Prawa zachowania

Prawem zachowania nazywamy równanie opisujące stałość jakiejś wielkości w czasie ruchu. Poznaliśmy już prawo zachowania pędu

(5.1)

momentu pędu

(5.2)

i energii mechanicznej

(5.3)

Prawo zachowania pędu jest słuszne tylko przy F = 0, tzn. dla cząstki odosobnionej. Prawo zachowania momentu pędu jest słuszne przy M = 0, tzn. dla cząstki odosobnionej lub cząstki, na którą działa siła o momencie równym zeru, np. siła centralna. Prawo zachowania energii jest słuszne dla cząstki odosobnionej lub cząstki poruszającej się w polu sił zachowawczych, czyli sił o potencjale niezależnym od czasu.

5.2 Prawa zachowania a właściwości przestrzeni i czasu

Prawo zachowania energii oznacza, że energia cząstki odosobnionej nie zależy od czasu. Taka stałość nie byłaby możliwa, gdyby czas nie był jednorodny tzn. gdyby wszystkie chwile nie były sobie równoważne. Niezależnie od jakiej chwili rozpoczniemy pomiar czasu, przebieg danego ruchu będzie opisany tymi samymi prawami o tych samych stałych liczbowych. Prawo zachowania energii jest zatem ściśle związane z jednorodnością czasu.

Prawo zachowania pędu wynika z jednorodności przestrzeni. Jeżeli przestrzeń jest jednorodna tzn. jeżeli wszystkie położenia cząstki odosobnionej są równoważne, to prawo zachowania energii powinno być spełnione niezależnie od położenia i ruchu cząstki i obserwatora. Zmiana obserwatora oznacza zmianę układu odniesienia. Niech nowy układ odniesienia porusza się ze stałą prędkością u względem dawnego, w którym prędkość cząstki wynosiła v. Stąd, jak wiadomo,

(5.4)

gdzie v‚ jest prędkością względem nowego układu. Energia kinetyczna

(5.5)

Pierwszy wyraz po prawej stronie jest połową iloczynu masy cząstki i kwadratu stałej prędkości unoszenia, więc jest stały. Zgodnie z naszym założeniem, energia kinetyczna względem nowego układu, którą przedstawia wyraz trzeci, też się nie zmienia. Stąd iloczyn

(5.6)

a że u = const, to także

(5.7)

Z założenia o jednorodności przestrzeni, wyrażonego w postaci niezmienniczości prawa zachowania energii względem przesunięcia, otrzymaliśmy prawo zachowania pędu.

Do tego samego wyniku można dojść jeszcze prościej rozpatrując zmianę energii cząstki odosobnionej przy przesunięciu o Δr:

(5.8)

Jeżeli przy przesunięciu cząstki jej energia nie zmieniła się, to widocznie

(5.9)

Izotropowość przestrzeni oznacza, że nie istnieje wyróżniony kierunek. Prawa mechaniki muszą być spełnione niezależnie od orientacji układu, w którym przebiega ruch. Jeżeli układ zmieni orientację o mały kąt Δφ, to jego obrót możemy opisać wprowadzając równoległy do osi obrotu wektor Δφ o zwrocie określonym regułą śruby prawoskrętnej. Przy takim obrocie wektor położenia zmienia się o

(5.10)

przy czym ϑ oznacza kąt między wektorami r i Δφ. Jak widać

(5.11)

(Rys. 5.1)

Podobnie zmieni się prędkość cząstki

(5.12)

Jeżeli przestrzeń jest izotropowa, to energia cząstki E(r,v) nie może zależeć od orientacji układu odniesienia. Zatem

(5.13)

Podstawiając

(5.14)

(F jest siłą z zewnątrz),

(5.15)

oraz wzory na Δr i Δv do (5.13), otrzymamy

(5.16)

przy czym wykorzystaliśmy właściwość cyklicznej przemienności iloczynów mieszanych.

Iloczyn

(5.17)

jest momentem pędu. Ponieważ wektory obrotu i momentu pędu są do siebie równoległe, więc warunkiem zerowanie się jest

(5.18)

Z założenia o izotropowości przestrzeni, czyli niezmienniczości energii względem obrotu układu otrzymaliśmy stałość momentu pędu. Prawo zachowania momentu pędu jest konsekwencją izotropowości przestrzeni.

Podane wyżej wielkości, których stałość wiąże się z podstawowymi właściwościami czasu i przestrzeni, odznaczają się wspólną ważną właściwością addytywności – ich wartość dla układu jest równa sumie wartości dla cząstek wchodzących w jego skład. Addytywność energii ogranicza się do przypadku cząstek, które nie oddziałują między sobą.