Równowaga bryły – JR

Równowaga bryły

24.1 Wiadomości wstępne
24.2 Redukcja układu sił
24.3 Środek uderzenia
24.4 Ciało nieswobodne
24.5 Stopnie swobody hantli
24.6 Reakcje i tarcie
24.7 Waga
24.8 Kąt tarcia
24.9 Tarcie przy toczeniu

24.1 Wiadomości wstępne

Gdy siły działające na bryłę sztywną są zachowawcze, jej ruch możemy opisać podając zależność energii potencjalnej od położenia. W przypadku ruchu postępowego posługujemy się energią potencjalną środka masy w funkcji położenia. Miejsca w których ta funkcja ma minimum

minimalna energia potencjalna(24.1)

będą położeniami równowagi trwałej. Maksima energii potencjalnej

maksymalna energia potencjalna(24.2)

wskazują położenia równowagi nietrwałej. Jeżeli w jakimś obszarze energia od położenia nie zależy

stała energia potencjalna(24.3)

mówimy o równowadze obojętnej.

Jak wiemy, odchylenie od położenia równowagi trwałej wiąże się z pojawieniem sił, które przywracają równowagę. Siły wywołane odchyleniem od położenia równowagi nietrwałej powiększają wychylenie. Wreszcie przy równowadze obojętnej wychyleniu ciała nie toważyszy pojawienie się żadnych sił. W każdym przypadku

siła(24.4)

Ekstremum energii potencjalnej można opisać równaniem równowagi

zerowanie się siły(24.5)

W położeniu równowagi suma (wypadkowa) sił zewnętrznych musi być równa zeru.

Energię potencjalną można też wiązać z obrotem bryły. Jak już poprzednio pisaliśmy,

moment siły(24.6)

i stąd przy

zerowanie się momentu siły(24.7)

W położeniu równowagi suma momentów sił zewnętrznych musi być równa zeru.

Na tych dwóch równaniach sił i momentów sił opierają się prawie wszystkie rachunki statyki technicznej.

Często niewygodny do obliczeń układ sił i momentów sił trzeba zastąpić równoważnym mu bardziej użytecznym układem. Układ równoważny , to taki który spowoduje lub spowodowałby taki sam ruch. Musi to więc być układ o takiej samej wypadkowej sił i takim samym momencie. Siły można przesuwać wzdłuż linii ich działania. Możemy też w dowolnym, dogodnym punkcie przyłożyć siły o sumie równej zeru. Moment sił jest wektorem osiowym (nie ma punktu zaczepienia) i wobec tego można go umieszczać w dowolnym punkcie.

Aby tego dowieść, wystarczy dokonać przesunięcia początku układu współrzędnych od punktu, względem którego określiliśmy moment sił do innego punktu odległego o b. Wówczas nowe wektory położenia r’ wiążą się ze starymi r za pomocą równania transformacyjnego

równanie transformacyjne(24.8)
[Rozmiar: 11523 bajtów](Rys. 24.1)

Stąd

moment siły(24.9)

Pierwszy wyraz po prawej stronie jest wypadkowym momentem sił M’ względem początku nowego układu, a w drugim można wyrzucić stały czynnik b przd znak sumy. Stąd

moment siły(24.10)

gdzie F jest wypadkową sił, niezależną od układu odniesienia. Jeżeli ta wypadkowa jest równa zeru (warunek równowagi), to

równość momentu sił(24.11)

Można tak przesuwać początek układu współrzędnych do dowolnego punktu z tym samym wynikiem. Ale przesuwanie punktu odniesienia jest równoważne przemieszczaniu wektora momentu. Zatem układ sił równoważących się ma jednakowy moment względem wszystkich punktów. Podobnie, jeżeli dwa układy sił mają jednakową wypadkową i jednakowe momenty względem jakiegoś punktu, to będą miały jednakowe momenty względem dowolnego punktu, bo przy przesunięciu o b zmieniają się o tę samą wartość b×F

 

 

24.2 Redukcja układu sił

 

 

 

Układ złożony z dwóch jednakowych, przeciwnie skierowanych sił nosi nazwę pary sił. Ponieważ moment sił równoważących się (F = 0) nie zależy od punktu odniesienia, umieścimy go w punkcie zaczepienia jednej z sił Fa i -Fa tworzących parę.

moment pary sił(Rys. 24.2)

Moment pary sił będzie równy

moment pary sił(24.12)

gdzie s jest ramieniem, czyli wektorem o długości równej odległości między liniami działania obu sił. Moment pary nie zmienia się, gdy ją przesuwamy równolegle, a nawet gdy obracamy, byle siły pozostały w płaszczyźnie, w której leżą, a długość ramienia nie uległa zmianie.

Można wykazać, że każdy układ sił działających na bryłę sztywną można zastąpić zaczepioną w dowolnym punkcie siła równą wypadkowej układu sił i dowolnie zaczepioną parą sił o momencie równym momentowi układu sił względem punktu zaczepienia siły zastępczej.

Jest to twierdzenie o redukcji układu. Dla dowodu wystarczy w dowolnym punkcie P zaczepić dwójkę równoważących się sił, z których jedna równa się wypadkowej układu F’ = F, a druga jest do niej przeciwna -F’ = F. Suma siły -F’ i wypadkowej F jest równa zeru:

zerowanie się sił(24.13)

nową wypadkową układu jest teraz siła F’. Jednocześnie siły -F’ i F tworzą parę sił o momencie względem punktu P takim samym jak moment siły F.

 

 

24.3 Środek uderzenia

 

 

 

Zastosujemy metodę redukcji układu sił do bryły (wahadła fizycznego) zawieszonej na nieważkiej nici uderzonej w odległości r od środka obrotu przez prostopadłą do osi bryły siłe F. W środku masy zaczepimy dwie równoważące się siły F’ i -F’, przy czym F’ = F.

środek uderzenia(Rys. 24.3)

Mamy teraz do czynienia z działającą na środek masy siłą F’ i momentem M pary sił F i -F’. Oczywiście

moment sił(24.14)

gdzie l jest odległością środka masy od osi obrotu. Przy tego rodzaju krótkotrwałym działaniu sił i momentów stosujemy drugą zasadę dynamiki w postaci

druga zasada dynamiki(24.15)

dla ruchu postępowego i

druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego(24.16)

dla ruchu obrotowego. Ponieważ w chwili uderzenia bryła spoczywała, przyrosty prędkości są równe końcowym wartościom v i ω. Weźmy pod uwagę obrót dookoła środka masy; moment bezwładności I = Is. Zatem

równania dynamiczne(24.17)

Stąd wspólna dla całej bryły prędkość ruchu postępowego wynosi

prędkość(24.18)

a prędkość kątowa obrotu

prędkość kątowa(24.19)

Weźmy dla przykładu punkt zawieszenia. Bierze on udział w ruchu postępowym z prędkością v, a jednocześnie w wyniku ruchu obrotowego ma prędkość v’ = ωl. Jeżeli siła F uderza powyżej środka masy, kierunek v’ jest zgodny z v, jeżeli poniżej kierunki obu prędkości są przeciwne. Przy odpowiednio dobranym punkcie uderzenia, zwanym środkiem uderzenia, obie prędkości się zniosą punkt zawieszenia pozostanie w spoczynku.

Poszukajmy środka uderzenia. Z równości v = ωl wynika

równość prędkości(24.20)

a stąd

środek uderzenia(24.21)

Środek uderzenia jest więc oddalony od środka obrotu o długość lr wahadła zredukowanego. Gdy siła F uderza dalej (r > lr) ωl > v i punkt zawieszenia wychyla się w kierunku przeciwnym do niej, gdy uderza bliżej (r < lr), ωl < v i wychylenie zachodzi w kierunku uderzenia. Umiejętność wyznaczania położenia punktu uderzenia gra ważną rolę w wielu zagadnieniach technicznych.

zależność prędkości(Rys. 24.4)

W przypadku stałej osi obrotu prostopadłe uderzenie w środek uderzenia nie wywoła reakcji w łożyskach.

Nawet przy przybijaniu gwoździ mamy okazję przekonać się o właściwościach środka uderzenia: jeżeli nie trzymamy trzonka w takim punkcie, dla którego punkt zderzenia młotka z gwoździem jest środkiem uderzenia, to przy każdym uderzeniu ręka odczuje bolesny wstrząs.

 

 

24.4 Ciało nieswobodne

 

 

 

Liczba stopni swobody bryły sztywnej może być zmniejszona przez podanie warunków ograniczających jej ruch, czyli równań więzów. Więzy mogą polegać na tym, że jeden czy dwa punkty bryły są nieruchome (więzy skleronomiczne), albo muszą się poruszać w zadany sposób, np. po wyznaczonym torze(więzy reonomiczne). Więzy, które można określić poprzez podanie warunku

stopnie swobody(24.22)

lub

więzy(24.23)

nazywamy holonomicznymi, czyli więzami o postaci skończonej w pierwszym przypadku (równość) dwustronnymi, a w drugim (nierówność) jednostronnymi.

Zmniejszona przez wprowadzenie więzów liczba stopni swobody bryły wynosi w przypadku p równań więzów dwustronnych

liczba stopni swobody(24.24)

Przy p = 0 bryła jest swobodna.

 

 

24.5 Stopnie swobody hantli

 

 

 

Dwa ciężarki punktowe połączone sztywnym nieważkim prętem o długości l mają więzy opisane równaniem

równanie więzów(24.25)
stopnie swobody(Rys. 24.5)

Jak widać, z 3N = 6 współrzędnych, opisujących położenie ciężarków, tylko pięć jest niezależnych, szóstą można wyznaczyć z równania więzów. Zatem liczba stopni swobody hantli

liczba stopni swobody hantli(24.26)

 

 

24.6 Reakcje i tarcie

 

 

 

Ograniczenie ruchu przez więzy jest możliwe tylko za pośrednictwem sił, które nie pozwalają ciału na swobodny ruch. Siły te nazywamy reakcjami. Ogólnie biorąc, reakcje składają się zwykle z sił tarcia i sprężystości. Siły tarcia są proporcjonalne do składowej prostopadłej do więzów materialnych, np. do podłoża

siła tarcia(24.27)

przy czym μ jest współczynnikiem tarcia. Tarcie jest zawsze skierowane przeciwnie do ruchu:

wektor tarcia(24.28)
siła tarcia(Rys. 24.6)

(v0 jest stycznym do toru wektorem jednostkowym o kierunku prędkości). Współczynnik tarcia zależy od prędkości. Wartość μ0, odpowiadającą v = 0, nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego albo spoczynkowego. Przy małych prędkościach μ < μ0. Przy wzroście prędkości współczynnik μ przechodzi przez minimum, a potem rośnie. Początkowo w przybliżeniu μ = kv. Przy dużych prędkościach zależność ta przechodzi w μ = kv2.

zależność współczynnika tarcia od prędkości(Rys. 24.7)

Przy braku tarcia reakcje więzów są prostopadłe do powierzchni lub linii więzów i zgodnie z trzecią zasadą dynamiki równe i przeciwnie skierowane do siły dociskającej Fn:

trzecia zasada dynamiki(24.29)

W obecności sił tarcia wypadkowa reakcja jest sumą reakcji normalnej i stycznej siły tarcia

wypadkowa reakcja(24.30)

Często wydzielamy siły tarcia z reakcji i zaliczamy je do sił czynnych. Reakcje są wtedy prostopadłe do linii czy powierzchni więzów, po której może poruszać się punkt styczności. Przy takim postępowaniu należy pamiętać, że siła tarcia nie jest w rzeczywistości siłą czynną i nie może przyspieszać ciała.

ruch bez tarcia(Rys. 24.8)
siły(Rys. 24.9)

W przypadku więzów punktowych (np. przegub) siły reakcji mogą mieć dowolny kierunek.

Siły reakcji włączamy do równania ruchu bryły sztywnej, bo są one w stosunku do bryły siłami zewnętrznymi. Dla środka masy równanie ruchu postępowego ma postać

równanie ruchu postępowego(24.31)

gdzie

suma sił reakcji(24.32)

jest sumą sił reakcji. W równaniu ruchu obrotowego

równanie ruchu obrotowego(24.33)

oddzielamy moment sił czynnych od momentu reakcji. W położeniu równowagi

siły w położeniu równowagi(24.34)

suma reakcji jest równa zeru. Podobnie

zerowanie się momentów(24.35)

suma momentów reakcji jest równa zeru.

 

 

24.7 Waga

 

 

 

Z punktu widzenia mechaniki waga laboratoryjna jest dźwignią dwustronną, podpartą nieco powyżej środka masy i obciążoną szalkami z ważonym ciałem i odważnikami. Czułością wagi nazywamy stosunek kąta wychylenia α z położenia równowagi do nadwyżki obciążenia ΔF, które to wychylenie spowodowało. Belka wagi ma równe ramiona liczona w poziomie przy niewychylonej wadze odległość l od pionowej osi symetrii do pionu przechodzącego przez punkt zawieszenia szalki jest po obu stronach jednakowa.

waga(Rys. 24.10)

Odległość punktu podparcia belki od środka masy wynosi s, a punkty zawieszenia szalek są o s’ niżej niż punkt podparcia belki. Na belkę działają siły ciężkości obciążeń szalek F i F+ΔF, których linie działania zawsze przechodzą przez punkty zawieszenia szalek, zaczepiony w środku masy ciężar Fb belki oraz reakcja FR w punkcie podparcia. Warunek równowagi wychylonej wagi

warunek równowagi wagi wychylonej(24.36)

pozwala obliczyć reakcję

siła reakcji(24.37)

która jest ważna tylko dla wytrzymałości pryzmatu i podpory wagi, na czułość nie ma wpływu. Jak to zwykle bywa przy obrotach, znacznie istotniejszych informacji dostarcza równanie momentów sił. Aby wyeliminować reakcję FR, weźmiemy w rachubę momenty względem punktu podparcia belki. Moment reakcji wtedy znika i zostaje

moment sił się zeruje(24.38)

Przy wypisywaniu wartości skalarnych momenty obracające w jedną stronę (np. w kierunku wskazówek zegara ) uważamy za dodatnie, a obracające przeciwnie za ujemnie. Ponieważ interesuje nas tylko czułość wagi przy małych wychyleniach α, więc możemy skorzystać z przybliżeń

przybliżenia dla małych kątów(24.39)

a także nie uwzględniać jeszcze mniejszego iloczynu ΔFα. Zatem

związek(24.40)

czyli

czułość wagi(24.41)

Czułość wagi jest wprost proporcjonalna do długości ramienia. Zbyt długie ramiona wagi prowadzą jednak do zbyt dużego okresu wahań (wahadło fizyczne!) i czynią belkę zbyt wiotką. Druga możliwość podwyższenia czułości polega na zmniejszeniu s’ i s. W rzeczywistej wadze sytuację komplikuje odkształcenie obciążonej belki, które zwiększa s’ i s w przybliżeniu proporcjonalnie do obciążenia F. Powoduje to szybki spadek czułości. Z postaci zależności widać, że gdyby s’ było ujemne, czyli gdyby pryzmaty szalek były nieco wyżej niż punkt podparcia belki, to wzrost dodatniego wyrazu Fbs w mianowniku byłby skompensowany przez wzrost ujemnego wyrazu 2Fs’ i uzyskalibyśmy maksimum czułości w środku przewidywanego zakresu pracy wagi. Taką konstrukcję rzeczywiście się stosuje.

 

 

24.8 Kąt tarcia

 

 

 

Jeżeli ciało o masie m spoczywa na równi pochyłej o kącie nachylenia α, to oznacza, że siła tarcia T równoważy składową Fs siły ciężkości zsuwającą ciało wzdłuż równi

tarcie na równi pochyłej(24.42)

Siła tarcia jest iloczynem współczynnika tarcia μ i składowej Fn siły ciężkości, przyciskającej ciało do równi

tarcie(24.43)
tarcie(Rys. 24.11)

Byłoby błędem uważanie μ za współczynnik tarcia satycznego μ0. Tarcie jest siłą oporu. Opór tarcia równoważy siłę czynną tak długo, dopuki siła ta nie stanie się większa niż siła tarcia statycznego T0. Warunkiem spoczynku ciała będzie więc Fs < T, czyli

warunek spoczynku ciała(24.44)

albo

warunek spoczynku ciała(24.45)

Kąt

kąt tarcia(24.46)

nosi nazwę kąta tarcia. Gdy α = α0, ciało zaczyna slizgać się po równi. Tarcie kinetyczne jest mniejsze niż statyczne, więc w czasie tego ruchu siła zsuwająca ciało jest więkasz niż opór tarcia kinetycznego i ruch jest jednostajnie przyspieszony, zgodnie z równaniem

równanie(24.47)

czyli

przyspieszenie na równi(24.48)

 

 

24.9 Tarcie przy toczeniu

 

 

 

Ruch toczącego się koła jest złożony: środek masy porusza się ruchem postępowym, a koło obraca się wokół przechodzącej przez nie osi. Jeżeli promień koła wynosi r, prędkość środka masy v, a prędkość kątowa obrotu ω, to

szybkość liniowa(24.49)

gdzie s jest współrzędną w kierunku ruchu. Maksymalna siła tarcia T0 działająca na obwodzie koła w kierunku ruchu, jest równa iloczynowi współczynnika tarcia i siły dociskającej koło do podłoża, równej reakcji podłoża Fn:

tarcie(24.50)

Jeżeli nie ma poślizgu, to tarcie jest statyczne, bo chwilowy punkt styczności nie przesuwa się względem podłoża. Napiszmy równanie ruchu postępowego

równanie dynamiczne(24.51)

przy czym F’ oznacza pozostałe opory ruchu, np. opór powietrza, tarcie w łożyskach itp. Przez m rozumiemy nie masę koła, tylko masę obciążenia koła, tzn.

masa obciążenia(24.52)

Równanie ruchu obrotowego ma postać

równanie ruchu obrotowego(24.53)

gdzie I jest momentem bezwładności względem osi, φ kątem obrotu, a M momentem napędzającym koło, np. przekazanym przez silnik. Wygodnie jest zastąpić go fikcyjną siła F0 przyłożoną stycznie na obwodzie koła

siła(24.54)

a moment bezwładności przypisać fikcyjnej masie zredukowanej m0 również rozmieszczonej na obwodzie koła

masa(24.55)

Możemy teraz napisać

równanie(24.56)

bowiem przyspieszenie kątowe jest związane ze stycznym relacją

związek pomiędzy przyspieszeniami(24.57)

po podzieleniu przez r

równanie(24.58)

i dodaniu stronami do równania ruchu postępowego, otrzymamy

równanie(24.59)

Jak widać warunkiem toczenia się koła jest, by siła obwodowa F0 była nie mniejsza niż opory ruchu i nie większa niż siła tarcia statycznego (brak poślizgu).

toczenie się koła(Rys. 24.12)

Jeżeli z jakiegoś powodu siła obwodowa stanie się większa niż siła tarcia, nastąpi poślizg. Związek między przyspieszeniem kątowym a przyspieszeniem w ruchu postępowym traci ważność i musimy wrócić do równania ruchu obrotowego w postaci

równanie ruchu obrotowego(24.60)

Siła tarcia jest teraz mniejsza (tarcie kinetyczne) i przy stałej sile obwodowej F0 moment różnicy obu sił rośnie, powodując wzrost przyspieszenia kątowego. Jednocześnie z prawa ruchu postępowego wynika, że zmniejsza się jego przyspieszenie (bo zmalała różnica sił TF’). Jak widać, przy toczeniu ważną rolę musimy przypisać stycznej sile tarcia. Aby ją zwiększyć, staramy się powiększyć współczynnik tarcia i obciążenie koła.

toczenie koła(Rys. 24.13)

Przykład: Poprzeczna siła usuwa tarcie! Oto często stosowany sposób zmniejszania oporu tarcia. Chcąc przesunąć ciało po szorstkim podłożu trzeba podziałać odpowiednio skierowaną siłą przynajmniej równą maksymalnej sile tarcia statycznego T0. Jeżeli siłą jest za mała, to wywoła równy sobie opór tarcia i ciało się nie poruszy:

równowaga sił(24.61)

Działająca równocześnie prostopadła do niej dodatkowa siła F’ nieco mniejsza niż tarcie statyczne również wywoła równy sobie opór tarcia prostopadły do poprzedniego:

siły(24.62)

Gdy wypadkowa obu sił jest większa niż opór tarcia, ciało zacznie się poruszać. Kierunek tego ruchu będzie zgodny z więzami. Jeżeli więzy dopuszczają tylko ruch w kierunku działania pierwszej siły, ciało będzie się poruszać w tę stronę, mimo że siła F była zbyt mała, by ruszyć ciało z miejsca. Dzieje się tak, bo wypadkowa obu sił tarcia nie może być większa niż siła tarcia statycznego

związek(24.63)

Powiększenie składowej prostopadłej do kierunku zamierzonego ruchu prowadzi do zmniejszenia składowej siły tarcia w kierunku ruchu i siła F może wprawić ciało w ruch. W życiu codziennym często korzystamy z tej metody np. przy okazji wyciągania gwoździ. Istnieją i niekorzystne strony opisanego zjawiska dzięki niemu przy wstrząsach rozluźniają się gwinty, a hamujący samochód łatwo wpada w boczny poślizg.

Przykład: Jak znaleźć środek masy laski?

Kładziemy laskę na wyprostowanych palcach wskazujących obu rąk, tak aby była w równowadze, a następnie zsuwamy ręce aż palce znajdą się obok siebie. Laska jest nadal w równowadze, środek masy jest nad linią zetknięcia palców.

Jeżeli w czasie przesuwania palców dobrze się przyjrzymy temu, co się dzieje, to okaże się, że ruch laski i palców jest dość złożony. Laska ślizga się po jednym i po drugim palcu na przemian, ale zawsze tylko po jednym. Siłami dociskającymi palce do laski są reakcje podpór. Jeżeli oznaczymy je przez RA i RB, a ich odległości od środka masy przez a i b, to z równania momentów sił względem punktów podparcia znajdujemy

wyznaczanie środka ciężkości pręta(Rys. 24.14)
równowaga momentów sił(24.64)

czyli

siły(24.65)

gdzie F jest zaczepionym w środku masy ciężarem laski. Jeżeli na początku RA > RB, to laska ślizga się po palcu B, bo proporcjonalna do nacisku siła tarcia jest tam mniejsza. Przy tym maleje odległość b i wraz z nią reakcja RA; w tym samym czasie reakcja RB rośnie. Gdy b zrówna się z a (RB = RA), ruch trwa dalej, bo tarcie kinetyczne w B jest mniejsze niż statyczne w A. W chwili, w której obie siły tarcia się zrównają, reakcja RA jest mniejsza niż RB i laska zaczyna się ślizgać po palcu A, który teraz zbliża się do środka masy, podczas gdy odległość b pozostaje stała. Przy tym reakcja RB maleje, a RA rośnie i ruch zachodzi do chwili, gdy malejące tarcie statyczne w B zrówna się z kinetycznym w A. Proces powtarza się oba palce na przemian dążą do środka masy.