Prąd elektryczny – JR

Prąd elektryczny

21.1 Pojęcia związane z prądem elektrycznym.

21.2. Natężenie prądu elektrycznego.

21.3. Gęstość prądu elektrycznego.

21.4. Równanie ciągłości prądu.

21.5. Prawo Ohma. Opór przewodników.

21.6. Prawo Ohma w postaci różniczkowej.

21.7. Prawo Joule’a.

21.8. I Prawo Kirchhoffa.

21.9. Łączenie oporów.

 

21.1 Pojęcia związane z prądem elektrycznym.

prąd elektryczny – uprządkowany ruch ładunków elektrycznych przez badany przekrój poprzeczny ośrodka przewodzącego.

nośniki prądu – są to naładowane cząstki obecne w ciele które mogą się swobodnie przemieszczać w obrębie tego ciała.

amper – jest to natężenie takiego prądu stałego, który płynąc przez dwa równoległe, prostoliniowe, nieskończenie długie przewodniki o zaniedbywalnym przekroju poprzecznym umieszczone w próżni w odległości r = 1 m od siebie wywołuje między nimi siłę F = 2•10-7 N na każdy jeden metr długości.

 

21.2. Natężenie prądu elektrycznego.

Natężenie prądu jest to wielkość skalarna równa ilości ładunku przepływającej przez przekrój poprzeczny przewodnika dQ w jednostce czasu dt.

Stwierdzenie to wyraża następujący wzór:

natężenie prądu wzór

Powyższy wzór określa chwilowe natężenie prądu, jeżeli chcemy obliczyć średnią wartość natężenia prądu w danym przedziale czasu Δt, to wzór ten przechodzi w następującą postać:

średnia wartość natężenia prądu wzór

W tym miejscu należy zaznaczyć, że w przypadku prądu stałego średnia wartość natężenia prądu jest równa wartości chwilowej tej wielkości fizycznej.

Jednostką natężenia prądu jest jeden amper (1 A)

 

 

21.3. Gęstość prądu elektrycznego.

 

 

gęstość prądu rysunek

Gęstość prądu elektrycznego j służy do opisu rozkładu prądu w rozciągłych przewodnikach. Jest to wielkosć wektorowa. Kierunek wektora gęstości prądu jest zgodny z kierunkiem przepływu prądu, a wartośc jest równa stosunkowi natężenia prądu dI przepływającego przez nieskończenie małą powierzchnie prostopadła do kierunku przepływu prądu – dS.

definicja gęstości prądu wzór

Przekształcając powyższy wzór otrzymujemy całkową zależność pomiędzy natężeniem prądu a jego gęstością:

różniczka natężenia prądu

Następnie całkujemy powyższą zależność i otrzymujemy:

całkowy wzór na natężenie prądu

 

 

21.4. Równanie ciągłości prądu.

 

 

Równanie ciągłości odnosi się do prądu elektrycznego I wypływającego z zamkniętej powierzchni S.

Zgodnie z zasadą zachowania ładunku suma natężenia prądu elektrycznego I wypływającego z powierzchni zamkniętej S oraz szybkości przyrostu ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni musi być równa zeru:

równanie ciągłości prądu

równanie ciągłości prądu

Wiemy, że ładunek elektryczny można wyrazić poprzez całkę objętościową z gęstości objętościowej ładunku:

całkowy wzór na ładunek elektryczny

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

równanie ciągłości prądu wzór

Symbol różniczkowania po czasie „wciągamy” pod znak całki. Jednocześnie pamiętamy o zamianie zwykłej pochodnej na pochodną cząstkową – z tego względ, że gęstość objętościowa zależy nie tylko od czasu ale i od współrzędnych przestrzennych.

równanie ciągłości prądu wzór

Skorzystamy teraz z matematycznego twierdzenia o zamianie całki powierzchniowej na objętościową. Twierdzenie to nosi nazwę twierdzenia Ostrogardskiego – Gaussa:

twierdzenie Ostrogardskiego - Gaussa

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy zależność:

równanie ciągłości prądu wzór

Wyrażenia podcałkowe muszą być sobie równe, a więc otrzymujemy równanie ciągłości prądu w postaci różniczkowej:

równanie ciągłości prądu wzór postać różniczkowa

 

 

21.5. Prawo Ohma. Opór przewodników.

 

 

Ohm ustalił doświadczalnie prawo według którego:

Natężenie prądu płynącego wzdłuż jednorodnego, metalicznego przewodnika jest proporcjonalne do spadu napięcia na przewodniku:

prawo Ohma wzór

Wielkość R nazywamy oporem lub rezystancją przewodnika. Jednostką oporu jest jeden om [1Ω ].

Wielkość oporu zależy od kształtu i rozmiarów przewodnika, a także od własności materiału z którego jest on wykonany. Dla przewodnika jednorodnego o kształcie walca jest on równy:

wzór na opór elektryczny walca

gdzie:

l – długość przewodnika

S – pole poprzecznego przekroju

ρ – współczynnik zależny od własności materiału nazywany elektrycznym oporem właściwym materiału.

 

 

21.6. Prawo Ohma w postaci różniczkowej.

 

 

Prawo Ohma w postaci różniczkowej wyraża zależność pomiędzy wektorem gęstości prądu j a wektorem natężenia pola elektrycznego E. W celu wyprowadzenia tej zależności skorzystamy z pomocniczego rysunku:

fragment przewodnika prostoliniowego

Oraz wykorzystamy następujące wzory:

1) Przez przekrój poprzeczny walca płynie prąd o natężeniu:

zależność różniczkowa między natężeniem prądu a jego gęstościa

2) Napięcie przyłożone do walca wynosi:

zależność między napięciem a natężeniem pola elektrycznego

3) Opór walca dany jest wzorem:

wzór na opór walca

Powyższe trzy wzory podstawiamy do:

prawo Ohma

Po skróceniu otrzymujemy wzór:

różniczkowa postać prawa Ohma

gdzie:

zależność między oporem właściwym a przewodnictwem właściwym

σ – przewodnictwo właściwe

Wówczas prawo Ohma w postaci różniczkowej przyjmuje następującą skalarną postać:

różniczkowa postać prawa Ohma

Wykorzystując, fakt że wektory j i E są równoległe możemy uogólnić ten wzór do postaci wektorowej:

wektorowa postać różniczkowego prawa Ohma

 

 

21.7. Prawo Joule’a.

 

 

Podczas przepływu prądu przez przewodnik nośniki prądu muszą pokonywać opory ruchu. W ostatecznym efekcie stracona energia ogrzewa przewodnik. Wydzielone ciepło nosi nazwę ciepła ciepła Joule’a. Aby znaleźć jego wartość, przypomnijmy, że praca przeniesienia ładunku q między dwoma punktami jest iloczynem wartości tego ładunku i różnicy potencjałów pomiędzy tymi punktami:

praca sił pola elektrycznego

Różniczkując ją względem czasu otrzymamy moc wydzielającą się w postaci ciepła:

moc

W stanie ustalonym (U=const) drugi wyraz jest równy zero. Pochodna ładunku po czasie to natężenie prądu:

natężenie prądu jako pochodna ładunku względem czasu

Uwzględniając powyższe wnioski otrzymujemy wzór na wydzielaną moc na oporze o rezystancji R:

moc jako iloczyn natężenia prądu i napięcia

Jeżeli teraz zastosujemy prawo Ohma, to otrzymamy różne postacie prawa Joule’a:

moc a prawo Ohma

Można stąd obliczyć ciepło wydzielone w czasie t:

praca a prawo Ohma

Mierzymy je naturalnie w jednostkach energii czyli dżulach. Prawu Joule’a można też nadać postać różniczkową. Jeżeli wewnątrz przewodnika o długości l pole jest jednorodne, to:

zależność pomiędzy natężeniem pola elektrycznego a napięciem

gdzie E jest natężeniem pola elektrycznego.

Wyrażamy natężenie prądu jako całkę z gęstości:

natężenie prądu jako całka z jego gęstości

wykorzystując teraz dwa powyższe wzory i podstawiając je do wzoru na P, otrzymujemy:

moc jako całka

skorzystaliśmy tu z zależności:

element objętości dV

gdzie dV – jest elementem objętości.

W ogólnym przypadku wektory gęstości pradu i natężenia pola mnoży się skalarnie:

moc jako całka po objętości

Różniczkując powyższą zależność po objętości otrzymujemy:

pochodna mocy względem objętości

Następnie wykorzystując różniczkowe prawo Ohma, znajdziemy gęstość mocy:

objętościowa gęstość mocy

 

 

21.8. I Prawo Kirchhoffa.

 

 

Sieć elektryczna jest układem przewodów złożonych z węzłów i oczek. Zastosujmy równanie ciągłości do węzła, czyli punktu, w którym zbiega się N przewodów o gęstościach prądu ji (i=1,2,3,…N).

Otoczmy węzeł zamkniętą powierzchnią S.

I prawo Kirchhoffa

Ponieważ zgodnie z zasadą zachowania ładunku, ubytek ładunków jest skompensowany ich dopływem, więc mamy do czynienia ze stanem stacjonarnym. Wówczas we wzorze:

równanie ciągłości

pochodna gęstości objętościowej ładunku po czasie wynosi zero:

stałość w czasie objętościowej gęstości ładunku

Tak więc dywergencja wektora j wynosi zero. Jeżeli dodatkowo scałkujemy to równanie po objętości i zastosujemy twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa to otrzymamy:

prawo Kirchhoffa

przy czym symbolem Si oznaczono pola przekroju przewodów (w obszarze między przewodami prąd nie płynie). Ze względu na oczywistą równość:

natężenie prądu jako iloczyn gęstości prądu i przekroju

otrzymujemy I prawo Kirchhoffa:

algebraiczna suma prądów wynosi zero

Suma natężeń prądów dopływających i odpływających od węzła jest równa zeru.. Sumę należy rozumieć algebraicznie to znaczy z uwzględnieniu znaku. Tradycyjnie przypisujemy prądowi dopływającemu do węzła natężenie dodatnie, a odpływającemu – ujemne.

 

 

21.9. Łączenie oporów.

 

 

Rozróżniamy dwa podstawowe sposoby łączenia oporników (rezystorów): szeregowe (kolejno jeden za drugim) i równoległe (z rozgałęzieniem). Opór przewodnika jest wprost proporcjonalny do jego długości, a odwrotnie proporcjonalny do pola przekroju. Szeregowe łączenie jednakowych oporników jest równoznaczne ze zwiększeniem długości, równoległe natomiast ze zwiększeniem przekroju.

szeregowe i równoległe łączenie oporów

Można więc z góry przewidzieć, że przy łączeniu szeregowym opór wypadkowy R układu będzie sumą oporów R1,R2, R3, …Rn poszczególnych przewodników. Aby tego dowieść trzeba zsumować spadki napięć na poszczególnych oporach i wziąć pod uwagę, że płynie przez nie ten sam prąd:

własność łączenia szeregowego oporów

Stąd:

Opór zastępczy dla oporów połączonych szeregowo

Przy łączeniu równoległym opór wypadkowy będzie mniejszy niż każdy z łączonych oporów. Na każdym oporze mamy to samo napięcie:

stałość spadków napięć dla elementów połączonych równolegle

Zgodnie z I prawem Kirchhoffa prąd całkowity jest sumą prądów w odgałęzieniach:

prąd całkowity

Łącząc dwa powyższe wzory, to znaczy przedstawiając natężenie prądu In jako stosunek napięcia U do oporu Rn możemy napisać:

własność elementów połączonych równolegle

stąd:

opór zastępszy dla oporników połączonych równolegle