierzchnią Ziemi (promień Ziemi R = 6370 km).

środek masy układu Ziemia Księżyc (Rys. 9.2)

 

 

9.2 Ruch środka masy

 

 

Wzór na promień wodzący środka masy pozwala znaleźć jego położenie, jeżeli znamy położenia i masy cząstek tworzących układ. Ruch środka masy opisany jest równaniem

ruch środka masy (9.12)

gdzie

pęd środka masy (9.13)

jest pędem środka masy układu. Zauważmy, że

pęd środka masy a pęd układu (9.14)

czyli pęd środka masy jest równy pędowi układu.

Z równania ruchu widać, że środek masy porusza się tak, jak gdyby skupiała się w nim masa układu. Oczywiście

dps (9.15)

i po scałkowaniu mamy

przyrost pędu środka masy (9.16)

przyrost pędu środka masy równa się popędowi wypadkowej sił zewnętrznych. Gdy siły zewnętrzne znoszą się, tzn. dla Fz = 0, pęd środka masy nie zmienia się

stałość pędu środka masy (9.17)

a jego ruch jest jednostajny i prostoliniowy:

ruch jednostajny prostoliniowy środka masy (9.18)

Obliczmy teraz moment pędu środka masy względem początku układu współrzędnych

moment pędu środka masy (9.19)

i jego pochodną

pochodna momentu pędu środka masy (9.20)

Ale

zero (9.21)

a

moment siły (9.22)

i stąd

moment sił zewnętrznych (9.23)
zmiana momentu pędu środka masy (Rys. 9.3)

Pochodna momentu pędu środka masy równa się momentowi wypadkowej sił zewnętrznych zaczepionej w środku masy.

Zdefiniujemy jeszcze energię kinetyczną środka masy. Będziemy tak nazywać połowę iloczynu masy układu przez kwadrat prędkości środka masy.

energia kinetyczna środka masy (9.24)

Potencjalnej energii środka masy nie da się tak prosto zdefiniować. Niekiedy energia układu zależy od położenia środka masy, tzn. od rozkładu mas.

Przykład: Energia potencjalna środka masy. W jednorodnym polu grawitacyjnym (g = const) energia potencjalna układu dwu cząstek

energia potencjalna środka masy (9.25)

czyli równa się energii ciała o masie układu położonego w środku masy. Przez h oznaczono wysokość nad wybranym poziomem odniesienia.

 

 

9.3 Układ środka masy

 

 

W wielu zagadnieniach wygodnie jest umieścić początek układu współrzędnych w środku masy układu. Położenie cząstek układu opisane jest wówczas przez wektor r’ łączący środek masy z daną cząstką. Wynikają stąd oczywiste związki między dotychczasowymi wektorami położenia cząstek, a wektorami położenia w układzie środka masy:

związki (9.26)
układ środka masy (Rys. 9.4)

Tego rodzaju związki, pozwalające wyrazić wielkości jednego układu za pomocą wielkości drugiego, noszą nazwę transformacji. Różniczkując transformację wektora położenia – czyli po prostu transformację współrzędnych – otrzymujemy transformację prędkości

transformacje prędkości (9.27)

i transformację przyspieszenia

transformacje przyspieszenia (9.28)

Gdy nie działają siły zewnętrzne, as = 0 i wtedy

przyspieszenia (9.29)

Pomiar przyspieszeń cząstek da w obu układach ten sam wynik. Przy braku sił zewnętrznych układ środka masy jest układem inercjalnym (tzn. nie przyspieszonym).

Zobaczmy teraz, jak się transformują niektóre wielkości charakteryzujące ruch. Wyżej stwierdziliśmy już, że pęd układu cząstek równa się pędowi środka masy

pęd układu (9.30)

Z drugiej strony, pędy cząstek transformują się podobnie jak prędkości

transformacja pędu (9.31)

Zatem suma pędów cząsteczek względem środka masy

zerowanie się pędu względem środka masy (9.32)

W układzie środka masy pęd układu jest równy zeru. Wynika to stąd, że środek masy w tym układzie nie porusza się.

suma pędów cząstek (Rys. 9.5)

Obliczmy z kolei moment pędu układu względem środka masy

moment pędu (9.33)

Podstawiając (9.27), otrzymujemy

moment pędu (9.34)

Ale w układzie środka masy wektor położenia środka masy

wektor położenia środka masy (9.35)

stąd

zerowanie się (9.36)

Iloczyn masy cząstki i wektora położenia nazywamy momentem statycznym, albo momentem masy cząstki względem początku układu. Suma momentów mas cząstek względem środka masy jest równa zeru. Wobec tego we wzorze na moment pędu znika czynnik przy vs i pozostaje

moment pędu (9.37)
suma momentów mas (Rys. 9.6)

Transformacja momentu pędu ma postać

transformacja momentu pędu (9.38)

Wziąwszy pod uwagę, że

całkowity pęd układu (9.39)

jest całkowitym pędem układu, otrzymujemy ostatecznie

moment pędu układu (9.40)

Moment pędu układu względem dowolnego punktu jest równy sumie momentu pędu środka masy względem tego punktu i momentu pędu układu względem środka masy.

moment pędu układu (Rys. 9.7)

Podobnie transformuje się całkowity moment sił działających na układ. Znajdźmy najpierw moment sił względem środka masy

transformacja moment siły (9.41)

Siły działające na cząstkę składają się z sił zewnętrznych i wewnętrznych. Środek masy leży na linii prostej łączącej obie cząstki, wobec czego moment sił wewnętrznych znika i pozostaje tylko

moment sił (9.42)

Moment sił względem dowolnego punktu, w którym umieścimy początek układu współrzędnych, wyniesie

moment sił względem dowolnego punktu (9.43)

czyli

moment sił (9.44)

Określony względem dowolnego punktu moment sił działających na układ cząstek jest równy sumie momentu względem tego punktu wypadkowej sił zewnętrznych zaczepionej w środku masy i wypadkowego momentu sił względem środka masy.

moment sił (Rys. 9.8)

Przykład: Środek ciężkości. W jednorodnym polu grawitacyjnym (g = const) FA = mAg i FB = mBg i moment sił ciężkości

moment sił ciężkości (9.45)
w jednorodnym polu grawitacyjnym (Rys. 9.9)

Ciężar układu ma tutaj taki moment, jak gdyby był skupiony w środku masy. Nazywamy go w tym przypadku środkiem ciężkości. W jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.

Jedną z wielkości związanych z ruchem obrotowym układu jest moment bezwładności równy sumie momentów bezwładności obu cząstek. W odniesieniu do środka masy

moment bezwładności cząstek wzglęem środka masy (9.46)

Moment bezwładności układu względem dowolnego punktu wybranego jako początek układu odniesienia jest równy

moment bezwładności (9.47)

Bo jak wyżej wykazaliśmy

zerowanie się (9.48)

Pierwszy wyraz po prawej stronie nazwiemy momentem bezwładności środka masy Is, a suma pozostałych wyrazów jest momentem bezwładności względem środka masy. Zatem

moment bezwładności (9.49)

Moment bezwładności układu względem dowolnego punktu jest równy sumie momentu bezwładności środka masy względem tego punktu i momentu bezwładności układu względem środka masy.

A oto jak transformuje się energia. W układzie środka masy energia kinetyczna wynosi

energia kinetyczna (9.50)

W dotychczasowym układzie współrzędnych mamy

energia kinetyczna (9.51)

W układzie środka masy suma pędów obu cząstek jest równa zeru:

suma pędów obu cząstek w układzie środka masy (9.52)

i czynnik przy vs znika. Poza tym

energia kinetyczna środka masy (9.53)

jest energią kinetyczną środka masy, a suma obu ostatnich wyrazów jest równa E’k.

Stąd

transformacja energii (9.54)

Energia kinetyczna układu jest sumą energii ruchu środka masy i energii ruchu względem środka masy. Ten związek nosi nazwę twierdzenia Königa.

Prawa zachowania w układzie środka masy. Możemy teraz sprawdzić, czy w układzie środka masy pozostają w mocy prawa zachowania. Najłatwiej sprawdzić prawo zachowania pędu. Jak stwierdziliśmy, suma pędów obu cząstek względem środka masy jest stale równa zeru:

zasada zachowania pędu w układzie środka masy (9.55)

czyli prawo zachowania pędu jest zawsze spełnione – nawet gdy układ środka masy nie jest inercjalny (vs ≠ const). Pod wpływem różnej od zera wypadkowej sił zewnętrznych środek masy porusza się ruchem przyspieszonym, ale o ruchu cząstek względem środka masy decydują tylko siły wewnętrzne, których suma jest równa zeru. Równanie ruchu postępowego w układzie środka masy przedstawia się następująco:

równanie ruchu postępowego w układzie środka masy (9.56)

Aby otrzymać równanie ruchu obrotowego w układzie środka masy, trzeba wstawić do ogólnego równania

druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego (9.57)

związki transformacyjne

związki transformacyjne (9.58)

otrzymując

związek (9.59)

ale

pochodna (9.60)

iloczyn

zerowanie się (9.61)

natomiast

siła zewnętrzna (9.62)

Wracając do równania wyjściowego otrzymamy

związek (9.63)

czyli prawo ruchu obrotowego w układzie środka masy o postaci takiej samej jak w dowolnym innym układzie

druga zasada dynamiki w układzie środka masy (9.64)

i zachodzi

zasada zachowania momentu pędu w układzie środka masy (9.65)

W podobny sposób sprawdzimy prawo zachowania energii. Zmiana energii kinetycznej układu jest równa pracy sił działających na cząstki

zmiana energii kinetycznej (9.66)

Ale

związek (9.67)

Ze względu na to, że siły wewnętrzne znoszą się wzajemnie (FAB + FBA = 0) suma sił działających na układ równa się wypadkowej sił zewnętrznych

siła zewnętrzna (9.68)

stąd

związek (9.69)

czyli

przyrost energii kinetycznej (9.70)

Jednocześnie z twierdzenia Königa wynika

twierdzenie Koniga (9.71)

Porównując prawe strony widzimy, że

związki (9.72)

W przypadku gdy siły FA = FzA + FBA i FB = FzB + FAB są zachowawcze mamy

przyrost energii potencjalnej (9.73)

Oznaczając sumę energii potencjalnych obu cząstek przez E’p (energia potencjalna w układzie środka masy) dochodzimy do związku

zasada zachowania energii (9.74)

czyli

zasada zachowania energii (9.75)

W układzie środka masy prawo zachowania energii jest spełnione.