Prawa ruchu bryły – JR

Prawa ruchu bryły

23.1 Wiadomości wstępne
23.2 Wahadło fizyczne
23.3 Równanie Eulera
23.4 Ruch bryły swobodnej
23.5 Precesja bąka
23.6 Precesja Ziemi
23.7 Precesja wymuszona
23.8 Precesja spinu
23.9 Efekt giroskopowy
23.10 Girokompas
23.11 Stabilizator przechyłów

 

 

23.1 Wiadomości wstępne

 

 

 

Prawa dynamiki bryły sztywnej można sprowadzić do dwóch równań. Pierwsze z nich

druga zasada dynamiki Newtona(23.1)

gdzie p jest sumarycznym pędem, a F wypadkową sił zewnętrznych, określa ruch postępowy bryły. Oczywiście przy F = 0 otrzymamy stąd zasadę zachowania pędu

zasada zachowania pędu(23.2)
druga zasada dynamiki dla ruchu postępowego(Rys. 23.1)

Jeżeli działają siły zachowawcze, to

związek siły z energią potencjalną(23.3)

gdzie Ep jest zewnętrzną energią potencjalną bryły, a rs opisuje położenie środka masy.

Drugie równanie ruchu

druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego(23.4)

określa ruch obrotowy bryły. Momenty pędów i sił najlepiej podawać względem środka masy. Gdy wypadkowy moment działających na bryłę sił jest równy zeru (M = 0), moment pędu zachowuje stałą wartość i kierunek

zasada zachowania momentu pędu(23.5)
druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego bryły(Rys. 23.2)

Przy elementarnym obrocie bryły o kąt dφ zmiana energii potencjalnej jest równa ujemnej pracy momentu sił

zmiana energii potencjalnej(23.6)

czyli

moment siły zachowawczej a energia potencjalna(23.7)

Otrzymane dwa wektorowe równania ruchu są równoważne sześciu równaniom skalarnym. Ponieważ swobodna bryła sztywna ma w ogólnym przypadku sześć stopni swobody trzy translacyjne i trzy rotacyjne więc mamy wystarczającą liczbę równań.

 

 

23.2 Wahadło fizyczne

 

 

 

Wahadłem fizycznym jest bryła, która może się wahać względem stałej osi obrotu. Długością wahadła jest odległość l od osi obrotu do środka masy. Na wychylone o kąt φ wahadło działa moment zaczepionej w środku masy siły ciężkości

moment siły ciężkości(23.8)

Oczywiście jest to moment względem osi obrotu. Można go też traktować jako moment pary sił złożonej z siły ciężkości i przeciwnie skierowanej równej jej reakcji FR w punkcie zawieszenia wahadła.

wahadło fizyczne(Rys. 23.3)

Obrót ciała nie jest swobodny (obrót swobodny byłby możliwy tylko względem jednej z głównych osi bezwładności), stały kierunek osi utrzymują reakcje w łożyskach. Równanie ruchu piszemy w formie

równanie ruchu(23.9)

gdzie I jest momentem bezwładności względem osi obrotu. Znak minus pochodzi stąd, że moment siły zmniejsza wychylenie. Przy małych wychyleniach

przybliżenie(23.10)

i stąd

równanie ruchu(23.11)

Wielkość Mk = mgl nosi nazwę momentu kierującego. Otrzymaliśmy równanie różniczkowe takie same jak dla ruchu harmonicznego nietłumionego:

równanie różniczkowe(23.12)

więc i rozwiązanie musi być podobne. Rolę częstości kołowej ω gra tutaj wielkość

częstość kołowa(23.13)

i okres wahań

okres wahań wahadła fizycznego(23.14)

Odpowiedni wzór dla wahadła matematycznego o tym samym okresie miałby postać

okres wahadła matematycznego(23.15)

Jego długość nosi nazwę długości zredukowanej wahadła fizycznego. Jak widać

długość zredukowana wahadła fizycznego(23.16)

Wypiszemy teraz zależność między momentem bezwładności względem osi obrotu i momentem Is względem równoległej do osi obrotu osi przechodzącej przez środek masy (twierdzenie Steinera)

twierdzenie Steinera(23.17)

Jak widać, zawsze I > Is i wobec tego długość zredukowana

długość zredukowana(23.18)

jest zawsze większa niż odległość między osią obrotu a środkiem masy. Tylko dla wahadła bardzo długiego wyraz

związek(23.19)

i w przybliżeniu

przybliżenie(23.20)
długość wahadła zredukowanego(Rys. 23.4)

Bardzo długie wahadło fizyczne o małym momencie bezwładności Is można traktować jak wahadło matematyczne.

Przekształćmy jeszcze wzór na długość zredukowaną mnożąc obie strony przez l:

wzór(23.21)

czyli

równanie kwadratowe(23.22)

wyznaczmy l:

związek(23.23)

Zatem dla każdej długości zredukowanej, czyli dla każdego okresu wahań mamy po dwie wartości l1, l2 odległości osi obrotu od środka masy, to znaczy po dwa możliwe położenia osi obrotu. Wyrażając za ich pomocą daną długość zredukowaną, otrzymamy

związek(23.24)

Równość ta jest oczywiście spełniona dla l1 = l2. Drugie cenniejsze rozwiązanie ma postać

drugie rozwiązanie(23.25)

Podstawiając to do wyrażenia na długość zredukowaną dostaniemy

długość zredukowana(23.26)

Długość zredukowana jest sumą odległości od środka masy obu położeń osi, przy których wahadło ma ten sam okres.

Powyższą zależność wykorzystuje się w wahadle rewersyjnym do wyznaczania przyspieszenia swobodnego spadku. Zamiast przesuwać osie obrotu zmienia się w nim położenie środka masy przez przemieszczanie ruchomych obciążników.

wahadło rewersyjne(Rys. 23.5)

Przesuwając ciężarki m1 i m2 i porównując okresy wahań wokół osi O1 i O2 dojdziemy w końcu to takiej ich pozycji, przy której oba okresy są równe. Wówczas odległość między osiami jest długością wahadła zredukowanego o tym samym okresie. Można stąd wyznaczyć przyspieszenie swobodnego spadku.

Okresy wahań porównuje się dla dwóch stałych polożeń osi obrotu. Kiedy oba okresy obrotu są sobie równe, T1 = T2 = T, odległość między osiami obrotu jest równa długości zredukowanej. Podstawiając ją do wzoru

przyspieszenie ziemskie(23.27)

znajdujemy g.

 

 

23.3 Równanie Eulera

 

 

 

Obecnie przejdziemy do innej postaci równań ruchu. W przypadku ruchu kulistego, czyli ruchu bryły wokół jednego ustalonego punktu, wygodnie jest obrać układ współrzędnych o osiach ξ, η, ζ skierowanych wzdłóż głównych osi bezwładności bryły. Prędkość kątowa ma teraz składowe

składowe wektora prędkości kątowej(23.28)

a moment pędu

składowe wektora momentu pędu(23.29)
rozkład prędkości kątowej na składowe(Rys. 23.6)

Przy obrocie bryły wersory osi zmieniają się według wzorów

pochodne wersorów(23.30)

Wobec tego pochodna momentu pędu jest równa

pochodna momentu pędu(23.31)

Podstawmy za wektor ω sumę składowych i wymnóżmy pamiętając, że

związki pomiędzy wersorami(23.32)
iloczyn(23.33)

Stąd

równania ruchu bryły w postaci Eulera(23.34)

Są to równania ruchu bryły w postaci Eulera. Dla poszczególnych składowych

składowe momentu siły(23.35)

Równania Eulera można też podać w postaci niezależnej od współrzędnych. Iloczyny

iloczyny(23.36)

są składowymi wektora momentu pędu w układzie obracającym się wraz z bryłą. Iloczyny momentów bezwładności i pochodnych prędkości kątowych są więc składowymi pochodnej momentu pędu w układzie ruchomym (dL/dt)’. Podwójne iloczyny prędkości kątowych i różnic momentów bezwładności są składowymi iloczynu wektorowego ω×L. Równania ruchu przechodzą w

równanie Eulera(23.37)

Powyższą równość można było od razu napisać wychodząc z rozważań kinematycznych. Dla obserwatora z zewnątrz wektor momentu pędu bryły zmienia się tylko na skutek działania momentu siły, zgodnie z wzorem

moment siły(23.38)

Jeżeli M = 0, wektor L jest stały, a jego koniec nieruchomy. Dla obserwatora wirującego wraz z bryłą bryła jest nieruchoma, a wektor momentu pędu obraca się z prędkością kątową ω w kierunku przeciwnym do określonego przez obserwatora z zewnątrz obrotu bryły. Koniec wektor L przemieszcza się (względem bryły) z prędkością ω×r = ω×L, gdzie r = L jest promieniem obrotu wektora. Niezależnie od tego koniec wektora przemieszcza się na skutek działania momentu sił M‚. Prędkość (bezwzględna) przemieszczania końca wektora L będzie sumą obu prędkości. Zatem

związek(23.39)

Zagadnienie ruchu bryły sztywnej o jednym ustalonym punkcie jest na ogół bardzo skomplikowane. Można je rozwiązać dla bąka symetrycznego i dla bryły swobodnej (F = 0, M = 0)

 

 

23.4 Ruch bryły swobodnej

 

 

Dla bąka swobodnego równania ruchu przechodzą w prostszą postać

równania ruchu dla bąka swobodnego(23.40)

albo

równania ruchu dla bąka swobodnego(23.41)

Wypadkowy moment pędu jest teraz stały, ale prędkość kątowa jest stała tylko wtedy, gdy obrót zachodzi dookoła jednej z głównych osi bezwładności. Jeżeli ciało obraca się dookoła innej osi, to oś ta przemieszcza się . Wobec tego zmienia się też moment bezwładności względem chwilowej osi obrotu i prędkość kątowa. Zmiany składowych prędkości kątowej wiążą się z momentami zboczenia, które zerują się tylko dla głównych osi bezwładności.

Przekształćmy teraz równania ruchu:

równania ruch(23.42)

Jeżeli oś obrotu jest bliska jednej z głównych osi bezwładności, np. osi ξ, to pozostałe składowe prędkości kątowej ωη, ωζ są małe i ich iloczyn w pierwszym równaniu ωηωζ ≈ 0. Stąd

pochodna(23.43)

czyli

stałe(23.44)

Zróżniczkujmy teraz drugie równanie i korzystając z trzeciego wyrugujmy pochodną ωζ

druga pochodna(23.45)

albo

druga pochodna(23.46)

Jest to równanie ruchu harmonicznego. Jeżeli ξ jest osią największego η pośredniego, a ζ najmniejszego momentu bezwładności i współczynnik przy ωη

większe zero(23.47)

Rozwiązanie ma postać

prędkość kątowa(23.48)

przy czym ωη0 oznacza amplitudę prędkości kątowej. Zatem prędkość kątowa obrotu dookoła osi η nie przekracza ωη0:

zakres(23.49)

Podobny wynik uzyskamy dla drugiej składowej

zakres(23.50)

Prędkości kątowe obrotu wokół osi η i ζ są więc ograniczone. Oznacza to, że obrót zachodzi dalej wokół osi bliskiej ξ W ten sam sposób, zakładając że obrót zachodzi wokół osi bliskiej ζ uzyskamy

związki(23.51)

czyli i ten obrót ma charakter trwały.

Jeżeli taki sam rachunek przeprowadzimy dla obrotu dookoła osi zbliżonej do η, to uzyskamy również

stałość(23.52)

ale równania dla pozostałych składowych będą miały postać

inne postacie równań(23.53)

współczynniki kξ i kζ są teraz ujemne. Rozwiązania mają postać aperiodyczną

rozwiązania aperiodyczne(23.54)

składowe prędkości kątowych rosną nieograniczenie z czasem. Obrót dookoła osi η ma więc charakter nietrwały.

Jak widać, swobodny obrót dookoła osi największego i najmniejszego momentu bezwładności (ξ i ζ) ma cechy równowagi trwałej. Przy małych zakłóceniach ruchu oś obrotu pozostaje w pobliżu głównej osi bezwładności. Obrót dookoła osi pośredniego momentu bezwładności (η) ma charakter równowagi chwiejnej. Najmniejsze zakłócenie powoduje oddalenie się osi obrotu od osi pośredniej i przejście w obrót wokół jednej z pozostałych osi. Łatwo sprawdzić doświadczalnie, że rzeczywiste ciała naprawdę tak się zachowują.

 

 

23.5 Precesja bąka

 

 

Ograniczmy się do ruchu swobodnego symetrycznego bąka. Gwoli zwięzłości zastosujemy notację wektorową. Niech oś z będzie osią podłużną bąka (osią symetrii). Rozłożymy wektor prędkości kątowej na składową równoległą do osi bąka

składowa równoległa wektora prędkości kątowej(23.55)

i prostopadłą

składowa prostopadła prędkości kątowej(23.56)

Wówczas

moment pędu(23.57)
bąk symetryczny(Rys. 23.7)

oczywiście

omega(23.58)

Stąd

pochodna wersora(23.59)

oraz

podwójny iloczyn wektorowy(23.60)

Zatem

moment pędu(23.61)

Różniczkując względem czasu dla ruchu swobodnego mamy

pochodna momentu pędu(23.62)

Pomnóżmy to równanie przez z0 pamiętając, że

związki(23.63)

Zniknie także

związek(23.64)

i pozostanie po prostu

zależność(23.65)

czyli

stała prędkość kątowa(23.66)

Przez „magiczny” wektor z0 możemy pomnożyć także moment pędu

związek(23.67)

Stałość iloczynu skalarnego stałych wektorów oznacza, że kąt między nimi jest stały. Zatem oś bąka (z0) zakreśla stożek dookoła stałego wektora momentu L. Taki ruch nazywamy precesją. Jej prędkość kątową można znaleźć z równania

moment pędu(23.68)

stąd

składowa prostopadła prędkości kątowej(23.69)

i po podstawieniu do wzoru na pochodną wersora z0

pochodna wersora(23.70)

Jak widać, wektor L/Ixx gra rolę prędkości kątowej obrotu osi figury dookoła osi momentu pędu. Jest to prędkość kątowa precesji

prędkość kątowa precesji(23.71)

Wróćmy do wektora prędkości kątowej

prędkość kątowa(23.72)

Z postaci tej zależności można od razu stwierdzić, że dla Izz < Ixx (bąk wydłużony) i ωz > 0 wektor calkowitej prędkości kątowej ω leży między wektorem momentu pędu a osią bąka. Podobnie dla Izz > Ixx (bąk spłaszczony) wektor momentu pędu L znajduje się między wektorem prędkości kątowej a osią bąka.

bąki spłaszczony i wydłużony(Rys. 23.8)

Rozpatrując ruch w układzie związanym z bryłą (oś figury nieruchoma) przypiszemy ruch wektorom momentu pędu i prędkości kątowej. W bąku wydłużonym prędkość kątowa zakreśla wokół osi bąka stożek, po którego zewnętrznej powierzchni toczy się stożek momentu pędu. W bąku spłaszczonym stożek zakreślany przez moment pędu toczy się po wewnętrznej powierzchni stożka prędkości kątowej. Stożek zakreślany przez wektor prędkości kątowej wokół momentu pędu (w układzie laboratoryjnym) nosi nazwę stożka herpolhodii. W układzie związanym z bryłą prędkość kątowa zakreśla wokół osi symetrii stożek polhodii.

 

 

23.6 Precesja Ziemi

 

 

Ziemia nie jest regularną kulą. Można ją traktować jako spłaszczonego bąka symetrycznego o spłaszczeniu

spłaszczenie Ziemi(23.73)

Znamy też prędkość kątową obrotu dookoła osi

prędkość kątowa Ziemi(23.74)

Przy tak postawionych warunkach zadania prędkość kątową precesji trzeba znaleźć bezpośrednio z równań Eulera. Ze względu na Ixx = Iyy (bąk symetryczny) widać z trzeciego równania, że

związek(23.75)

Pierwsze dwa równania otrzymują prostą postać:

postać równań(23.76)

Podzielmy je obustronnie przez Ixx = Iyy i oznaczmy stały współczynnik

stały współczynnik(23.77)

Stąd

związki(23.78)

Rozwiązanie tych równań ma postać

rozwiązanie równań(23.79)

co łatwo sprawdzić przez podstawienie. Otrzymaliśmy równanie ruchu po okręgu. Prostopadła do osi symetrii składowa pędkości kątowej

prostopadła składowa prędkości kątowej(23.80)

wiruje dookoła osi symetrii z prędkością kątowa z. Ponieważ trzecia składowa ωz = const, więc wypadkowy wektor prędkości kątowej zakreśla stożek precesji z prędkością kątową

prędkość kątowa precesji Ziemi(23.81)

Okres precesji wynosi

okres precesji Ziemi(23.82)

W rzeczywistości ruch precesyjny Ziemi jest złożony. Oprócz precesji swobodnej zachodzi precesja wymuszona (astronomiczna) o okresie 26 000 lat i częste małe odchylenia od ruchu po stożku zwane nutacjami.

precesja Ziemi(Rys. 23.9)

 

 

23.7 Precesja wymuszona

 

 

Fizyka bąków jest pełna pozornych paradoksów. Bąk dziecinny w stanie spoczynku nie może stać na końcu swojej osi. Wystarczy jednak wprawić go w obrót, by uzyskał w tej pozycji równowagę trwałą. Próby przewrócenia go prowadzą do precesji, którą w tym przypadku nazywamy wymuszoną. Dzieje się tak dlatego, że na pochylonego bąka działa moment siły ciężkości

moment siły ciężkości(23.83)

gdzie r jest wektorem położenia środka masy zaczepionym w punkcie zetknięcia osi bąka z podłożem, a α kątem wychylenia osi od pionu. Z zasad dynamiki ruchu obrotowego wynika, że przyrost momentu pędu

przyrost momentu pędu(23.84)

jest równoległy do wektora momentu siły.

precesja bąka zabawki(Rys. 23.10)

Przemieszczenie kątowe precesji jest elementarnym obrotem poziomej składowej momentu pędu Lsinα. Zatem

dfi(23.85)

i prędkość kątowa precesji wymuszonej

prędkość kątowa precesji bąka(23.86)

Jak widać, prędkość precesji nie zależy od kąta wychylenia.

 

 

23.8 Precesja spinu

 

 

Spinem nazywamy moment pędu mikrocząstki np. elektronu w atomie. Z momentem pędu L wiąże się moment magnetyczny μ = γL, przy czym γ jest współczynnikiem giromagnetycznym. Dla elektronu swobodnego

współczynnik giromagnetyczny swobodnego elektronu(23.87)

W zewnętrznym polu magnetycznym na cząstkę działa moment siły równy wektorowemu iloczynowi momentu magnetycznego i indukcji

moment siły(23.88)

o bezwzględnej wartośći

wartość bezwzględna momentu siły(23.89)

α jest kątem między L i B. Prostopadły do wektora spinu L moment M wywołuje precesję o częstości

prędkość kątowa precesji(23.90)

Częstość precesji jest więc proporcjonalna do indukcji pola magnetycznego. Zależność tę wykorzystuje się w badaniach struktury molekuł metodami rezonansu magnetycznego.

precesja spinu(Rys. 23.11)

 

 

23.9 Efekt giroskopowy

 

 

Moment pędu bąka symetrycznego wirującego z prędkością kątową ω1 dookoła osi największego momentu bezwładności wynosi L1 = I1ω1. Co trzeba zrobić, żeby go obrócić wokół osi prostopadłej do L1, np. osi momentu bezwłądności I2 z prędkością kątową ω2? Wektory prędkości kątowej i momentu pędu dodają się. Wypadkowa prędkość kątowa jest równa

wypadkowa prędkość kątowa(23.91)

a moment pędu

wypadkowy moment pędu(23.92)

Wraz z bąkiem obracamy wektor momentu pędu. Przy obrocie o kąt dφ jego koniec przemieszcza się o

wektor(23.93)

Do zmiany momentu pędu o dL konieczny jest moment siły

moment siły(23.94)
efekt giroskopowy(Rys. 23.12)

Podstawiając ω i L w postaci sum

moment siły(23.95)

i biorąc pod uwagę, że

związki(23.96)

otrzymujemy ostatecznie

moment siły(23.97)

Wzór ten jest słuszny tylko dla prostego kąta między osią wymuszonego obrotu (ω2) i wirowania bąka (ω1). Wartość momentu siły wynosi

wartość momentu siły(23.98)

Dla I1ω1 >> I2ω2, czyli dla bąka silnie spłaszczonego lub dla małej prędkości kątowej ω2, wzór na moment sił wymuszających obrót przechodzi w prostszą postać

moment sił(23.98)

Sens fizyczny otrzymanych związków jest zaiste zaskakujący. Żeby obrócić wirującego bąka, trzeba przyłożyć moment siły w kierunku prostopadłym do zamierzonego obrotu. To paradoksalne zjawisko nosi nazwę efektu giroskopowego. Zetknęliśmy się z nim już przy omawianiu precesji. Obrót bąka jest w istocie precesją.

 

 

23.10 Girokompas

 

 

Prędkość kątowa obrotu Ziemi ω jest sumą składowej w kierunku lokalnego pionu ωn i składowej poziomej ωh. Obrót z prędkością kątową ωn nie może spowodować precesji, bo nie pozwalają na to więzy (tzn. zamocowanie giroskopu). Obrót z prędkością ωh wymusza precesję wokół osi pionowej do chwili gdy oś bąka ustawi się równolegle do ωh, czyli pokaże geograficzną północ.

zasada działania girokompasu(Rys. 23.13)

Gdy prędkość kątowa (oś) obrotu wymuszonego jest równolegla do osi wirowania bąka, to znaczy gdy ω2||ω1, moment sił wymuszających precesję znika i precesja się kończy. Wynika stąd, że jeżeli zawieszenie bąka pozwala na dowolną orientację w przestrzeni, to w obracającym się układzie jego oś obrotu ustawia się równolegle do osi obrotu układu. Obserwator obracający się wraz z układem uzna to za skutek działających na ruchome punkty bąka sił Coriolisa, których moment go obraca. Przy osiach równoległych moment sił Coriolisa znika. Na obracającej się Ziemi oś obrotu bąka wskazuje północ, wirujący bąk staje się girokompasem.

 

 

23.11 Stabilizator przechyłów

 

 

Duży bąk wirujący dookoła osi pionowej i zawieszony tak, że jego oś może się obracać dookoła poprzecznej osi poziomej, może służyć jako stabilizator kołysania statków.

stabilizator kołysania statków(Rys. 23.14)

Boczny przechył statku oznacza przyłożenie momentu sił M skierowanego wzdłuż jego osi podłużnej w stronę dziabu lub rufy. Moment taki wywoła precesję dookoła osi poprzecznej i zmuszony do zmiany orientacji bąk odpowie siłami reakcji na łożyska, których moment -M przeciwdziała przechyłowi. Skuteczność stabilizacji zwiększa uruchamiany w momencie przechyłu dodatkowy silnik przyspieszający precesję.