Ruch – JR

Ruch

1.1 Definicja cząstki (punktu materialnego)
1.2 Położenie
1.3 Przemieszczenie
1.4 Tor
1.5 Droga
1.6 Prędkość
1.7 Przyspieszenie
1.8 Kinematyczne równania ruchu
1.9 Całkowanie funkcji prędkości i położenia

1.1 Definicja cząstki (punktu materialnego)

 

Cząstką albo punktem materialnym nazywamy ciało o znikomo małych rozmiarach, charakteryzujące się ważkością i położeniem.

Ciała rzeczywiste nie są punktami. Wolno je traktować jako cząstki punktowe tylko wtedy, gdy ich rozmiary w danym zagadnieniu nie grają roli. Rozmiary ciała można pominąć tylko wtedy, gdy są małe w porównaniu z wartościami współrzędnych określających jego położenie i gdy własny ruch obrotowy ciała nie ma znaczenia. Często możliwe jest zastąpienie ciała rozciągłego cząstką o takiej samej masie, umieszczoną w odpowiednim punkcie zwanym środkiem masy.

Przykład: Samochód jako cząstka. Położenie samochodu na szosie możemy określić podając odległość od miejsca, z którego wyruszył. W porównaniu z nią rozmiary samochodu nie mają znaczenia i możemy go traktować jako cząstkę. Przedstawia to poniższy rysunek:

samochód jako punkt materialny (Rys. 1.1)

Położenie tego samego samochodu w garażu określamy mierząc odległości poszczególnych jego punktów od ścian garażu. Rozmiary samochodu są z nimi porównywalne i nie możemy ich pominąć. Samochodu w garażu nie możemy uważać za cząstkę.

samochód w garażu (Rys. 1.2)

Pojęcie cząstki ma granice. Obiekty bardzo małe przejawiają właściwości falowe. Im dokładniej znamy ich pęd, tym gorzej oznaczone jest ich położemie. Przy częstych w świecie mikroobiektów wielkich prędkościach komplikuje się też zależność pędu od energii. Zatem za cząstki (punkty materialne) będziemy uważali obiekty na tyle małe, żeby ich rozmiary nie grały roli, ale na tyle duże, żeby było można pominąć efekty nieoznaczoność położenia i pędu.

Góra strony

 

 

1.2 Położenie

 

 

Położenie ciała jest pojęciem względnym; można je określić tylko względem wybranych innych ciał, zwanych ciałami odniesienia. Z ciałami odniesienia wiąże się układ wspłrzędnych.Najczęściej stosowany jest prostokątny układ współrzędnych prostoliniowych Kartezjusza . Współrzędne kartezjańskie są po prostu odleglościami punktu od trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn poprowadzonych przez ciała odniesienia.

układ współrzędnych kartezjańskich (Rys. 1.3)

Krawędzie ich przecięcia tworzą osie współrzędnych, a wspólny punkt stanowi początek układu.

Najoszczędniejszą formą zapisu położenia jest zapis wektorowy. Wektorem położenia albo promieniem wodzącym nazywamy odcinek skierowany, łączący początek układu z punktem, w którym znajduje się cząstka. Podanie wektora położenia jest równoznaczne z podaniem trzech współrzędnych skalarnych, np. kartezjańskich.

Aby związać wektor położenia r ze współrzędnymi kartezjańskimi x,y,z, wprowadzimy trzy wersory:

wersory (1.1)

Czasami wersory te oznacza się inaczej, na przykład:

inne oznaczenie wersorów (1.2)

Będą to wektory o długości równej 1, skierowane zgodnie ze zwrotem osi współrzędnych. Pomnożenie współrzędnej przez odpowiadający jej wersor daje w wyniku składową wektora położenia w kierunku danej osi. Wektor położenia jest sumą składowych:

wektor położenia jako suma składowych (1.3)

Jego bezwzględna wartość (długość) wynosi:

długość wektora położenia (1.4)
wersory kartezjańskiego układu współrzędnych (Rys. 1.4)

Za pomocą wersorów można łatwo opisać wzajemną orientację osi. Kosinus kąta między osiami jest równy skalarnemu iloczynowi odpowiednich wersorów. Na przykład:

kosinus kąta (1.5)

Stąd dla osi prostopadłych (α = 90)

zerowanie się iloczynów skalarnych wersorów (1.6)

Sinus kąta między osiami równa się bezwzględnej wartości wektorowego iloczynu ich wersorów na przykład:

sinus kąta między osiami (1.7)

Dla osi prostopadłych zachodzi:

iloczyn wektorowy poszczególnych wersorów (1.8)

Zwrot iloczynu wektorowego wynika z reguły śruby prawoskrętnej to znaczy jest taki jak kierunek posuwania się śruby prawoskrętnej, obracanej wraz z pierwszym wektorem – czynnikiem iloczynu, tak aby się pokrył z drugim.

reguła śruby prawoskrętnej (Rys. 1.5)

Iloczyn wektorowy dwóch wersorów jest więc prostopadłym do nich wektorem jednostkowym, skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Stąd:

iloczyny wektorowe wersorów (1.9)

Odwrócenie kolejności czynników obraca iloczyn wektorowy o 180°, czyli zamienia wektor iloczynu na przeciwny:

iloczyn wektorowy wersorów - odwrócona kolejność (1.10)

Przeprowadźmy przez dany punkt 3 płaszczyzny równoległe do płaszczyzn układu. Nazywamy je płaszczyznami współrzędnych, a krawędzie ich przecięcia liniami współrzędnych. Jeżeli zaczepimy w danym punkcie trójkę wersorów x0, y0, z0, to stwierdzimy, że linie współrzędnych wyznaczają ich kierunek.

linie współrzędnych (Rys. 1.6)

Współrzędne krzywoliniowe. Uogólnieniem układu kartezjańskiego są prostokątne układy współrzędnych krzywoliniowych. Najczęściej spotyka się: biegunowy, cylindryczny (walcowy) i sferyczny (kulisty). Zamiast płaszczyzn współrzędnych występują w nich powierzchnie zakrzywione, linie współrzędnych są krzywe, a zaczepione w punkcie ich przecięcia wersory są do nich styczne.

W układzie cylindrycznym współrzędnymi punktu są: rzut ρ wektora położenia na płaszczyznę (tzw. płaszczyznę biegunową), kąt φ między tym rzutem a przechodzącą przez początek (biegun) układu umowną prostą zwaną osią biegunową i wysokość z punktu nad płaszczyzną biegunową. Powierzchniami współrzędnych są: powierzchnia walcowa ρ = const, półpłaszczyzna φ = const, której krawędź stanowi oś z i płaszczyzna z = const prostopadła do osi z. Liniami współrzędnych są: półprosta (φ = const, z = const) prostopadła do osi z, okrąg (ρ = const, z = const) i tworząca walca (ρ = const, φ = const). Wersory ρ0, φ0, z0 mają kierunki stycznych do lini współrzędnych. ρ0 jest prostopadły do osi z, φ0 ma kierunek stycznej do okręgu, a z0 kierunek tworzącej walca. Wektor położenia wyraża się wzorem:

wektor położenia we współrzędnych cylindrycznych (1.11)

oczywiście:

zależność między wersorami we współrzędnych cylindrycznych (1.12)

Widać to szczególnie wyraźnie na poniższym rysunku:

układ współrzędnych cylindrycznych (Rys. 1.7)

Od współrzędnych walcowych do kartezjańskich przechodzi się następująco:

przejście od współrzędnych walcowych do kartezjańskich (1.13)

a z powrotem przez związki:

przejście od współrzędnych kartezjańskich do walcowych (1.14)

Współrzędne sferyczne (Rys. 1.8) stanowią: wartość ρ promienia wodzącego punktu, kąt ϑ między promieniem wodzącym a osią z i kąt φ między rzutem ρsinϑ promienia wodzącego na płaszczyznę xy a osią x.

współrzędne sferyczne (Rys 1.8)

Powierzchnie współrzędnych otrzymujemy kładąc kolejno ρ = const (kula), ϑ = const (stożek), i φ = const (półpłaszczyzna), a ich krawędzie przecięcia ϑ = const, φ = const (półprosta), ρ = const, φ = const (półokrąg) i ρ = const, ϑ = const (okrąg) tworzą linie współrzędnych. Styczne do linii współrzędnych określają kierunki wersorów ρ0, ϑ0, φ0. Wektor położenia jest równy:

wektor położenia we współrzędnych sferycznych (1.15)

Oczywiście (jak wynika między innymi z rysunku):

zależność między wersorami w układzie sferycznym (1.16)

Do współrzędnych kartezjańskich przechodzimy przez związki:

przejście ze współrzędnych sferycznych do kartezjańskich (1.17)

a z powrotem przez:

przejście ze współrzędnych kartezjańskich do sferycznych (1.18)

Przez przyrównanie do zera jednej ze współrzędnych układ przestrzenny redukujemy do powierzchniowego, w szczególnym przypadku płaskiego. I tak kładąc z = 0 zmieniamy przestrzenny układ Kartezjusza w płaski, a układ cylindryczny redukujemy do często stosowanego układu biegunowego (Rys. 1.9).

układ biegunowy (Rys 1.9)

o współrzędnych ρ = r i φ.

Układ biegunowy możemy też otrzymać ze sferycznego, kładąc ϑ = 90°

Naturalnie:

wektor położenia we współrzędnych biegunowych (1.19)

oraz:

przejście ze współrzędnych biegunowych do kartezjańskich (1.20)

a także:

przejście ze współrzędnych kartezjańskich do biegunowych (1.21)

Współrzędne x, y, z, ρ nazywamy liniowymi, φ, ϑkątowymi

W ogólnym przypadku wektor położenia:

ogólny przypadek wektora położenia (1.22)

jest sumą iloczynów współrzędnych liniowych ql i ich wersorów.

Przykład: nawigacja kosmiczna. Aby określić pozycję statku kosmicznego lecącego w płaszczyźnie ekliptyki, trzeba wybrać ciała odniesienia i związać z nimi układ współrzędnych. Najdogodniejszymi ciałami odniesienia są: Słońce, Ziemia, i jasna, bliska płaszczyzny ekliptyki gwiazda Regulus, a najdogodniejszym układem współrzędnych jest heliocentryczny układ biegunowy, którego początkiem jest Słońce, a osią biegunową prosta Słońce – Regulus.

nawigacja kosmiczna (Rys. 1.10)

Nawigator statku mierzy kąt φ’z między prostą statek – Regulus a Ziemią i kąt φ’s między tą prostą a Słońcem. Z tablic można odczytać aktualne heliocentryczne współrzędne Ziemi: kąt φz między prostą Słońce – Regulusa a promieniem wodzącym Ziemi i wartość R promienia wodzącego, czyli odległości Ziemi od Słońca. Heliocentryczne współrzędne statku znajdziemy z twierdzenia sinusów odniesionego do trójkąta statek – Ziemia – Słońce:

biegunowa współrzędna statku - r (1.23)

i zależność między kątami:

współrzędna fi - nawigacja kosmiczna (1.24)

Współrzędne naturalne. (Rys. 1.11) Położenie punktu na krzywej można określić podając długość s odcinka krzywej dzielącego punkt od wybranego punktu początkowego. Orientacja na płaszczyźnie wymaga wprowadzenia kierunku normalnej, a orientacja w przestrzeni binormalnej.

współrzędne naturalne (Rys. 1.11)

Układ osi charakteryzuje trójka wersorów s0, n0, b0. Zwrot s0 wynika z położenia punktu początkowego, wersor n0 jest skierowany do środka krzywizny, a zwrot b0 wynika z wzoru:

zależność między wersorami s, n, b (1.25)

Są to wersory tzw. współrzędnych naturalnych.

Transformacja wektora położenia. (Rys. 1.12) Jeżeli opisaliśmy położenie cząstki w danym układzie współrzędnych za pomocą wektora r’ i chcemy znaleźć jego położenie w innym układzie, w którym wektor położenia początku O naszego układu jest równy r0, to nowy wektor położenia cząstki znajdziemy z oczywistego związku:

transformacja wektora położenia (1.26)
transformacja położenia (Rys. 1.12)

zwanego transformacją wektora położenia. Wyraża ona względnośc położenia.

Góra strony

 

 

1.3 Przemieszczenie

 

 

Podobnie jak położenie, ruch ciała ma też charakter względny. W czasie ruchu ciała zmienia się jego położenie w określonym układzie odniesienia. Jeżeli położenie początkowe oznaczymy przez :

położenie początkowe (1.27)

a końcowe przez:

położenie końcowe (1.28)

to przemieszczenie określimy jako wektor:

wektor przemieszczenia (1.29)

Jego wartość:

wartość wektora położenia (1.30)

nosi nazwę interwału przestrzennego punktów 1 i 2.

wektor przemieszczenia i jego składowe (Rys. 1.13)

Aby znaleźć przemieszczenie elementarne albo infinitezymalne (Rys. 1.14), tzn. nieskończenie małe, trzeba poprowadzić przez dany punkt linie (dla układu kartezjańskiego – proste) współrzędnych. Przemieszczenie takie jest równe elementarnej zmianie wektora położenia będącej geometryczną sumą jej rzutów na linie współrzędnych pomnożonych przez odpowiednie wersory. W układzie kartezjańskim:

przemieszczenie elementarne (1.31)
składowe wektora przemieszczenia elementarnego w układzie kartezjańskim (Rys. 1.14)

Uogólniony wzór ma postać:

uogólnione przemieszczenie elementarne (1.32)

gdzie q0 oznacza wersory współrzędnych krzywoliniowych, a dsq rzuty zmiany dr wektora położenia na linie współrzędnych, czyli na kierunki wersorów.

W przypadku współrzędnych cylindrycznych rzuty te wynoszą (Rys. 1.15) dsρ = dρ, dsφ = ρdφ, dsz = dz i przemieszczenie:

elementarny wektor przemieszczenia we współrzędnych cylindrycznych (1.33)
składowe wektora przemieszczenia elementarnego w układzie cylindrycznym (Rys. 1.15)

We współrzędnych sferycznych (Rys. 1.16) dsρ = dρ, dsϑ = ρdϑ, dsφ = ρsinϑdφ i stąd:

składowe wektora przemieszczenia elementarnego we współrzędnych sferycznych (1.34)
składowe wektora przemieszczenia elementarnego w układzie sferycznym (Rys. 1.16)

We współrzędnych naturalnych (Rys. 1.17):

wektor przemieszczenia elementarnego w układzie naturalnym (1.35)
wektor przemieszczenia elementarnego w układzie naturalnym (Rys. 1.17)

Bezwzględna wartość wektora przemieszczenia jest równa pierwiastkowi z sumy kwadratów przemieszczeń składowych. Zarazem wolno nam utożsamiać moduł przemieszczenia elementarnego z różniczką łuku krzywej, po której porusza się cząstka. W układzie kartezjańskim:

moduł przemieszczenia elementarnego w układzie kartezjańskim (1.36)

Ogólnie w dowolnych współrzędnych krzywoliniowych:

moduł przemieszczenia elementarnego w dowolnych współrzędnych krzywoliniowych (1.37)

na przykład we współrzędnych cylindrycznych:

ds we współrzędnych cylindrycznych (1.38)

a w sferycznych:

ds we współrzędnych sferycznych (1.39)

Zwróćmy, jeszcze uwagę, że przyrost wartości wektora położenia nie jest równy bezwzględnej wartości wektora przemieszczenia (Rys. 1.18):

dr różne od moduł wektora dr (1.40)
bezwzględna wartość przyrostu wektora nie równa się przyrostowi bezwzględnej wartości wektora (Rys. 1.18)

z wyjątkiem przypadku, gdy przemieszczenie następuje wzdłuż wektora położenia.

Zależności między wersorami. Porównując ze sobą różne postacie wzoru na przemieszczenie możemy otrzymać zależność między wersorami, np. dla współrzędnych biegunowych i kartezjańskich:

zależność między wersorami ze współrzędnych biegunowych i kartezjańskich (1.41)

Po podzieleniu przez dρ

zależność pomiędzy wersorami- układ biegunowy i kartezjański (1.42)

Symbol pochodnej cząstkowej ∂/∂ oznacza różniczkowanie względem danej zmiennej przy ustalonych pozostałych zmiennych. Współrzędne jednego układu nie zależą od siebie, więc:

współrzędne jednego układu nie zależą od siebie (1.43)

Poza tym zachodzą zależności:

cosinus fi i sinus fi (1.44)

Stąd (biorąc pod uwagę (1.42), (1.43) oraz (1.44)) otrzymujemy :

[Rozmiar: 4800 bajtów] (1.45)

Podobnie dzieląc równanie wyjściowe (1.41) przez dφ otrzymujemy

fi zero (1.46)

i biorąc pod uwagę, że

d ro pod fi róne zeru (1.47)

a także:

dx (1.48)

Różniczkując teraz (1.48) po φ otrzymujemy:

dx po dfi (1.49)

Postępując podobnie z y otrzymujemy zależność:

d y po d fi (1.50)

Biorąc teraz pod uwagę (1.46), (1.47), (1.49) oraz (1.50) otrzymujemy:

wersor fi zero (1.51)

Otrzymane wzory można uogólnić, wprowadzając tzw. współczynnik Lamégo zdefiniowany dla poszczególnych współrzędnych q jako pochodna łuku linii współrzędnej względem współrzędnej:

definicja współczynnika Lamego (1.52)

I tak:

współczynnik Lamego dla ro (1.53)
współczynnik Lamego dla fi (1.54)

Ponadto:

dr po d ro (1.55)

Biorąc teraz pod uwagę (1.45), (1.55) oraz (1.53), otrzymujemy:

ro zero wersor (1.56)

Podobnie:

fi zero wersor (1.57)

Ogólnie:

ogólna zależność (1.58)

Otrzymane wzory pozwalają łatwo znaleźć zależności między wersorami dla pozostałych układów. Dla współrzędnych cylindrycznych:

zależności między wersorami dla współrzędnych cylindrycznych (1.59)

Stąd:

zależności między wersorami w układzie cylindrycznym i kartezjańskim (1.60)

Dla współrzędnych sferycznych mamy:

współczynnik Lamego we współrzędnych sferycznych (1.61)

Wykorzystując teraz relacje: (1.58), (1.61), (1.31) oraz (1.17) otrzymujemy:

zależności między wersorami we współrzędnych sferycznych a kartezjańskich (1.62)

Przyrosty wersorów. Wersor jest wektorem o stałej długości. Zmiana wersora może polegać tylko na zmianie kierunku. Infinitezymalny przyrost wersora osi zachowującej stały kierunek jest równy zeru. Na przykład w nie obracającym się układzie kartezjańskim:

różniczki wersorów w układzie kartezjańskim (1.63)

We współrzędnych cylindrycznych:

d ro zerowspółrzędne cylindryczne (1.64)

Wyłączając czynnik przed nawias oraz korzystając z zależności na φ0 z (1.60) otrzymujemy:

d ro zero współrzędne cylindryczne 2 (1.65)

Obliczmy teraz przyrost dφ0 (również dla współrzędnych cylindrycznych):

d fi zero cylindryczne 1 (1.66)

Wyłączając czynnik – przed nawias oraz korzystając z zależności na ρ0 z (1.60) otrzymujemy:

d fi zero cylindryczne (1.67)
d z zero (1.68)

Jak widać z powyższych wzorów: przyrost wersora ρ0 ma kierunek i zwrot wersora φ0. Przyrost wersora φ0 ma zwrot przeciwny do wersora ρ0.

Przyrosty wersorów współrzędnych sferycznych wyrażają się zależnościami bardziej skomplikowanymi:

d ro zero sferyczny (1.69)

Uwzględniając teraz zależności na ϑ0 oraz na φ0 z (1.62) otrzymujemy:

d ro zero sferyczny układ (1.70)

Obliczmy teraz przyrost dϑ0 (również dla współrzędnych sferycznych):

d theta zero układ sferyczny (1.71)

Uwzględniając teraz zależności na ρ0 oraz na φ0 z (1.62) otrzymujemy:

d theta wersor - układ sferyczny (1.72)

Obliczmy teraz przyrost dφ0 (również dla współrzędnych sferycznych):

d fi zero układ sferyczny (1.73)

Przypomnijmy sobie teraz zależności na ρ0 oraz na ϑ0 z (1.62):

ro zero i teta zero układ sferyczny (1.74)

Pomnóżmy pierwszą z powyższych zależności przez sinϑ a drugą przez cosϑ, otrzymując:

sinus teta rozero i cosinus teta teta zero (1.75)

Zsumujmy teraz powyższe dwa równania, otrzymując jedno (zastosujmy jednocześnie wzór na jedynkę trygonometryczną):

sin teta ro zero plus cos teta teta zero (1.76)

Biorąc teraz po uwagę (1.73) oraz (1.76) otrzymujemy:

d fi zero układ sferyczny (1.77)

Przyrost obracającego się wersora jest zawsze do niego prostopadły. Jest to ogólna właściwość wszystkich wektorów obracających się bez zmiany długości. Aby tego dowieść, wystarczy podnieść dowolny wersor w0 do kwadratu i zróżniczkować. Ze względu na stałą długość kwadratu wersora zachodzi:

w zero kwadrat jest const (1.78)

Pochodna stałej jest równa zeru. Zatem:

prostopadłość wersora w i dw (1.79)

co prowadzi do wniosku, że wektory w0 i dw0 są do siebie prostopadłe (zerowanie się iloczynu skalarnego świadczy o prostopadłości wektorów – czynników).

Znajdziemy teraz przyrosty wersorów współrzędnych naturalnych. Przyrost ds0 wersora s0 jest do niego prostopadły.

przyrost wersora stycznej (Rys. 1.19)

Jeżeli przez R oznaczymy promień krzywizny krzywej, po której porusza się cząstka, to z podobieństwa trójkątów wynika:

z podobieństwa trójkątów (1.80)

Wektorowi ds0 możemy przypisać zwrot n0:

d s zero wersor (1.81)

Powyższy związek wykorzystamy później do znalezienia przyspieszenia w ruchu krzywoliniowym.

Poszukajmy jeszcze kierunku wersora binormalnej b0. Ze względu na prostopadłość wersora binormalnej i wersora stycznej:

prostopadłość wersorów b i s (1.82)

Zróżniczkowanie tego związku daje:

po zróżniczkowaniu (1.83)

Ale ds0 ma kierunek n0 więc jest prostopadłe do b0. Stąd:

zerowanie się iloczynu skalarnego b zero i d s zero (1.84)

i pozostaje:

zerowanie się iloczynu skalarnego b zero d szero (1.85)

Zatem wektor db0 jest prostopadły do s0. Zarazem db0 jako przyrost wersora b0 jest prostopadły do samego wersora b0. Przyrost db0może więc mieć tylko kierunek normalnej n0. Umownie obieramy zwrot przeciwny do n0 i zapisujemy wynik naszego rozumowania w postaci:

d b zero po d s (1.86)

Współczynnik proporcjonalności κ nosi nazwę torsji albo skręcenia krzywej.

Przemieszczenie przy obrocie. Obrót wektora położenia opiszemy w układzie cylindrycznym tak wybranym, żeby oś z była osią obrotu.

przemieszczenie przy obrocie (Rys. 1.20)

Obrotowi o kąt dφ przypiszemy wektor dφ skierowany wzdłuż osi obrotu o zwrocie zgodnym z regułą śruby prawoskrętnej, czyli wzdłuż osi z. Wektor jednostkowy ω0 takiego obrotu będzie równoległy do osi z. Zatem:

d fi wektor (1.87)

Związane z obrotem przemieszczenie cząstki, czyli przyrost wektora położenia jest do niego prostopadły i wyraża się wzorem:

d r wektor (1.88)

Ale w układzie cylindrycznym:

fi zero wersor (1.89)

Stąd biorąc pod uwagę (1.88) i (1.89) otrzymujemy:

dr jako iloczy wektorowy d fi i r (1.90)

Wektory osiowe i biegunowe. Wektor obrotu dφ należy do tzw. wektorów osiowych albo pseudowektorów. Pseudowektory różnia się dod zwyczajnych wektorów zwanych biegunowymi tym, że nie mają punktu zaczepienia. Można więc je swobodnie przesuwać – wektory biegunowe tylko wzdłuż lini działania – a przy ich dodawaniu nie spełnia się zasada przemienności.

Przykład: Dodawanie obrotów. Wynik dodawania dwóch kolejnych obrotów książki czy kartki zależy od kolejności obrotów. Na ogół:

sumowanie nie jest przemienne (1.91)
[Rozmiar: 15467 bajtów] (Rys. 1.21)

mimo, że:

przemienność sum wartości kątów (1.92)

Im mniejsze kąty φ1 i φ2, tym mniej różnią się sumy wektorów obrotu. Łatwo dojść do wniosku, że przy wektorowym dodawaniu obrotów elementarnych zasada przemienności:

spełnienie zasady przemienności (1.93)

będzie spełniona.

Inna ciekawa właściwość pseudowektorów to zmiana zwrotu przy odbiciu w zwierciadle. Zmiana ta jest konsekwencją umowy wiążącej zwrot wektora z kierunkiem posuwania się śruby prawoskrętnej. Przy odbiciu w lustrze strona prawa staje się lewą, a skrętność śruby i układu współrzędnych zmienia się na przeciwną. Zwrot pseudowektora zależy od skrętności układu. Pseudowektorami są m. in. iloczyny wektorowe.

Wektor pola. Pole powierzchni zakreślonej przez obracający się wektor położenia wyraża się wzorem:

pole powierzchni (1.94)

czyli jest równe połowie bezwzględnej wartości iloczynu wektorowego r x dr

wektor pola (Rys. 1.22)

Temu polu przypiszemy wektor o kierunku i zwrocie wektora obrotu:

d S jako wektor (1.95)

przy czym, podobnie jak poprzednio, oś obrotu pokrywa się z osią z układu współrzędnych. Tak określony wektor pola jest również wektorem osiowym.

Góra strony

 

 

1.4 Tor

 

 

Linię, którą zakreśla cząstka, nazywamy torem albo trajektorią. Tor jest miejscem geometrycznym końców wektora położenia. Jego matematycznym opisem jest równanie toru czyli zależność wektora położenia od czsu.

wektor położenia (Rys. 1.23)

Wektorowe równanie toru jest równoważne trzem równaniom skalarnym, opisującym zależność współrzędnych od czasu. W układzie kartezjańskim wektorowe równanie toru ma postać:

zależność wektora r od czasu (1.96)

równoważną trzem równaniom skalarnym:

równania skalarne (1.97)

Jest to tzw. parametryczna postać równania toru.

W ogólnym przypadku współrzędnych krzywoliniowych równanie toru ma postać:

ogólna postać równania toru (1.98)

gdzie ql oznacza współrzędne liniowe. Na przykład we współrzędnych cylindrycznych:

[Rozmiar: 2506 bajtów] (1.99)

Współrzędna kątowa φ(t) w równaniu toru nie występuje, mimo że zależy od czasu.

We współrzędnych naturalnych równaniem toru jest zależność s = s(t). Oczywiście r = r(s) = r[s(t)]

Geometryczna klasyfikacja ruchów. W zależności od kształtu toru ruchy dzielimy na prostoliniowe i krzywoliniowe oraz na przestrzenne i płaskie. Tor cząstki jest krzywą płaską, gdy nie zmienia się któraś ze współrzędnych kartezjańskich, współrzędna z lub φ układu cylindrycznego oraz współrzędna ϑ lub φ układu sferycznego. Na przykład warunkiem ruchu w płaszczyźnie równoległej do xy (układ kartezjański), czy ρφ (układ cylindryczny) będzie z = const, czyli dz = 0. W ogólnym przypadku ruch będzie krzywoliniowy. Szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu krzywoliniowego jest ruch po okręgu. Warunkiem ruchu po linii prostej jest s0 = const, czyli stałość kierunku stycznej do toru. Inaczej ds0 = 0. Na przykład jeżeli tor s(t) cząstki jest linią prostą, to można go opisać równaniem:

ruch prostoliniowy (1.100)

gdzie r0 jest wektorem położenia punktu, od którego mierzymy współrzędną s. Różniczkując to równanie otrzymujemy:

r po zróżniczkowaniu (1.101)

Wektor r0 jest stały, więc dr0 = 0. Ponadto biorąc pod uwagę (1.35) otrzymujemy:

d r wektor (1.102)

Stąd:

s zero (1.103)

Przykład: Ruch prostoliniowy. Ruch przebiega po linii prostej, gdy współrzędne kartezjańskie są proporcjonalne do czasu lub się nie zmieniają. Niech x = at. y = bt , z = c.

ruch prostoliniowy (Rys. 1.24)

Stałość współrzędnej z oznacza, że cząstka porusza się w płaszczyźnie z = c. Bezwzględna wartość wektora położenia wynosi:

r (1.104)

Zagadnienie bardzo się uprości, jeżeli przesuniemy płaszczyznę xy układu o c w kierunku rosnących z. Nowe współrzędne będą miały postać:

nowe współrzędne (1.105)

Stąd:

r prim (1.106)

Ruch jest więc taki, że promień wodzący rośnie proporcjonalnie do czasu. Kąt jego nachylenia do osi x wynosi:

kąt alfa (1.107)

Przyjmując współrzędną s = r mamy ds0 = dr0 = 0 i s0 = r0 = const. Tor cząstki jest linią prostą, leżącą na płaszczyźnie z = c i przecinającą oś z.

Przykład: Ruch po okręgu. Równanie okręgu, którego środkiem jest początek układu, możemy zapisać w postaci:

równanie okręgu (1.108)

wobec czego także:

kwadrat wektora r (1.109)

Obustronne zróżniczkowanie prowadzi do związku:

prostopadłość r i dr (1.110)

z którego wynika, że drr. Przyrost wektora położenia jest do niego prostopadły. W ruchu po okręgu wartość wektora położenia jest stała, zmienia się tylko jego kierunek. Do opisu takiego ruchu szczególnie dobrze nadają się współrzędne biegunowe.

Góra strony

 

 

1.5 Droga

 

 

Długość przebytego przez cząstkę odcinka toru AB nazywamy drogą. Można ją znaleźć całkując w odpowiednich granicach wzór na różniczkę łuku:

droga (1.111)

Aby móc wykonać całkowanie, wykorzystujemy zależność współrzędnych od czasu. Na przykład w układzie kartezjańskim:

ds w układzie kartezjańskim (1.112)

Stąd, po pomnożeniu przez dt/dt otrzymujemy:

całkowy wzór na droge (1.113)

przy czym tA i tB określają chwile, w których cząstka znajduje się w A i B.

driga jako długość odcinka toru (Rys. 1.25)

Ogólnie droga w dowolnych współrzędnych krzywoliniowych jest równa:

droga w dowolnych współrzędnych krzywoliniowych (1.114)

przy czym dsq oznacza rzuty wektora przemieszczenia elementarnego na kierunki wersorów odpowiednich współrzędnych. Pochodne dsq/dt są rzutami wektora prędkości.

Góra strony

 

 

1.6 Prędkość

 

 

We wzorze na drogę we współrzędnych kartezjańskich pojawiły się pochodne współrzędnych względem czasu. Mnożąć zależność (1.111) przez dt/dt, otrzymujemy:

droga jako całka (1.115)

Pochodną υ wektora położenia względem czasu nazywamy prędkością. Prędkość jest wektorem:

prędkość (1.116)

Pochodne współrzędnych względem czasu są rzutami wektora prędkości na osie układu.

rzuty wektora prędkości na osie współrzędnych kartezjańskich (1.117)

oraz:

wektor prędkości (1.118)

oczywiście:

wartość prędkości (1.119)

We współrzędnych krzywoliniowych składowymi wektora prędkości są pochodne rzutów przemieszczenia na kierunki wersorów, czyli:

v q (1.120)

Stąd:

wektor prędkości we współrzędnych krzywoliniowych (1.121)

Powyższy wzór ma charakter ogólny. W przypadku współrzędnych Kartezjusza i w ogóle wszystkich współrzędnych liniowych ql składowe elementarnego przemieszczenia są po prostu różniczkami samych współrzędnych i stąd:

v q (1.122)

Bezwzględna wartość wektora prędkości – podobnie jak każdego innego wektora – jest równa pierwiastkowi z sumy kwadratów składowych:

wartość wektora prędkości (1.123)

Kąt między wektorem prędkości a wersorem współrzędnej q można znaleźć z wzoru:

v q (1.124)

czyli:

kosinus kąta (1.125)

Przykład: Prędkość radialna i transwersalna. Z równania toru we współrzędnych biegunowych:

zależność od czasu wektora wodzącego we współrzędnych biegunowych (1.126)

znajdziemy wektor prędkości:

prędkość we współrzędnych biegunowych (1.127)

Ale

d ro zero (1.128)

więc:

prędkość we współrzędnych biegunowych (1.129)

Z drugiej strony zaś:

prędkość we współrzędnych biegunowych (1.130)

Czynniki przy wersorach są więc wartościami składowych wektora prędkości.

składowa radialna wektora prędkości (1.131)

Powyższą składową prędkości nazywamy składową radialną, a :

składowa transwersalna prędkości (1.132)

składową transwersalną lub azymutalną. Kosinus kąta między wektorem prędkości a promieniem wodzącym, czyli tzw. kosinus kierunkowy wektora v jest równy:

kosinus kierunkowy (1.133)

Podobnie znajdziemy drugi kosinus kierunkowy:

drugi kosinus kierunkowy (1.134)
rozkład prędkości na radialną i transwersalną (Rys. 1.26)

Składowe wektora prędkości. W ogólnym przypadku do znalezienia składowych prędkości można się posłużyć współczynnikami Lamégo. Mianowicie:

prędkość w ogólnym przypadku (1.135)

oraz:

współczynnik Lamego (1.136)

Stąd:

wektor prędkości zapisany za pomocą współczynników Lamego (1.137)

albo:

v q za pomocą współczynników Lamego (1.138)

Na przykład we współrzędnych biegunowych:

we współrzędnych biegunowych (1.139)

co zgadza się z tym co otrzymaliśmy wcześniej.

We współrzędnych cylindrycznych:

współrzędne cylindryczne (1.140)

oraz:

wartość prędkości we współrzędnych cylindrycznych (1.141)

oczywiście:

kosinus kierunkowy v z0 (1.142)

We współrzędnych sferycznych:

współrzędne sferyczne (1.143)

oraz:

wartość prędkości we współrzędnych sferycznych (1.144)

a także:

kosinusy kierunkowe we współrzędnych sferycznych (1.145)

Prędkość kątowa. Występująca w wyrażeniu na prędkość transwersalną pochodna dφ/dt określa szybkość zmian kąta biegunowego przy obrocie wektora położenia. Nazywamy ją prędkością kątową. Prędkość kątowa ω jest wektorem skierowanym wzdłuż osi prostopadłej do płaszczyzny biegunowej o zwrocie zgodnym z regułą śruby prawoskrętnej, czyli takim samym jak wektora obrotu infinitezymalnego dφ:

definicja wektora prędkości kątowej (1.146)

Podobnie jak wektor obrotu prędkość kątowa jest wektorem osiowym. Przez dodanie współrzędnej z możemy przekształcić układ biegunowy w cylindryczny. Wówczas:

omega 0 wersor (1.147)

oraz, na mocy znanych właściwości ioloczynu wektorowego:

fi 0 (1.148)

Jeżeli potraktujemy prędkość azymutalną jako wektor, a następnie uwzględnimy powyższy związek oraz :

ro sinus r (1.149)

to:

v fi wektor (1.150)

czyli:

zależność pomiędzy prędkością liniową a kątową (1.151)

To samo otrzymamy przy dowolnym kierunku ω.

ruch po okręgu (Rys. 1.27)

Przykład: Prędkość w ruchu po okręgu. W ruchu po okręgu promień wodzący ρ = const = r i jego pochodna:

zerowanie się v ro (1.152)

Zerowanie się prędkości radialnej oznacza, że:

v w ruchu po okręgu (1.153)

Wektor prędkości jest równy swojej składowej azymutalnej. Stąd:

prędkość w ruchu po okręgu (1.154)

Ze względu na prostopadłość ω do r :

wartość prędkości w ruchu po okręgu (1.155)

Prędkość polowa. Poprzednio przypisaliśmy polu powierzchni zakreślonej przy infinitezymalnym obrocie wektora położenia wektor określony zależnością (1.95). Dzieląc go przez dt, otrzymujemy tzw. prędkość polową albo wycinkową.

prędkość polowa (1.156)

Na przykład we współrzędnych biegunowych:

prędkość polowa we współrzędnych biegunowych (1.157)

przy czym skorzystaliśmy z tego, że:

zależności prędkość polowa we współrzędnych biegunowych (1.158)

tak więc:

wektor prędkości polowej we współrzędnych biegunowych (1.159)

Wektor prędkości polowej jest proporcjonalny do prędkości polowej i ma jej kierunek.

wektor prędkości polowej (Rys. 1.28)

Ruch jednostajny. Sczególnie prosto przedstawia się opis ruchu, gdy prędkość jest stała. Rozróżniamy przy tym dwa przypadki: a) prędkość może być stała jako wektor, tzn. stała co do wartości i kierunku:

prędkość stała (Rys. 1.29)

i b) tylko wartość pozostaje stała. W pierwszym przypadku ruch jest jednostajny i prostoliniowy. Z równania v = dr/dt = const wynika bowiem dr = vdt, co oznacza, że przemieszczenie elementarne zachowuje stały kierunek wektora v. Stąd:

s 0 const (1.160)

Także wektor skończonego przemieszczenia

wektor skończonego przemieszczenia (1.161)

nie zmienia swego kierunku. t0 oznacza czas początkowy (oczywiście może być t0 = 0). W chwili t = t0 r = r0.

W przypadku gdy tylko wartość prędkości jest stała, a jej kierunek się zmienia, ruch jest jednostajny i krzywoliniowy. Do ogólnego opisu takiego ruchu szczególnie dogodny jest układ współrzędnych naturalnych.

ruch jednostajny krzywoliniowy (Rys. 1.30)

Do tego celu trzeba przekształcić wzór na prędkość:

prękość w ruchu jednostajnym krzywoliniowym (1.162)

Pochodna dr/ds jest po prostu wektorem jednostkowym w kierunku stycznej s0 (bo dr = dss0). Stąd:

prędkość w ruchu krzywoliniowym (1.163)

Wzór ten wyraża znany fakt, że prędkość jest styczna do toru. Bezwzględna wartość prędkości v = ds/dt. Stąd ds = vdt i po scałkowaniu otrzymujemy znany wzór na drogę ważny także dla ruchu prostoliniowego:

droga w ruchu krzywoliniowym (1.164)

zapisywany niekiedy w formie s = vt, gdy t0 = 0 i s0 = 0.

wykresy dla ruchu jednostajnego (Rys. 1.31)

Szczególnym przypadkiem jednostajnego ruchu krzywoliniowego jest jednostajny ruch po okręgu. Z zależności

stałość prędkości w ruchu po okręgu (1.165)

wynika, że:

stałość wartości prędkości kątowej (1.166)

oraz:

przemieszczenie katowe (1.167)

Przemieszczenie kątowe φ – φ0 zwie się niekiedy drogą katową. Gdy t0 = 0 i φ0 = 0 to droga kątowa:

fi (1.168)

Dodawanie prędkości. Wektor prędkości jest – podobnie jak każdy wektor – sumą swoich składowych. Za tym matematycznym stwierdzeniem kryje się fizyczny sens. Składowe wektora prędkości, czyli pochodne współrzędnych względem czasu są same prędkościami. Prędkości są addytywne – jeżeli cząstka jest obdarzona kilkoma prędkościami, to jej ruch jest taki, jakgdyby miała tylko jedną prędkość równą sumie wszystkich wektorów prędkości. Wniosek ten nazywamy prawem dodawania (składania) prędkości albo zasadą niezależności ruchów.

W szczególności, jeżeli cząstka porusza się z prędkością v’ względem układu odniesienia, który sam porusza się z prędkością u względem jakiegoś innego układu, to prędkość cząstki względem tego drugiego układu, zwana czasem prędkością bezwzględną będzie równa:

dodawanie prędkości (1.169)

Prędkość cząstki v’ względem układu ruchomego nosi nazwę prędkości względnej, a prędkośc układu uprędkości unoszenia. Prędkość bezwzględna jest wektorową sumą prędkości względnej i prędkości unoszenia. Prawo dodawania (transformację) prędkości można otrzymać różniczkując transformację wektora położenia:

transformacja prędkości (1.170)
dodawanie prędkości (Rys. 1.32)

przy czym r’ jest wektorem położenia w układzie ruchomym, r – w układzie nieruchomym, a r0 określa położenie początku układu ruchomego.

Prawo dodawania prędkości nie powstało w drodze matematycznych spekulacji. Sformułowano je w oparciu o wyniki licznych doświadczeń potwierdzających wyrażoną przez nie względność ruchu.

Przykład: Jak wystrzelić sputnika? Na skutek wirowania Ziemi każdy punkt jej powierzchni porusza się z zachodu na wschód z prędkością:

prędkość punktu na powierzchni Ziemi (1.171)
prędkość unoszenia na Ziemi (Rys. 1.33)

gdzie R jest promieniem Ziemi, a φ szerokością geograficzną rozpatrywanego punktu. Łatwo obliczyć, że na równiku:

na równiku (1.172)

tak więc (na równiku):

u na równiku (1.173)

a na biegunach (φ = π/2):

u na biegunach (1.174)

Prędkość u jest prędkością unoszenia ciał związanych z Ziemią. Aby wystrzelony obiekt mógł obiegać Ziemię jako sztuczny satelita, trzeba mu nadać prędkość:

pierwsza prędkość kosmiczna (1.175)

zwaną pierwszą prędkością kosmiczną. Podana wartość jest określona w układzie nieruchomym, np. związanym z osią Ziemi. Prędkość względna v, jaką obiekt musi uzyskać względem powierzchni Ziemi, wymika z wzoru:

pierwsza prędkość kosmiczna (1.176)

Jeżeli będzie startował na wschód, to wektor v będzie równoległy do wektora u. Stąd:

prędkość na wschód (1.177)

i konieczna prędkość startowa będzie mniejsza, a wraz z nią i koszty paliwa.

start sputnika (Rys. 1.34)

Góra strony

 

 

1.7 Przyspieszenie

 

 

Jeżeli prędkość cząstki zależy od czasu, co zapisujemy w postaci :

zależność prędkości od czasu (1.178)

to obliczamy ją z całki:

prędkość jako całka (1.179)

Pochodną prędkości względem czasu nazywamy przyspieszeniem i oznaczamy symbolem a. Z definicji prędkości v = dr/dt wynika:

definicja wektora przyspieszenia (1.180)

Przyrost prędkości jest sumą swoich składowych. Na przykład w układzie Kartezjusza:

dv wektor (1.181)

Stąd:

wektor a rozpisany (1.182)

gdzie:

ax ay az (1.183)

oczywiście:

wartość a (1.184)

oraz:

kosinusy a (1.185)

We współrzędnych krzywoliniowych:

wektor przyspieszenia we współrzędnych krzywoliniowych (1.186)

Aby znaleźć składowe aq wektora przyspieszenia, trzeba zróżniczkować prędkość korzystamy tu z zależności (1.121)

składowe a (1.187)

i porównać współczynniki przy wersorach po lewej i prawej stronie równania. Kierunek wektora przyspieszenia określają wzory:

kierunek wektora przyspieszenia (1.188)

Przykład: Przyspieszenie radialne i transwersalne. W układzie współrzędnych biegunowych pochodne rzutów przemieszczeń na kierunki wersorów wynoszą:

pochodne rzutów przemieszczeń na kierunki wersorów we współrzędnych biegunowych (1.189)

Drugie pochodne są równe:

drugie pochodne rzutów przemieszczeń na kierunki wersorów we współrzędnych biegunowych (1.190)

Pochodne wersorów:

pochodne wersorów w układzie biegunowym (1.191)

Po zastosowaniu wzoru (1.187) do naszego przypadku otrzymujemy:

przyspieszenie we współrzędnych biegunowych (1.192)

Podstawiając teraz (1.189), (1.190) oraz (1.191) do (1.192) otrzymujemy:

przyspieszenie w układzie biegunowym (1.193)

czyli:

przyspieszenie we współrzędnych biegunowych (1.194)

Porównując współczynniki przy wersorach ρ0 i φ0, otrzymujemy:

a ro a fi (1.195)

aρ ρ0 nosi nazwę składowej radialnej przyspieszenia, a aφ φ0 składowej transwersalnej. Wektor przyspieszenia ma wartość bezwzględną:

wartość bezwzględna przyspieszenia we współrzędnych biegunowych (1.196)

i kierunek określony wzorami:

kosinusy kierunkowe przyspieszenie w układzie biegunowym (1.197)

Te same wzory można otrzymać przez dwukrotne zróżniczkowanie zależności r = ρρ0.

przyspieszenie radialne i transwersalne (Rys. 1.35)

Przyspieszenie kątowe. Występująca w powyższych wyrażeniach pierwsza pochodna współrzędnej kątowej względem czasu jest prędkością kątową. Druga pochodna współrzędnej kątowej względem czasu, określająca szybkość zmian prędkości kątowej, nosi nazwę przyspieszenia kątowego. Wektor przyspieszenia kątowego:

wektor przyspieszenia kątowego (1.198)

ma kierunek zmiany prędkości kątowej dω (ε0 – wektor jednostkowy w kierunku ε). Jeżeli prędkość kątowa nie zmienia swego kierunku, to wektor przyspieszenia kątowego ma kierunek wektora prędkości kątowej ε0 = ω0, a jego zwrot zależy od tego czy prędkość kątowa rośnie, czy maleje. I tak dla dω > 0:

wektor omega (1.199)

a dla dω < 0:

d omega mniejsze zero (1.200)

W przypadku ogólnym:

przyspieszenie kątowe (1.201)

przy czym dω0ω0.

Przyspieszenie w układach współrzędnych krzywoliniowych. We współrzędnych cylindrycznych dochodzi składowa:

składowa az we współrzędnych cylindrycznych (1.202)

i

wektor przyspieszenia we współrzędnych cylindrycznych (1.203)

oraz:

wartość przyspieszenia we współrzędnych cylindrycznych (1.204)

oczywiście:

kosinus kierunkowy przyspieszenia we współrzędnych cylindrycznych (1.205)

Obliczenia składowych wektora przyspieszenia we współrzędnych krzywoliniowych można uprościć, stosując współczynniki Lamégo. Do tego celu wyrazimy składowe przyspieszenia jako iloczyny skalarne wektora przyspieszenia i odnośnych wersorów:

składowe przyspieszenia (1.206)

i podstawmy poznane wcześniej związki między wersorami a pochodnymi wektora położenia względem współrzędnych: (1.58), otrzymując:

składowe wektora przyspieszenia we współrzędnych krzywoliniowych zapisane za pomocą współczynników Lamego (1.207)

Zauważmy, że:

zależność (1.208)

oraz:

zależność (1.209)

i

zależność (1.210)

Stąd, biorąc pod uwagę (1.207), (1.208), (1.209), (1.210) :

a q (1.211)

Ponadto:

zależność (1.212)

i

zależność (1.213)

Ostatecznie biorąc pod uwagę (1.211), (1.212) oraz (1.213):

a q (1.214)

Przykład: Przyspieszenie we współrzędnych sferycznych. We współrzędnych sferycznych mamy:

współczynniki Lamego we współrzędnych sferycznych (1.215)

Ponadto korzystając z (1.143) otrzymujemy:

v kwadrat przez dwa współrzędne sferyczne (1.216)

więc:

d pod d ro z kropką (1.217)
d po d teta z kropką (1.218)
d po d fi z kropką (1.219)

oraz

d po d ro (1.220)
d po d teta (1.221)

i

d po d fi (1.222)

Stąd:

druga pochodna ro względem czasu (1.223)
d po dt d po d teta z kropką (1.224)

i

d po dt d po d fi z kropką (1.225)

przy czym:

dq po dt (1.226)

Po podstawieniu do wzoru (1.214) mamy:

a ro (1.227)
a teta (1.228)
a fi (1.229)

Otrzymanie powyższych wzorów przez dwukrotne różniczkowanie wzoru r = ρρ0 byłoby znacznie trudniejsze. Oczywiście:

wektor przyspieszenia we współrzędnych sferycznych (1.230)
wartość przyspieszenia we współrzędnych sferycznych (1.231)

oraz:

kosinusy kierunkowe przyspieszenia we współrzędnych sferycznych (1.232)

Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym. Prosty opis ruchu krzywoliniowego uzyskujemy, stosując współrzędne naturalne. Przyspieszenie znajdziemy różniczkując prędkość:

wektor przyspieszenia we współrzędnych naturalnych (1.233)

Jak to wykazaliśmy w (1.81):

ds zero wersor (1.234)

gdzie n0 jest wektorem jednostkowym w kierunku normalnej, a R promieniem krzywizny toru w danym punkcie. Wobec tego:

d s zero po dt (1.235)

Przy czym skorzystaliśmy z zależności:

szybkość (1.236)

Podstawiając (1.235) do (1.233) i uwzględniając (1.236) otrzymujemy:

wektor przyspieszenia we współrzędnych naturalnych (1.237)

gdzie as = ass0 jest styczną, a an = ann0 normalną składową przyspieszenia. Wektor przyspieszenia jest więc sumą przyspieszenia stycznego i normalnego. Przyspieszenie styczne jest skierowane jak wersor s0, a jego zwrot zależy od znaku pochodnej d2s/dt2. Dla d2s/dt2 > 0 (ruch przyspieszony) as = ass0, a dla d2s/dt2 < 0 (ruch opóźniony) as = – ass0. Przyspieszenie normalne ma zawsze zwrot n0, czyli jest skierowane do środka krzywizny toru i stąd jego druga nazwa: Przyspieszenie dośrodkowe. Jeżeli wektor położenia zaczepimy w środku krzywizny, to r = Rr0 i ze związku (1.155) wynika, że:

przyspieszenie normalne we współrzędnych naturalnych (1.238)

Ze względu na to, że wersor n0 ma zwrot przeciwny niż r0:

n0 a r0 (1.239)

przyspieszenie dośrodkowe można także wyraźić jako:

wektor an (1.240)
przyspieszenie we współrzędnych naturalnych (Rys. 1.36)

Zależność(1.240) może też służyć do obliczenia promienia krzywizny R. Jak zwykle:

wartość przyspieszenia we współrzędnych naturalnych (1.241)

oraz:

kosinusy kierunkowe dla przyspieszenia we współrzędnych naturalnych (1.242)

Przykład: Przyspieszenie w ruchu po okręgu. Jeżeli ruch odbywa się po okręgu, w którego środku zaczepimy promień wodzący, to r = R = const. Różniczkując związek (1.154) otrzymamy:

wektor przyspieszenia w ruchu po okręgu (1.243)

ale:

d omega po d t (1.244)

Stąd:

wektor przyspieszenia w ruchu po okręgu (1.245)

Iloczyn:

iloczyn wektorowy epsilon r (1.246)

ma kierunek prostopadły do promienia i osi obrotu, czyli kierunek stycznej, może więc być tylko przyspieszeniem stycznym:

przyspieszenie styczne w ruchu po okręgu (1.247)
przyspieszenie styczne (Rys. 1.37)

Iloczyn:

iloczyn wektorowy omega v (1.248)

jest prostopadły do osi i do prędkości, tzn. ma kierunek promienia, a zwrot do środka okręgu, może więc być tylko przyspieszeniem dośrodkowym. Można to ściślej wykazać opierając się na znanej właściwości potrójnego iloczynu wektorowego:

bac cab (1.249)

Skorzystaliśmy tu z faktu, że:

prostopadłość wektorów (1.250)

Góra strony

 

 

1.8 Kinematyczne równania ruchu

 

 

Na podstawie poznanych wzorów potrafimy już rozwiązać jedno z typowych zagadnień kinematycznych, jakie często spotykamy w praktyce: znamy zależność położenia od czasu, czyli równanie toru, trzeba wyznaczyć prędkość i przyspieszenie. Prędkość znajdujemy różniczkując równanie toru:

wektor prędkości jako pochodna równania toru po czasie (1.251)

Powtórne różniczkowanie daje przyspieszenie:

wektor przyspieszenia zależny od czasu (1.252)

W ogólnym przypadku prędkość i przyspieszenie zależą od czasu. Wartości chwilowe znajdujemy podstawiając odpowiednie t.

W praktyce z reguły różniczkujemy zależności skalarne.

Przykład: Rzut poziomy. Współrzędne ciała rzuconego poziomo z prędkością v0 równoległą do osi x zależą od czasu w następujący sposób:

współrzędne w rzucie poziomym (1.253)
rzut poziomy (Rys. 1.38)

przy czym oś z skierowana jest pionowo w dół od miejsca wyrzucenia ciała zgodnie z kierunkiem przyspieszenia swobodnego spadku g. Łatwo sprawdzić, że powyższe zależności są parametrycznymi równaniami paraboli. Wystarczy wyrugować parametr t, wyznaczając go z pierwszego równania i wstawiając do drugiego, aby otrzymać jawne równanie toru:

rownanie paraboli (1.254)

a to jest równanie paraboli.

Aby znaleźć składowe prędkości, różniczkujemy współrzędne:

składowe prędkości w rzucie poziomym (1.255)

oczywiście:

wartość prędkości w rzucie poziomym (1.256)

oraz:

kosinusy kierunkowe prędkości w rzucie poziomym (1.257)

Powtórne różniczkowanie daje składowe przyspieszenia:

przyspieszenie w rzucie poziomym (1.258)

oczywiście:

wartość przyspieszenia w rzucie poziomym (1.259)

oraz:

kosinusy kierunkowe przyspieszenia w rzucie poziomym (1.260)

Znajdźmy jeszcze przyspieszenie styczne:

przyspieszenie styczne w rzucie poziomym (1.261)

Ale z zależności (1.256) mamy:

czas w rzucie poziomym (1.262)

Podstawiając to do wzoru na przyspieszenie styczne (1.261) otrzymamy:

przyspieszenie styczne w rzucie poziomym (1.263)

Jak widać przyspieszenie styczne rośnie w czasie ruchu od początkowej wartości as = 0 dla v = v0 do końcowej wartości as = g dla v → ∞ (gdy t → ∞), mimo że przyspieszenie całkowite jest stałe: a = g.

Możemy jeszcze znaleźć przyspieszenie normalne (korzystając z (1.241)):

przyspieszenie normalne w rzucie poziomym (1.264)

które ze wzrostem v maleje, oraz promień krzywizny (korzystając z (1.238)):

promień krzywizny w rzucie poziomym (1.265)

który stale rośnie.

Kierunki przyspieszenia stycznego i normalnego wyznaczamy z wzorów:

kosinusy kierunkowe przyspieszeń stycznego i normalnego w rzucie poziomym (1.266)

W tym przypadku są to zarazem kosinusy kierunkowe względem osi z (przyspieszenie a = g jest równoległe do z0).

Całkowanie równań. Bardzo często warunki zadania zmuszają do postępowania odwrotnego niż pokazane przed chwilą: wychodząc ze znanej zależności przyspieszenia od czasu:

a od t wektor (1.267)

czyli tzw. kinematycznych równań ruchu, musimy znaleźć prędkość, położenie i drogę oraz postać toru. Zagadnienie takie rozwiązuje się przez całkowanie. Elementarny przyrost prędkości dv = a(t)dt i stąd:

prędkość jako całka nieoznaczona (1.268)

Podobnie dr = v(t)dt i:

wektor r jako całka (1.269)

Każde z powyższych równań wektorowych jest równoważne trzem równaniom skalarnym dla poszczególnych składowych wektorów przyspieszenia, prędkości i położenia. W praktyce całkuje się zwykle właśnie równania skalarne. Stałe całkowania C i C’ wyznacza się z tzw. warunków brzegowych, czyli związków podających prędkość i położenie w jakiejś chwili, np. prędkość v0 w chwili t0. Można również posłużyć się całkami oznaczonymi – warunki brzegowe określają wówczas granice całkowania.

Ruch ze stałym przyspieszeniem. Całkowanie równań ruchu bardzo się upraszcza, kiedy przyspieszenie nie zależy od czasu. Rozróżnimy przy tym dwa przypadki: a) przyspieszenie jest stałe jako wektor, tzn. ma stałą wartość i stały kierunek: a = const i b) wartość przyspieszenia pozostaje stała, a zmienia się kierunek: a = const. W pierwszym przypadku stały wektor przyspieszenia można wyłączyć przed znak całki. Przyjmując, że w chwili t = t0 i r = r0, otrzymujemy:

stałość wektora przyspieszenia (1.270)

czyli:

ruch jednostajnie zmienny - zależność (1.271)

Stąd:

ruch jednostajnie zmienny - zależność (1.272)

czyli:

dr przy a = const (1.273)

Po scałkowaniu:

r minus r0 (1.274)

albo

wektor położenia w ruchu jednostajnie zmiennym (1.275)

Możemy tak mierzyć czas, że t0 = 0. Wówczas:

wektor położenia w ruchu jednostajnie zmiennym (1.276)

Ze związku vv0 = at oraz a = const wynika, że zmiana prędkości ma stały kierunek – taki jak przyspieszenie a. Wektor prędkości leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory v0 i a. Na tej samej płaszczyźnie leży wektor przemieszczenia rr0 i po niej porusza się koniec wektora położenia r zakreślając tor cząstki. Wynika stąd, że przy stałym wektorze przyspieszenia cząstka porusza się po torze płaskim. W ogólnym przypadku tor ten będzie parabolą drugiego stopnia. W szczególnym przypadku gdy prędkość początkowa ma ten sam kierunek co przyspieszenie również prędkość chwilowa v ma ten sam stały kierunek i ruch odbywa się po linii prostej. Można to zapisać w postaci v = vs0 i s0 = const. Ruch jest wtedy jednostajnie przyspieszony.

Przykład: Rzut ukośny. Przykładem ruchu o stałym przyspieszeniu a = g i dowolnej prędkości początkowej v0 jest rzut ukośny. Układ współrzędnych kartezjańskich obieramy tak, żeby wektor g był skierowany przeciwnie do osi z, a prędkość v0 leżała w płaszczyźnie x0, z0, przy czym kąt między v0 a x0 wynosi α.

rzut ukośny (Rys. 1.39)

Wówczas :

składowe przyspieszenia w rzucie ukośnym (1.277)

oraz:

składowe prędkości w rzucie ukośnym (1.278)

i równanie ruchu przyjmie postać:

równania ruchu w rzucie ukośnym (1.279)

Pierwsze całkowanie w granicach od t0 = 0 do t daje:

składowe prędkości w rzucie ukośnym (1.280)

Zatem ruch wzdłuż osi x jest jednostajny ze stałą prędkością

v x rzut ukośny (1.281)

Równolegle do osi y ciało się nie porusza. W kierunku osi z prędkość zależy od czasu:

v z rzut ukośny (1.282)

(ruch jednostajnie opóźniony). Stąd:

rzut ukośny (1.283)

Powtórne całkowanie w tych samych granicach daje:

współrzędne w rzucie ukośnym (1.284)

Otrzymaliśmy parametryczne równania toru, który jest parabolą leżącą w płaszczyżnie x, z. Najłatwiej się o tym przekonać rugując z równań parametr t (to znaczy czas). Z pierwszego równania:

czas w rzucie ukośnym (1.285)

Co po podstawieniu do drugiego z równań (1.284) daje równanie paraboli:

równanie toru w rzucie ukośnym: parabola (1.286)

Ruch jednostajnie przyspieszony. Gdy a = const, ale a ≠ const, czyli gdy zmienia się kierunek przyspieszenia o stałej wartości, ruch odbywa się po linii krzywej.

wykresy w ruchu jednostajnie przyspieszonym (Rys. 1.40)

Pole pod wykresem przyspieszenia jest miarą przyrostu prędkości, pole pod wykresem prędkości miarą drogi. Jednocześnie nachylenie krzywej (w tym przypadku prostej) prędkości do osi czasu jest miarą przyspieszenia, a nachylenie krzywej drogi miarą prędkości chwilowej.

Sczególnym przypadkiem omawianego tutaj ruchu jest ruch ze stałym przyspieszeniem stycznym, czyli ruch jednostajnie przespieszony. Do opisu tego ruchu stosujemy współrzędne naturalne. Równaniem ruchu będzie:

ruch jednostajnie przyspieszony (1.287)

Po scałkowaniu:

ruch jednostajnie przyspieszony (1.288)

czyli:

ruch jednostajnie przyspieszony - prędkość (1.289)

Stąd:

ruch jednostajnie przyspieszony - ds (1.290)

Drugie całkowanie daje:

ruch jednostajnie przyspieszony - droga (1.291)

albo:

droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym (1.292)

Oprócz przyspieszenia stycznego cząstka ma jeszcze zmienne przyspieszenie normalne:

przyspieszenie normalne w ruchu jednostajnie przyspieszonym (1.293)

R(t) jest aktualnym promieniem krzywizny toru w punkcie, w którym znajduje się cząstka w chwili t.

Przykład: Ruch jednostajnie przyspieszony po okręgu. Przy stałym przyspieszeniu stycznym także przyspieszenie kątowe jest stałe:

stałość przyspieszenia kątowego (1.294)

Taki ruch nazywamy jednostajnie przyspieszonym po okręgu.

przyspieszenie w ruchu po okręgu (Rys. 1.41)

Całkując związek:

d omega (1.295)

otrzymujemy prędkość kątową w funkcji czasu:

prędkość kątowa w funkcji czasu (1.296)

czyli:

prędkość kątowa w funkcji czasu (1.297)

Powtórne całkowanie daje przemieszczenie kątowe (kąt obrotu):

przemieszczenie kątowe w funkcji czasu (1.298)

czyli:

przemieszczenie kątowe w funkcji czasu (1.299)

Prędkość liniową znajdziemy z wzoru:

wartość prędkości liniowej w ruchu jednostajnie przyspieszonym po okręgu (1.300)

gdzie:

prędkość początkowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym po okręgu (1.301)

jest prędkością początkową, a:

przyspieszenie styczne w ruchu jednostajnie przyspieszonym po okręgu (1.302)

przyspieszeniem stycznym. Zatem:

prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym po okręgu (1.303)

Przyspieszenie normalne jest równe:

przyspieszenie normalne w ruchu jednostajnie przyspieszonym po okręgu (1.304)

gdzie R jest promieniem okręgu, rośnie szybko z czasem.

Kinematyczna klasyfikacja ruchów. Charakter zależności przyspieszenia normalnego i stycznego od czasu może być podstawą klasyfikacji ruchów. I tak warunkiem, żeby ruch był prostoliniowy jest an = 0. Przy as = 0 będzie to ruch jednostajny, as = const ≠ 0 jednostajnie przyspieszony. Jeżeli an = const ≠ 0, ruch odbywa się po okręgu i znowu dla as = 0 otrzymamy ruch jednostajny, a dla as = const ≠ 0 jednostajnie przyspieszony. Wreszcie przy an = an(t) ruch jest krzywoliniowy, dla as = 0 jednostajny, a dla as = const ≠ 0 jednostajnie przyspieszony. Ogólny przypadek ruchu dowolnego, tj. niejednostajnie przyspieszonego po linii krzywej, określają warunki: as = as(t) i an = an(t).

przyspieszenie normalne i styczne (Rys. 1.42)

Góra strony

 

 

1.9 Całkowanie funkcji prędkości i położenia.

 

 

Do tej pory rozpatrywaliśmy przypadki, w których dane było przyspieszenie, prędkość lub położenie w funkcji czasu. Przez różniczkowanie lub całkowanie mogliśmy znaleźć nieznane wielkości, pod warunkiem, że znane były warunki brzegowe. Nieco trudniej przedstawia się zadanie, gdy któraś z tych wielkości jest dana jako funkcja nie czasu tylko jednej z pozostałych wielkości. Rozpatrzmy trzy najprostsze przypadki, stosując naturalny układ współrzędnych.

1. Dana prędkość jako funkcja położenia. Przekształcając równanie wyjściowe:

dt (1.305)

i całkując:

t minus t zero (1.306)

znajdziemy czas jako funkcję położenia. Równanie to pozwala znaleźć położenie jako funkcję czasu s = s(t), a następnie przez kolejne różniczkowanie prędkość v(t) i przyspieszenie a(t). Naturalnie do pełnego rozwiązania musimy znać warunki brzegowe.

Przykład: Swobodny spadek. W swobodnym spadku z wysokości h0 prędkość ciała jako funkcja położenia (wzniesienia) h wyraża się wzorem:

prędkość zależna od wysokości w swobodnym spadku (1.307)

Warunki brzegowe (początkowe) są określone przez podanie wzniesienia początkowego h0 (tzn. dla t = t0 = 0 h = h0) i prędkości początkowej v0 = 0.

prędkość i przyspieszenie w swobodnym spadku (Rys. 1.43)

Zgodnie z ustalonym wyżej tokiem postępowania zaczniemy od całkowania równania:

dt jako ds przez v (1.308)
czas w spadku swobodnym (1.309)

Stąd po podniesieniu do kwadratu i uporządkowaniu otrzymujemy wzniesienie jako funkcję czasu:

wzniesienie w spadku swobodnym (1.310)

Różniczkując to wyrażenie znajdujemy prędkość i przyspieszenie:

prędkość i przyspieszenie w spadku swobodnym (1.311)

Znak minus oznacza, że prędkość i przyspieszenie mają kierunek spadku wzniesienia.

2. Dane przyspieszenie jako funkcja prędkości. W przypadku kiedy dane jest przyspieszenie w funkcji prędkości, tok postępowania jest podobny. Najpierw przez całkowanie równania:

dt (1.312)

znajdujemy związek między czasem a prędkością:

przyspieszenie w funkcji prędkości (1.313)

który po rozwikłaniu daje prędkość jako funkcję czasu v = v(t). Stąd przez różniczkowanie uzyskujemy przyspieszenie a(t), a przez całkowanie położenie s (t). Oczywiście pod warunkiem, że znamy warunki brzegowe.

Przykład: Ruch w lepkim ośrodku. Kiedy ciało porusza się w lepkim ośrodku, jego przyspieszenie wiąże się z prędkością zależnością:

wartość przyspieszenia w ośrodku lepkim (1.314)

Warunki brzegowe ustalamy następująco:

warunki brzegowe - ruch w ośrodku lepkim (1.315)

Stąd:

dt ośrodek lepki (1.316)

i po scałkowaniu w granicach od 0 do t :

czas ruchu w ośrodku lepkim (1.317)

Co po przekształceniu daje prędkość w funkcji czasu:

wartość prędkości w ośrodku lepkim (1.318)

Aby znaleźć tor, musimy tę zależność scałkować i uwzględnić warunki brzegowe:

droga w ośrodku lepkim (1.319)

Łatwo stwierdzić, że dla t → ∞:

droga graniczna przy czasie dążącym do nieskończoności (1.320)

co określa maksymalną drogę jaką ciało może przebyć w ośrodku.

droga w ośrodku lepkim - wykres (Rys. 1.44)

3. Dane przyspieszenie w funkcji położenia. Najtrudniejszy rachunkowo jest ostatni przypadek, kiedy znamy przyspieszenie jako funkcję położenia: a = a(s), czyli:

zależność przyspieszenia od położenia (1.321)

Mnożąc powyższą zależność przez ds:

przyspieszenie zależne od położenia (1.322)

oraz wykorzystjąc fakt, że:

ds (1.323)

a następnie całkując:

przyspieszenie w funkcji położenia (1.324)

przy czym wzięto pod uwagę, że dla s = s0 v = v0. Oznaczając całkę z przyspieszenia, która jest funkcją położenia, przez f możemy napisać:

delta f od s (1.325)

Stąd można wyznaczyć prędkość jako funkcję położenia:

prędkość w funkcji położenia (1.326)

W ten sposób sprowadziliśmy nasze zagadnienie do typu omówionego na początku. Dalszy tok postępowania już znamy.

Przykład: Ruch harmoniczny. W ruchu harmonicznym (np. ruchu ciężarka drgającego na sprężynie) a = –ks. Równanie wyjściowe ma więc postać:

przyspieszenie jako funkcja położenia (1.327)
ruch harmoniczny - równanie wyjściowe 1.328)

albo po pomnożeniu przez v :

v dv po dt (1.329)

Oczywiście:

f od s (1.330)

Różniczkując teraz względem czasu (1.330) otrzymujemy:

pochodna względem czasu f od s (1.331)

Zauważmy teraz, że:

pochodna względem czasu v kwadrat przez 2 (1.332)

Biorąc pod uwagę (1.329), (1.331) oraz (1.332) otrzymujemy:

d po dt (1.333)

Całkowanie równania (wynikającego z (1.329)):

v dv (1.334)

w gramicach od v0 do v i od s0 do s daje:

v kwadrat przez 2 (1.335)

Zauważmy, że jeżeli s oznacza odległość od położenia równowagi i jeżeli od niego liczymy czas, to s0 = 0. Stąd:

prędkość - ruch harmoniczny (1.336)

Możemy teraz znanym sposobem znaleźć równanie toru, czyli zależność położenia od czasu. Mianowicie:

dt jako ds przez v (1.337)

i po scałkowaniu otrzymujemy:

czas t w ruchu harmonicznym (1.338)

gdzie skorzystaliśmy ze znanego z matematyki wzoru:

całka (1.339)

Przekształcając (1.138) otrzymujemy:

położenie w ruchu harmonicznym (1.340)

gdzie:

amplituda (1.341)

jest amplitudą, czyli największym wychyleniem ruchu. Argument sinusa, czyli iloczyn:

argument sinusa (1.342)

nosi nazwę fazy, a:

częstość kołowa (1.343)

częstości kołowej.

Ruch jest periodyczny – po czasie T równym:

okres w ruchu harmonicznym (1.344)

zwanym okresem, jego przebieg się powtarza. Prędkość:

prędkość w ruchu harmonicznym (1.345)

jest również periodyczną funkcją czasu, v0 jest amplitudą prędkości. Możemy jeszcze sprawdzić, że przyspieszenie jest rzeczywiście proporcjonalne do wychylenia i ma znak minus:

przyspieszenie w ruchu harmonicznym (1.346)

Łatwo się przekonać, że zależność:

s za pomocą kosinusa (1.347)

także spełnia wyjściowe równanie różniczkowe.

wychylenie prędkość i przyspieszenie w funkcji czasu (Rys. 1.46)