Siły centralne – JR

Siły centralne

7.1 Wiadomości wstępne
7.2 Ruch pod wpływem siły centralnej
7.4 Wyjaśnienie praw Keplera
7.5 Ruch pod wpływem sił odpychania

7.1 Wiadomości wstępne

 

Znakomitą okazją do pomysłowego stosowania praw zachowania jest ruch cząstki pod wpływem siły centralnej, czyli siły, której linia działania przechodzi zawsze – niezależnie od kierunku – przez stały punkt zwany centrum, i której wartość zależy od odległości od centrum. Umieszczając w centrum początek układu współrzędnych możemy napisać

siła centralna (7.1)

Większość podstawowych sił, spotykanych w przyrodzie, zaliczamy do sił centralnych. I tak siłami centralnymi są siły grawitacyjne

siła grawitacji jako siła centralna (7.2)

elektrostatyczne

siła elektrostatyczna jako siła centralna (7.3)

siły sprężystości

siła sprężystości jako siła centralna (7.4)

i siły jądrowe, przybliżeniu proporcjonalne do

siły jądrowe (7.5)

Aby móc korzystać z praw zachowania, musimy najpierw sprawdzić, czy można je stosować. Ponieważ siły centralne zależą od położenia, prawo zachowania pędu nie będzie tutaj przydatne. Symetria centralna wskazuje, że wygodnie będzie posłużyć się prawem zachowania momentu pędu. I rzeczywiście, moment siły centralnej względem centrum jest zawsze równy zeru:

zerowanie się momentu siły (7.6)

Zatem

stałość momentu pędu (7.7)

moment pędu jest zachowany. Stałość momentu pędu

stałość momentu pędu (7.8)

oznacza stałość prostopadłej do niego płaszczyzny, w której leżą wektory położenia i pędu, czyli płaszczyzny ruchu.

siła centralna (Rys. 7.1)

Tor ruchu pod wpływem siły centralnej będzie więc krzywą płaską. Sprawdzimy jeszcze prawo zachowania energii. Najłatwiej będzie to uczynić w najdogodniejszym dla opisu takiego ruchu układzie współrzędnych biegunowych. Elementarna praca siły potencjalnej będzie równa

praca elementarna (7.9)

Siła centralna

siła centralna (7.10)

skierowana wzdłuż promienia, nie ma składowej transwersalnej, czyli

zerowanie się składowej transwersalnej siły (7.11)

i praca przesunięcia skończonego wynosi

praca przesunięcia skończonego (7.12)

jest więc funkcją wyłącznie promieni rA i rB, czyli początkowego i końcowego położenia cząstki, niezależnie od toru, po jakim była przesuwana. Na torze zamkniętym

zerowanie się całki po konturze zamkniętym (7.13)

co jest wystarczającym dowodem na to, że siła jest zachowawcza.

praca siły centralnej (Rys. 7.2)

W ruchu pod wpływem siły centralnej prawo zachowania energii pozostaje w mocy. Oczywiście istnieje energia potencjalna zależna od położenia cząstki

energia potencjalna (7.14)

Wynikający stąd związek

energia potencjalna w punkcie B (7.15)

nie zależy od wyboru punktów A i B.

energia potencjalna (Rys. 7.3)

Niech punkt A będzie punktem odniesienia O o współrzędnej r0, w którym Ep = 0, a B dowolnym punktem P o współrzędnej r. Teraz

energia potencjalna (7.16)

Znając postać funkcji f(r) możemy stąd obliczyć energię potencjalną w zależności od położenia. I tak w przypadku sił grawitacyjnych (Ep = 0 dla r = ∞)

energia potencjalna pola grawitacyjnego (7.17)

elektrostatycznych

energia potencjalna oddziaływań elektrostatycznych (7.18)

i sprężystych

energia potencjalna sił sprężystych (7.19)

ogólnie gdy

ogólna postać siły (7.20)

to

ogólny wzór na energię potencjalną (7.21)

Stała α jest dodatnia dla przyciągania, a ujemna dla odpychania.

 

 

7.2 Ruch pod wpływem siły centralnej

 

 

Do opisu ruchu wybierzemy płaski układ współrzędnych biegunowych o początku w centrum siły. Równanie ruchu w tym układzie miałoby postać

równanie ruchu siła centralna (7.22)

(Skorzystaliśmy tutaj z wzorów wyprowadzonych w podrozdziale 1.7 Przyspieszenie)

albo po rozpisaniu na składowe:

rozpisane równania ruchu (7.23)

Równania te nie będą nam w ogóle potrzebne. Ominiemy je stosując prawo zachowania momentu pędu

stałość momentu pędu (7.24)

i energii

zasada zachowania energii w układzie biegunowym (7.25)

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest kwadratem prędkości, a jego składniki – podniesionymi do kwadratu składowymi prędkości radialną i transwersalną

kwadrat prędkości (7.26)

Indeks zero odnosi się do chwili początkowej t0.

prędkość w układzie biegunowym (Rys. 7.4)

Z prawa zachowania momentu pędu obliczymy prędkość kątową

prędkość kątowa (7.27)

i wstawimy do prawa zachowania energii

zasada zachowania energii (7.28)

Stąd

zależność (7.29)

Pierwszy wyraz oznacza energię kinetyczną w ruchu radialnym, drugi – zwany energią odśrodkową – jest energią kinetyczną w ruchu azymutalnym, a trzeci – energią potencjalną, czyli potencjałem siły centralnej. Z równania energii otrzymujemy prędkość radialną w funkcji odległości od centrum:

prędkość radialna (7.30)

przy czym suma wyrazów zależnych od położenia

efektywna energia potencjalna (7.31)

tworzy tzw. efektywną energię potencjalną. Porównując otrzymany wzór na prędkość z analogicznym wyrażeniem dla ruchu jednowymiarowego stwierdzimy, że radialną część ruchu pod działaniem siły centralnej można traktować jak ruch jednowymiarowy z energią potencjalną równą Epef.

Już z wzoru na prędkość radialną można się dużo dowiedzieć o ruchu cząstki. Prędkość ta musi być rzeczywista, czyli

prędkość musi być rzeczywista (7.32)

Ruch zachodzi w obszarze, w którym

warunek (7.33)

Dla dr/dt = 0, czyli

zerowanie się prędkości radialnej (7.34)

promień wodzący przyjmuje wartości ekstremalne rmax i rmin. Przy jednym punkcie zwrotu (rrmin) tor cząstki jest krzywą otwartą, zaczynającą się i kończącą w nieskończoności. Przy dwóch punktach zwrotu ruch przebiega w obszarze ograniczonym okręgami o promieniach rmax i rmin. Oba typy torów można zaobserwować w ruchu ciał niebieskich.

Aby znaleźć równanie toru, czyli zależność r(φ), trzeba z wzoru na prędkość radialną obliczyć

czas elementarny (7.35)

podstawić do całki momentu pędu

kąt elementarny (7.36)

i scałkować z uwzględnieniem warunków brzegowych (dla t = t0, r = r0 , φ = φ0):

delta fi (7.37)

Jeżeli potrzebne jest nam równanie toru w postaci parametrycznej, to zależność współrzędnej r od czasu możemy znaleźć z całki

zależność współrzędnej r od czasu (7.38)

Podstawiając ją do równania momentu pędu i całkując,

zależność współrzędnej kątowej od czasu (7.39)

otrzymujemy drugą współrzędną w funkcji czasu.

W ogólnym przypadku tor nie jest krzywą zamknięta, nawet gdy jest ograniczony.

tor cząstki w polu sił centralnych (Rys. 7.5)

Znajdźmy zmianę azymutu odpowiadającą podwojonemu czasowi przejścia między granicami obszaru ruchu, np. od rmin do rmax i z powrotem. Tor będzie krzywą zamkniętą tylko wtedy, gdy ta zmiana będzie wymierną częścią kąta pełnego, tzn. gdy

zmiana azymutu (7.40)

gdzie n1 i n2 są liczbami całkowitymi. Po n2 pełnych zmianach od rmin do rmax

warunek na krzywą zamkniętą (7.41)

promień wodzący wróci do pierwotnego położenia i długości, czyli tor się zamknie. Czas takiego przejścia, czyli okres obiegu można znaleźć z wzoru

okres (7.42)

Jeżeli tor się zamyka przy każdym przejściu, to n2 = 1 i wzór się upraszcza:

okres (7.43)

W takim przypadku punkty zwrotu leżą po obu stronach na przechodzącej przez centrum prostej, zwanej linią apsyd. Linia apsyd jest osią symetrii toru.

Istnieją tylko dwa typy zależności energii potencjalnej od położenia, przy których tory skończone są zamknięte. Są to:

proporcjonalność energii potencjalnej (7.44)

W szczególności ruch po krzywych zamkniętych jest możliwy pod działaniem sił grawitacyjnych i elektrostatycznych

energia potencjalna (7.45)

oraz sił sprężystości

energia potencjalna sprężystości (7.46)

Odpowiednie zależności sił mają postać

siły (7.47)

Ilekroć obserwujemy ruchy po torach zamkniętych, możemy być pewni, że działają siły centralne jednego z wymienionych typów.

 

 

7.3 Mechanika nieba

 

 

Prawa rządzące ruchem planet pierwszy sformułował Kepler w latach 1609 – 1619, wykorzystując materiał obserwacyjny swojego nauczyciela Tychona de Brahe. Głoszą one: I. Każda planeta porusza się po elipsie, w której ognisku znajduje się Słońce. II. Promień wodzący planety zakreśla w równych czasach równe pola. III. Kwadraty okresów obiegu planet są wprost proporcjonalne do sześcianów wielkich półosi orbit. Prawa Keplera wyjaśnił Newton, posługując się odkrytym przez siebie prawem powszechnego ciążenia. „Motorem” ruchu planet są siły grawitacji

siły grawitacji (7.48)

Znak minus wskazuje, że są to siły przyciągania. M oznacza masę Słońca, m – masę planety, G – stałą grawitacyjną, a wektor r wskazuje od Słońca do planety. Siły grawitacyjne są centralne, typu

siły centralne (7.49)

czyli

energia potencjalna (7.50)

przy czym

alfa (7.51)

Za centrum możemy uważać środek Słońca. Tor planety otrzymamy z wzoru

tor planety (7.52)

(dla r = r0 przyjęliśmy φ = 0). Energia efektywna wynosi

energia efektywna (7.53)

Dla r = 0 ta energia dąży do nieskończoności, a dla r dążącego do nieskończoności zmierza do zera przez wartości ujemne.

energia w polu grawitacyjnym (Rys. 7.6)

W punkcie dla którego

pochodna energii potencjalnej efektywnej (7.54)

czyli dla

rm (7.55)

Energia ma minimum równe

energia minimalna (7.56)

Prowadząc na wykresie Epef(r) linię E = E0, można od razu stwierdzić, że przy E0 > 0 ruch cząstki będzie nieskończony (jeden punkt zwrotny E0 = Epef), a przy E0 < 0 skończony (dwa punkty zwrotne).

Podstawmy Epef do równania toru

równanie toru (7.57)

Wprowadzenie nowej zmiennej

zmienna u (7.58)

nadaje całce postać elementarną

fi (7.59)

Z całkowania otrzymujemy

fi (7.60)

Wartość początkowa u0 = 1/r0 wiąże się z początkiem rachuby czasu. Najlepiej wybrać go w chwili, gdy odległość od centrum przybiera wartość ekstremalną, tzn. gdy

pochodna po kącie (7.61)

Stąd po elementarnych przekształceniach

u0 (7.62)

Po podstawieniu powyższego do wzoru na φ drugi wyraz po prawej stronie znika

zerowanie się arccos (7.63)

i zostaje

fi (7.64)

czyli

odwrotność r (7.65)

ostatecznie

r (7.66)

Tego rodzaju równanie o ogólnej postaci

równanie krzywych stożkowych (7.67)

przedstawia krzywe stożkowe, czyli krzywe będące przekrojami stożka. Wielkość p nosi nazwę parametru, a emimośrodu. Dla mimośrodu e > 1 krzywa jest hiperbolą, dla e = 1 – parabolą, dla e < 1 – elipsą, która dla e = 0 przechodzi w okrąg przy czym p = r. W naszym przypadku parametr

parametr (7.68)

i mimośród

mimośród (7.69)

zależą od stałych wartości momentu pędu i energii.

Orbity cząstki w centralnym polu grawitacyjnym zależą od energii całkowitej E0. Dla E0 > 0 cząstka porusza się po hiperboli, E0 = 0 – po paraboli Emin < E0 < 0 – po elipsie, E0 = Emin – po okręgu. Szczególnym przypadkiem elipsy o jednej z półosi równej zeru jest prosta. O jest centrum siły, S – środkiem elipsy.

krzywe stożkowe (Rys. 7.7)

Ognisko orbity leży w centrum siły. Ze względu na to, że promień wodzący z założenia nie może być ujemny, energia całkowita

energia całkowita (7.70)

przybiera wartość dodatnią dla

wartość dodatnia (7.71)

równą zeru gdy

zerowanie się energii całkowitej (7.72)

i ujemną, gdy

wartość ujemna energii całkowitej (7.73)

Kiedy E0 > 0, to e > 1 i tor jest hiperbolą, przy E0 = 0, e = 1 obserwujemy parabolę, a E0 < 0 (e < 1) – elipsę. W szczególnym przypadku gdy

warunek na ruch po okręgu (7.74)

mimośród e = 0 i elipsa przechodzi w okręg koła. Ruch po hiperboli zachodzi po gałęzi bliższej centrum.

Przykład: Prędkości kosmiczne. Na energię całkowitą sztucznego satelity, a za jej pośrednictwem na kształt orbity, możemy wpływać tylko poprzez nadanie mu odpowiedniej prędkości przy starcie. Aby pojazd kosmiczny poruszał się po orbicie eliptycznej musi mieć energię

ruch po elipsie w polu grawitacyjnym centralnym (7.75)

gdzie przez M oznaczyliśmy masę ciała centralnego – w tym przypadku Ziemi.

Energię potencjalną wygodniej jest wyrazić w inny sposób. Mianowicie z przyrównania ciężaru pojazdu w odległości r od środka Ziemi do siły grawitacji

ciężar a siła grawitacji (7.76)

wynika, że

energia potencjalna w polu grawitacyjnym (7.77)

Stąd

energia całkowita (7.78)

przy czym g oznacza przyspieszenie swobodnego spadku w odległości r od środka Ziemi. Warunek wejścia pojazdu na orbitę eliptyczną przybiera teraz postać

warunek na orbitę eliptyczną (7.79)

czyli

zależność (7.80)

Szczególnym przypadkiem będzie okrąg. Wówczas

energia całkowita (7.81)

bo

gm (7.82)

natomiast

parametr ruch po okręgu (7.83)

czyli

l0 (7.84)

Wobec tego

energia (7.85)

Stąd już łatwo obliczymy prędkość konieczną do wejścia na orbitę kołową

pierwsza prędkość kosmiczna (7.86)

Nazywamy ją prędkością kołową lub pierwszą prędkością kosmiczną.

Wzór na prędkość kołową można uzyskać znacznie prościej przez przyrównanie siły grawitacji w polu Ziemi do siły dośrodkowej

siła grawitacji jako siła dośrodkowa (7.87)

wtedy jednak nie widać, że wynika ona z ogólnych praw ruchu pod działaniem siły centralnej.

Warunkiem wejścia na orbitę paraboliczną będzie

warunek na drugą prędkość kosmiczną (7.88)

czyli

druga prędkość kosmiczna (7.89)

prędkość tę nazywamy prędkością paraboliczną albo drugą prędkością kosmiczną. Pojazd o takiej prędkości nie wróci już w pobliże Ziemi, dlatego używa się też nazwy prędkość ucieczki. Jak widać, druga prędkość kosmiczna jest w danej odległości pierwiastek z dwóch razy większa niż pierwsza.

Poniższy wykres przedstawia zależność prędkości ucieczki z Układu Słonecznego w zależności od odległości od Słońca. Głębokość „studni” planetarnych oznaczają prędkości ucieczki od poszczególnych planet. Studnia Słońca jest 10,4 razy głębsza niż studnia Jowisza.

prędkość ucieczki w polu grawitacyjnym Słońca (Rys. 7.8)

Przy prędkości jeszcze większej

ruch po hiperboli (7.90)

ciało niebieskie porusza się po hiperboli.

Dla powierzchni Ziemi

wartości stałe dla Ziemi (7.91)

i otrzymujemy następujące wartości:

prędkości kosmiczne dla Ziemi (7.92)

Prędkość ucieczki względem Słońca

prędkość ucieczki względem Słońca (7.93)

Ze względu na możliwość wykorzystania prędkości Ziemi w obiegu dookoła Słońca u = 29 km/s (prędkość unoszenia) osiągnięcie trzeciej prędkości kosmicznej nie jest dużo trudniejsze niż drugiej.

 

 

7.4 Wyjaśnienie praw Keplera.

 

 

Pierwsze prawo Keplera wynika w sposób oczywisty z praw ruchu ciała w polu siły centralnej i odpowiada przypadkowi ujemnej energii całkowitej. Promienie wodzące perihelium i aphelium, czyli najbliższego i najdalszego od Słońca punktu orbity, wynoszą

r min r max (7.94)

Wielką i małą półoś określają znane wzory

wielka i mała półoś (7.95)

Podstawiając wyrażenia na p i e otrzymamy

wielka i mała półoś (7.96)

Jak widać, wielka półoś orbity zależy tylko od całkowitej energii planety.

W szczególnym przypadku orbity kołowej

energia w ruchu po okręgu (7.97)

radialna składowa prędkości zeruje się:

zerowanie się składowej radialnej prędkości (7.98)

a promień orbity pozostaje stały

stałość promienia orbity (7.99)

podobnie jak prędkość

stałość prędkości (7.100)

Przykład: Moment pędu Księżyca. Księżyc obiega Ziemię po orbicie zbliżonej do kołowej o promieniu R = 384 tys. km. Okres obiegu T = 27,4 doby. Masa Księżyca m = 7,34 ⋅ 1022 kg. Wobec tego moment pędu

moment pędu Księżyca (7.101)

Z zależności

moment pędu (7.102)

można dalej wyznaczyć iloczyn GM i masę Ziemi, nie jest to jednak najprostsza droga.

Drugie prawo Keplera jest po prostu prawem stałej prędkości polowej w ruchu o stałym momencie pędu. Wynika z niego między innymi, że prędkość planety jest największa w punkcie przysłonecznym orbity, a najmniejsza w punkcie odsłonecznym. Stałość prędkości polowej

stałość prędkości polowej (7.103)

oznacza bowiem, że prędkość vφ jest odwrotnie proporcjonalna do promienia wodzącego

zależność (7.104)

przy czym

kąt beta (7.105)

Iloczyn vsinβ jest oczywiście składową azymutalną prędkości vφ. Zatem

składowa azymutalna prędkości (7.106)
drugie prawo Keplera (Rys. 7.9)

Trzecie prawo Keplera wiąże się również ze stałą prędkościa polową, lecz związek ten jest nieco bardziej złożony. Okres obiegu można wyliczyć z wzoru

okres obiegu (7.107)

Ale znajdziemy go w prostszy sposób. Okres obiegu możemy interpretować jako czas potrzebny do tego, aby promień wodzący zakreślił pole elipsy

okres obiegu prosty wzór (7.108)

Pole elipsy S można wyrazić w funkcji parametru p i połowy wielkiej osi, czyli wielkiej półosi a jako

pole elipsy (7.109)

Stąd

kwadrat okresu (7.110)

Współczynnik proporcjonalności między kwadratem okresu a sześcianem wielkiej półosi zależy od masy M ciała centralnego. Możemy go znaleźć podstawiając wartości parametru orbity

parametr orbity (7.111)

i prędkości polowej

wartość prędkości polowej (7.112)

Zatem

trzecie prawo Keplera (7.113)

Znając stosunek T2/a3 możemy wyznaczyć masę M ciała centralnego. Zauważmy jeszcze, że okres obiegu

okres obiegu planety (7.114)

zależy tylko od energii całkowitej E0.

Obserwowane nieznaczne odchylenia od praw Keplera wynikają z dwóch przyczyn. Po pierwsze: planety nie są cząstkami tylko ciałami rozciągłymi i po drugie: oprócz oddziaływania między planetą a Słońcem powinno się także uwzględnić oddziaływanie planet między sobą. Mimo to prawa Keplera dają stosunkowo dokładny opis ruchu planet.

 

 

7.5 Ruch pod wpływem sił odpychania.

 

 

Pozostają jeszcze do omówienia siły odpychające, np. siły oddziaływania między jednoimiennymi ładunkami elektrycznymi. Teraz

alfa siły odpychające (7.115)

i efektywna energia potencjalna

dodatnia energia efektywna (7.116)

nigdy nie jest ujemna. Wobec tego ruch może być tylko nieskończony. Przeprowadzając odpowiedni rachunek, stwierdzimy, że dla Eef > 0 ciało porusza się po dalszej od centrum gałęzi hiperboli

r (7.117)

przy czym parametr p i mimośród zależą od energii i momentu pędu tak samo jak poprzednio:

parametr i mimośród (7.118)

Odległość pericentrum od ogniska – oczywiście dalszego – otrzymamy z równania toru podstawiając φ = 0:

rmin (7.119)

Jak widać, trajektorię cząstki w polu sił centralnych można przedstawić za pomocą ogólnego wzoru

ogólny wzór na r (7.120)

obejmującego zarówno przyciąganie (w mianowniku +1), jak i odpychanie (-1).

energia cząstki w polu odpychających sił centralnych (7.120)