Praca i energia – JR

Praca i energia

3.1 Praca

3.2 Praca w ruchu obrotowym

3.3 Praca rozpędzania

3.4 Energia kinetyczna

3.5 Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

3.6 Wahadło matematyczne

3.7 Energia potencjalna – a praca podnoszenia

3.8 Energia potencjalna – a praca odkształcenia

3.9 Różne postacie energii

3.1 Praca

W ogólnym przypadku siła przemieszczająca cząstkę nie musi być równoległa do przemieszczenia. Pracą siły F na elementarnym przemieszczeniu dr, czyli pracą elementarną będziemy nazywali iloczyn skalarny wektora siły i wektora przemieszczenia:

praca elementarna(3.1)

Iloczyn skalarny dwóch wektorów równa się iloczynowi ich wartości i cosinusa kąta między nimi. Oznaczywszy kąt między siłą a przemieszczeniem przez α otrzymujemy:

praca elementarna - inny zapis(3.2)

Wiemy poza tym, że:

różniczka łuku(3.3)

(różniczka łuku), a:

styczna składowa siły(3.4)

jest styczną składową siły. Stąd:

praca elementarna - inny zapis(3.5)
praca(Rys. 3.1)

Znak pracy zależy od wartości kąta α w danym punkcie. Przy α = 0 (siła skierowana zgodnie z przemieszczeniem) praca jest największa: dW = Fds. Przy:

praca jest dodatnia(3.6)

(ostry kąt między siłą a przemieszczeniem) praca jest dodatnia. Dla α = 90° (siła prostopadła do przemieszczenia) praca dW = 0. Wreszcie dla:

praca ujemna(3.7)

(kąt rozwarty) praca siły F jest ujemna.

Aby obliczyć pracę siły F na przemieszczeniu skończonym – powiedzmy między punktami A i B toru cząstki – trzeba podzielić odcinek AB na przemieszczenia elementarne, a następnie zsumować wszystkie prace elementarne, czyli obliczyć całkę (krzywoliniową) wzdłuż toru AB:

definicja pracy(3.8)

Wykorzystując znaną właściwość iloczynu skalarnego:

właściwość iloczynu skalarnego(3.9)

można związać tę całkę z układem współrzędnych kartezjańskich:

praca - współrzędne kartezjusza(3.10)

(dx, dy, dz są rzutami wektora dr na osie współrzędnych) lub z dowolnym układem współrzędnych krzywoliniowych:

praca - współrzędne krzywoliniowe(3.11)

gdzie dsq oznaczają rzuty wektora przemieszczenia elementarnego na odpowiednie linie współrzędnych.

Jeżeli w czasie ruchu cząstki rzut siły na kierunek przesunięcia pozostaje stały, co zapisujemy w formie Fs = Fcosα = const, wzór na pracę przybiera postać:

praca - stałość rzutu siły na kierunek przesunięcia(3.12)

przy czym przez s oznaczono drogę cząstki od punktu A do B. Dla siły równoległej do przemieszczenia (α = 0) powyższe wyrażenie otrzymuje szczególnie prostą formę

praca - szczególny przypadek(3.13)

Wzór na pracę ma prostą geometryczną interpretację. Mianowicie na wykresie siły w zależności od przemieszczenia miarą pracy jest pole powierzchni między krzywą siły a osią przemieszczeń.

geometryczna interpretacja pracy(Rys. 3.2)

W wielu zagadnieniach interesuje nas nie tylko praca, ale i szybkość jej wykonania. Do jej określenia służy wielkość zwana mocą, zdefiniowana jako pochodna pracy względem czasu:

definicja mocy(3.14)

Ze względu na to, że praca elementarna dW = Fdr, moc można wyrazić jako:

moc jako iloczyn skalarny wektora siły i wektora prędkości(3.15)

 

 

3.2 Praca w ruchu obrotowym

 

 

Przemieszczenie przy obrocie wektora położenia o kąt dφ wokół osi przechodzącej przez początek układu wynosi:

dr - wektor(3.16)

gdzie dφ jest wektorem elementarnego obrotu. Związana z tym praca działającej na cząstkę siły F jest równa

praca - ruch obrotowy(3.17)

Tego rodzaju iloczyn wektorów, zwany mieszanym, nie zmienia wartości przy cyklicznym przestawianiu czynników. Wolno również zamieniać miejscami znaki mnożenia skalarnego i wektorowego. Zatem

iloczyn mieszany(3.18)

Iloczyn:

moment siły(3.19)

jest momentem siły F względem początku układu. Wzór na pracę przybiera postać:

praca w ruchu obrotowym(3.20)

Elementarna praca przy obrocie równa się skalarnemu iloczynowi wektora momentu siły i wektora obrotu. W przypadku, gdy wektory położenia i siły leżą w płaszczyźnie obrotu (dφF, r) wektor momentu siły jest równoległy do osi i

praca elementarna w ruchu obrotowym - wzór uproszczony(3.21)
praca w ruchu obrotowym(Rys. 3.3)

Przy obrocie skończonym o kąt

kąt skończony(3.22)

i stałym momencie siły

praca w ruchu obrotowym - przypadek szczególny(3.23)

Siła działająca przy obrocie jest sumą siły stycznej i siły dośrodkowej

wektor siły(3.24)

Mnożąc wektorowo obie strony przez r znajdziemy wypadkowy moment siły

moment siły(3.25)

Moment siły dośrodkowej względem osi obrotu jest oczywiście równy zeru

zerowanie się momentu siły dośrodkowej(3.26)

i pozostaje tylko moment siły stycznej

moment siły stycznej(3.27)

Siła styczna jest prostopadła do promienia, więc wartość jej momentu

wartość momentu siły stycznej(3.28)

Pracę

praca siły stycznej(3.29)

wykonuje tylko siła styczna. Praca siły dośrodkowej jest zawsze równa zeru.

Znajdźmy jeszcze moc

moc w ruchu obrotowym(3.30)

Moc siły przyspieszającej obrót, czyli siły stycznej, jest równa skalarnemu iloczynowi jej momentu i prędkości kątowej.

 

 

3.3 Praca rozpędzania

 

 

Obliczmy teraz pracę rozpędzania ciała o masie m od prędkości vA do vB. Z zależności:

praca elementarna(3.31)

i z definicji siły

definicja siły(3.32)

wynika

praca rozpędzania(3.33)

ale ze względu na własność:

własność(3.34)

możemy zapisać:

praca jako różnica energii kinetycznych(3.35)

Gdy praca siły rozpędzającej jest dodatnia, prędkość ciała rośnie (vB > vA). Tak jest, kiedy kąt między siłą a prędkością bądź przemieszczeniem jest ostry. Siła prostopadła do prędkości nie wpływa na jej wartość, bo wtedy praca rozpędzania WAB = 0 i vB = vA. Wreszcie przy rozwartym kącie między siłą a przemieszczeniem praca rozpędzania jest ujemna i vB < vA, co oznacza, że siła hamuje ruch. Tak skierowane siły nazywamy zwykle oporami ruchu.

praca rozpędzania(Rys. 3.4)

 

 

3.4 Energia kinetyczna

 

 

W wyniku działania sił zmienia się położenie i prędkość. Położenie i prędkość określają stan mechaniczny cząstki. Wielkości, które charakteryzują stan, nazywamy parametrami stanu. Położenie i prędkość cząstki są więc mechanicznymi parametrami jej stanu.

Zmieniając stan mechaniczny cząstki, siły wykonują pracę. W przypadku rozpędzania praca ta da się przedstawić w postaci różnicy dwóch wyrażeń (3.35) zależnych od prędkości. Każde z nich charakteryzuje stan mechaniczny rozpędzanej cząstki. Wskaźnikiem A oznaczyliśmy stan początkowy, wskaźnikiem B – końcowy. Różnica obu wyrażeń – równa pracy sił rozpędzających cząstkę – opisuje zmianę stanu. Wyrażenie

definicja energii kinetycznej(3.36)

nosi nazwę energii kinetycznej albo energii ruchu. Energia kinetyczna jest funkcją mechanicznych parametrów stanu, czyli funkcją stanu, a jej zmiana równa się pracy sił rozpędzających cząstkę. Gdy praca sił rozpędzających jest dodatnia, energia kinetyczna rośnie. Gdy siły hamują cząstkę, jej energia kinetyczna maleje. Zależność między pracą a energią kinetyczną można wyrazić w formie różniczkowej

różniczkowa zależność pomiędzy pracą a energią kinetyczną(3.37)

lub całkowej

całkowa zależność pomiędzy pracą a energią kinetyczną(3.38)

Zmieniony stan cząstki rozpędzonej wyraża się tym, że może ona wykonać pracę, przy czym jej prędkość, a tym samym i energia kinetyczna, zmaleje. Na rysunku poniżej przedstawiony jest schemat zmian energii kinetycznej przy rozpędzaniu. WAB jest pracą rozpędzania, WBA pracą jaką może wykonać rozpędzone ciało.

schemat zmian energii kinetycznej(Rys. 3.5)

Zauważmy jeszcze, że moc siły rozpędzającej lub hamującej

moc siły(3.39)

równa jest szybkości zmian energii kinetycznej.

 

 

3.5 Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

 

 

Praca obrotu jest iloczynem momentu siły i kąta elementarnego obrotu:

praca obrotu(3.40)

przy czym ω = dφ/dt jest prędkością kątową. Moment siły jest pochodną momentu pędu względem czasu

moment siły - definicja(3.41)

przy czym I oznacza moment bezwładności. Stąd praca elementarna

praca elenmentarna w ruchu obrotowym(3.42)

Ograniczmy się do przypadku stałego momentu bezwładności i obliczmy pracę skończonego obrotu

praca a energia kinetyczna w ruchu obrotowym(3.43)

Przedstawiliśmy pracę przy obrocie w postaci różnicy dwóch wyrażeń oznaczających oczywiście końcową i początkową wartość energii kinetycznej.

energia kinetyczna w ruchu obrotowym(3.44)

Z dwóch ciał wirujących z tą samą prędkością kątową większą energię kinetyczną będzie miało to, którego moment bezwładności jest większy. Na poniższym rysunku moment bezwłądności drugiego ciała jest większy, bo jego masa jest rozłożona dalej od osi obrotu:

dwa ciała(Rys. 3.6)

 

 

3.6 Wahadło matematyczne

 

 

Na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l wisi ciężarek o masie m, który wychylono o kąt φ0 z położenia równowagi i puszczono swobodnie. Przy dostatecznie małych rozmiarach ciężarka można go uważać za cząstkę (punkt materialny). Na wychylony ciężarek działa siła ciężkości (ciężar) F, skierowana pionowo w dół i siła napięcia nici S, skierowana wzdłuż niej w górę do punktu zaczepienia.

wahadło matematyczne(Rys. 3.7)

Wobec tego moment Ms siły S względem środka obrotujest stale równy zeru i jej praca

zerowanie się pracy momentu siły S(3.45)

Przy danym kącie wychylenia φ moment ciężaru względem punktu zaczepienia wynosi:

moment ciężaru(3.46)

i jego praca

dW wahadło matematyczne(3.47)

Znak minus pochodzi stąd, że w rozpatrywanej fazie ruchu kąt φ maleje, czyli dφ < 0. W wyniku całkowania otrzymujemy:

po scałkowaniu(3.48)

Oczywiście v0 = 0. Poza tym:

kwadrat prędkości(3.49)

i stąd

kwadrat d fi po d t(3.50)

Otrzymaliśmy związek między prędkością kątową dφ/dt a wychyleniem, będący w istocie różniczkowym równaniem ruchu wahadła matematycznego. Aby się o tym przekonać, zróżniczkujmy go względem czasu:

równanie ruchu wahadła matematycznego(3.51)

Po uproszczeniu przez 2dφ/dt dochodzimy do równania różniczkowego:

równanie wahadła matematycznego(3.52)

które dla małych wychyleń przechodzi w równanie ruchu harmonicznego

wahadło matematyczne - małe drgania(3.53)

o częstości kołowej:

wahadło matematyczne - częstość kołowa(3.54)

i okresie:

okres wahadło matematyczne(3.55)

Oczywiście jest to ruch harmoniczny krzywoliniowy.

 

 

3.7 Energia potencjalna – a praca podnoszenia

 

 

Energia kinetyczna jest mechaniczną funkcją stanu cząstki poruszającej się. Jeżeli w danym układzie odniesienia cząstka spoczywa, to jej energia kinetyczna jest równa zeru. Jednakże można przytoczyć wiele przykładów ciał mających stałą energię kinetyczną, których stan mechaniczny zmienia się na skutek pracy sił zewnętrznych. Dzieje się tak na przykład przy jednostajnym podnoszeniu i odkształcaniu ciał.

Siła ciężkości, czyli siła przyciągania grawitacyjnego między ciałem a Ziemią, wyraża się wzorem Newtona

siła grawitacji(3.56)

przy czym mZ jest masą Ziemi, m – masą ciała, r – odległością ciała od środka Ziemi, a

stała grawitacyjna(3.57)

nosi nazwę stałej grawitacyjnej. Siła ciężkości nadaje ciału przyspieszenie swobodnego spadku g, co pozwala zapisać ją w innej postaci:

siła ciężkości(3.58)

Z porównania wzorów (3.56) oraz (3.58) wynika, że

stałość(3.59)

czyli iloczyn przyspieszenia swobodnego spadku w danym miejscu i kwadratu odległości od środka Ziemi jest stały. Wobec tego można go obliczyć dla dowolnego miejsca, np. dla powierzchni Ziemi, podstawiając wartości:

przyspieszenie ziemskie i promień Ziemi(3.60)

Wzór na siłę ciężkości otrzyma teraz wygodną postać:

siła grawitacji(3.61)

Aby podnieść ciało ze stałą prędkością, trzeba działać siłą równą ciężarowi i przeciwnie doń skierowaną. Kierunek siły podnoszącej jest więc zgodny z kierunkiem elementarnego przemieszczenia dr i praca podnoszenia będzie równa

praca podnoszenia ciała w polu grawitacyjnym Ziemi(3.62)

Na skończonym odcinku AB

praca w polu grawitacyjnym(3.63)

Podobnie jak przy rozpędzaniu ciała, przedstawiliśmy pracę podnoszenia w postaci różnicy dwóch wyrażeń, charakteryzujących końcowy (B) i początkowy (A) stan ciała. Wyrażenie

energia potencjalna centralne pole grawitacyjne(3.64)

nosi nazwę energii potencjalnej albo energii położenia. Dla odróżnienia od innych form energii potencjalnej będziemy ją nazywali grawitacyjną energią potencjalną. Przy podnoszeniu ciała (rB > rA) siły podnoszące wykonują pracę dodatnią i energia potencjalna ciała rośnie. Przy opuszczaniu ciała (rB < rA) praca sił podnoszących jest ujemna, co oznacza, że pracę dodatnią wykonuje siła ciężkości, przy czym energia potencjalna ciała maleje.

Praca podnoszenia WAB jest równa przyrostowi grawitacyjnej energii potencjalnej. Ciało podniesione może spaść z powrotem wykonując pracę WBA – co przedstawia poniższy rysunek

praca podnoszenia(Rys. 3.8)

Grawitacyjna energia potencjalna jest więc funkcją stanu, której zmiana równa się pracy podnoszenia lub opuszczania ciała. Zmieniony stan polega na tym, że ciało o zwiększonej energii potencjalnej może wykonać pracę. Podobnie jak w przypadku energii kinetycznej łatwo ustalić poziom odniesienia. Grawitacyjną energię potencjalną równą zeru będzie miało ciało nieskończenie odległe od Ziemi, tzn. dla r = ∞. Będzie to zarazem maksymalna możliwa wartość energii potencjalnej. Ciała bliższe będą miały ujemną energię potencjalną. Podobne rachunki można przeprowadzić dla dowolnego innego ciała niebieskiego, podstawiając za gR i R odpowiednie wartości.

Dla

warunek do energii potencjalnej(3.65)

tzn. przy przesunięciach tak małych, że można zaniedbać zależność przyspieszenia swobodnego spadku od odległości od środka Ziemi, wzór na pracę podnoszenia przybiera postać:

praca w polu jednorodnym grawitacyjnym(3.66)

Znak pracy wiąże się z kierunkiem przemieszczenia podobnie jak poprzednio. Łatwo zauważyć, że do obliczenia pracy nie musimy znać bezwzględnej wartości energii, a tylko jej zmianę. I tak, w przypadku grawitacyjnej energii potencjalnej zamiast rA i rB można wstawić wysokość hA i hB ciała nad dowolnie wybranym poziomem odniesienia, np. poziomem morza, tzn. wyrazić energię potencjalną jako

energia potencjalna - pole jednorodne(3.67)

Praca podnoszenia

praca w polu grawitacyjnym jednorodnym(3.68)

będzie taka sama jak poprzednio. Istotnie, jeżeli odległość poziomu odniesienia (h = 0) od środka Ziemi wynosi r0, to:

hb minus ha(3.69)

Zauważmy, że tutaj znak energii będzie taki jak współrzędnej h.

wykres - energia potencjalna(Rys. 3.9)

 

 

3.8 Energia potencjalna – a praca odkształcenia

 

 

Siła sprężystości jest wprost proporcjonalna i przeciwnie skierowana do odkształcenia, które mierzymy od położenia równowagi. Obieramy taki układ współrzędnych, żeby miarą odkształcenia była współrzędna x punktu ciała odkształcanego, np. końca sprężyny. Wówczas prostopadłe do osi składowe siły odkształcającej znikają i zostaje

siła sprężystości(3.70)

gdzie k jest współczynnikiem sprężystości. Proporcjonalność odkształcenia do siły odkształcającej obserwuje się przy niezbyt dużych odkształceniach. Pracę odkształcenia obliczymy jako:

siły sprężyste - praca(3.71)

I znowu wyraziliśmy pracę w postaci różnicy dwóch wyrażeń, charakteryzujących końcowy i początkowy stan mechaniczny ciała odkształconego. Możemy każde z nich uważać za energię potencjalną, którą – w odróżnieniu od grawitacyjnej energii potencjalnej – będziemy nazywali sprężystą. Zatem sprężystą energię potencjalną

sprężysta energia potencjalna(3.72)

definiujemy jako mechaniczną funkcję stanu, której zmiana równa się pracy sił odkształcających ciało. Przy |xB| > |xA| praca siły odkształcającej jest dodatnia i sprężysta energia potencjalna rośnie. Przy |xB| < |xA| praca sił odkształcających ciało jest ujemna, co oznacza, że pracę (dodatnią) wykonują siły sprężystości, a energia potencjalna maleje. Powyższe wzory odnoszą się do wszystkich sił zależnych od przemieszczenia w taki sam sposób, jak siła sprężysta, czyli sił quasi-sprężystych.

sprężyste odkształcenie(Rys. 3.10)

 

 

3.9 Różne postacie energii

 

 

Zestawmy teraz wszystkie poznane wyrażenia na pracę:

praca rozpędzania:

praca rozpędzania(3.73)

praca obracania:

praca obracania(3.74)

praca podnoszenia w przypadku ogólnym:

praca podnoszenia w przypadku ogólnym(3.75)

praca podnoszenia w przypadku szczególnym: g = const

praca podnoszenia w przypadku szczególnym(3.76)

praca odkształcenia:

praca odkształcenia(3.77)

Możemy je streścić jednym ogólnym wzorem:

ogólny wzór na pracę(3.78)

gdzie przez EB oznaczono energię przypisaną stanowi B, a przez EA – energię odpowiadającą stanowi A. Energia (mechaniczna) jest funkcją stanu, której zmiana jest równa pracy sił działających na ciało. Kiedy praca ta jest dodatnia, energia ciała rośnie, gdy jest ujemna – energia maleje.

schemat(Rys. 3.11)

Siły, których praca jest ujemna, noszą nazwę oporów ruchu. Pojęcie energii rozszerzymy przy omawianiu układów i pól.

Energię, której zmiana równa się pracy rozpędzania lub obracania, nazywamy energią kinetyczną.

energia kinetyczna(3.79)

Energię, której zmiana równa się pracy podnoszenia

energia potencjalna grawitacyjna - postać ogólna(3.80)

przy czym w pobliżu powierzchni Ziemi

energia potencjalna grawitacyjna przypadek szczególny(3.81)

oraz energię, której zmiana równa się pracy odkształcenia sprężystego

energia potencjalna odkształcenia sprężystego(3.82)

obejmujemy wspólną nzawą energii potencjalnej. W pierwszym przypadku jest to grawitacyjna, a w drugim sprężysta energia potencjalna. Energię mierzymy w jednostkach pracy.

W każdym z omówionych przypadków istniał stan ciała, dla którego energia równała się zeru. Grawitacyjna energia potencjalna równa jest zeru dla r = ∞, tzn. gdy ciało znajduje się nieskończenie daleko. Potencjalna energia odkształcenia równa się zeru, gdy x = 0, czyli dla ciała nie odkształconego. Energia kinetyczna zeruje się dla v = 0, tzn. gdy ciało jest w spoczynku. Wszystkie te stany są stanami odniesienia, względem których określamy energię. Łatwo dostrzec, że przyjęcie stanu odniesienia jest tylko kwestią wygody – podobnie jak przyjęcie układu odniesienia przy określaniu położenia czy przemieszczenia ciał. Istotna jest nie wartość energii, tylko jej zmiana, bowiem ona równa się wykonanej pracy. Zmiana energii nie zależy od przyjętego stanu odniesienia.

zmiana energii nie zależy od poziomu odniesienia(Rys. 3.12)