Przemiany energii – JR

Przemiany energii

4.1 Energia mechaniczna
4.2 Przemiany energii w rzucie pionowym
4.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
4.4 Energia wahadła
4.5 Energia oscylatora sprężystego
4.6 Siły zachowawcze
4.7 Siła jako pochodna energii potencjalnej
4.8 Równia pochyła
4.9 Potencjał siły
4.10 Energia cząstki w zmiennym polu elektrycznym
4.11 Siły giroskopowe i dyssypacyjne

4.1 Energia mechaniczna

Energia kinetyczna zależy od prędkości, energia potencjalna – od położenia. Ogólnie podczas ruchu cząstki zmienia się zarówno położenie, jak i prędkość, co pociąga za sobą zmiany energii kinetycznej i potencjalnej. Na ogół zmiany obu tych form energii nie są od siebie niezależne – istnieje między nimi związek zwany zasadą zachowania energii mechanicznej.

4.2 Przemiany energii w rzucie pionowym

Jeżeli wyrzucamy jakieś ciało – np. piłkę – pionowo w górę, a opory ruchu są tak małe, że można je pominąć, to dalszy ruch odbywa się wyłącznie pod działaniem siły ciężkości. Obierając początek skierowanej w górę pionowej osi współrzędnych w punkcie wyrzucenia, możemy zapisać równanie ruchu w postaci

równanie ruchu - rzut pionowy

(4.1)

czyli:

przyspieszenie - rzut pionowy do góry

(4.2)

Całkowanie z uwzględnieniem warunków początkowych dla t = 0, z = 0 i v = v0 daje znane wzory na prędkość:

prędkość w rzucie pionowym

(4.3)

i położenie:

położenie w rzucie pionowym

(4.4)

w funkcji czasu. Na wybranej wysokości z ciało ma energię kinetyczną:

energia kinetyczna w rzucie pionowym

(4.5)

i potencjalną

energia potencjalna w rzucie pionowym

(4.6)

Całkowita energia mechaniczna, czyli suma obu postaci energii

całkowita energia mechaniczna

(4.7)

jest równa energii kinetycznej w momencie wyrzucenia i, jak widać nie zależy od aktualnego położenia ciała.

przemiany energii w rzucie pionowym

(Rys. 4.1)

4.3 Zasada zachowania energii mechanicznej

Możemy zatem sformułować zasadę zachowania energii mechanicznej:

zasada zachowania energii mechanicznej

(4.8)

Energia mechaniczna cząstki poruszającej się pod działaniem siły ciężkości nie ulega zmianie. Poszczególne formy energii mechanicznej przechodzą jedna w drugą:

inna postać zasady zachowania energii mechanicznej

(4.9)

czyli

zależność

(4.10)

To samo odnosi się do zmian skończonych.

4.4 Energia wahadła

Przy braku oporów ruchu wychylone i puszczone swobodnie wahadło matematyczne porusza się pod wpływem siły równej stycznej składowej siły ciężkości

składowa styczna siły ciężkości

(4.11)

gdzie φ jest aktualnym kątem wychylenia z położenia równowagi. Całkowanie równania ruchu (dla małych wychyleń)

równanie ruchu wahadło matematyczne

(4.12)

daje wzór na prędkość kątową

prędkość kątowa

(4.13)

i wychylenie:

wychylenie kątowe

(4.14)

w funkcji czasu, przy czym dla t = 0 φ = φ0, a dφ/dt = 0. W dowolnej chwili t energia kinetyczna:

energia kinetyczna wahadło matematyczne

(4.15)

bowiem

prędkość liniowa a kątowa

(4.16)

a energia potencjalna

energia potencjalna - wahadło matematyczne

(4.17)

gdzie

wysokość wahadło matematyczne

(4.18)

jest wysokością wychylonego ciężarka ponad położenie równowagi. Dla małych wychyleń możemy skorzystać z przybliżonego związku

przybliżona wartość cosinusa

(4.19)

i wówczas:

energia potencjalna wahadło matematyczne

(4.20)

Całkowita energia mechaniczna wynosi

wahadło matematyczne całkowita energia mechaniczna

(4.21)

Zatem i tutaj obowiązuje prawo zachowania energii. W czasie ruchu wahadła energia potencjalna przechodzi w kinetyczną i odwrotnie, a całkowita energia mechaniczna pozostaje stała.

przemiany energii - wahadło matematyczne

(Rys. 4.2)

4.5 Energia oscylatora sprężystego

Energia kinetyczna ciała drgającego bez tłumienia wzdłuż osi x jest równa

energia kinetyczna oscylator sprężysty

(4.22)

Energia potencjalna

energia potencjalna - oscylator sprężysty

(4.23)

przy czym A oznacza amplitudę, ω – częstość kołową, a

współczynnik sprężystości

(4.24)

jest współczynnikiem sprężystości. Stąd energia mechaniczna oscylatora harmonicznego

energia mechaniczna oscylatora sprężystego

(4.25)

Jak widać i w tym przypadku spełnione jest prawo zachowania energii. W obu skrajnych położeniach energia występuje wyłącznie w postaci potencjalnej, a w momencie przechodzenia przez położenie równowagi (x = 0) tylko w postaci kinetycznej.

przemiany energii oscylator sprężysty

(Rys. 4.3)

4.6 Siły zachowawcze

We wszystkich wymienionych przykładach energia zmieniała się w wyniku pracy sił ciężkości lub sprężystości, które były siłami wewnętrznymi w danym układzie. Ciało spadające swobodnie czy wahające się jest częścią układu, do którego wchodzi także Ziemia. Oscylator harmoniczny składa się z drgającego ciała i elementu sprężystego, np. sprężyny. Między pracą sił tego rodzaju a zmianami energii zachodzi związek

związek

(4.26)

albo, po scałkowaniu wzdłuż odcinka AB,

praca a energia potencjalna siły zachowawcze

(4.27)

Na przykład praca siły ciężkości

praca siły ciężkości

(4.28)

albo, kiedy nie można pominąć zależności przyspieszenia grawitacyjnego od położenia,

praca sił zachowawczych w polu grawitacyjnym przypadek ogólny

(4.29)

Podobnie praca sił sprężystości

praca siły zachowawcze - siły sprężystości

(4.30)

Kiedy siły wewnętrzne wykonują pracę, energia potencjalna układu maleje (indeks A oznacza wartość początkową, a B – końcową). W wyniku tej pracy rośnie energia kinetyczna ciała. Kiedy praca sił grawitacji czy sprężystości jest ujemna, energia potencjalna rośnie, a energia kinetyczna maleje. Jeżeli w czasie ruchu spełnione jest prawo zachowania energii, to siły czynne w takim ruchu nazywamy zachowawczymi albo konserwatywnymi.

Jak wynika z powyższych wzorów, praca siły zachowawczej nie zależy od toru ciała, tylko od energii w punkcie końcowym i początkowym.

praca siły zachowawczej

(Rys. 4.4)
wab wba

(4.31)

niezależnie od tego po jakiej krzywej poruszało się ciało od punktu A do B i z powrotem od B do A, nawet jeżeli od A do B tor był inny, np. przez punkt C, niż od B do A, np. przez punkt D. W każdym przypadku

praca siły zachowawczej po drodze zamkniętej

(4.32)

czyli

praca sił zachowawczych droga zamknięta

(4.33)

Wykryliśmy tutaj ważną i ciekawą właściwość sił zachowawczych: praca sił zachowawczych na torze zamkniętym jest równa zeru.

4.7 Siła jako pochodna energii potencjalnej

Przekształcimy teraz wzór (4.27) na pracę:

energia potencjalna

(4.34)

Niech punkt A ma współrzędną r0, a B współrzędną r. Oznaczając siłę wewnętrzną przez Fw, mamy

energia potencjalna

(4.35)

Związek ten stosuje się do dowolnych punktów A i B, a zatem będzie spełniony także, gdy punkt A będzie punktem odniesienia dla energii potencjalnej, tzn. gdy:

energia potencjalna w punkcie odniesienia

(4.36)

Wtedy

energia potencjalna

(4.37)

gdzie α jest kątem pomiędzy siłą F a przemieszczeniem dr.

Różniczkując obie strony, otrzymamy

pochodna energii potencjalnej

(4.38)

czyli

siła jako pochodna energii potencjalnej

(4.39)

przy czym przez

rzut siły na kierunek przemieszczenia

(4.40)

oznaczono rzut siły na kierunek przemieszczenia. W podobny sposób można znaleźć rzut siły na dowolny kierunek, np. na kierunek osi współrzędnych kartezjańskich

rzuty siły na kierunek osi współrzędnych kartezjańskich

(4.41)

lub dowolnych współrzędnych krzywoliniowych

siła jako pochodna we współrzędnych krzywoliniowych

(4.42)

Pochodna energii potencjalnej względem współrzędnej wzięta ze znakiem minus jest równa rzutowi siły na odpowiednią oś współrzędnych.

Siła jest wektorem równym sumie składowych, czyli sumie iloczynów rzutów na osie współrzędnych i odpowiednich wersorów. W układzie kartezjańskim:

wektor siły jako pochodna

(4.43)

Ze względu na to, że energia potencjalna jest funkcją wielu zmiennych

energia potencjalna funkcją wielu zmiennych

(4.44)

poszczególne pochodne są cząstkowe. Ogólnie

wektor siły jako gradient

(4.45)

Symbol grad Ep lub ∂Ep/∂r oznacza gradient energii, czyli wektor równy sumie iloczynów pochodnych energii potencjalnej względem poszczególnych współrzędnych i odpowiednich wersorów.

Energia jest funkcją położenia. W jednych punktach jej wartości są większe, w innych mniejsze. Tego rodzaju przestrzenny rozkład jakiejś wielkości tworzy pole tej wielkości – w tym przypadku pole energii. Gradient ma kierunek największego wzrostu wielkości tworzącej pole. Ze względu na znak minus wektor siły ma kierunek najsilniejszego spadku energii potencjalnej.

gradient energii potencjalnej

(Rys. 4.5)

4.8 Równia pochyła

Przy braku tarcia ciało ześlizguje się po równi pod wpływem stycznej składowej ciężaru. Wygodnie jest przyjąć taki układ współrzędnych, by współrzędna x biegła w górę wzdłuż równi i taki poziom odniesienia, by u podnóża równi (dla x = x0) Ep = 0. Wówczas energia na wysokości x wynosi

równia pochyła energia potencjalna

(4.46)

Dla

Fx równia

(4.47)

(φ – kąt nachylenia równi); mamy stąd

energia potencjalna - równia pochyła

(4.48)

przy czym

h minus h0

(4.49)

oznacza wysokość (w pionie) nad poziomem odniesienia. Jak widać, w tym przypadku rzeczywiście

siła jako pochodna

(4.50)
równia pochyła

(Rys. 4.6)

4.9 Potencjał siły

Dla ruchu wzdłuz osi x:

energia potencjalna i siła w ruchu harmonicznym

(4.51)

stąd

siła jako pochodna energii potencjalnej

(4.52)

Siły zachowawcze należą do ogólniejszej klasy sił mających potencjał, czyli sił potencjalnych. Potencjałem siły nazywamy funkcję U zdefiniowaną wzorem

wektor siły potencjalnej

(4.53)

czyli:

składowa wektora siły jako pochodna potencjału

(4.54)

Wektor grad U jest prostopadły do powierzchni stałego potencjału, czyli tzw. powierzchni ekwipotencjalnych określonych równaniem U(r) = const.

Jeżeli potencjał siły zależy jednoznacznie od położenia, a nie zależy jawnie od czasu, to jest równoznaczny z energią potencjalną. Jak łatwo się przekonać, praca siły potencjalnej nie zależy wówczas od toru, tylko od wartości potencjału w punkcie początkowym i końcowym:

praca siły potencjalne

(4.55)

Praca na torze zamkniętym jest równa zeru. Prawo zachowania energii jest spełnione. Siła jest zachowawcza co można zapisać w formie:

siły potencjalne prawo zachowania energii

(4.56)

albo

inna postać prawa zachowania energii

(4.57)

Ze względu na równość

moc

(4.58)

możemy zapisać prawo zachowania energii w postaci związku

prawo zachowania energii

(4.59)

W przypadku gdy potencjał zależy także od czasu U = U(r,t) zależność F = -grad U pozostaje nadal w mocy, ale musimy uwzględnić zależność współrzędnych od czasu

pochodna potencjału po czasie

(4.60)

stąd:

Fv

(4.61)

albo

zasada zachowania energii nie jest spełniona

(4.62)

Zasada zachowania energii nie jest spełniona. Siły zależne od czasu nie są zachowawcze.

4.10 Energia cząstki w zmiennym polu elektrycznym

Jeżeli natężenie pola jest funkcją czasu, np.:

natężenie pola elektrostatycznego zależne od czasu

(4.63)

to na cząstkę o ładunku Q działa siła:

zmienna siła elektryczna działąjąca na ładunek

(4.64)

Obierając oś współrzędnych x tak, żeby w pierwszej ćwierci okresu siła F była skierowana wzdłuż niej, obliczmy potencjał

potencjał siły pola elektrycznego

(4.65)

gdzie C jest stałą całkowania. Stąd

całkowita energia cząstki

(4.66)

Zatem energia całkowita cząstki nie jest stała: w pierwszej połowie okresu rośnie (pochodna dodatnia), w drugiej – maleje. Tego rodzaju zachowanie świadczy zawsze, że dany układ jest częścią większego układu, w którym prawo zachowania energii jest spełnione.

potencjał siły

(Rys. 4.7)

4.11 Siły giroskopowe i dyssypacyjne

Gdy potencjał jest funkcją prędkości, rozważamy dwa przypadki:

1. Siły giroskopowe – czyli siły prostopadłe do prędkości. Praca takich sił jest równa zeru. Zmiana energii kinetycznej

siły giroskopowe- zmiana energii kinetycznej

(4.67)

Energia całkowita nie zmienia się, siły giroskopowe są zachowawcze.

Przykład: siła dośrodkowa. Praca siły dośrodkowej

praca siły dośrodkowej

(4.68)

bowiem rv, a iloczyn skalarny dwóch wektorów prostopadłych jest równy zeru. Siła dośrodkowa nie wykonuje pracy.

Przykład: Siła Lorentza. Jest to siła, która działa na ciało naładowane poruszające się w polu magnetycznym:

siła Lorentza

(4.69)
siła Lorentza

(Rys. 4.8)

Jej praca (iloczyn mocy i czasu)

praca siły Lorentza

(4.70)

bo siła Lorentza jest prostopadła do prędkości, więc:

zerowanie się iloczynu skalarnego F i v

(4.71)

Siła dośrodkowa i siła Lorentza były przykładami sił giroskopowych.

2. Siły dyssypacyjne zdefiniowane wzorem

siły dyssypacyjne

(4.72)

tutaj należą wszelkiego rodzaju siły tarcia i oporów ruchu. Oczywiście praca sił dyssypacyjnych jest zawsze ujemna.

siły dyssypacyjne moc

(4.73)

współczynnik n przybiera wartości od 1 (małe prędkości) do 2 (duże prędkości). Siły dyssypacyjne są niezachowawcze.

Przykład: Swobodny spadek z tarciem. Na ciało spadające działa siła

swobodny spadek z tarciem

(4.74)

Moc tracona na skutek działania siły oporu wynosi

moc tracona

(4.75)

Stąd

energia całkowita

(4.76)

Na skutek działania sił oporu energia całkowita maleje.

Ujemna pochodna energii całkowitej oznacza, że energia maleje z czasem, tzn. odpływa z układu. Siły tarcia nie są zachowawcze.

energia w czasie swobodnego spadku z oporem

(Rys. 4.9)

W ogólnym przypadku, gdy działają siły potencjalne, siły giroskopowe i siły dyssypacyjne

siła ogólny przypadek

(4.77)

przy czym potencjał jest funkcją i położenia i czasu

potencjał jako funkcja położenia i czasu

(4.78)

Wzór na moc sił czynnych przybiera ogólną postać

wzór na moc sił czynnych

(4.79)

czyli, ze względu na związek

moc jako pochodna energii kinetycznej względem czasu

(4.80)
zależność

(4.81)

Jeżeli działają tylko siły zachowawcze, tzn. gdy nie ma sił dyssypacyjnych, a potencjał nie zależy jawnie od czasu, powyższa równość przechodzi w prawo zachowania energii

zasada zachowania energii

(4.82)

czyli

zasada zachowania energii

(4.83)