Pole grawitacyjne – JR

Pole grawitacyjne

12. Spis treści.

 

12.1 Prawo powszechnej grawitacji.

12.2 Natężenie pola grawitacyjnego.

12.3. Grawitacyjna energia potencjalna.

12.4. Potencjał pola grawitacyjnego.

12.5. Prędkości kosmiczne.

12.6. Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego.

Pole grawitacyjne jest to przestrzeń która ma tę własność, że na każde ciało w nim umiesczone i obdarzone masą działa siła grawitacji.

Oddziaływania grawitacyjne są jedynym rodzajem oddziaływań podstawowych, który bezpośrednio odczówamy w postaci siły ciężkości.

 

12.1. Prawo powszechnej grawitacji.

 

Wszystkie ciała wzajemnie się przyciągają siłą grawitacji. Należy zaznaczyć, że nie istnieje odpychanie grawitacyjne!

Prawo opisujące przyciąganie się punktów materialnych (a także ciał o symetrii sferycznej bądź kulistej) nosi nazwę prawa powszechnej grawitacji. Prawo to głosi, że:

Siła którą przyciągają się dwa punkty materialne jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych punktów materialnych i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi:

siła grawitacji wzór

gdzie:

G – współczynnik proporcjonalności zwany stałą grawitacji

Kierunek działania siły pokrywa się z prostą łączącą punkty materialne:

prawo powszechnego ciążenia rysunek

Powyższy wzór można uogólnić na postać wektorową:

prawo powszechnego ciążenia postać wektorowa wzór

 

12.2. Natężenie pola grawitacyjnego.

 

Jednym z parametrów opisujących intensywność pola grawitacyjnego jest natężenie pola grawitacyjnego γ. Jest to wielkość wektorowa.
Definiuje się ją jako stosunek wektora siły grawitacji działającej na masę próbną (o bardzo małej wartości) do wartości tej masy:

definicja wektora natężenia pola grawitacyjnego wzór

Wymiar γ jest taki sam jak wymiar przyspieszenia.

Pośrednio można z tego wywnioskować, że w pobliżu powierzchni Ziemi natężenie pola grawitacyjnego jest równe przyspieszeniu swobodnego spadania g. Jednak należy pamiętać, że są to dwie różne wielkości o różnym znaczeniu fizycznym.

Jeżeli do powyższego wzoru podstawimy wzór na siłę grawitacji (z prawa powszechnego ciążenia) to otrzymamy:

natężenie pola grawitacyjnego w polu centralnym wzór

Dla formalności należy jeszcze zaznaczyć, że w naszym przypadku:

wersor siły grawitacji wzór

 

12.3. Grawitacyjna energia potencjalna.

 

Ponieważ pole grawitacyjne jest polem potencjalnym (oraz zachowawczym) więc możemy dla niego zdefiniować parametr jakim jest energia potencjalna.

Energia potencjalna w polu grawitacyjnym jest to praca jaką wykona siła grawitacji przy przesunięciu ciała z danego punktu pola do nieskończoności.

A więc grawitacyjna energia potencjalna w ogólności jest ujemna i rośnie przy oddalaniu się od źródła pola, osiągając zero w nieskończoności.

Wyprowadźmy teraz wzór na energię potencjalną w polu grawitacyjnym:

Wiemy, że:

siła grawitacji jako iloczyn masy próbnej i natężenia pola

lub skalarnie:

siła grawitacji wzór skalarny

Z definicji grawitacyjnej energii potencjalnej wiemy, że:

definicja grawitacyjnej energii potencjalnej

dokonujemy kolejnych przekształceń:

energia potencjalna w polu grawitacyjnym centralnym

i w efekcie otrzymujemy:

energia potencjalna w polu grawitacyjnym centralnym

jednocześnie pamiętamy, że:

odwrotność nieskończoności dąży do zera

 

12.4. Potencjał pola grawitacyjnego.

 

Kolejną wielkością charakteryzującą intensywność pola grawitacyjnego jest potencjał grawitacyjny V. W odróżnieniu od natężenia pola grawitacyjnego potencjał jest wielkością skalarną.

Potencjał grawitacyjny V w danym punkcie pola jest liczbowo równy stosunkowi grawitacyjnej energii potencjalnej masy próbnej umieszczopnej w tym punkcie do wartości tej masy:

definicja potencjału pola grawitacyjnego

 

12.5. Prędkości kosmiczne.

 

W odniesieniu do grwiatcji ciał niebieskich (takich jak Ziemia czy Słońce) w fizyce mówi się o prędkościch kosmicznych, które definiuje się następująco:

– Pierwsza prędkość kosmiczna vI – jest to prędkość jaką należy nadać ciału aby poruszało się po kołowej orbicie okołoziemskiej o promieniu niewiele większym od promienia Ziemi RZ.

W celu znalezienia wzoru na tą prędkość przyrównujemy siłe dośrodkową Fd do siły grawitacji, (ponieważ siła dośrodkowa w tym przypadku ma naturę siły grawitacyjnej):

siła dośrodkowa na naturę siły grawitacyjnej

siła dośrodkowa ma naturę siły grawitacyjnej

Po skróceniu odpowiednich wyrazów oraz przekształceniu powyższego wzoru otrzymujemy zależność na pierwszą prędkość kosmiczną:

pierwsza prędkość kosmiczna wzór

– Druga prędkość kosmiczna vII – jest to minimalna prędkość jaką należy nadać ciału znajdującemu się na powierzchni Ziemi, aby oddaliło się ono do nieskończoności (przy założeniu braku istnienia innych „zakłócających” pól grawitacyjnych).

W celu wyznaczeniu wzoru na drugą prędkość kosmiczną należy przyrównać sumę energii potencjalnej i kinetycznej naszego ciała na powierzchni Ziemi do zera. (Ponieważ całkowita energia mechaniczna musi być zachowana a w nieskończoności, przy naszych warunkach wynosi zero.)

suma energii potencjalnej i kinetycznej jest równa zeru

Po przekształcenich otrzymujemy:

druga prędkość kosmiczna wzór

p>

 

12.6. Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego.

 

Dla pól centralnych typu:

typ pól centralnych wzór

gdzie:

w – wektor natężenia pola

c = const – stała

r – odległość danego punktu od centrum pola

Prawo Gaussa ma następującą postać:

prawo Gaussa dla dowolnego pola centralnego

Prawo to można zastosować do wektora natężenia pola grawitacyjnego. Dla pola grawitacyjnego:

stała c

natężenie pola grawitacyjnego

prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego

Powyższy wzór wyraża prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego, które można wyraźić słownie następująco:


Strumień natężenia pola przez zamkniętą powierzchnię S jest wprost proporcjonalny do sumarycznej masy ciał wewnątrz niej – niezależnie od ich rozmieszczenia i kształtu.
Minus oznacza, że wektor γ wskazuje do środka (wektory powierzchni na zewnątrz).

prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego

Z matematycznej definicji dywergencji wiemy, że:

matematyczna definicja dywergencji

a więc:

różniczkowa postać prawa Gaussa dla pola grawitacyjnego

Powyższa zależność to tak zwana różniczkowa postać prawa Gaussa dla pola grawitacyjnego

gdzie:

operator nabla

ρ(r) – gęstość materii wewnątrz obszaru całkowania