Przemiany energii

Energia kinetyczna zależy od prędkości, energia potencjalna – od położenia. Ogólnie podczas ruchu cząstki zmienia się zarówno położenie, jak i prędkość, co pociąga za sobą zmiany energii kinetycznej i potencjalnej. Na ogół zmiany obu tych form energii nie są od siebie niezależne – istnieje między nimi związek zwany zasadą zachowania energii mechanicznej.

4.2 Przemiany energii w rzucie pionowym

Jeżeli wyrzucamy jakieś ciało – np. piłkę – pionowo w górę, a opory ruchu są tak małe, że można je pominąć, to dalszy ruch odbywa się wyłącznie pod działaniem siły ciężkości. Obierając początek skierowanej w górę pionowej osi współrzędnych w punkcie wyrzucenia, możemy zapisać równanie ruchu w postaci

(4.1)

czyli:

(4.2)

Całkowanie z uwzględnieniem warunków początkowych dla t = 0, z = 0 i v = v₀ daje znane wzory na prędkość:

(4.3)

i położenie:

(4.4)

w funkcji czasu. Na wybranej wysokości z ciało ma energię kinetyczną:

(4.5)

i potencjalną

(4.6)

Całkowita energia mechaniczna, czyli suma obu postaci energii

(4.7)

jest równa energii kinetycznej w momencie wyrzucenia i, jak widać nie zależy od aktualnego położenia ciała.

(Rys. 4.1)

4.3 Zasada zachowania energii mechanicznej

Możemy zatem sformułować zasadę zachowania energii mechanicznej:

(4.8)

Energia mechaniczna cząstki poruszającej się pod działaniem siły ciężkości nie ulega zmianie. Poszczególne formy energii mechanicznej przechodzą jedna w drugą:

(4.9)

czyli

(4.10)

To samo odnosi się do zmian skończonych.

4.4 Energia wahadła

Przy braku oporów ruchu wychylone i puszczone swobodnie wahadło matematyczne porusza się pod wpływem siły równej stycznej składowej siły ciężkości

(4.11)

gdzie φ jest aktualnym kątem wychylenia z położenia równowagi. Całkowanie równania ruchu (dla małych wychyleń)

(4.12)

daje wzór na prędkość kątową

(4.13)

i wychylenie:

(4.14)

w funkcji czasu, przy czym dla t = 0 φ = φ₀, a dφ/dt = 0. W dowolnej chwili t energia kinetyczna:

(4.15)

bowiem

(4.16)

a energia potencjalna

(4.17)

gdzie

(4.18)

jest wysokością wychylonego ciężarka ponad położenie równowagi. Dla małych wychyleń możemy skorzystać z przybliżonego związku

(4.19)

i wówczas:

(4.20)

Całkowita energia mechaniczna wynosi

(4.21)

Zatem i tutaj obowiązuje prawo zachowania energii. W czasie ruchu wahadła energia potencjalna przechodzi w kinetyczną i odwrotnie, a całkowita energia mechaniczna pozostaje stała.

(Rys. 4.2)

4.5 Energia oscylatora sprężystego

Energia kinetyczna ciała drgającego bez tłumienia wzdłuż osi x jest równa

(4.22)

Energia potencjalna

(4.23)

przy czym A oznacza amplitudę, ω – częstość kołową, a

(4.24)

jest współczynnikiem sprężystości. Stąd energia mechaniczna oscylatora harmonicznego

(4.25)

Jak widać i w tym przypadku spełnione jest prawo zachowania energii. W obu skrajnych położeniach energia występuje wyłącznie w postaci potencjalnej, a w momencie przechodzenia przez położenie równowagi (x = 0) tylko w postaci kinetycznej.

(Rys. 4.3)

4.6 Siły zachowawcze

We wszystkich wymienionych przykładach energia zmieniała się w wyniku pracy sił ciężkości lub sprężystości, które były siłami wewnętrznymi w danym układzie. Ciało spadające swobodnie czy wahające się jest częścią układu, do którego wchodzi także Ziemia. Oscylator harmoniczny składa się z drgającego ciała i elementu sprężystego, np. sprężyny. Między pracą sił tego rodzaju a zmianami energii zachodzi związek

(4.26)

albo, po scałkowaniu wzdłuż odcinka AB,

(4.27)

Na przykład praca siły ciężkości

(4.28)

albo, kiedy nie można pominąć zależności przyspieszenia grawitacyjnego od położenia,

(4.29)

Podobnie praca sił sprężystości

(4.30)

Kiedy siły wewnętrzne wykonują pracę, energia potencjalna układu maleje (indeks A oznacza wartość początkową, a B – końcową). W wyniku tej pracy rośnie energia kinetyczna ciała. Kiedy praca sił grawitacji czy sprężystości jest ujemna, energia potencjalna rośnie, a energia kinetyczna maleje. Jeżeli w czasie ruchu spełnione jest prawo zachowania energii, to siły czynne w takim ruchu nazywamy zachowawczymi albo konserwatywnymi.

Jak wynika z powyższych wzorów, praca siły zachowawczej nie zależy od toru ciała, tylko od energii w punkcie końcowym i początkowym.

(Rys. 4.4)

(4.31)

niezależnie od tego po jakiej krzywej poruszało się ciało od punktu A do B i z powrotem od B do A, nawet jeżeli od A do B tor był inny, np. przez punkt C, niż od B do A, np. przez punkt D. W każdym przypadku

(4.32)

czyli

(4.33)

Wykryliśmy tutaj ważną i ciekawą właściwość sił zachowawczych: praca sił zachowawczych na torze zamkniętym jest równa zeru.

4.7 Siła jako pochodna energii potencjalnej

Przekształcimy teraz wzór (4.27) na pracę:

(4.34)

Niech punkt A ma współrzędną r₀, a B współrzędną r. Oznaczając siłę wewnętrzną przez F_w, mamy

(4.35)

Związek ten stosuje się do dowolnych punktów A i B, a zatem będzie spełniony także, gdy punkt A będzie punktem odniesienia dla energii potencjalnej, tzn. gdy:

(4.36)

Wtedy

(4.37)

gdzie α jest kątem pomiędzy siłą F a przemieszczeniem dr.

Różniczkując obie strony, otrzymamy

(4.38)

czyli

(4.39)

przy czym przez

(4.40)

oznaczono rzut siły na kierunek przemieszczenia. W podobny sposób można znaleźć rzut siły na dowolny kierunek, np. na kierunek osi współrzędnych kartezjańskich

(4.41)

lub dowolnych współrzędnych krzywoliniowych

(4.42)

Pochodna energii potencjalnej względem współrzędnej wzięta ze znakiem minus jest równa rzutowi siły na odpowiednią oś współrzędnych.

Siła jest wektorem równym sumie składowych, czyli sumie iloczynów rzutów na osie współrzędnych i odpowiednich wersorów. W układzie kartezjańskim:

(4.43)

Ze względu na to, że energia potencjalna jest funkcją wielu zmiennych

(4.44)

poszczególne pochodne są cząstkowe. Ogólnie

(4.45)

Symbol grad E_p lub ∂E_p/∂r oznacza gradient energii, czyli wektor równy sumie iloczynów pochodnych energii potencjalnej względem poszczególnych współrzędnych i odpowiednich wersorów.

Energia jest funkcją położenia. W jednych punktach jej wartości są większe, w innych mniejsze. Tego rodzaju przestrzenny rozkład jakiejś wielkości tworzy pole tej wielkości – w tym przypadku pole energii. Gradient ma kierunek największego wzrostu wielkości tworzącej pole. Ze względu na znak minus wektor siły ma kierunek najsilniejszego spadku energii potencjalnej.

(Rys. 4.5)

4.8 Równia pochyła

Przy braku tarcia ciało ześlizguje się po równi pod wpływem stycznej składowej ciężaru. Wygodnie jest przyjąć taki układ współrzędnych, by współrzędna x biegła w górę wzdłuż równi i taki poziom odniesienia, by u podnóża równi (dla x = x₀) E_p = 0. Wówczas energia na wysokości x wynosi

(4.46)

Dla

(4.47)

(φ – kąt nachylenia równi); mamy stąd

(4.48)

przy czym

(4.49)

oznacza wysokość (w pionie) nad poziomem odniesienia. Jak widać, w tym przypadku rzeczywiście

(4.50)

(Rys. 4.6)

4.9 Potencjał siły

Dla ruchu wzdłuz osi x:

(4.51)

stąd

(4.52)

Siły zachowawcze należą do ogólniejszej klasy sił mających potencjał, czyli sił potencjalnych. Potencjałem siły nazywamy funkcję U zdefiniowaną wzorem

(4.53)

czyli:

(4.54)

Wektor grad U jest prostopadły do powierzchni stałego potencjału, czyli tzw. powierzchni ekwipotencjalnych określonych równaniem U(r) = const.

Jeżeli potencjał siły zależy jednoznacznie od położenia, a nie zależy jawnie od czasu, to jest równoznaczny z energią potencjalną. Jak łatwo się przekonać, praca siły potencjalnej nie zależy wówczas od toru, tylko od wartości potencjału w punkcie początkowym i końcowym:

(4.55)

Praca na torze zamkniętym jest równa zeru. Prawo zachowania energii jest spełnione. Siła jest zachowawcza co można zapisać w formie:

(4.56)

albo

(4.57)

Ze względu na równość

(4.58)

możemy zapisać prawo zachowania energii w postaci związku

(4.59)

W przypadku gdy potencjał zależy także od czasu U = U(r,t) zależność F = -grad U pozostaje nadal w mocy, ale musimy uwzględnić zależność współrzędnych od czasu

(4.60)

stąd:

(4.61)

albo

(4.62)

Zasada zachowania energii nie jest spełniona. Siły zależne od czasu nie są zachowawcze.

4.10 Energia cząstki w zmiennym polu elektrycznym

Jeżeli natężenie pola jest funkcją czasu, np.:

(4.63)

to na cząstkę o ładunku Q działa siła:

(4.64)

Obierając oś współrzędnych x tak, żeby w pierwszej ćwierci okresu siła F była skierowana wzdłuż niej, obliczmy potencjał

(4.65)

gdzie C jest stałą całkowania. Stąd

(4.66)

Zatem energia całkowita cząstki nie jest stała: w pierwszej połowie okresu rośnie (pochodna dodatnia), w drugiej – maleje. Tego rodzaju zachowanie świadczy zawsze, że dany układ jest częścią większego układu, w którym prawo zachowania energii jest spełnione.

(Rys. 4.7)

4.11 Siły giroskopowe i dyssypacyjne

Gdy potencjał jest funkcją prędkości, rozważamy dwa przypadki:

1. Siły giroskopowe – czyli siły prostopadłe do prędkości. Praca takich sił jest równa zeru. Zmiana energii kinetycznej

(4.67)

Energia całkowita nie zmienia się, siły giroskopowe są zachowawcze.

Przykład: siła dośrodkowa. Praca siły dośrodkowej

(4.68)

bowiem r⊥v, a iloczyn skalarny dwóch wektorów prostopadłych jest równy zeru. Siła dośrodkowa nie wykonuje pracy.

Przykład: Siła Lorentza. Jest to siła, która działa na ciało naładowane poruszające się w polu magnetycznym:

(4.69)

(Rys. 4.8)

Jej praca (iloczyn mocy i czasu)

(4.70)

bo siła Lorentza jest prostopadła do prędkości, więc:

(4.71)

Siła dośrodkowa i siła Lorentza były przykładami sił giroskopowych.

2. Siły dyssypacyjne zdefiniowane wzorem

(4.72)

tutaj należą wszelkiego rodzaju siły tarcia i oporów ruchu. Oczywiście praca sił dyssypacyjnych jest zawsze ujemna.

(4.73)

współczynnik n przybiera wartości od 1 (małe prędkości) do 2 (duże prędkości). Siły dyssypacyjne są niezachowawcze.

Przykład: Swobodny spadek z tarciem. Na ciało spadające działa siła

(4.74)

Moc tracona na skutek działania siły oporu wynosi

(4.75)

Stąd

(4.76)

Na skutek działania sił oporu energia całkowita maleje.

Ujemna pochodna energii całkowitej oznacza, że energia maleje z czasem, tzn. odpływa z układu. Siły tarcia nie są zachowawcze.

(Rys. 4.9)

W ogólnym przypadku, gdy działają siły potencjalne, siły giroskopowe i siły dyssypacyjne

(4.77)

przy czym potencjał jest funkcją i położenia i czasu

(4.78)

Wzór na moc sił czynnych przybiera ogólną postać

(4.79)

czyli, ze względu na związek

(4.80)

(4.81)

Jeżeli działają tylko siły zachowawcze, tzn. gdy nie ma sił dyssypacyjnych, a potencjał nie zależy jawnie od czasu, powyższa równość przechodzi w prawo zachowania energii

(4.82)

czyli

(4.83)