Rachunek całkowy – JR

Rachunek całkowy

Działaniem odwrotnym do różniczkowania jest całkowanie.

3.1. Całka nieoznaczona.

Całką nieoznaczona funkcji f(x) ciągłej w danym przedziale nazywamy wyrażenie F(x)+C gdzie:

F'(x)=f(x), a C jest dowolną stałą.

Całkę nieoznaczoną oznaczamy następującym symbolem:

ogólny wzór na całkę nieoznaczoną

Funkcję f(x) nazywamy funkcją podcałkową, x – zmienną całkowania, f(x)dx – wyrażeniem podcałkowym, F(x) – funkcją pierwotną funkcji f(x).

Należy zaznaczyć, że symbol całki i różniczka dx występują zawsze razem, jak lewy i prawy nawias.

Wyznaczanie całki funkcji nazywamy całkowaniem. Całkowanie w przeciwieństwie do różniczkowania nie jest operacją jednoznaczną. W wyniku całkowania funkcji otrzymujemy nieskończenie wiele funkcji różniących się o stałą C zwaną stałą całkowania.

3.2. Całkowanie funkcji elementarnych

W przypadku całkowania następujących funkcji elementarnych obowiązują wzory:

całka z 1

całka nieoznaczona z x do k-tej

całka nieoznaczona z 1/x

całka nieoznaczona z a do x

całka nieoznaczona z cos(x)

całka nieoznaczona z sin(x)

całka nieoznaczona z 1/cos^2(x)

całka nieoznaczona z 1/sin^2(x)

Stałą A można „wyciągnąć” przed znak całki:

wyciągnięcie stałej A przed znak całki

Całka sumy (różnicy) równa jest sumie (różnicy) całek:

całka nieoznaczona sumy (różnicy) dwóch funkcji

3.2. Całka oznaczona.

Jeżeli przez F(x) oznaczymy całkę funkcji f(x) ciągłej w rozpatrywanym przez nas przedziale to znaczy jeśli spełniona jest zależność: F'(x)=f(x) to przez całkę oznaczoną funkcji f(x) od a do b rozumiemy:

całka oznaczona wzór definiujący

Przy czym różnica F(b )- F(a) nie zależy od stałej całkowania C.

Prawą stronę w powyższym równaniu oznaczamy symbolem:

symbol całki oznaczonej

Graficznie całkę oznaczoną można zinterpretować jako pole powierzchni zawarte między: osią Ox krzywą f(x) oraz prostymi x=a oraz x=b:

geometryczna interpretacja całki oznaczonej