Rachunek różniczkowy – JR

Rachunek różniczkowy

2.1. Definicja pochodnej.
2.2. Pochodna: sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji
2.3. Pochodna funkcji wykładniczej.
2.4. Pochodna funkcji logarytmicznej.

 

2.1. Definicja pochodnej.

 

Pochodną funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granicę do której dąży stosunek przyrostu funkcji Δy do odpowiedniego przyrostu zmiennej niezależnej Δx., jeżeli przyrost zmiennej niezależnej dąży do zera:

wzór definiujący pochodną funkcji

Geometrycznie pochodna funkcji y=f(x) w danym punkcie równa jest tangensowi kąta α jaki tworzy styczna do wykresu w tym punkcie z dodatnim zwrotem Ox. Co przedstawia poniższy rysunek:

geometryczna interpretacja pochodnej

Funkcję mającą pochodną w każdym punkcie przedziału nazywamy różniczkowalną w tym przedziale. Znajdowanie pochodnej nazywamy różniczkowaniem funkcji.

 

2.2. Pochodna: sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji.

 

Jeżeli przyjąć założenie, że dane są następujące funkcje różniczkowalne: u=f(x)oraz v=g(x) oraz, że C=const wówczas
obowiązują następujące wzory:

2.2.1. Pochodna iloczynu stałej i zmiennej y

Stałą C możemy wyłączyć przed znak pochodnej:

Wyciągnięcie stałej przed znak różniczkowania

2.2.2. Pochodna sumy(różnicy) funkcji:

jeżeli:

suma (różnica) dwóch funkcji

to:

wzór na pochodną sumy dwóch funkcji

2.2.3. Pochodna iloczynu funkcji:

Jeżeli:

iloczyn funkcji

to:

wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji

2.2.4. Pochodna ilorazu funkcji.

Jeżeli:

iloraz dwóch funkcji

to:

wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji

 

2.3. Pochodna funkcji wykładniczej.

 

Ze wszystkich funkcji wykładniczych szczególnie interesująca jest funkcja wykładnicza o podstawie e, gdzie:

definicja liczby e

Funkcja ex ma tę własnośc, że :

pochodna funkcji e do x

Jeżeli natomiast nasza funkcja wygląda tak:

funkcja wykładnicza

to:

ogólny wzór na pochodną funkcji wykładniczej

 

2.4. Pochodna funkcji logarytmicznej.

 

Jeżeli załozymy, że x>0 to obowiązują następujące wzory na pochodną funkcji logarytmicznych:

pochodna logarytmu naturalnego

pochodna dowolnego logarytmu