Relatywistyczne prawa ruchu – JR

Relatywistyczne prawa ruchu

19.1 Wiadomości wstępne
19.2 Przykład: Naruszenie trzeciej zasady dynamiki
19.3 Pęd relatywistyczny
19.4 Przykład: Pęd elektronu
19.5 Relatywistyczny moment pędu
19.6 Energia relatywistyczna
19.7 Związek między pędem a energią
19.8 Energia i pęd fotonu
19.9 Transformacje pędu i energii
19.10 Relatywistyczne zderzenia cząstek
19.11 Zjawisko Comptona
19.12 Kąt rozrzutu cząstek wielkiej energii
19.13 Zderzenia niesprężyste
19.14 Tworzenie par elektronowych
19.15 Relatywistyczne równanie ruchu

 

19.1 Wiadomości wstępne

 

Wynikająca z doświadczeń konieczność zastąpienia transformacji klasycznych relatywistycznymi wywołała zasadnicze zmiany w prawach kinematyki i poglądach na przestrzeń i czas. Byłoby dziwne, gdyby te zmiany nie odbiły się na prawach dynamiki. U podstaw dynamiki małych prędkości leżą transformacje Galileusza i założenie o nieskończonej prędkości rozchodzenia się oddziaływań.

 

19.2 Przykład: Naruszenie trzeciej zasady dynamiki

 

 

Siły wzajemnego oddziaływania między dwoma ciałami mogą być sobie równe tylko w stanie ustalonym, tzn. przy dostatecznie długim czasie utrzymywania się stałej wartości siły. Zmiana siły wywoła zmianę przeciwdziałania, ale z opóźnieniem koniecznym, by rozchodzące się nie prędzej niż światło oddziaływanie mogło dotrzeć od jednego ciała do drugiego. Istnieje więc czas choćby bardzo krótki w ciągu którego działanie nie równa się przeciwdziałaniu i trzecia zasada dynamiki nie jest spełniona.

Prawa dynamiki wielkich prędkości powinny mieć taką, zgodną z doświadczeniem, postać, żeby przy małych prędkościach przechodziły w prawa Newtona i żeby były spełnione wynikające z jednorodności przestrzeni i czasu prawa zachowania pędu, momentu pędu i energii, oraz niezmienniczości masy.

 

 

19.3 Pęd relatywistyczny

 

 

Sprawdźmy prawa zachowania pędu i masy w relatywistycznym zderzeniu sprężystym jednakowych cząstek A i B. Jedna z cząstek wylatuje z układu ruchomego z prędkością v’A skierowaną prostopadle do prędkości vu układu, przy czym tak jak dotychczas vu jest równoległa do osi x obu układów. Druga cząstka wybiega z układu nieruchomego również prostopadle do osi x z prędkością vB równą v’A tylko przeciwnie skierowaną. Z symetrii zderzenia wynika, że obie cząstki wymienią się prędkościami, każdy obserwator stwierdzi po zderzeniu prostopadły do swojej osi x powrót cząstki z prędkością taką samą jaką wyleciała. Za to każdy z nich inaczej oceni lot drugiej cząstki. Zasada zachowania pędu powinna być spełniona w obu układach zarówno dla składowych równoległych, jak i prostopadłych do ruchu układu. W przypadku składowych równoległych sytuacja jest prosta.

zderzenie kul A i B - obserwator nieruchomy(Rys. 19.1)
obserwator ruchomy(Rys. 19.2)

Własna cząstka dla każdego obserwatora leci i wraca wzdłuż osi y, więc i przed, i po zderzeniu v’Ax = vBx = 0, a cudza cząstka ma składową równą prędkości układu vAx = vu, v’Bx = vu. Istotne dla przekazywania pędu są tylko składowe prostopadłe do ruchu:

prędkości(19.1)

Z transformacji Lorentza wiemy, że przemieszczenia w kierunku siły będą takie same: dy = dy’. Jednak ze względu na niejednakowy przebieg czasu

niejednakowy przebieg czasu(19.2)

(oczywiście dx = 0) prostopadłe składowe prędkości różnią się. To samo można stwierdzić z transformacji prostopadłych do ruchu składowych prędkości. Odpowiednie składowe pędu nie spełniają prawa zachowania

klasyczne prawo zachowania pędu nie jest spełnione(19.3)

Jeżeli zależy nam na tym, żeby zasada zachowania pędu była spełniona w dynamice relatywistycznej, musimy zmienić jego definicję. W tym celu przyczynę rozbieżności czas trzeba zastąpić takim czasem, który dla każdego obserwatora jest jednakowy, tzn. czasem własnym

czas własny(19.4)

Teraz pochodne współrzędnych będą w obu układach równe

zależność(19.5)

co prowadzi do zachowania składowych pędów

zachowanie składowych pędu(19.6)

przy czym vy zachowało swoje znaczenie „laboratoryjnej” pochodnej dy/dt. W podobny sposób definiujemy pozostałe składowe pędu:

składowe pędu relatywistycznego(19.7)

i sam wektor pędu

relatywistyczna definicja wektora pędu(19.8)

Dla małych prędkości różnica między czasem własnym a laboratoryjnym znika i wzór na pęd wraca do tradycyjnej postaci

klasyczny wzór na pęd(19.9)
wykres (Rys. 19.3)

Pęd relatywistyczny interpretuje się często jako iloczyn relatywistycznej masy

masa relatywistyczna(19.10)

i prędkości. Ta tradycyjna interpretacja zmusza do rezygnacji z jednego z podstawowych praw zachowania masy, a poza tym bywa niewygodna w stosowaniu. Znacznie wygodniej jest traktować mase jako niezmienną. Obserwowany w doświadczeniach wzrost masy szybkich cząstek jest w istocie wzrostem pędu. Wywołuje go ujawniająca się przy dużych prędkościach różnica między czasem własnym cząstki a czasem laboratoryjnym.

 

 

19.4 Przykład: Pęd elektronu

 

 

Źródłem elektronów, czyli lekkich cząstek elementarnych o masie m = 9,1·10-31 kg i ujemnym ładunku e = 1,6·10-19 C może być preparat promieniotwórczy (promieniowanie β to właśnie elektrony) albo żarzący się drucik. Elektrony wychodzące ze źródła mają różne prędkości v. W polu elektrycznym o natężeniu E działa na elektron siła eE, a w polu magnetycznym o indukcji B siła Lorentza ev×B. Jeżeli przepuścimy wiązkę elektronów przez obszar skrzyżowanych pól (tzn. o kierunkach E i B prostopadłych do siebie i do kierunku ruchu elektronów), to opuszczą go tylko te elektrony, dla których siły obu pól się równoważą, pozostałe ulegną odchyleniu. Z warunku równowagi eE = evB wynika, że będą to elektrony o prędkości

selektor prędkości(19.11)

Zmieniając E lub B możemy wybierać z wiązki elektrony o żądanej prędkości. Obszar skrzyżowanych pól możemy nazwać selektorem prędkości.

selektor prędkości elektronów(Rys. 19.4)

Jeżeli po wyjściu z selektora elektron pozostaje dalej w poprzecznym polu magnetycznym, to pod wpływem siły Lorentza porusza się po łuku koła określonym zależnością

siła Lorentza jako siła dośrodkowa(19.12)

Można stąd znaleźć stosunek ładunku do masy elektronu

stosunek ładunku do masy elektronu(19.13)

w zależności od natężenia pola elektrycznego w selektorze, indukcji magnetycznej i promienia toru po wyjściu z selektora. Promień ten możemy wyznaczyć ustawiając na drodze wiązki kliszę fotograficzną lub ekran fluoryzujący i mierząc odchylenie elektronów.

Tak zmierzony stosunek ładunku do masy maleje ze wzrostem prędkości elektronu. Tradycyjnie interpretowano ten spadek jako przejaw wzrostu masy elektronu. Jeżeli uważamy masę za niezmienną, to musimy uznać, że doświadczenie wykazuje wzrost stosunku pędu do prędkości. Wyniki liczbowe potwierdzają wzór

stosunek pędu do prędkości(19.14)

 

 

19.5 Relatywistyczny moment pędu

 

 

Mnożąc wektorowo promień wodzący przez pęd otrzymujemy moment pędu

relatywistyczny moment pędu(19.15)

Iloczyn r×v jest równy podwojonej prędkości polowej σ. Ze względu na zależny od prędkości czynnik

czynnik zależny od prędkości(19.16)

w dynamice relatywistycznej ze stałości momentu pędu

relatywistyczny wektor momentu pędu(19.17)

nie wynika stałość prędkości polowej.

 

 

19.6 Energia relatywistyczna

 

 

Podobnie jak w dynamice małych prędkości, pochodna pędu względem czasu gra rolę siły:

definicja siły(19.18)

Jeżeli prędkość cząstki ma stałą wartość, a zmienny kierunek, czyli gdy siła jest prostopadła do prędkości, to v/c = const i różniczkowanie jest proste

siła w relatywistyce(19.19)

Natomiast gdy prędkość zmienia wartość zachowując stały kierunek, czyli gdy siła jest równoległa do prędkości, różniczkujemy pęd jako iloczyn skalara i wektora

siła w mechanice relatywistycznej(19.20)

Jak widać, stosunek siły do przyspieszenia jest inny dla siły prostopadłej, a inny dla równoległej do ruchu.

Energię kinetyczną znajdziemy z pracy rozpędzania cząstki przez siłę równoległą do prędkości

różniczka energii kinetycznej(19.21)

Pomnóżmy licznik i mianownik przez 2c2:

różniczka energii kinetycznej(19.22)

Po scałkowaniu z uwzględnieniem warunku, że dla v = 0 Ek =0, otrzymamy

relatywistyczny wzór na energię kinetyczną(19.23)

Jest to relatywistyczny wzór na energię kinetyczną. Iloczyn mc2 nosi nazwę energii spoczynkowej. Suma energii kinetycznej i spoczynkowej

energia całkowita(19.24)

jest energią całkowitą. Zauważmy, że dla v << c można napisać

przybliżenie dla małych prędkości(19.25)

a stąd

energia kinetyczna małe prędkości(19.26)

w zgodności z dynamiką małych prędkości.

relatywistyczna i klasyczna energia kinetyczna(Rys. 19.5)

Uzyskana relatywistyczna postać wzoru na energię jeszcze raz potwierdza graniczny charakter prędkości światła. Dla vc energia dąży do nieskończoności, co oznacza, że do przyspieszenia cząstki konieczny jest nieskończenie wielki nakład pracy.

W odróżnieniu od dynamiki małych prędkości energia relatywistyczna jest zawsze dodatnia i ściśle określona. Ciałom spoczywającym musimy przypisać energię spoczynkową o zaskakująco wielkiej wartości. Masa jest równoważna energii.

Przykład: Gram energii. Energia spoczynkowa ciała o masie 1 g jest wystarczająca do podniesienia całej ludzkości (2·1011 kg) na wysokość 45 m.

Masę i energię można mierzyć w tych samych jednostkach. W bilansie energii trzeba uwzględnić energię spoczynkową, a w bilansie masy masę wyzwolonej energii.

Przykład: Rozpad cząstki. Produkty rozpadu spoczywającej cząstki o masie m rozlatują się z prędkościami v1 i v2. Bilans energii całkowitej całkowitej ma postać

bilans energii całkowitej - rozpad cząstki(19.27)

Jak widać, suma mas produktów jest mniejsza niż masa cząstki wyjściowej m1 + m2 < m. Różnica

niedobór masy(19.28)

jest defektem (niedoborem masy). Suma energii kinetycznych produktów

suma energii kinetycznych produktów(19.29)

Na poniższym wykresie przedstawiono zmiany energii przy rozpadzie spoczywającej cząstki o masie m. Rozpad nastąpił w chwili tr. Suma mas produktów rozpadu ∑m jest mniejsza niż masa cząstki pierwotnej. Niedobór masy jest równy sumie początkowych energii kinetycznych produktów rozpadu podzielonej przez kwadrat prędkości światła. W wyniku zderzeń z innymi cząstkami energia kinetyczna zmalała do zera i energia końcowa jest sumą energii spoczynkowych ∑mc2.

zmiany energii przy rozpadzie spoczywającej cząstki(Rys. 19.6)

 

 

19.7 Związek między pędem a energią

 

 

Podnieśmy relatywistyczny pęd do kwadratu i pomnóżmy przez kwadrat prędkości światła

związek(19.30)

Dodajmy teraz kwadrat energii spoczynkowej

związek relatywistyczne(19.31)

Oczywiście

kwadrat energii całkowitej(19.32)

Zatem

relatywistyczny związek pomiędzy pędem a energią(19.33)

albo

relatywistyczny związek pomiędzy pędem a energią(19.34)

Wyrażenie to jest słuszne także dla cząstek o zerowej masie.

 

 

19.8 Energia i pęd fotonu

 

 

Promieniowanie możemy uważać za złożone z fotonów cząstek o prędkości v = c, a więc o masie m = 0 i energii E = , gdzie h jest stałą Plancka , a ν częstością drgań. Wobec tego

energia fotonu(19.35)

Foton jest cząstką nieważką, ale posiadającą pęd:

foton(Rys. 19.7)

pęd fotonu wynosi

pęd fotonu(19.36)

Zderzając się z przeszkodą, fotony przekazują jej pęd, czyli wywierają ciśnienie. Ciśnienie światła można zaobserwować doświadczalnie.

 

 

19.9 Transformacje pędu i energii

 

 

Wyrażenie

wyrażenie(19.37)

jest kwadratem energii spoczynkowej ciała, musi więc być takie samo we wszystkich układach

transformacja pędu i energii(19.38)

Kwadrat pędu jest sumą kwadratów składowych

kwadrat pędu(19.39)

Stąd

związek(19.40)

Analogia do kwadratu interwału

kwadrat interwału(19.41)

jest widoczna. Interwał jest bezwzględną wartością czterowektora wodzącego. Iloczyn masy i prędkości światła

iloczyn masy i prędkości światła(19.42)

będziemy uważali za wartość bezwzględną czterowektora pędu energii, czyli czteropędu pμ. Składowe pędu

składowe pędu(19.43)

są jego składowymi przestrzennymi, a energia (podzielona przez prędkość światła) składową czasową:

składowa czasowa czteropędu(19.44)
czterowektor pędu energii(Rys. 19.8)

Korzystając z definicji energii i czasu własnego możemy i tej składowej nadać postać analogiczną do pozostałych

energia całkowita cząstki(19.45)

i stąd

składowa czasowa wektora czteropędu(19.46)

Ponieważ m, c, i dt0 nie zmieniają się przy transformacjach, widać stąd, że składowe pędu będą transformowały jak dx, dy, dz a E/c jak dt. Z zależności

transformacje Lorentza(19.47)

wynika więc

relatywistyczne transformacje pędu i energii(19.48)

Wprowadzenie czteropędu pozwala nam ująć prawa zachowania energii i pędu w jedno prawo zachowania czteropędu

prawo zachowania czteropędu(19.49)

W dynamice relatywistycznej z zachowania pędu wynika zachowanie energii i odwrotnie. Stałość czterowektora oznacza, że stałe są wszystkie cztery składowe.

 

 

19.10 Relatywistyczne zderzenia cząstek

 

 

Niech

czteropędy cząstek A i B przed i po zderzeniu(19.50)

Prawa zachowania zapiszemy w postaci równości sum czteropędów:

prawo zachowania(19.51)

Podnieśmy je obustronnie do kwadratu:

zasada zachowania(19.52)

Kwadrat czteropędu jest równy kwadratowi iloczynu masy cząstki i prędkości światła. Stąd

związek(19.53)

i po redukcji pozostają tylko iloczyny

iloczyny(19.54)

Przekształcając prawo zachowania czteropędu przez przenoszenie wyrazów do postaci

prawo zachowania czteropędu(19.55)

lub

prawo zachowania czteropędu(19.56)

i podnosząc do kwadratu możemy uzyskać związki

związki(19.57)

Jak widać, w prawie zachowania wyrażonym w postaci równości iloczynów czteropędów czynniki można grupować parami w dowolny sposób. Rozwiązując konkretne zagadnienie stosujemy najwygodniejszą postać. Można też podnosić do kwadratu sumę trzech czterowektorów, np.

prawo zachwania czteropędu(19.58)

otrzymując

związek(19.59)

Podobnie jak poprzednio

kwadrat czteropędu(19.60)

Stąd

związek(19.61)

czyli po redukcji

związek(19.62)

W taki sam sposób znajdziemy

związek(19.63)

przy czym każdy iloczyn można zastąpić iloczynem pozostałej pary czteropędów. Skalarne iloczyny czterowektorów oblicza się tak samo jak zwykłych wektorów, z tą tylko różnicą, że iloczyny składowych przestrzennych mają znak przeciwny niż składowych czasowych

skalarny iloczyn czterowektorów(19.64)

przy czym ϑ jest kątem między wektorami pędu pA, pB, a EA, EB są relatywistycznymi energiami cząstek.

Rozpatrzmy zderzenie sprężyste w układzie laboratoryjnym, w którym jedna z cząstek powiedzmy B przed zderzeniem spoczywa. Wówczas do prawa zachowania czteropędu wstawiamy pB- = 0 i EB- = mBc2. Mnożenie przez pB- pozwala przy odpowiednim wyborze postaci prawa zachowania wyeliminować jeden nieznany pęd. Ponadto zasada zachowania energii

zasada zachowania energii(19.65)

umożliwia wyrugowanie jednej nieznanej energii. Wyznaczymy kąty ϑA, ϑB odchylenia (rozproszenia) obu cząstek w wyniku zderzenia. Prawo zachowania czteropędu w postaci

prawo zachowania czteropędu(19.66)

rozpiszemy na składowe

składowe(19.67)

stąd kąt rozproszenia

cosinus kąta rozproszenia(19.68)

W podobny sposób z odpowiedniej postaci prawa zachowania znajdziemy kąt rozproszenia drugiej cząstki:

cosinus kąta rozproszenia(19.69)

Gdy cząstka padająca ma masę równą zeru (mA = 0), jej pęd jest równy energii podzielonej przez prędkość światła:

gdy masa cząstki jest zerowa(19.70)

i wzór na rozproszenie przyjmuje postać

kąt rozproszenia cząstki o zerowej masie(19.71)

 

 

19.11 Zjawisko Comptona

 

 

Przechodząc przez substancję fotony gamma i rentgenowskie tracą energię między innymi w drodze rozpraszania na elektronach. Podstawiając

założenia dla zjawiska Comptona(19.72)

otrzymujemy

równanie dla zjawiska Comptona(19.73)

Można stąd obliczyć zmianę długości fali:

zjawisko Comptona(19.74)

w zależności od kąta rozproszenia, który łatwiej zmierzyć.

zjawisko Comptona(Rys. 19.9)

 

 

19.12 Kąt rozrzutu cząstek wielkiej energii

 

 

Kąty odchylenia cząstek o równych masach można znaleźć podstawiając do wzorów mA = mB = m. Prościej jednak otrzymamy kąt rozrzutu z prawa zachowania czteropędu w postaci

prawo zachowania czteropędu(19.75)

czyli

zasada zachowania czteropędu(19.76)

stąd

cosinus(19.77)

Wyrugujmy pędy podstawiając

pędy(19.78)

oraz energię cząstki A przed zderzeniem

energia cząstki A przed zderzeniem(19.79)

Teraz

cosinus kąta(19.80)

ostatecznie

cosinus kąta(19.81)

Przy małej końcowej energii kinetycznej jednej z cząstek E mc2 ≈ 0 i stąd

zerowanie się(19.82)
kąt rozrzutu cząstek wielkiej energii(Rys. 19.10)

Cząstki nierelatywistyczne rozbiegają się pod kątem prostym. Ten wynik otrzymaliśmy już uprzednio. Przy bardzo dużej energii E >> mc2 (przypadek skrajnie relatywistyczny) można pominąć energie spoczynkowe i

1(19.83)

Obie cząstki lecą w kierunku cząstki padającej. W przypadku pośrednim kąt między cząstkami jest ostry. Takie „widełki” obserwowane na kliszach jądrowych świadczą zawsze o dużej energii cząstek.

 

 

19.13 Zderzenia niesprężyste

 

 

W odróżnieniu od zderzeń przy małych prędkościach w niesprężystych zderzeniach relatywistycznych energia (całkowita!) jest zachowana. Spełnione jest również prawo zachowania pędu. Podobnie jak przy zderzeniach sprężystych można posługiwać się prawem zachowania czteropędu.

Zderzenie całkowicie niesprężyste jest równoznaczne z wychwytem. Jeżeli cząstka o masie mA i energii EA zderza się niesprężyście ze spoczywającą cząstką o masie mB tworząc cząstkę o masie mC i energii EC, to prawo zachowania czteropędu ma postać

prawo zachowania czteropędu(19.84)

Podnosząc je obustronnie do kwadratu otrzymujemy

związek(19.85)

czyli

związek(19.86)

albo

związek(19.87)

Z zasady zachowania energii

zasada zachowania energii(19.88)

widać, że energia cząstki C jest większa niż cząstki A

różnica energii(19.89)

Obliczmy różnicę energii kinetycznych

różnica energii kinetycznych(19.90)

Różnica między sumą mas cząstek pierwotnych a masą powstałej przez ich złączenie cząstki C jest defektem (niedoborem) masy Δm, a po pomnożeniu przez c2 energią wiązania cząstki C

energia wiązania(19.91)

W procesie syntezy cząstki C wyzwoliła się energia wiązania w postaci nadmiaru energii kinetycznej cząstki C w porównaniu z A. Ze względu na równoważność masy i energii masa cząstki C jest mniejsza niż suma mas cząstek, z których powstała. Niedobór masy jest miarą energii wiązania. Żeby przeprowadzić reakcję odwrotną, trzeba doprowadzić energię co najmniej równą energii wiązania.

W świetle powyższych rozważań możemy wypisać warunki powstania trwałej cząstkim > 0):

warunek powstania trwałej cząstki(19.92)

i samorzutnego rozpadu cząstki Cm < 0) na A i B

warunek samorzutnego rozpadu cząstki(19.93)
wychwyt cząstki A(Rys. 19.11)

 

 

19.14 Tworzenie par elektronowych

 

 

Fotony gamma o dużej energii mogą ją tracić w drodze tworzenia par elektronów. Każda taka para składa się z elektronu ujemnego, czyli negatonu i dodatniego czyli pozytonu. Obie cząstki mają taką samą masę m = 9,1·10-31 kg i różnią się tylko znakiem ładunku e = 1,6·10-19 C. Masa cząstki pierwotnej (fotonu) m = 0, energia E = , a pęd p = /c. Bilans energii wygląda tak:

bilans energii tworzenie par elektronowych(19.94)

Tutaj wskaźnik f oznacza foton, e- negaton, e+ pozyton. Niedobór masy

niedobór masy - tworzenie par elektronowych(19.95)

jest zawsze większy od zera. Warunkiem rozpadu jest więc, by foton miał energię

warunek rozpadu(19.96)
warunek tworzenia par elektronowych(Rys. 19.12)

O tego typu reakcjach mówimy, że mają próg energii. Energia progowa tworzenia par

energia progowa(19.97)

Zauważmy, że zasada zachowania pędu może być tutaj spełniona tylko wtedy, gdy jakaś trzecia cząstka przejmie nadmiar pędu (w układzie środka masy powstałej pary suma p’e- + p’e+ = 0 a p’f ≠ 0)

rys(Rys. 19.13)

W układzie środka masy powstałych elektronów widać, że pęd nie będzie zachowany, bo suma pędów elektronów jest równa zeru, a pęd fotonu w żadnym układzie nie może się zerować. Dodatkowym warunkiem utworzenia pary elektronów jest więc bliskość jądra atomu, które może przejąć pęd fotonu.

Energia jaką zyska ciężkie jądro jest tak mała, że w bilansie energii możemy ją pominąć.

 

 

19.15 Relatywistyczne równanie ruchu

 

 

Stwierdziliśmy wyżej, że pochodna dp/dt gra rolę siły. Unikaliśmy jednak nazwania jej siłą. Wprowadzimy obecnie pojęcie siły relatywistycznej zwanej siłą uogólnioną lub czterosiłą. Zdefiniujemy ją jako pochodną czteropędu względem czasu własnego cząstki:

czterosiła(19.98)
czterowektor siły uogólnionej(Rys. 19.14)

Składowe czterowektora siły mają postać

składowe czterowektora siły(19.99)

oraz

zerowa składowa czterowektora siły(19.100)

Łatwo dostrzec, że składowe czterowektora siły uogólnionej transformują się jak składowe zmiany pędu dpx, dpy, dpz i energii dE:

transformacje pędu i energii(19.101)

Jeżeli układ ruchomy porusza się wraz z cząstką, to

de(19.102)

i dE’ = 0. Wyrażenie na dp’x jest równe

dpxprim(19.103)

Po podzieleniu przez

dt prim(19.104)

otrzymujemy transformację siły

transformacja siły(19.105)