Rachunek wektorowy – JR

Rachunek wektorowy

1.1. Wiadomości wstępne.
1.2. Dodawanie i odejmowanie wektorów.
1.3. Mnożenie wektora przez skalar.
1.4. Rzut wektora na oś.
1.5. Wyrażenie wektora przez jego rzuty na osie układu współrzędnych.
1.6. Wektor położenia.
1.7. Iloczyn skalarny wektorów
1.8. Iloczyn wektorowy.
1.9. Iloczyn mieszany.
1.10. Podwójny iloczyn wektorowy.

1.1 Wiadomości wstępne.

W fizyce rozróżniamy dwa zasadniecze rodzaje wielkości fizycznych: skalary oraz wektory. W tym podrozdziale zajmiemy się wektorami.
Do pełnego opisu wektora nie wystarczy jak ma to miejsce w przypadku skalara podanie jednej liczby. W ogólności do pełnego opisu wektora trzeba podać (w trójwymiarowym układzie współrzędnych) aż trzy liczby – tak zwane współrzędne wektora. Współrzędne te możemy oznaczyć standardowo symbolami: x, y, z.

Przykłady skalarów: masa, czas, temperatura, gęstość, objętość, natężenie prądu, potencjał, energia

Przykłady wektorów: przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, siła, natężenie pola elektrycznego, indukcja magnetyczna, gęstość prądu elektrycznego itp.

Wektory oznaczamy strzałką nad daną wielkością fizyczną lub pogrubioną czcionką. Na tej stronie wektory będziemy oznaczali pogrubioną czcionką. Oto przykłady wektorów:

przykłady wielkości wektorowych

Obrazem geometrycznym wektora jest odcinek skierowany o początku w punkcie A i końcu w punkcie B. Co przedstawia poniższy rysunek:

geometryczna reprezentacja wektora

Długość odcinka AB jest proporcjonalna do wartości reprezentowanej wielkości fizycznej. Długość (moduł) wektora wektor oznaczamymoduł wektora lub krócej a.

1.2. Dodawanie i odejmowanie wektorów.

Sumę wektorów możemy znaleźć metodą równoległoboku. Z jednego punktu wykreślamy wektory a i b. W równoległoboku zbudowanym na tych wektorach poszukiwaną sumą jest przekątna wychodząca ze wspólnego punktu. Przedstawia to poniższy rysunek:

geometryczne dodawanie wektorów

Z rysunku widzimy, że dodawanie wektorów jest przemienne.

Wektory można też dodawać metodą wieloboku. Z dowolnego punktu wykreślamy wektor a, z końca wektora a – wektor b. Wektor c którego początek pokrywea się z początkiem wektora a, koniec zaś – z końcem wektora b, nazywamy sumą wektorów a i b. Podobnie tworzymy sumę n wektorów. Z końca pierwszego wektora wykreślamy drugi wektor, z końca drugiego wektora – wektor trzeci itd. Wektor wypadkowy, łączący początek pierwszego wektora z końcem ostatniego, nazywamy sumą danych n wektorów. Przedstawia to poniższy rysunek:

metoda wieloboku

Odejmowanie wektora b od wektora a definiujemy jako dodawanie wektora przeciwnego: – b do wektora a.

geometryczne odejmowanie wektorów

1.3. Mnożenie wektora przez skalar

W wyniku mnożenia wektora a przez skalar k otrzymuje się nowy wektor b:

mnożenie wektora przez skalar

Długość (moduł) wektora b jest |k| razy większa od długości wektora a . Kierunki wektorów a i b są takie same, a zwrot wektora b jest albo zgodny ze zwrotem wektora a (jeżeli k > 0 ), albo przeciwny zwrotowi wektora a (jeżeli k < 0 ).

Zatem pomnożenie wektora przez -1 zmienia zwrot tego wektora na przeciwny. Wektory a i – a mają więc takie same długości i ten sam kierunek, lecz różnią się zwrotem.

Każdy wektor a można przedstawić w postaci:

wektor jako moduł i wersor

gdzie:

wektor jako moduł i wersor

Wersor jest wielkością bezwymiarową. Wersory można przyporządkowąć nie tylko wektorom ale i dowolnym osiom w przestrzeni. Na przykład:

wektor jako moduł i wersor

1.4. Rzut wektora na oś

Rzut wektora a na oś l oznaczamy al

<>

Jeżeli wektor a tworzy z osią l kąt fi to rzut wektora a na oś l wyraża się wzorem:

rzut wektora na oś l

rzut wektora na oś l

Rzut wektora jest wielkością algebraiczną, a więc może przyjmować zarówno wartości dodatnie jak i ujemne. Jeżeli wektor tworzy z daną osią kąt ostry to:

warunek na dodatni rzut wektora

i rzut jest dodatni.

Jeżeli wektor tworzy z daną osią kąt taki, że:

warunek na ujemny rzut wektora

to rzut jest ujemny.

Natomiast gdy wektor jest prostopadły do danej osi, wtedy rzut wektora na oś jest równy zeru.

1.5. Wyrażenie wektora przez jego rzuty na osie układu współrzędnych.

Rozważmy układ współrzędnych kartezjańskich:

kartezjański układ współrzędnych

Wektor a leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi z. Wzdłuż każdej z osi leżą wersory (wektory jednostkowe), które mają wspólny początek (w początku układu współrzędnych) i są do siebie wzajemnie prostopadłe. Na rysunku nie pokazano wersora ez gdyż jest on prostopadły do płaszczyzny rysunku i zwrócony ku nam.

Jak widać na poniższym rysunku oraz wzorze każdy wektor umieszczony w kartezjańskim układzie współrzędnych można wyrazić przez jego rzuty na osie układu i wersory osiowe.

układ kartezjański

składowe wektora

Wartość wektora a można wyrazić za pomocą wzoru:

składowe wektora

Jeżeli wektor a tworzy z osiami: Ox. Oy, Oz odpowiednio kąty: α, β , γ to zachodzi następująca ważna zależność:

uogólniona jedynka trygonometryczna

1.6. Wektor położenia.

Wektor łączący początek układu współrzędnych z danym punktem nazywamy wektorem położenia lub wektorem wodzącym. Przedstawia to poniższy rysunek:

wektor wodzący

wektor wodzący wzór

wektor wodzący wzór

1.7. Iloczyn skalarny wektorów

Dwa wektory a i b możemy pomnożyć przez siebie na dwa sposoby: jeden prowadzi do wielkości skalarnej, a drugi do wektorowej. Mamy zatem dwa działania które nazywamy: iloczynem skalarnym oraz iloczynem wektorowym. Należy zaznaczyć, że nie występuje operacja działania dzielenia wektora przez wektor.

Iloczynem skalarnym wektorów a i b nazywamy skalar równy iloczynowi długości tych wektorów i kosinusa kąta między nimi:

iloczyn skalarny wzór

Dla ostrego kąta α iloczyn skalarny dwóch wektorów jest dodatni, a dla rozwartego kąta α iloczyn skalarny wektorów jest ujemny. Iloczyn skalarny prostopadłych wektorów jest równy zeru.

Przez kwadrat wektora zawsze rozumie się iloczyn skalarny wektora przez siebie:

kwadrat wektora

Widzimy, że kwadrat wektora równy jest kwadratowi jego długości.

Iloczy skalarny jest przemienny to znaczy, żę nie zależy od kolejności czynników, co przedstawia wzór:

iloczyn skalarny wzór

Mnożenie skalarne jest rozdzielne względem dodawania tzn.

rozdzielność iloczynu skalarnego względem dodawania

Z definicji iloczynu skalarnego wynika, że:

własność wersorów

oraz:

własność wersorów

Biorąc pod uwagę trzy powyższe wzory możemy zapisać:

rozpisany iloczyn skalarny

1.8. Iloczyn wektorowy.

Iloczynem wektorowym weltorów a i b nazywamy wektor c dany wzorem:

iloczyn wektorowy wzór

gdzie:

opis iloczynu wektorowego

Wartość wektora c jest równa polu powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b. Co przedstawia poniższy rysunek:

geometryczna interpretacja iloczynu wektorowego

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a i b zapisujemy następująco:

zapis iloczynu wektorowego

Iloczyn wektorowy nie jest działaniem przemiennym:

nieprzemienność iloczynu wektorowego

Mnożenie wektorowe jest rozdzielne względem dodawania tzn.

rozdzielność iloczynu wektorowego względem dodawania

Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że iloczyny wektorowe wektorów jednostkowych związanych z osiami x, y, z mają następujące własności:

własność iloczynu wektorowego wersorów

oraz:

własności iloczynu wektorowego wersorów

W tym miejscu można dodać, że wersory związane z osiami x, y, z można różnie oznaczać:

różne oznaczenia wersorów

Biorąc pod uwagę powyższe zależności otrzymujemy:

rozpisany iloczyn wektorowy

Do zapisu iloczynu wektorowego wykorzystane zostały wyznaczniki drugiego stopnia, które liczymy następująco:

wyznacznik drugiego stopnia

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a i b można zapisać krócej za pomocą wyznacznika stopnia trzeciego:

iloczy wektorowy dwóch wektorów jako wyznacznik trzeciego stopnia

1.9. Iloczyn mieszany.

Mieszanym (lub skalarno-wektorowym) nazywamy iloczyn trzech wektorów :

iloczyn mieszany dwóch wektorów

gdzie:

wektor d

kąt pomiędzy wektorem b i c

kąt pomiędzy wektorem a i wersorem n

Wersor n określa kierunek i zwrot wektora d. Z poniższego rysunku:

geometryczna interpretacja iloczynu mieszanego

gdzie:

pole powierzchni podstawy równoległościanu

wysokość równoległościanu

Opisywany w tym podrozdziale iloczyn mieszany ma więc prosty sens geometryczny: jet on równy liczbowo objętości równoległościanu rozpiętego na mnożonych wektorach a, b, c. Ponieważ objętość równoległościanu nie może zależeć od tego, która ściana jest wzięta za podstawę bryły to:

cykliczność iloczynu mieszanego

Można więc zauważyć, że iloczyn mieszany nie zależy od cyklicznego przestawiania czynników, to znaczy następującej zamiany wektorów w iloczynie:

cykliczność iloczynu mieszanego

Iloczyn mieszany można również zapisać za pomocą wyznacznika:

iloczyn mieszany jako wyznacznik

1.10. Podwójny iloczyn wektorowy.

Podwójny iloczyn wektorowy ma następującą postać matematyczną:

podwójny iloczyn wektorowy

Podwójny iloczyn wektorowy można uprościć za pomocą tak zwanej reguły BAC-CAB:

reguła BAC - CAB