2.1. Definicja pochodnej.
2.2. Pochodna: sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji
2.3. Pochodna funkcji wykładniczej.
2.4. Pochodna funkcji logarytmicznej.
2.1. Definicja pochodnej.
Pochodną funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granicę do której dąży stosunek przyrostu funkcji Δy do odpowiedniego przyrostu zmiennej niezależnej Δx., jeżeli przyrost zmiennej niezależnej dąży do zera:
Geometrycznie pochodna funkcji y=f(x) w danym punkcie równa jest tangensowi kąta α jaki tworzy styczna do wykresu w tym punkcie z dodatnim zwrotem Ox. Co przedstawia poniższy rysunek:
Funkcję mającą pochodną w każdym punkcie przedziału nazywamy różniczkowalną w tym przedziale. Znajdowanie pochodnej nazywamy różniczkowaniem funkcji.
2.2. Pochodna: sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji.
Jeżeli przyjąć założenie, że dane są następujące funkcje różniczkowalne: u=f(x)oraz v=g(x) oraz, że C=const wówczas
obowiązują następujące wzory:
2.2.1. Pochodna iloczynu stałej i zmiennej y
Stałą C możemy wyłączyć przed znak pochodnej:
2.2.2. Pochodna sumy(różnicy) funkcji:
jeżeli:
to:
2.2.3. Pochodna iloczynu funkcji:
Jeżeli:
to:
2.2.4. Pochodna ilorazu funkcji.
Jeżeli:
to:
2.3. Pochodna funkcji wykładniczej.
Ze wszystkich funkcji wykładniczych szczególnie interesująca jest funkcja wykładnicza o podstawie e, gdzie:
Funkcja ex ma tę własnośc, że :
Jeżeli natomiast nasza funkcja wygląda tak:
to:
2.4. Pochodna funkcji logarytmicznej.
Jeżeli załozymy, że x>0 to obowiązują następujące wzory na pochodną funkcji logarytmicznych:
