Pole magnetyczne – JR

Pole magnetyczne

22.1 Wiadomości wstępne.
22.2 Siła Lorentza.
22.3 Solenoidalność pola magnetycznego.
22.4 Względność pola magnetycznego
22.7 Siła Ampere’a
22.8 Moment magnetyczny
22.9 Indukcja magnetyczna w ośrodku
22.10 Prawo Ampere’a
22.11 Skalarny potencjał magnetyczny
22.12 Wektorowy potencjał magnetyczny
22.13 Prawo Biota – Savarta
22.14 Pole magnetyczne na granicy ośrodków
22.15 Współczynnik indukcyjności własnej obwodu z prądem
22.16 Współczynnik indukcyjności wzajemnej
22.17 Energia pola magnetycznego cewki
22.18 Energia pola magnetycznego obwodów sprzężonych magnetycznie
22.19 Energia pola magnetycznego prądów objętościowych
22.20 Gęstość objętościowa energii pola magnetycznego

22.1 Wiadomości wstępne.

Źródłami i obiektami oddziaływania pola magnetycznego są ruchome ładunki.

Hipoteza monopoli magnetycznych które miałyby wytwarzać pole magnetyczne podobnie jak ładunki elektryczne wytwarzają pole elektryczne, jak dotąd nie znalazła potwierdzenia doświadczalnego. Natomiast ruchome ładunki spotykamy zarówno w przewodnikach z prądem, jak i magnesach trwałych i w ogóle we wszystkich materiałach magnetycznych, w postaci prądów atomowych.

 

 

22.2 Siła Lorentza.

 

Przeprowadzając doświadczenia z ruchomymi ładunkami w polu magnetycznym, możemy stwierdzić, że działająca na nie siła, zwana siłą Lorentza jest prostopadła do ich prędkości i do kierunku pola. Zmieniając ładunek q i prędkość υ dojdziemy do wniosku, że wartość siły jest wprost proporcjonalna do iloczynu ładunku i prędkości oraz do sinusa kąta α między kierunkiem pola a prędkością:

proporcjonalność siły Lorentza

Oznaczając współczynnik proporcjonalności (zależny od „intensywności” pola magnetycznego) przez B, możemy zapisać:

siła Lorentza

Wielkość B nosi nazwę wektora indukcji magnetycznej. Wektor ten jes zgodny z kierunkiem pola. Iloczyn wartości prędkości, indukcji i sinusa kąta między nimi jest iloczynem wektorowym, a więc możemy zapisać wzór wektorowy na siłę Lorentza:

wektorowy zapis siły Lorentza

sposób określania wektora siły Lorentza

Zwrot siły Lorentza wynika z reguły śruby prawoskrętnej. Powyższą równość można uważać za definicję wektora indukcji magnetycznej. Zauważmy, że jeżeli ładunki poruszają się prostopadle do pola, siła Lorentza przybiera maksymalną wartość:

maksymalna wartość siły Lorentza

stąd:

definicja indukcji magnetycznej

Natężenie dowolnego pola sił określamy jako stosunek siły pola do wielkości charakteryzującej obiekt oddziaływania. Źródłami i obiektami oddziaływania pola magnetycznego są ruchome ładunki. A więc charakteryzującą je wielkością jest iloczyn wartości ładunku oraz wartości prędkości. Jak widać indukcja magnetyczna powinna właściwie nosić nazwę natężenia pola magnetycznego. Jednak ze względów historycznych tę ostatnią nazwę stosuje się do innej wielkości. Jednostką indukcji magnetycznej jest 1 tesla (T). Z definicji wynika, że:

jednostka indukcji magnetycznej - tesla

Góra strony

 

 

22.3 Solenoidalność pola magnetycznego.

 

 

strumień magnetyczny

Strumień indukcji określa się podobnie jak strumień skalarny każdego innego wektora jako:

definicja strumienia wektora indukcji magnetycznej

Zwykle nazywa go się strumieniem magnetycznym. Jego jednostką jest 1 weber równy:

weber - jednostka strumienia magnetycznego

Ze względu na to, że linie pola magnetycznego są krzywymi zamkniętymi to strumień przez powierzchnię zamkniętą jest równy zeru:

prawo Gaussa dla pola magnetycznego

Jest to prawo Gaussa dla pola magnetycznego. Korzystając z twierdzenia Ostrogardskiego-Gaussa można je zapisać także w postaci różniczkowej:

dywergencja wektora B

solenoidalność pola magnetycznego

 

Pole magnetyczne jest wszędzie polem solenoidalnym.

 

Dla porównania: pole elektryczne jest solenoidalne tylko w obszarach bez ładunków.

Góra strony

 

 

22.4 Względność pola magnetycznego.

 

 

 

Pole magnetyczne jest względne.

 

Pojęcie ruchu jest związane z układem odniesienia. Tak więc pole magnetyczne też jest związane z układem odniesienia. Jeżeli w jakimś układzie ładunek spoczywa, to dla znajdujących się w nim obserwatorów jego pole magnetyczne znika. Dostrzegają oni działanie sił które obserwatorzy z innych układów uważają za magnetyczne, ale przypisują je innym przyczynom. Aby lepiej pojąć charakter tej względności, weźmy pod uwagę dodatni ładunek q znajdujący się w odległości r od prostoliniowego nieskończenie długiego przewodnika, w którym płynie prąd o natężeniu I. Przepływ prądu przez przewodnik jest w istocie przepływem ładunków ujemnych (elektronów). Dodatnie jony siatki krystalicznej nie zmieniają swego położenia.

względność pola magnetycznego

Gęstość ładunku każdego znaku w wybranym odcinku przewodnika o długości l określamy jako:

objętościowa gęstość ładunku

gdzie Q oznacza ładunek danego znaku, a S – pole przekroju poprzecznego. Gęstości ładunków obu znaków pozostają jednakowe:

równość objętościowych gęstości ładunku

Obojętny elektrycznie przewodnik nie oddziałuje na nieruchumy ładunek q. Wystarczy jednak wprawić ładunek w ruch z prędkością υ w dowolnym kierunku, z wyjątkiem kierunku prostopadłego do płaszczyzny utworzonej przez ładunek i przewodnik, by zaczęła nań działać siła. Obserwator z zewnątrz nazwie ją siłą Lorentza, a jej pojawienie uzna za dowód, że przewodnik z prądem wytwarza pole magnetyczne. Nadając ładunkowi prędkość równoległą do przewodnika i mierząc tę siłę przy różnych natężeniach prądu i odległościach, można stwierdzić, że indukcja magnetyczna wokół przewodnika będzie proporcjonalna do ilorazu I/r.

proporcjonalność indukcji magnetycznej do natężenia prądu

Współczynnik proporcjonalności (stałą) przyjmiemy jako:

stała proporcjonalności

Tak więc:

wartość indukcji magnetycznej w odległości r od prostoliniowego przewodnika z prądem

gdzie:

μ0 – przenikalnośc magnetyczna próżni

Przeanalizujemy teraz sytuację w której obserwator porusza się wraz z ładunkiem q (wielkości fizyczne związane z tym przypadkiem oznaczamy znakiem prim). Dla tego obserwatora ładunek q jest nieruchomy. Tak więc działąjąca na niego siła nie może mieć natury siły Lorentza. Dla prostoty ograniczmy się do przypadku kiedy prędkość obserwatora poruszającego się wraz z ładunkiem qυ jest taka sama jak prędkość ładunków ujemnych w przewodniku czyli:

równość v

względność pola magnetycznego

Wymiary poprzeczne przewodnika nie ulegną zmianie, podobnie nie zmieni się ładunek który jest niezmiennikiem transformacji Lorentza (gdyby ładunek cząstek zależał od prędkości, można by ładowaqć ciała podgrzewając je) zatem:

równość S i Q

Zapiszmy teraz wzór na gęstość objętościową ładunków primowanych dodatnich:

ro plus prim

W powyższym wzorze za l’+ możemy podstawić:

l plus prim

ponieważ następuje skrócenie długości pręta (ładunki dodatnie poruszają się razem z prętem z prędkością υ). Łącząc powyższe cztery wzory oraz pamiętając, że:

równość gęstości ładunków

otrzymujemy:

zależność pomiędzy ro plus prim a ro plus

Zapiszmy teraz wzór na gęstość objętościową ładunków primowanych ujemnych:

ro prim minus

W powyższym wzorze za l’ możemy podstawić:

l minus prim

ponieważ następuje wydłużenie długości pręta, (to pręt spoczywa, a my poruszamy się wraz z ładunkami ujemnymi).

Tak więc, otrzymujemy następującą zależność na ρ :

zależność pomiędzy ro minus prim a ro minus

Zatem: Dla obserwatora związanego zładunkiem q gęstość ładunków ujemnych maleje, a ładunków dodatnich rośnie.

Wypadkowa gęstość jest równa:

wypadkowe ro prim

Po doprowadzeniu do współnego mianownika, uproszczeniu i pamiętając, że:

ro minus równe ro plus

otrzymujemy:

ro prim

W układzie związanym z ładunkiem q przewodnik nie jest już elektrycznie obojętny, tylko tworzy liniowy obszar naładowany dodatnio z gęstością ρ’. Z elektrostatyki (a konkretnie z prawa Gaussa dla pola elektrostatycznego) wiemy, że natężenie pola elektrycznego pochodzącego od takiego liniowego obszaru wynosi:

wartość natężenia pola elektrycznego w funkcji odległości od naładowanej jednorodnie lini

gdzie:

λ’ – liniowa gęstość ładunku

Wyprowadzimy teraz prostą zależność pomiędzy liniową i objętościową gęstością ładunku. Wiemy z definicji, że obie gęstości (liniowa i objętościowa) są równe:

liniowa i objętościowa gęstość ładunku

Łącząc te dwa wzory oraz dodając primy otrzymujemy:

zależność pomiędzy liniową a objętościową gęstością ładunku

Tak więc, w efekcie wzór na E’ wygląda następująco:

E prim

Uwzględniając wcześniej wspomniany wzór na ρ’ otrzymujemy:

E prim

Jak widać, według obserwatora związanego z q ładunek ten znajduje się w polu elektrycznym o natężeniu E’ i stąd pochodzi działająca nań siła. Jak wynika z definicji natężenia pola elektrycznego wartość siły działającej na ładunek jest równa:

F prim

W celu uproszczenia zapisu przedstawmy kwadrat prędkości w liczniku jako iloczyn:

F prim

Zauważmy teraz, że:

natężenie prądu

F prim

Taką siłę dostrzega obserwator związany z ładunkiem q. Nie jest ona równa sile Lorentza. Siła nie jest niezmiennikiem transformacji Lorentza (zależy od prędkości). Musimy skorzystać z transformacji siły. W przypadku siły prostopadłej do ruchu (to znaczy do prędkości υ) ma ona postać:

relatywistyczna transformacja siły

Z porównania obu ostatnich wzorów wynika, że:

siła F

i to jest właśnie siłą Lorentza. Dzieląc ją przez iloczyn znajdziemy indukcję magnetyczną w odległości r od prostoliniowego nieskończonego przewodnika z prądem:

inny zapis indukcji B

W ten oto sposób wykazaliśmy względność pola magnetycznego: to, co dla jednego obserwatora było polem magnetycznym, dla drugiego stanowiło pole elektryczne – i odwrotnie. Należy mówić o względności obu pól – magnetycznego i elektrycznego – lub o względności pola elektromagnetycznego.

Góra strony

 

22.7 Siła Ampere’a

 

 

W celu wyprowadzenia wzoru na siłę Ampere’a rozpatrzmy odcinek dl przewodnika w którym płynie prąd o natężeniu I Jeżeli umieścimy ten odcinek w polu magnetycznym o indukcji B to możemy się spodziewać, że podziała nań siła, będąca sumą sił Lorentza, działających na elektrony przewodnictwa. Badany odcinek przewodnika ma objętość:

elementarna objętość

W celu znalźenia wzoru na liczbę elektronów przewodnictwa, zdefiniujmy nową wielkość, kórą nazwiemy : koncentracją nośników:

definicja koncentracji ładunków

gdzie:

N – liczba nośników (np. elektronów)

V – obkjętość którą obejmują te ładunki.

w naszym przypadku:

dV

Łącząc powyższe trzy wzory otrzymujemy wyrażenie na liczbę elektronów przewodnictwa N:

liczba elektronów

Elektrony przewodnictwa poruszają się ze średnią prędkością υe . Suma działających na elektrony sił Lorentza jest równa:

siła Ampere'a

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

siła Ampere'a

Znak minus jest związany ze znakiem ładunku elektronów. Prąd elektronów jest równoważny przeciwnie skierowanemu prądowi ładunków dodatnich o prędkości:

v

Tak więc nasz wzór przybiera postać:

elementarna siła Lorentza

lub:

elementarna siła

Zauważmy teraz , że przypisując elementoei dl kierunek i zwrot prądu ładunków dodatnich (a więc kierunek i zwrot wektora υ) możemy zapisać:

zależność wektorowa

gdzie e jest wersorem zgodnym z wektorem υ oraz dl.

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

elementarna siła

Zauważmy, że:

natężenie prądu

Tak więc wzór na siłę dF przyjmuje postać:

elementarna siła Ampere'a

Opisaną powyżej sytuację ilustruje poniższy rysunek:

siła Amperea

Całkowitą siłę działającą na przewodnik o długości l znajdziemy jako całkę:

wektorowy zapis siły Ampere'a

Siłę tą nazywamy siłą Ampere’a.

W przypadku przewodnika prostoliniowego i jednorodnego pola wzór się upraszcza przybierając postać:

wektorowy zapis siły Ampere'a w przypadku pola jednorodnego i przewodnika prostoliniowego

Góra strony

 

 

22.8 Moment magnetyczny

 

 

Umieśćmy w polu magnetycznym przewodnik w kształcie prostokątnej ramki, o bokach a i b, przez którą płynie prąd I. Niech normalna do płaszczyzny ramki tworzy kąt φ z wektorem indukcji B. Na każdy bok ramki działa siła Ampere’a prostopadła do niego i do wektora indukcji.

ramka w polu magnetycznym

Siły te „starają się” obrócić ramkę, tak by normalna do niej pokrywała się z wektorem B. Jeżeli dwa boki, na przykład boki b, będą prostopadłe do B, to siły rozpychające oba pozostałe boki działają w jednej linii. Ich moment jest równy zeru:

zerowanie się momentu siły

Wypadkowy moment obracający ramkę pochodzi od sił działających na boki b, równych:

siła działająca na bok b

Siły te tworzą parę sił o ramieniu:

ramię siły Fb

jej moment wynosi:

wypadkowy moment siły

Przypisując polu powierzchni ramki:

pole powierzchni ramki

kierunek normalnej do ramki i zwrot zgodny z ruchem śruby prawoskrętnej obracanej przez opływający ramkę prąd, możemy napisać:

wektor momentu siły

przy czym wprowadziliśmy oznaczenie:

wektor momentu magnetycznego

Wektor pm nosi nazwę momentu magnetycznego.

Góra strony

 

 

22.9 Indukcja magnetyczna w ośrodku

 

 

Właściwości magnetyczne ciał charakteryzuje wektor namagnesowania (magnetyzacji), zdefiniowany jako przestrzenna gęstość magnetycznych momentów dipolowych:

wektor namagnesowania

Wielkość namagnesowania wiąże się z natężeniem pola wewnętrznego pochodzącego od dipoli atomowych i cząsteczkowych:

wektor wewnętrznego natężenia pola magnetycznego

Można stąd określić dodatkową („wewnętrzną”) indukcję wewnętrzną:

[Rozmiar: 1515 bajtów]

Przypomnijmy teraz wzór na indukcję pola zewnętrznego:

wektor indukcji magnetycznej pola zewnętrznego

Sumując powyższe dwie wartości otrzymujemy indukcję wypadkową:

wektor wypadkowej indukcji pola magnetycznego

Z drugiej strony wiemy, że wartość wektora B jest proporcjonalna do bezwymiarowego współczynnika zwanego względną przenikalnością magnetyczną μr :

wektor wypadkowej indukcji pola magnetycznego

Współczynnik przenikalności charakteryzuje magnetyczne właściwości ośrodka. W ciałach paramagnetycznych μr jest nieco większe od jedności, w ciałach diamagnetycznych – nieco mniejsze. Różnicę:

podatność magnetyczna

nazywamy podatnością magnetyczną.

Podatność magnetyczna dla paramagnetyków jest bardzo mała i dodatnia, a ujemna i mała dla diamagnetyków.

Osobną grupę stanowią substancje ferromagnetyczne o bardzo dużej dodatniej podatności – rzędu tysięcy, zależnej od natężenia pola.

Warto w tym miejscu wyprowadzić związek pomiędzy wektorem namagnesowania, a wektorem natężenia zewnętrznego pola magnetycznego:

Po wyprowadzeniu wzoru na J z jednego z powyższych wzorów na B otrzymujemy związek:

wektor magnetyzacji

Łącząc powyższe trzy wzory otrzymujemy:

proporcjonalność wektora namagnesowania do podatności magnetycznej

 

 

Namagnesowanie jest wprost proporcjonalne do nateżenia pola zewnętrznego.

 

 

Współczynnikiem proporcjonalności jest podatność magnetyczna.

Góra strony

 

 

22.10 Prawo Ampere’a

 

 

prawo Amperea

Z wyprowadzonego już wyrażenia na natężenie pola magnetycznego pochodzącego od nieskończenie długiego prostoliniowego przewodnika z prądem, wynika:

zależność natężenia pola magnetycznego od odległości od prostoliniowego przewodnika z prądem

Po przekształceniu:

zależność natężenia pola magnetycznego od odległości od prostoliniowego przewodnika z prądem

Iloczyn 2πr jest długością okręgu zatoczonego promieniem r wokół przewodnika. Iloczyn ten można zapisać jako całkę po konturze zamkniętym:

obwód koła jako całka krzywoliniowa po konturze zamkniętym

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

zależność pomiędzy natężeniem pola magnetycznego a natężeniem prądu

Z tego względu, że natężenie pola magnetycznego ma stałą wartość (na wybranym okręgu), możemy je wciągnąć pod znak całki:

uproszczona postać prawa Ampere'a

W ten oto sposób uogólniliśmy ten wzór na przypadek kiedy natężenie pola magnetycznego nie jest stałe. Wzór ten można jeszcze bardziej uogólnić, gdy zauważymy, że H oznacza składową równoległą wektora H do wektora dr. Tak więc (zgodnie z powyższym rysunkiem):

wartość składowej równoległej wektora H

oraz:

wartość wektora dr

Łącząc powyższe trzy wzory otrzymujemy:

rozpisana postać prawa Ampere'a

przy czym α jest kątem pomiędzy wektorami:

kąt pomięzy wektorami: dr i H

Zgodnie z definicją iloczynu skalarnego dwóch wektorów możemy zapisać:

zwięzła postać prawa Ampere'a

Otrzymany związek zwany prawem Ampere’a odnosi się do dowolnego kształtu konturu.

W ogólnym przypadku kontur całkowania może obejmować dowolną liczbę n przewodników. Natężenie I należy wówczas rozumieć jako algebraiczną sumę natężeń prądów w poszczególnych przewodnikach:

uogólniona postać prawa Ampere'a

 

 

Prawo Ampere’a wyraża podstawową właściwość pola magnetycznego – jego wirowość.

 

 

Ze względu na zależność:

[Rozmiar: 1452 bajtów]

Prawo Ampere’a można także przedstawić w postaci:

zapis prawa Ampere'a przy wykorzystaniu wektora indukcji magnetycznej

Teraz wyprowadzimy tak zwaną różniczkową postać prawa Ampere’a. W tym celu zastosujmy całkowy związek pomiędzy natężeniem prądu a jego gęstością:

przedstawienie natężenia prądu jako całki z gęstości prądu

Podstawiając powyższy wzór do poprzedniego, otrzymujemy:

przekształcone prawo Ampere'a

i korzystając z prawa Stokesa:

zastosowanie prawa Stokesa

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

przekształcone prawo Ampere'a

Wyrażenia podcałkowe muszą być sobie równe, a więc:

rotacja wektora B

albo:

różniczkowa postać prawa Ampere'a

Powyższa równość nosi nazwę różniczkowego prawa Ampere’a.

Powyższą zależność można zapisać „bardziej elegancko” za pomocą operatora nabla (szczegóły w podrozdziale4.6):

różniczkowa postać prawa Ampere'a zapisana za pomocą operatora nabla

Góra strony

 

 

22.11 Skalarny potencjał magnetyczny

 

 

Jeżeli wewnątrz konturu całkowania nie ma prądów to znaczy:

brak prądów elektrycznych

to prawa Ampere’a przyjmują postać:

zerowanie się rotacji wektora natężenia pola magnetycznego

lub:

[Rozmiar: 2689 bajtów]

Takiemu polu można przypisać skalarny potencjał magnetyczny Vm, zdefiniowany wzorem:

skalarny potencjał magnetyczny

skalarny potencjał magnetyczny

Jednostką potencjału magnetostatycznego jest 1 A. Podobnie całkę:

napięcie magnetyczne

Określa się jako napięcie magnetyczne.

napięcie magnetyczne

Ciągnąc tę analogię dalej można sumę prądów objętych danym konturem nazwać siłą magnetomotoryczną.

siła magnetomotoryczna

Góra strony

 

 

22.12 Wektorowy potencjał magnetyczny

 

 

Tak jak już zostało wspomniane pole magnetyczne B jest bezźródłowe, to znaczy, że:

zerowanie się dywergencji wektora B

Z matematyki wiemy, że dywergencja z rotacji wektora charakteryzującego pole wektorowe jest równa zeru:

zerowanie się dywergencji rotacji wektora A

Łącząc dwa powyższe wzory widzimy, że wektor indukcji B można przedstawić jako rotację pewnego pola wektorowego A, to znaczy:

wektor indukcji magnetycznej jako rotacja z wektorowego potencjału magnetycznego

Powyższy zapis możemy ująć bardziej „elegancko” stosując operator nabla:

wektor indukcji magnetycznej jako rotacja z wektorowego potencjału magnetycznego - zapisane za pomocą operatora nabla


Pole A nazywamy potencjałem wektorowym pola B.

 

 

Powyższa zależność nie określa jednak potencjału A w sposób jednoznaczny, gdyż potencjał:

Wektor A'

gdzie W jest dowolną funkcją skalarną również jest potencjałem wektorowym pola B.

Aby się o tym przekonać połączmy ze sobą powyższe dwa wzory:

rotacja z wektora A'

Doszliśmy do tego wniosku wykorzystując zależność znaną z matematyki, że:

rotacja z gradientu dowolnej funkcji skalarnej W

Wobec tego potencjał wektorowy A określony jest z dokładnością do gradientu funkcji skalarnej i w celu ujednoznacznienia go stosuje się dodatkowy warunek zwany kalibracją który wybiera się w sposób dogodny dla danego zagadnienia. Często stosuje się kalibrację Coulomba:

zerowanie się dywergencji z wektora A

W celu rozstrzygnięcia jaki jest sens fizyczny potencjału wektorowego A przeprowadźmy następujące rozważania. Na początek wprowadźmy potencjał wektorowy do różniczkowego prawa Ampere’a:

rotacja rotacji wektora A

Jak pamiętamy :

inny zapis podwójnej rotacji

Natomiast:

laplasjan jako dywergencja gradientu

gdzie:

operator nabla

Łącząc ze sobą powyższe cztery wzory otrzymujemy:

rotacja rotacji wektora A

Czyli w efekcie otrzymujemy:

odpowiednik równania Poissona

Równanie to jest odpowiednikiem równania Poissona dla potencjału skalarnego i musi mieć podobne rozwiązanie:

potencjał wektorowy A

gdzie:

r – odległość od źródła pola do punktu, w którym wyznaczamy potencjał.

Źródłem pola jest element przewodnika z prądem o gęstości j.

wektorowy potencjał magnetyczny

Jeżeli przewodnik ma wszędzie ten sam przekrój S, to:

dV - elementarna objętość

Biorąc pod uwagę, że gęstość prądu wynosi:

definicja gęstości prądu

i przypisując elementowi dl kierunek i zwrot gęstości prądu możemy zastąpić całkowanie objętościowe całkowaniem po długości przewodnika:

przekształcenia potencjału wektorowego

gdzie:

el – jest wersorem równoległym do wektora j oraz dl.

czyli mamy:

potencjał wektorowy

Jak widać, dla danego przewodnika wartość potencjału wektorowego jest proporcjonalna do natężenia płynącego w nim prądu.. Kierunek i zwrot potencjału wektorowego wynika z sumowania przyczynków od poszczególnych elementów przewodnika. Każdy taki przyczynek wynosi:

elementarny potencjał wektorowy

oraz ma zwrot i kierunek elementu dl. Iloczyn Idl nazywa się niekiedy elementem prądu.

Składowe potencjału wektorowego w układzie kartezjańskim przybierają następującą postać:

składowe kartezjańskie potencjału wektorowego

W tym miejscu warto jeszcze znaleźć cyrkulację z potencjału wektorowego (skorzystamy z twierdzenia Stokesa):

cyrkulacja z potencjału wektorowego jako strumień magnetyczny

Z analizy powyższego równania, można stwierdzić, że:

 

 

Cyrkulacja z potencjału wektorowego po dowolnym konturze jest równa strumieniowi magnetycznemu przez powierzchnię objętą tym konturem.

 

 

Góra strony

 

 

22.13 Prawo Biota-Savarta

 

 

W celu wyprowadzenia prawa Biota-Savarta zapiszmy wyprowadzony już wzór na różniczkę potencjału wektorowego:

elementarny potencjał wektorowy

przypomnijmy sobie też zależność pomiędzy wektorem indukcji magnetycznej B, a wektorowym potencjałem magnetycznym A:

elementarna indukcja magnetyczna

Łącząc powyższe dwie zależności znajdujemy przyczynek do wektora indukcji:

dB rot dA

Zamieniamy kolejność czynników składowych powyższego iloczynu wektorowego i jednocześnie musimy postawić minus (jest to zgodne z własnościami iloczynu wektorowego dwóch wektorów):

indukcja elementarna - przekształcenia

Ponieważ czynnik 1/r jest skalarem możemy go „wciągnąć” za operator nabla.

Jak wiemy pomiędzy wektorem a jego wersorem zachodzi zależność:

wektor i wersor

a operator nabla można zapisać jako:

operator nabla

Podstawiając powyższe dwa wzory do poprzedniego otrzymujemy:

indukcja elementarna

Po zróżniczkowaniu wektora r otrzymujemy:

indukcja elementarna

Po uporządkowaniu otrzymujemy:

indukcja elementarna

lub (po scałkowaniu):

prawo Biota - Savarta

Jest to prawo Biota-Savarta.

Powyższe prawo można też zapisać w postaci:

prawo Biota - Savarta

Skorzystaliśmy tu z zależności:

wersor e0

prawo Biota-Savarta

Góra strony

 

 

22.14 Pole magnetyczne na granicy ośrodków

 

 

W celu przeanalizowania pola magnetycznego na granicy ośrodków, rozpatrzmy powierzchnię graniczną między ośrodkami o współczynnikach przenikalności magnetycznej μ1 i μ2.

pole magnetyczny na granicy ośrodków

Następnie utwórzmy obszar w postaci walca, którego powierzchnia boczna jest prostopadła do przecinającej ją powierzchni granicznej. Górna część walca znajduje się w ośrodku 1, a dolna w ośrodku 2. Pole podstawy walca oznaczymy przez ΔS, a wysokość przez h. Aby wyznaczyć indukcję magnetyczną po obu stronach powierzchni granicznej, oprzemy się najpierw na twierdzeniu Gaussa dla pola magnetycznego: całkowity strumień magnetyczny przez powierzchnię walca musi być równy zeru:

prawo Gaussa dla pola magnetycznego

Strumień ten jest sumą strumieni przez obie podstawy i przez powierzchnię boczną. Oznaczając ten ostatni przez ΔΦb napiszeny:

całkowity strumień wektora indukcji magnetycznej

Po rozpisaniu skalarnych iloczynów wektorowych otrzymujemy:

całkowity strumień wektora indukcji magnetycznej

Zauważmy, że:

składowe normalne indukcji magnetycznej

gdzie: B1n oraz B2n stanowią normalne składowe indukcji magnetycznej.

Przy zmniejszaniu do zera wysokości walca strumień przez powierzchnię boczną maleje do zera, a więc:

strumień przez powierzchnię boczną dąży do zera

tak więc po uproszczeniu i przekształceniu powyższych wzorów otrzymujemy:

równość składowych normalnych indukcji magnetycznej

Tak więc możemy stwierdzić, że: tuż przy powierzchni obie normalne składowe indukcji magnetycznej są sobie równe..

Z uwagi na to, że:

składowe normalne indukcji magnetycznych

Po przyrównaniu i przekształceniu dwóch powyższych wzorów otrzymujemy stosunek:

stosunek składowych normalnych natężeń pola magnetycznego

Tak więc: normalne składowe natężenia pola muszą się różnić.

Aby znaleźć składowe styczne, poprowadzimy w płaszczyźnie prostopadłej do granicy ośrodków prostokątny kontur o dwóch bokach o długości h prostopadłych do powierzchni granicznej i dwóch o długości Δl równoległych do niej. Do tego konturu zastosujemy teraz prawo Ampere’a.

pole magnetyczne na granicy ośrodków

Jeżeli nie ma prądu powierzchniowego to:

brak prądów elektrycznych

Cyrkulacja po całym konturze jest sumą całek po kolejnych bokach prostokąta. Jednakże, całki po bokach prostopadłych zmierzają do zera przy h dążącym do zera. Tak więc cyrkulacja po całym konturze jest sumą:

cyrkulacja wektora H po konturze zamkniętym

zauważmy, że:

składowe styczne natężeń pola magnetycznego

Po połączeniu trzech powyższych wzorów oraz wyciągnięciu stałych przed znak całki i dokonaniu całkowania otrzymujemy:

przekształcenie H

czyli:

równość składowych stycznych natężeń pola magnetycznego

Styczne składowe natężenia pola są po obu stronach takie same. Wobec tego styczne składowe indukcji muszą się różnić:

stosunek składowych stycznych indukcji magnetycznych

Góra strony

 

 

22.15 Współczynnik indukcyjności własnej obwodu z prądem

 

 

Prąd elektryczny I wytwarza pole magnetyczne o indukcji B. Indukcja ta przenikając pole powierzchni wyznaczonej przez obwód prądu tworzy strumień magnetyczny, którego wartość zależy od prądu I oraz od geometrii obwodu i środowiska, w jakim istnieje ten strumień. Iloraz skojarzonego z obwodem strumienia Ψ i prądu I płynącego w tym obwodzie nazywamy współczynnikiem indukcyjności własnej (samoindukcji) lub indukcyjnością własną obwodu, tj.

definicja indukcyjności wlasnej

Jednostką indukcyjności jest henr (1H):

henr - jednostka indukcyjności własnej

Współczynnik indukcyjności własnej obwodów bez elementów ferromagnetycznych jest wielkością stałą, niezależną od natężenia prądu, a jedynie od geometrii obwodu i właściwości magnetycznych środowiska. W układach z ferromagnetykami przeciwnie – indukcyjność własna zależy od prądu.

Góra strony

 

 

22.16 Współczynnik indukcyjności wzajemnej

 

 

Jeżeli w polu magnetycznym wytworzonym przez prąd płynący w pewnym obwodzie znajduje się drugi obwód, to strumień pola magnetycznego wytworzony przez pierwszy obwód może całkowicie lub częściowo przenikać przez obwód drugi. W obwodach przedstawionych na poniższym rysunku strumienie wytworzone przez poszczególne obwody wynoszą odpowiednio: Φ11 i Φ22.

obwody sprzężone magnetycznie

Każdy z nich tylko częściowo przenika obwód sąsiedni – odpowiednio Φ12 i Φ21, a pozostałe części, tzw. strumień rozproszenia – odpowiednio Φ1r i Φ2r – nie przenikają obwodu sąsiedniego. Jeżeli obwody zawierają odpowiednio z1 i z2 zwojów, to strumienie skojarzone z własnymi obwodami wynoszą:

strumienie skojarzone z własnymi obwodami

a indukcyjności własne pierwszego i drugiego obwodu zgodnie z definicją są równe:

 indukcyjności własne pierwszego i drugiego obwodu

Strumienie skojarzone z obwodem sąsiednim wynoszą odpowiednio:

Strumienie skojarzone z obwodem sąsiednim

W powyższych wzorach pierwszy indeks przy strumieniu oznacza źródło tego strumienia, a drugi – obwód przenikany .

Strumień skojarzony ψ12 zależy od prądu I1, który go wytworzył i analogicznie strumień ψ21 zależy od prądu I2. Jeżeli strumienie te podzieli się przez odpowiadające im prądy źródłowe, to otrzymane związki nie będą zależeć od tych prądów (w środowiskach liniowych), a tym samym będą określać sprzężenie magnetyczne między obwodami zależne tylko od geometrii własnej i wzajemnej obwodów oraz od środowiska. Tak utworzone stosunki nazywa się współczynnikami indukcyjności wzajemnej:

dla obwodu pierwszego z drugim:

współczynnikami indukcyjności wzajemnej dla obwodu pierwszego z drugim

dla obwodu drugiego z pierwszym:

współczynnikami indukcyjności wzajemnej dla obwodu drugiego z pierwszym

Jednostką indukcyjności wzajemnej jest henr (1 H). W środowiskach liniowych zachodzi:

równość współczynników indukcyjności wzajemnej

Stopień sprzężenia dwóch obwodów określa się współczynnikiem sprzężenia, który jest stosunkiem tej części strumienia całkowitego, która przenika obwód sąsiedni, do strumienia całkowitego:

współczynniki sprzężenia

Wartość współczynnika sprzężenia zawarta jest w przedziale od 0 do 1, przy czym 0 – oznacza brak sprzężenia, a 1 – sprzężenie idealne. Średnia geometryczna współczynników k1 i k2 jest współczynnikiem sprzężenia obu obwodów:

współczynnik sprzężenia obu obwodów

Wstawiając do tego wzoru określenia współczynników k1 i k2, otrzymujemy:

współczynnik sprzężenia obu obwodów

Zgodnie z wprowadzonymi już zależnościami otrzymujemy związek:

współczynnik sprzężenia obu obwodów

czyli:

zależność pomiędzy indukcyjnością wzajemną a indukcyjnościami własnymi

Ponieważ jak już zostało wspomniane k jest mniejsze od jedności, więc indukcyjność wzajemna pomiędzy dwoma obwodami nie może być większa niż średnia geometryczna indukcyjności własnych obwodów.

Góra strony

 

 

22.17 Energia pola magnetycznego cewki

 

 

Rozważmy obwód linearny z prądem I rozpięty na krzywej zamkniętej Γ i umieszczony w polu magnetycznym o indukcji B. Zgodnie z wzorem na siłę Ampere’a działającą na elementarny fragment obwodu o długości dl działa siła równa:

elementarna siła Ampere'a

Jeżeli nie będzie więzów blokujących możliwość ruchu, to siła ta spowoduje przesunięcie tego fragmentu obwodu. Wobec tego podczas przesunięcia o elementarny wektor ds wykonana zostanie praca:

elementarna praca

energia pola magnetycznego obwodu z prądem

Zgodnie z zasadą mnożenia iloczynu mieszanego wektorów naszą pracę możemy przedfstawić za pomocą wyrażenia:

elementarna praca

Iloczyn wektorowy wektorów: ds i dl wyznaczają wektor dS którego wartość jest równa polu powierzchni rozpiętego na tych wektorach równoległoboku. A więc możemy zapisać:

elementarna praca

Wskutek przesunięcia fragmentu przewodu strumień przenikający obwód zmaleje o dΦ więc ubytek energii dW układu możemy zapisać jako:

elementarna praca

Skorzystaliśmy tu z faktu, że:

elementarny strumień magnetyczny

Otrzymana zależność na pracę ma charakter ogólny – zwiększenie w jakikolwiek sposób strumienia magnetycznego przenikającego obwód, w którym płynie prąd wymaga wykonania pracy. Zmiana strumienia może być spowodowana różnymi czynnikami, na przykład: zmianą prądu w rozpatrywanym obwodzie, zmianą prądu w sąsiednim obwodzie, przemieszczeniem obwodu, przemieszczeniem źródła pola magnetycznego itp.

Gdy zmiana strumienia jest spowodowana zmianą prądu w rozpatrywanym obwodzie to w środowiskach liniowych strumień Φ jest proporcjonalny do prądu, to znaczy:

proporcjonalność strumienia magnetycznego do natężenia prądu

gdzie lambda jest współczynnikiem proporcjonalności. Oznacza to, że:

elementarna energia magnetyczna

Przy wzroście prądu od 0 do I energia pola magnetycznego rośnie o:

energia pola magnetycznego

W przypadku z – zwojowej cewki elementarna praca związana ze zwiększeniem (natężenia) prądu o dI jest równa:

elementarna praca

Zauważmy, że iloczyn jest to tak zwany strumień magnetyczny skojarzony z całą cewką. Zgodnie z definicją strumienia magnetycznego skojarzonego Ψ mamy:

strumień magnetyczny skojarzony

Łącząc dwa powyższe wzory otrzymujemy:

elementarna praca

Teraz skorzystamy z definicji indukcyjności własnej cewki- którą określa się jako stosunek strumienia skojarzonego z cewką Ψ do prądu I płynącego przez cewkę:

definicja indukcyjności własnej cewki

Łącząc dwa powyższe wzory oraz wyciągając L przed znak różniczki otrzymujemy:

elementarna energia magnetyczna

Zwiększenie prądu od zera do I wymaga wykonania pracy:

energia magnetyczna cewki z prądem

Otrzymany wzór przedstawia energię zgromadzoną w polu magnetycznym cewki z prądem I o indukcyjności L.

Góra strony

 

 

22.18 Energia pola magnetycznego obwodów sprzężonych magnetycznie

 

 

Rozważmy dwa obwody. Zakładamy, że początkowo prądy w obydwu obwodach nie płyną (nie ma pola magnetycznego). Zwiększenie prądu w pierwszym obwodzie od zera do I1 powoduje wzrost energii pola magnetycznego do wartości:

energia magnetyczna prim

gdzie wielkośći: ψ11 oraz ψ12 mają to samo znaczenie co w podrozdziale 22.16.

i wynoszą:

strumienie skojarzone psi11 i psi12

Zatem różniczki powyższych wielkości wynoszą:

różniczki strumieni skojarzonych

Podstawiając powyższe związki do wzoru na W’m otrzymujemy:

energia W m prim

Jeżeli następnie zwiększymy prąd w drugim obwodzie od zera do I2 to energia zwiększy się o:

energia W m bis

gdzie wielkośći: ψ22 oraz ψ21 mają to samo znaczenie co w podrozdziale 22.16.

i wynoszą:

strumienie skojarzone psi 22 i psi 21

Zatem różniczki powyższych wielkości wynoszą:

różniczki strumieni skojarzonych

Podstawiając dwa powyższe związki do wzoru na W”m otrzymujemy:

energia magnetyczna W m bis

Zatem całkowita energia pola magnetycznego dwóch obwodów sprzężonych magnetycznie wynosi:

całkowita energia pola magnetycznego

przy czym wybór znaku „+” lub „-” zależy od tego, czy sprzężenie jest dodatnie, czy nie.

 

 

22.19 Energia pola magnetycznego prądów objętościowych

 

 

Rozważmy odosobniony obwód o skończonej objętości V z gęstością prądu równą j. Wydzielmy w obwodzie elementarną rurkę prądu dI :

elementarne natężenie prądu

Zgodnie ze wzorem z podrozdziału 22.17 energia pola magnetycznego związana z rozpatrywaną rurką prądu wynosi:

elementarna energia magnetyczna

Strumień magnetyczny Φm zgodnie ze wzorem z podrozdziału 22.12 wynosi:

strumień magnetyczny jako cyrkulacja wektora A

Łącząc trzy powyższe wzory otrzymujemy zależność na dWm :

elementarna energia magnetyczna

Następnie zamieniamy miejscami wektory j i dr :

elementarna energia magnetyczna

Całkowitą energię pola magnetycznego związaną z przepływem prądu o gęstości j otrzymamy całkując powyższą zależność po przekroju poprzecznym S obszaru V :

energia magnetyczna

 

 

22.20 Gęstość objętościowa energii pola magnetycznego

 

 

W celu wyznaczenia zależności na gęstość objętościową energii pola magnetycznego rozważmy dywergencję z iloczynu wektorowego H i A.

Zgodnie ze wzorem przedstawionym w podrozdzile 4.21 na dywergencję iloczynu wektorowego dwóch wektorów, otrzymujemy:

dywergencja iloczynu wektorowego dwóch wektorów

Z różniczkowej postaci prawa Ampere’a wynika, że:

rotacja wektora H

Natomiast ze związku pomiędzy wektorem indukcji magnetycznej a wektorowym potencjałem magnetycznym, wynika:

wektor indukcji magnetycznej jako rotacja potencjału wektorowego A

Łącząc teraz trzy powyższe wzory, otrzymujemy:

dywergencja iloczynu wektorowego dwóch wekotrów

Wyznaczmy z powyższego wzoru iloczyn Aj :

dywergencja iloczynu wektorowego dwóch wekotrów - przekształcony wzór

Przypomnijmy sobie teraz wzór z poprzedniego podrozdziału na całkowitą energię pola magnetycznego związaną z przepływem o gęstości j :

energia magnetyczna

Wykorzystując dwa powyższe wzory otrzymujemy zależność:

energia magnetyczna

czyli:

energia magnetyczna

stosując teraz twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego do drugiej całki otrzymujemy dalej:

energia magnetyczna

Obszar całkowania V jest obszarem występowania prądów, jednak można go rozszerzyć na całą przestrzeń.
Pierwszy składnik powyższej sumy przedstawia energię zlokalizowaną w obszarze V, a drugi składnik – jej pozostałą część. Całka druga jest równa zeru ponieważ dla dużych odległości r od obszaru występowania prądów zachodzi:

zestawienie proporcjonalności

Więc wyrażenie podcałkowe w drugiej całce jest odwrotnie proporcjonalne do r. Tak więc przy r→∞ całka dąży do zera. Mamy więc:

całka dąży do zera

a więc:

energia magnetyczna

Wyrażenie:

gęstość objętościowa energii magnetycznej

nazywa się gęstością objętościową energii pola magnetycznego