Rozpad i wychwyt – JR

Rozpad i wychwyt

Prawa zachowania pozwalają nam również opisać matematycznie procesy rozpadu i wychwytu cząstek. Wyobraźmy sobie cząstkę (C), która w pewnej chwili rozpada się na dwie inne cząstki (A i B), poruszające się niezależnie. Założymy, że rozpad zachodzi bez udziału sił zewnętrznych. Najprostszy opis zjawiska uzyskamy w układzie poruszającym się wraz z cząstką C. Nietrudno stwierdzić, że po rozpadzie środek masy obu cząstek kontynuuje ruch cząstki pierwotnej i wybrany układ odniesienia jest układem środka masy. W układzie tym suma pędów jest równa zeru, czyli

pęd w układzie środka masy(12.1)

Cząstki rozbiegają się w przeciwne strony z takimi samymi pędami. W bilansie energii musimy uwzględnić energie wewnętrzne cząstek

energia(12.2)

albo, ze względu na p’A = p’B,

zależność(12.3)

Lewa strona przedstawia sumę energii kinetycznych powstałych cząstek w układzie środka masy E’k, a prawa nosi nazwę energii rozpadu Q. Zatem

energia kinetyczna(12.4)

gdzie μ jest masą zredukowaną. Z powyższego związku można wyznaczyć pęd

pęd(12.5)

i prędkości cząstek

prędkości(12.6)

gdzie v0 oznacza wektor jednostkowy w kierunku prędkości cząstki A. Chcąc wyrazić prędkość cząstek w układzie laboratoryjnym musimy dodać prędkość środka masy , czyli prędkość cząstki C:

prędkości w układzie laboratoryjnym(12.7)
rozpad cząstki(Rys. 12.1)

Jeżeli kąty odchylenia wytworzonych cząstek od kierunku lotu cząstki pierwotnej w układzie laboratoryjnym oznaczymy przez ϑA i ϑB, to

związek(12.8)

Związki te można wyrazić graficznie, odkładając od danego punktu P wektor vC i kreśląc wbitym w jego koniec cyrklem okrąg o promieniu v’A (lub v’B). Wektor łączący punkt P z dowolnym punktem C okręgu przedstawia prędkość vA (lub vB), a kąt między nim a wektorem vC to oczywiście kąt ϑA (lub ϑB).

graficzna interpretacja(Rys. 12.2)

Odpowiadający mu kąt wylotu cząstki w układzie środka masy ϑ’A (lub ϑ’B) jest kątem między przedłużeniem wektora vC a wektorem vA (lub vB), poprowadzonym ze środka koła do punktu C. Jak widać, gdy v’ > vC (punkt P wewnątrz koła), kąt ϑ może być dowolny: 0 ≤ ϑπ, natomiast gdy v’ < vC (punkt P poza kołem), kąt wylotu nie może przekroczyć wartości maksymalnej

sinus(12.9)

określonej przez kierunek wyprowadzonej z punktu P stycznej do okręgu. Z wykresu można jeszcze znaleźć zależność między kątami wylotu w obu układach odniesienia

tangens kąta(12.10)

Rozwiązując to równanie względem ϑ’ otrzymamy

zależność między kątami(12.11)

Znaki ± odnoszą się do przypadku v’ < vC, kiedy każdemu kątowi ϑ odpowiadają dwa kąty ϑ’. Natomiast dla v’ > vC pozostawiamy przed pierwiastkiem tylko plus.

Wychwyt cząstki przez drugą cząstkę przy centralnych siłach oddziaływania możemy interpretować jako spadek do centrum siły. Oznacza to, że dla t r → 0. Warunkiem takiego spadku jest

warunek(12.12)

albo po pomnożeniu przez r2

związek(12.13)

Dla r → 0 mamy stąd

związek(12.14)

czyli

nierówność(12.15)

Jeżeli energia potencjalna wyraża się wzorem Ep = α/rn, to warunek wychwytu jest spełniony dla α > 0 przy n > 2, bowiem wtedy lewa strona nierówności dąży do . Przy n = 2 wychwyt jest możliwy dla

alfa(12.16)

Wreszcie gdy α < 0 (siły odpychające), wychwyt jest niemożliwy, bo lewa strona nierówności staje się dodatnia.

Do warunku wychwytu można wprowadzić parametr zderzenia b. Przy początkowej prędkości v0 padającej cząstki moment pędu L0 = mv0b i warunek wychwytu przybiera postać

warunek(12.17)

czyli

warunek(12.18)

Schwytane zostaną wszystkie cząstki o parametrze mniejszym niż graniczna wartość

maksymalna wartość b(12.19)

Pole koła o promieniu bmax

przekrój czynny wychwytu(12.20)

nosi nazwę przekroju czynnego wychwytu. Jak widać przekrój czynny jest funkcją energii kinetycznej.

przekrój czynny wychwytu(Rys. 12.3)

Dotychczas pomijaliśmy ruch centrum siły. Jeżeli masa drugiej cząstki nie jest o tyle większa, żeby można było zaniedbać przemieszczenie środka masy, to w powyższych wzorach zastępujemy masę pierwszej cząstki masą zredukowaną, a prędkości różnicą prędkości.